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S
2
V
∫ (1 − ) ds é mínima (3. 68).
E
S
1
As integrais (3.66) e (3.67) serão idênticas se
n( r
) = 1−
V E , logo o potencial
2
V( r)
= E[
1− n ( r)]
dá origem uma trajetória da partícula idêntica a trajetória do raio de
luz. Nota‐se que o potencial será atrativo para regiões com maior índice de refração.
Figura 1 a e b mostra o exemplo do potencial equivalente em uma região que apresenta
descontinuidade no índice de refração entre as posições − L / 2 e + L / 2 , situação típica
de uma partícula homogênea embebida em outro meio, também homogêneo.
Potencial equivalente V(x)
-0.8
-1.3
-1.8
-5 -3 -1 1 3 5
Posição x
Índice de Refração n(x)
1.6
1.4
1.2
-5 -3 -1 1 3 5
Posição x
a. b.
Figura 65. Potencial equivalente.
O caso de uma partícula esférica, na qual nr ( ) = nr ( ), onde
2 2 2
r = x + y + z ,
corresponde ao caso do movimento da partícula em um campo de força central. Se o
potencial é tal que φ ( r) =φ( r)
, então F= φ′( r)
e
r e dL
= τ= r× F =0 , ou seja, o momento
dt
angular L se conserva. Como,
2
L= r× p= mre × r
= mre × ( re + rθ e ) = mr θ
e × e
2
= mr θe
e
Temos,
88
( )
r r r θ
r θ
z
mr 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
m 2 2 2 mr mr θ mr m r θ mr
L
T = = ( r + r θ ) = + = + = + ,
2 2
2 2 2 2 2 2mr
2 2mr
2 2
2
mr
L mr
E= + +φ () r = +φef
() r ,
2
2 2mr
2
2
2
L ll ( + 1)
onde φ
ef
() r =φ () r + =φ () r + é o potencial efetivo que permite estados
2 2
2mr
2mr
ligados e também tunelamento.