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tempo dentro de uma esfera devido às múltiplas reflexões que ocorrem na superfície
interna. A outra maneira, segundo Nussenzveig [31], é através da associação da óptica
com a trajetória de uma partícula na mecânica clássica, ou mesmo na mecânica
quântica, quando se consideram efeitos de interferência e tunelamento. A analogia da
trajetória de um raio da óptica geométrica com a trajetória de uma partícula sujeita a
um campo de forças na mecânica clássica é direta. Basicamente podemos mostrar que
sempre existirá um potencial para o qual as duas trajetórias, do raio da óptica
geométrica e da partícula no campo de forças, serão idênticas. Isso pode ser mostrado
através dos dois princípios de ação mínima, o de Fermat da óptica geométrica, que
afirma que:
onde ( )
s2
∫
s1
n ds é mínima (3. 65),
( r )
n r é o índice de refração dependente da posição r e ds é o deslocamento
infinitésimal ao longo da trajetória do raio, e o princípio da ação mínima para o
movimento de uma partícula em um campo de forças conservativo, que afirma que:
t
∫ 2
t1
T dt (3. 66),
sujeita à restrição de que a conservação da energia mecânica, T + V = E, é mínima [32],
onde T é a energia cinética e V a energia potencial.
Mudando da variável tempo para a variável s que representa o deslocamento ao
longo da trajetória da partícula, temos que
2
2
ds = dx + dy + dz e
2
2
. . .
2 2 2
( )
2
T = m[( x ) + ( y ) + ( z ) ] 2 = ⎡m ds dt ⎤ 2 . Assim:
⎣ ⎦
t t s
m⎛ds⎞ds m⎛ds⎞
Tdt= ⎜ ⎟ dt=
⎜ ⎟ds(3. 67)
2 ⎝ dt ⎠ dt 2 ⎝ dt ⎠
2 2 2
∫ ∫ ∫
t t s
1 1 1
A conservação da energia, por outro lado, é expressa como:
2
m⎛ds
⎞ ds 2
⎜ ⎟ + V = E ⇒ = E − V
2 ⎝ dt ⎠
dt m
integral
s
2
∫
s
1
( )
. Substituindo na equação 3.65 obtemos que a
m mE
( E − V ) ds deve ser mínima, ou, extraindo a constante , que
2
2
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