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e agora temos que se
∫
m
ψ nm = Pn
(cos θ)sen
mϕ, senϕsen mϕdϕ =πδm
,1
, porém se
m
ψ = P (cos θ)cos
mϕ, senϕcos mϕdϕ = 0 . Portanto,
nm
n
e desse modo,
∫
π E0
(2n+ 1)( n−
1)!
1 d ikr cosθ
Zn( kr) A1n =− sen θPn(cos θ)( e ) dθ=
2 π nn ( + 1) ( n+ 1)!
∫
dθ
E (2n+
1) d
2[ nn ( + 1)]
∫
dθ
0
1 ikr cosθ
= ( [sen θ P (cos )]
2
n θ e =
π
0 ikr cosθ
1
0
2
n
nn
0
E (2n+ 1) E (2n+
1) 1
= nn ( + 1) e P(cos θ)sen θ dθ=
jn( kr)
n
2 [ ( + 1)]
∫
(3. 60)
nn ( + 1) ( −i)
n
0 1
0
n( ) 1n = n( ) ⇒
n
1n
=
E (2n+ 1) ( i) E (2n+
1)
Z kr A j kr A
nn ( + 1) ( −i)
nn ( + 1)
para
ψ nm par.
No fim dos cálculos, vemos que o campo E é dado por:
ψ ímpar e A 1 = 0 para
( ) (2 1) ( ) (2 1) ()(2 1)
E = M − N = E ( M −iN
) ⇒
∞ n n ∞ n
i E0 n+ i i E0
n+ i n+
∑
o1n e1n 0∑
o1n e1n
n= 1 nn ( + 1) nn ( + 1) n=
1 nn ( + 1)
∞
E = E ( M −iN
) (3. 61)
∑
i n o1n e1n
n=
1
Para encontrar H
basta aplicar H = ( − i µω)
∇× E :
nm
n
iE
H −
= ( ) ∇× [( M − iN )] = ( ) ( ∇× M −i∇×
N
)
µω + µω +
∞ n
∞ n
0 ()(2 i n+ 1) −iE0
()(2 i n+
1)
∑
o1n e1n ∑
o1n e1n
n= 1 nn ( 1) n=
1 nn ( 1)
iE
H − + +
= ( ) ( kN − ikM ) =− ( M + iN
) ⇒
µω + µω +
∞ n
∞ n
0 ()(2 i n 1) kE0
()(2 i n 1)
∑
o1n e1n ∑
e1n o1n
n= 1 nn ( 1) n=
1 nn ( 1)
∞
k
H =− ∑
E ( M + iN ) (3. 62)
µω
i n e1n o1n
n=
1
3.1.5 Cálculos dos Coeficientes de Mie para Ondas Planas
Comparando as expressões para os campos elétrico e magnéticos incidentes
calculado para onda plana com os definidos na seção 3.1.3 e definindo os campos
espalhados e interior como:
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