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obtendo o produto escalar de r
com os campos e usando o fato de que r⋅ E=
0
campos TE e r⋅ H = 0 para os campos TM:
nn ( + 1)
r ⋅ E = ∑ Bnm r ⋅ Nnm = ∑ Bnm ( Znψnm
) e
k
−ik
− in( n + 1)
r ⋅ H = ∑ Anm r ⋅ Nnm = ∑ Anm ( Znψnm
) (3. 16).
µω µω
para
Usando a ortogonalidade das funções angulares para extrair um único termo do
somatório:
∫
∗
nn ( + 1) ∗ n′ ( n′ + 1) 2 π ( n′ + m′
)!
r ⋅Eψnm ′ ′ dΩ= ∑ ZnBnm nm nm ′ ′ d Zn′ Bnm
′ ′
k
∫ψ ψ Ω=
k 2n′ + 1 ( n′ −m′
)!
k(2n+ 1) ( n−
m)!
∗
Zn( kr) Bnm = ψnm( r⋅E)
dΩ
( n+ m)! 2 π n ( n+ 1)
∫
(3. 17)
∫
e
∗
nn ( + 1) − ik ∗ n′ ( n′ + 1) 2 π ( n′ + m′
)!
r⋅Hψnm ′ ′ dΩ= ∑
ZnAnm ψnmψnm ′ ′ dΩ=−i Zn′ Anm
′ ′
k µω
∫
µω 2n′ + 1( n′ − m′
)!
iµω (2n+ 1)( n−
m)!
∗
Zn( kr) Anm = ψnm( r⋅H)
dΩ
2 π nn ( + 1) ( n+ m)!
∫
(3. 18)
onde
dΩ= sen θdθdϕ é o diferencial do ângulo sólido. Em princípio, para soluções
exatas das equações de Maxwell, as funções radiais Z ( kr) j ( kr)
n
= de ambos os lados
deveriam se cancelar, o que nem sempre ocorre com as aproximações. Uma opção para
eliminar a dependência radial dos coeficientes é multiplicar por j ( kr)
usando a identidade:
obtendo:
∞
π
2 (2n+
1)
0
∫ j ( ) ( ) ( )
n kr j n ′ kr d kr = δ nn ′ (3. 19)
n
n
′ e integrar em r
∞ π 2π
k(2n+ 1) ( n− m)! 2(2n+
1)
∗
Bnm = jn′
( kr) d( kr)
ψnm( r ⋅E)
dΩ
( n+ m)! 2 π n ( n+ 1) π
∫ ∫ ∫
0 0 0
(3. 20)
∞ π 2π
iµω (2n+ 1)( n− m)! 2(2n+
1)
∗
Anm = jn′
( kr) d( kr)
ψnm( r ⋅H)
dΩ
2 π nn ( + 1) ( n+ m)!
π
∫ ∫ ∫
(3. 21)
0 0 0
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