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Usando
eˆ
L i [ θ ∂ ∂
= −eˆ
ϕ ]
sen θ∂ϕ ∂θ
e explicitando as dependências de M e N com
ψ , conforme detalhado no apêndice, ficamos com:
m
−m
m
dP ( cos )
( sen ) ( cos ) ( ) ˆ ( cos
n θ
Menm = mϕ Pn θ Zn ρ eθ
− mϕ)
Zn
( ρ)
eˆϕ
(3. 11),
sen θ
dθ
m
m
m
dP ( cos )
( cos ) ( cos ) ( ) ˆ
n θ
Monm = mϕ Pn θ Zn ρ eθ
−( sen mϕ)
Zn
( ρ)
eˆϕ
(3. 12),
sen θ
dθ
e
m
Zn( ρ) ( )
( ) ( )
m
dP cos 1
cos 1 ( cos ) ˆ ( cos )
n θ d
Nenm = mϕ n n+ Pn θ er + mϕ ⎡ρZn
( ρ)
⎤ eˆθ
ρ dθ ρ dρ
⎣ ⎦
m
( θ)
Pn
cos 1 d
−m( sen mϕ)
⎡ρZn
( ρ)
⎤ eˆ
sen θ ρ dρ
⎣ ⎦
ϕ
(3. 13),
m
Zn( ρ) ( )
( ) ( )
m
dP cos 1
sen 1 ( cos ) ˆ ( sen )
n θ d
Nonm = mϕ n n+ Pn θ er + mϕ ⎡ρZn
( ρ)
⎤ eˆθ
ρ dθ ρ dρ
⎣ ⎦
m
( θ)
Pn
cos 1 d
−m ( cos mϕ)
⎡ρZn
( ρ)
⎤ eˆ
sen θ ρ dρ
⎣ ⎦
ϕ
(3. 14).
onde
ρ= kr . No cálculo de N usamos a equação diferencial dos polinômios associados
de Legendre,
1
sen
m
2
d dP
(sen n
m m
θ ) + [ nn ( + 1) − ] P 0
2 n =
θ dθ θ sen θ
. Os vetores M são também
ortogonais a N e ortogonais entre si.
3.1.2 Expansão de uma Onda Incidente Arbitrária em Função dos Harmônicos
Esféricos Vetoriais
Resolvida a equação vetorial podemos agora encontrar os campos elétricos e
magnéticos de uma onda incidente. Para tanto, vamos então expandi‐los em termos dos
vetores M e N , segundo a forma:
∞
E= A M + B N
∑
nm ,
nm nm nm nm
e
∞
iεω
ik
H = ∑ − A M − B N
k
µω
nm ,
nm nm nm nm
(3. 15)
Nosso objetivo é determinar os coeficientes
A nm e B nm
. Faremos isso somente
para uma das paridades, pois o desenvolvimento para a outra é análogo. Iniciamos
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