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Com o intuito de facilitar os cálculos e tornar nossos resultados comparáveis com
os dos livros de Van de Hulst e Bohren & Huffman não usaremos diretamente os
harmônicos esféricos
m
Y n , mas sim combinações lineares com paridade definida
construídas a partir de
m
Y n e
m
n
Y − , mantendo sempre m ≥ 0 . Assim, podemos utilizar:
m (2 1)( )!
( 1) m n+ n−m
n
n
m (cos )
im ϕ
Y = − P θ e
4 π ( n+
m)!
e
m (2n 1)( n m)!
Yn
− + −
= Pn
m (cos θ)
e
−imϕ
4 π ( n+
m)!
(3. 5)
para construir as funções:
m m −m m (2n+ 1)( l−n)!
m imϕ −imϕ
Yn + ( − 1) Yn = ( −1) Pn
(cos θ ) [ e + e ] =
4 π ( n+
m)!
m (2n+ 1)( n−m)!
m
= ( −1) Pn
(cos θ) cos m ϕ
π ( n+
m)!
(3. 6)
e,
m m −m m (2n+ 1)( n−m)!
m imϕ −imϕ
Yn −− ( 1) Yn =− ( 1) Pn
(cos θ) [ e − e ] =
4 π ( n+
m)!
m (2n+ 1)( n−m)!
m
= ( −1) i P n (cos θ) sen mϕ
π ( n+
m)!
(3. 7),
que estão relacionadas as funções comumente utilizadas pelas relações:
m m π ( n + m)!
m m −m
ψ enm = Pn (cos θ)cos mϕ= ( − 1) [ Yn + ( −1) Yn
] (3. 8)
(2n+ 1) ( n−m)!
m m π ( n + m)!
m m −m
ψ onm = Pn (cos θ) sen mϕ=−i( −1) [ Yn −( −1) Yn
]
(2n+ 1) ( n−m)!
(3. 9)
as quais possuem as mesmas propriedades de ortogonalidade dos harmônicos esféricos.
Usamos também as mesmas convenções dos livros supracitados com os subscritos e e o
para indicar as paridades pares e ímpares (e, de even, significa par e o, de odd, ímpar).
Com essas funções construímos os vetores harmônicos esféricos M
e N , definidos de
maneira adimensional, como:
1 1 1 1
Menm = Zn( kr)
Lψenm
, Monm = Zn( kr)
Lψonm
, Nenm = ∇× [ Zn( kr) Lψ enm]
= ∇× Menm
i
i
ik
k
1 1
Nonm = ∇× [ Zn( kr) Lψ onm]
= ∇× Monm
(3. 10).
ik
k
77
e