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∇⋅ L =∇⋅( − ir×∇ ) =−i∂ [ ε x ∂ ] =−i [ ε x ∂ ∂ +ε δ ∂ ] = 0
j jkl k l jkl k j l jkl jk l
pois os tensores
∂∂ j l e δ jk
são simétricos e o εijk antisimétrico 2 .
O produto escalar r ⋅ L = −ixjεjklxk∂ l = −iεjklxjxk∂ l = 0 pois xx j k é simétrico.
Assim, ao escolher uma solução do tipo E= Lφ
e H = − i µω∇× ( Lφ)
a componente radial
do campo elétrico Er
= r⋅ E=
0 é nula, o campo elétrico será transversal e estamos no
caso denominado TE. Já a escolha H = Lφ
e E= − i µεω∇× ( Lφ)
leva a um campo
magnético transversal e de maneira análoga estamos no caso TM.
2 2
A equação escalar ∇φ+ k φ= 0 , sendo
2 2 2 2 2
∇ = 1 r∂ ∂r ( r)
− L r é resolvida por
m
separação de variáveis com φ= ZrY ( ) n ( θ, ϕ ). Lembrando que LY 2 = nn ( + 1)
Y , onde
m
Y n
são os harmônicos esféricos.
m
n
m
n
a qual é igual a:
m
m
d ( + 1) n 2 m
2 rZ
2 k Y l Z
Yn
n n Y Z
( ) − + = 0 (3. 3)
r dr r
2
2 dZ dZ 2 2
r + 2 r + [ k r − n( n+ 1)] Z= 0 (3. 4)
2
dr dr
que é a equação das funções esféricas de Bessel.
Assim,
1 2
n = n( ), η n( ), n( ) = n+ η n e n( ) = n+ η n, onde jn( kr ) e
Z j kr kr h kr j i h kr j i
η n( kr ) são as funções esféricas de Bessel e de Neumann e 1
hn
( kr ) e
2
h ( kr ) são as funções
l
de Hankel de primeiro e segundo tipo. A função n ( kr ) diverge na origem e
n
1 ( )~
ikr
hn
kr e r e
2 ( )~
−ikr
h kr e r. Por isso devemos usar j ( kr ) como solução para os
n
n
campos no interior da esfera e para as ondas incidentes, sejam as mesmas planas ou
não, e
1
h ( kr ) para os campos espalhados.
n
2
A contração de um tensor simétrico Sij com um antisimétrico Aij é sempre nula, pois Sij Aij = Sji Aji por simples
troca de letras, agora usando as propriedades de simetria Sij Aij = (Sij) (‐Aij) = ‐ Sij Aij levando a 2 Sij Aij = 0, (c.q.d.).
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