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i t
1. Partindo de um campo elétrico na forma Er ( , t) = Er ( ) e − ω
resolve‐se a equação
diferencial vetorial para a dependência espacial do campo elétrico
impondo a condição de que ∇⋅ E = 0
Hrt ( , )
i
=− ∇×
µω
E.
2 ω
∇ E+ =
c
2
E 0
2
e se obtém o campo magnético através de
i t
2. Partindo de um campo magnético na forma Hrt ( , ) = Hr ( ) e − ω resolve‐se a equação
vetorial
2 ω
∇ H+ =
c
2
H 0
2
elétrico através de Er ( , t)
impondo a condição de que ∇ ⋅ H
= 0
i
= ∇×
εω
H.
e se obtém o campo
De qualquer forma devemos iniciar encontrando as soluções das equações
2 2
diferenciais vetoriais do tipo ∇ F+ k F = 0 , onde k = ω c. Quando as condições de
contorno permitem, esse problema pode ser decomposto em uma equação diferencial
escalar para cada componente. Infelizmente, na nossa situação, as condições de
contorno em uma superfície esférica misturam as diferentes componentes tornando a
técnica de decomposição muito complicada. Nesse caso, é melhor utilizar outra técnica
para encontrar a solução das equações diferenciais vetoriais, partindo das soluções das
equações diferenciais escalares da forma
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∇ φ+ k φ= 0 . Para isso, suponha que se
conhece a solução de um operador escalar L φ = 0, e que o operador vetorial A comuta
com L. Então, L A φ = A
L φ = 0, e u= Aφ
é uma solução da equação vetorial. Desse
modo, é necessário encontrar os operadores vetoriais que comutam com o operador
2 2
∇ + k . No apêndice 1 demonstramos que os operadores ∇ , L e ∇ × L
comutam com o
2
∇ e, portanto, as funções vetoriais A = ∇φ , D = Lφ
e F = ( ∇× L)
φ são possíveis soluções
da equação vetorial, onde L=− ir×∇
é o operador momento angular.
Entretanto, o gradiente deve ser descartado para equações de ondas
2
eletromagnéticas porque ele não é solenoidal, isto é, ∇ ⋅∇φ=∇ φ≠ 0 , uma vez que
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∇φ=−k
φ. Já as outras duas são solenoidais, pois ⋅∇ × = 0
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∇ V e