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Como o campo elétrico é
= +
inc sca
E E E
,
E E = ⎡⎣E + E ⎤⎡ ⎦⎣E + E ⎤⎦
= E E + E E + E E + E E
* inc sca inc* sca* inc inc* inc sca* sca inc* sca sca*
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
Entretanto, o termo
inc inc*
Eθ Eθ só depende do campo incidente e portanto não está
relacionado à partícula, logo o mesmo não entra no cálculo da força. Antes de continuar
o cálculo vamos definir as funções de θ :
m
m Pn
m dPn
π
n
= e τ
n
=
senθ dθ m
que são reais.
Lembrando que os campos elétricos e magnéticos são:
n 2n
1 1 1 1 1
E +
i
= E0∑i [ M o1n − iN e1n ] = ∑En [ M o1n −iN
e1n
]
nn ( + 1)
k n 2n 1 1 1 k
1 1
H +
i
=− E0∑i [ M e1n + iN o1n ] =− ∑En [ M e1n + iN
o1n
]
µω nn ( + 1)
µω
n 2n
1 3 3 3 3
E +
s
= E0∑i [ iaN n e1n − bM n o1n ] = ∑En [ iaN n e1n −bM
n o1n
]
nn ( + 1)
k n 2n 1 3 3 k
3 3
H +
s
= E0∑i [ ibnN o1n + anM e1n ] = ∑En [ ibnN o1n + anM
e1n
]
µω nn ( + 1)
µω
E considerando as formas assintóticas das funções de Bessel,
iρ
1 n+ ( ) ( ) 1 e 1 n+ , ( ) ( ) 1 iρ
n+
( )
1 −ρ i
hn
ρ = −i jn
ρ = ⎡ − i e + i e ⎤
ρ 2ρ⎣ ⎦
e
iρ
1
⎡
1
n e 1 1 n iρ
n −ρ i
ρ hn( ρ ) ⎤ ′ = ( −i) , ⎡ jn( ) ′
⎣ρ ρ ⎤⎦
= ⎡( − i) e + ( i)
e ⎤ ,
ρ⎣ ⎦ ρ ρ 2ρ⎣ ⎦
⎧ 1 1 1
1
cos ( ) n + i
( ) n + i
cos ( ) n i
( )
n i ⎫
Ei En n
i e ρ i e − ρ i
n
i e ρ i e
− ρ
θ
= ∑ ⎨ ϕπ ⎡ − + ⎤− ϕτ ⎡ − + ⎤⎬=
2ρ⎣ ⎦ 2ρ⎣ ⎦
⎩
⎭
∑
∑
n+ { ( ) 1 iρ n+
( ) 1 −iρ n iρ n −iρ
⎡ ⎤ ⎡( ) ( ) ⎤}
1
Encosϕ πn − i e + i e −iτn
− i e + i e =
2ρ
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
cosϕ n 1 i n 1 i n 1 i n 1 i
En ⎡
+ ρ + − ρ + ρ + − ρ
( −i) e π
n
+ ( i) e πn −( −i) e τn −( i)
e τ
n ⎤ =
2ρ
⎣
⎦
n+ {() 1 −iρ
n+
[ ] ( ) 1
iρ
π −τ + − [ π +τ ] }
cosϕ
∑ En i e
n n
i
n n
e
2ρ 230