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⎡
⎤
⎢
⎥
eˆr
reˆθ
rsen
θ eˆϕ
⎢
⎥
1 1
∇× Menm
= ⎢∂r
∂θ ∂ϕ ⎥ =
2
k r senθ ⎢
⎥
⎢
m
msen m ϕ m
dPn
(cos θ ) ⎥
⎢ 0 − Pn (cos θ) Zn( ρ) −cos mϕ Zn( ρ)
⎥
⎣ senθ
dθ
⎦
1 1
= {
2
k r senθ
m m m
d dPn r mcos mϕ Zn( ρ) Pn dP [ ( )]
[ ( )cos [sen ] ] ˆ
n d rZn
ρ
−rZn
ρ mϕ θ + er
+ r senθcos mϕ
[ ] eˆ
dθ dθ senθ dθ
dr
m sen mϕ
P [ ( )] sen [
n d rZn
ρ
−r
θ ] e ˆ
ϕ } =
senθ
dr
m
m 2 m
n( ρ) 1 d
n n
m
2 2
rZ dP m P
dP
cos [ [sen ] ˆ
n 1 d [ rZn( ρ)]
= ϕ − θ + er
+ cos mϕ
[ ] eˆ
kr
senθ dθ dθ sen θ
d θ kr dr
m
m sen mϕ
Pn
1 d [ rZn( ρ)]
−
[ ] eˆ
senθ
kr dr
ϕ
m
θ
θ
usando a equação diferencial dos polinômios associados de Legendre,
m
m
rZn( ρ) m
dP 1 [ ( ρ)] sen ϕ 1 [ ( ρ)]
= ϕ + ˆ
n d rZn m m P
cos ( 1) + cos ϕ [ ] ˆ
n d rZn
Nenm m n n P θ −
[ ] ˆ
2
n er
m e e
kr
dθ ρ dr senθ ρ dr
Analogamente:
ϕ
m m
rZn m dPn 1 d rZn m m Pn 1 d rZn
onm = ϕ + + ϕ θ −
2
n r
( ρ) [ ( ρ)] cos ϕ [ ( ρ)]
N sen m n( n 1) P eˆ sen m [ ] eˆ [ ] eˆ
kr
dθ ρ dr senθ ρ dr
4. Prova da relação i εω ik
H = ∑− AnmMnm − BnmNnm
:
k
µω
Vamos escrever o campo elétrico como: E= ∑ AnmMnm + BnmNnm
. No caso TE,
i ik ∇× Mnm
ik
E= ∑ AnmMnm
e H = ∑− A ∇× M = ∑− A = ∑−
A N
µω µω k µω
nm nm nm nm nm
.
ϕ
No caso TM,
H = ∑CnmM
nm
e
i ik ∇× M ik
E= ∑ C ∇× M = ∑ C = ∑ C N
εω εω k εω
nm
nm nm nm nm nm
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