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∂m( δmk∂k)( e j∂j) −∂m( e jδmj)( ∂∂ k k) = e j∂∂∂ j k k −e
j∂∂∂ j k k = 0. Dessa forma, mostramos que
os operadores ∇ , L e ∇ × L
2
comutam com o ∇ e as funções vetoriais A =∇φ, D= Lφ
e F = ( ∇× L)
φ satisfazem a equação diferencial vetorial.
2. Prova de que as funções ψ nm construídas a partir dos harmônicos esféricos são
ortogonais entre si:
π ( n+ m)! π ( n′ + m′
)!
ψ ψ = − Y + − Y Y + − Y
2n+ 1( n− m)! 2n′ + 1( n′ −m′
)!
m+ m′ m m −m m′ m′ −m′
enm en′ m′ ( 1) n ( 1) n n′ ( 1) n′
π ( n+ m)! π ( n′ + m′
)! 2 π ( n+
m)!
= ( −1) { δ δ + ( −1) δ δ } = δ δ
2n+ 1( n− m)! 2l′ + 1( n′ − m′
)! 2n+ 1( n−m)!
m+ m′ m+
m′
nn′ mm′ nn′ mm′ nn′ mm′
e o mesmo vale para a função par
ψ onm . Também,
π ( n+ m)! π ( n′ + m′
)!
ψ ψ = − − − + −
2n+ 1( n− m)! 2n′ + 1( n′ −m′
)!
m+ m′ m m −m m′ m′ −m′
onm en′ m′ i( 1) Yn ( 1) Yn Yn ′ ( 1) Yn
′
π ( l+ m)! π ( n′ + m′
)!
= i( −1) { δ δ −( −1) δ δ } = 0= ψ ψ
2l+ 1( l− m)! 2n′ + 1( n′ −m′
)!
m+ m′ m+
m′
nn′ mm′ nn′ mm′ enm on′ m′
3. Cálculo de M e N :
ˆ
Temos que
eθ
∂ ∂
L = i[ −eˆ
ϕ ]
senθ∂ϕ
∂θ
e sendo
1
M = Z ( kr)
Lψ
i
nm n nm
1 1 eˆ
θ ∂ ∂ m
M enm = Zn( ρ) Lψ enm = Zn( ρ) i[ − eˆ
ϕ ] Pn
(cos θ)cosmϕ
i
i senθ∂ϕ
∂θ
m
m
n n
ˆθ
n
n
−msen mϕ dP (cos θ)
= { P (cos θ) Z ( ρ) e − cos mϕ Z ( ρ) eˆϕ
}
senθ
dθ
1 1 eˆ
θ ∂ ∂ m
Monm = Zn( ρ) Lψ onm = Zn( ρ) i[ − eˆ
ϕ ] Pn
(cos θ)senmϕ
i
i senθ∂ϕ
∂θ
Lembrando que
m
m
dP (cos θ)
ˆ
n
n n θ
n
−mcos
mϕ
= { P (cos θ) Z ( ρ) e −sen m ϕ Z ( ρ) e ˆϕ
}
senθ
dθ
1 1
N = ∇× [ Z ( kr) Lψ ] = ∇× M
ik
k
nm n nm nm
225
,