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1. Prova de que os operadores ∇ , L e ∇ × L
comutam com o
Vamos mostrar que os operadores ∇ , L e
224
2
∇ :
∇ × L
comutam com o
2
∇ , usando a
notação tensorial de Einstein em que índices repetidos significa soma nos mesmos, os
tensores de Levi‐Civita ε ijk = 1 para ijk = 123, 312 e 231; ε ijk =− 1 para ijk = 213, 321 e
132; e ε ijk = 0 para quaisquer índices repetidos e o delta de Kronecker δ = 1 se i = j e
δ = 0 se i ≠ j , obtemos:
ij
2
2
a. ∇∇ = e ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ( e ∂ ) = ∇ ∇
i i j j j j i i
2
b. L=− ir×∇=−ie ε x ∂ ⇒∇ L=∂ ∂ ( −ie ε x ∂ ⇒
j jkl k l m m j jkl k l
2
∇ L = −ie ε ∂ ∂ ( x ∂ ) = −ie ε [2 δ ∂ ∂ + x ∂ ∂ ∂ ].
j jkl m m k l j jkl m,
k m l k l m m
Se o tensor Si,j é simétrico, i.e., Si,j = Sj,i , então ε ijkSij
= 0 , pois ε ijkSij =ε jikSji
por simples
troca de letras e ε ijkSij =ε jikSji =−ε ijkSij
pela antisimétria do ε e simetria de S, logo
2
2
2ε ijkSij
= 0. Dessa forma εjkl∂k∂ l = 0 levando a ∇ L=−iejεjklxk∂∂ l m∂ m = L∇
.
c. ∇× L= ejεjkl∂ kLl = ejεjkl∂k[ −iεlmnxm∂ n] =−iej[ εljkεlmn] ∂k( xm∂n)
. Aqui usamos a identidade
εljkε lmn =δjmδkn −δjnδ km obtendo ∇× L=−iej[ δjmδkn −δjnδkm] ∂k( xm∂n)
que, na contração
com as δ’s, se transforma em ∇× L =− ie ∂ ( x ∂ ) − ∂ ( x ∂ )]. Desenvolvendo, obtemos
j[ k j k k k j
∇× L=−ie [ x ∂∂ +δ ∂ −x ∂∂ −∂( ∂x
)] que é transformado em
pois
∇ ×
j j k k kj k k k j j k k
3 3
∂xk
k= 1∂xk
k=
1
∂ x = = 1=
3
k
k
L = i[2∇ − r∇
∇× L=−ie [ x ∂ ∂ +∂ −x
∂ ∂ −3 ∂ ],
j j k k j k k j j
∑ ∑ . Portanto, ∇× L = i [2 e j∂j − e j x j∂k∂ k + x k∂k( e j∂j)]
2
2
+ ( r ⋅∇)
∇]
. Aplicando o Laplaciano ∇ ∇× L=∂ ∂ ∇× L
m
m
ij
, ou seja,
obtemos
2
∇∇× L= i[2( e ∂) ∂ ∂ −∂ ∂ ( e x )( ∂∂ ) +∂ ∂ ( x ∂)( e ∂)]
. Agora é só separar os
j j m m m m j j k k m m k k j j
termos em que a derivada ∂
m
se aplica em x dos outros para obter
2
∇∇× L= i{[2 e ∂ −( e x ∂∂ ) + ( x ∂)( e ∂)] ∂ ∂ +∂ ( δ ∂)( e ∂) −∂ ( e δ )( ∂∂)}
que
vira
j j j j k k k k j j m m m mk k j j m j mj k k
∇∇× = ∂ − ∂∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =∇× ∇
2 2
L i[2 ej j ( ejxj k k) ( xj j)( ej j)] m m ( L)
uma vez que