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Como v i e v′
i são nulos em S2:
∫
v
σ ′ n da= v′
σ
i ij j i ij j
S1 S1
∫
v
ou
∫
∫
f ′ da = v′
f da
i i i i
S1 S1
n da
(5. 38)
5.4.10 Presença de Singularidades ou Funções de Green
Vamos considerar o problema do escoamento devido a uma força pontual em
um meio infinito, cujas equações são:
∂σ =−f δ( r −r′
)
j ij i
σ =−pδ + 2µ
D
ij ij ij
∂ v = 0
i
i
(5. 39)
Pode‐se verificar que uma solução dessas equações, conhecida como Stokeslet, é
dada por:
1 f ( f ⋅ R)
R
v(r, f) = [ + ]
3
8πµ
R R
1 f ⋅ R
p(r,f)
=
3
4 π R (5. 40)
( f ⋅ R)
RR
i j
σ
ij(r,f)
=−
5
R
onde R= r − r′
e R=
|| R||
Claro que v ( r‐ h, f) e p( r‐ h,
f)
também são soluções e, dessa forma, podemos
escrever cada um dos termos da expansão em série de Taylor dessas funções em termos
de h, ou seja,
n
n
n ( h⋅∇)
n ( h⋅∇)
v( r − h, f) = ∑( −1) v( r, f) e p( r − h, f) = ∑( −1) p( r, f)
n! n!
n
n
(5. 41).
O primeiro termo na expansão é chamado de Doublet e é dado por:
1 ( f × h) × R ( f ⋅h) R 3( f ⋅R)( h⋅R)
R
v
D( r, f, h) = { −[ −
]}
3 3 5
8πµ
R R R
(5. 42)
1 ( f ⋅h) 3( f ⋅R)( h⋅R)
pD( r, f, h) =− [ −
]}
3 5
4π
R R
216