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pois em S1 vi
= v′
i e em S2 ambos são nulos. Agora, a dissipação do escoamento vi’ vale:
E(v ′) = 2µ D′ D′ dV = 2µ [ D′ D′ −( D′
− D ) D ] dV =
V
∫
ij ij ij ij ij ij ij
V
= 2µ D D dV + 2µ ( D′ −D )( D′
−D ) dV
V
∫
∫
∫
ij ij ij ij ij ij
V
(5. 36)
Isso significa que E(v ′) = E(v) + C e C ≥0
∴E(v ′) ≥ E(v)
. A menor dissipação é a
do movimento de “creeping motion”.
5.1.9.D Geometria Equivalente
Vamos supor um escoamento de Stokes devido um corpo C1, limitado pela
superfície S1, com velocidade U, i.e. ( )
v S = U, limitado pela superfície S na qual
i
1
v i = 0 . Vamos tomar outro corpo C2 com a mesma velocidade U, mas agora limitado
por S2, de tal forma que o corpo C1 está contido em S2. A mesma superfície S limita os
escoamentos nos dois casos. O campo de velocidade v 1 satisfaz as equações de
“creeping motion” entre S1 e S. Já para o campo v 2 vamos tomar uma velocidade que
satisfaz as equações de “creeping motion” entre S2 e S, mas é constante e igual à U entre
S2 e S1. Isso significa que v 2 não satisfaz as equações de “creeping motion” em todo o
espaço, mas é solenoidal em todo ele. Logo as condições do teorema de Dissipação
mínima são válidas e podemos afirmar que E(v ′) ≥ E(v)
. Por outro lado
E(v ′) = 2µ D′ ijD′ ij
dV + 2µ
D′ ijD′
ij
dV
∫
> < <
V S2 S1 V S2
∫
, mas D′
ij
= 0 no volume entre S1 e S2 porque a
∫ ∫ ∫
o que significa
velocidade é constante. Mas DijDij dV = Uiσ ijnj da = Ui σ
ijnj da = UiFi
que UF
i i
UF
i i
Fi Fi
V S S
′ ≥ ∴ ′ ≥ . A conclusão é que se um corpo contém outro e ambos se
deslocam com a mesma velocidade a força de arraste será maior para corpo que contém
o outro.
Daqui, podemos perceber a geometria equivalente. Criamos um corpo com uma
geometria G qualquer e um fator de escala λ que aumenta suas dimensões. A força de
arraste será uma função contínua e crescente de λ, F(λ). Vamos considerar agora um
corpo C de tal forma que C contém G(λ1) e G(λ2) contém C, conforme mostra a Figura
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