Faça o download da tese completa na versão em PDF - A Biblioteca ...

1
∂σ
j ij
= 0⇒∂j[ −pδ ij
+ 2µ Dij ] =−∂
ip+ 2µ∂ jDij = 0⇒∂ jDij = ∂ip
(5. 31)
2µ
1
Assim, I =− (v′ i
−v i) ∂i( p′
−p)
dV
2µ ∫ . Usando a mesma técnica anterior:
V
∂ [(v′ −v )( p′ − p)] =∂ [(v′ −v )]( p′ − p) + (v′ −v ) ∂ ( p′
− p)]
.
i i i i i i i i i
Mas ∂ (v′ − v ) =∂ v′
−∂ v = 0 logo
i i i i i i i
condições na superfície. Por outro lado:
I = ( D′ −D )( D′ − D ) dV = 0 ⇒ D′
= D ∀r∈V
e provamos a unicidade.
∫
V
ij ij ij ij ij ij
1
I = − (v′ i
−v i)( p′
− p)
njda=
0
2µ ∫ pelas
S
(5. 32)
5.4.9.C Teorema da Dissipação Mínima
Vamos supor agora dois campos de velocidades
v i e
v′
i em que v i satisfaz as
equações de “creeping motion” mas
v′
i satisfaz apenas a continuidade da massa, i.e.,
∂ v = 0. Além disso, a região de interesse está delimitada pelas superfícies S1, na qual
i i ′
v = v′ , e por S2, na qual v = v′ = 0 . O teorema da Dissipação Mínima afirma que a
i
i
i
i
menor dissipação possível é para o escoamento que satisfaz as equações de “creeping
motion”. A demonstração é semelhante à do teorema da Unicidade. Vamos partir de:
( ∂ v′ −∂ v ) D = [ D′ + W′ −D − W ] D = ( D′
− D ) D (5. 33)
j i j i ij ij ij ij ij ij ij ij ij
usando a contração de tensores simétricos com antisimétricos novamente. Por outro
lado, com os resultados anteriores, podemos colocar esses termos na forma própria para
usar o teorema da divergência:
Assim:
1
[ ∂ (v′ j i
− v
i)] Dij =∂ [(v′ j i
−v i) Dij] − (v′
i
−v i)
∂ip
2µ
∂ [(v′ − v ) p] = (v′
−v ) ∂ p ∴
i i i i i i
1
[ ∂ (v′ j i
− v
i)] Dij =∂ [(v′ j i
−v i) Dij] − ∂i[(v′
i
−v i) p]
2µ
∫ ∫ ∫
1 2
1 1
− (v′ i
− v
i) pnida
+ (v′
i
− v
i)
pnida
= 0
2µ ∫
2µ
∫
1 2
213
(5. 34)
( D′ − D) D dV= (v′ −v ) Dnda− (v′
−v ) Dnda
ij ij ij i i ij j i i ij j
V S S
S
S
(5. 35)