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5.4.7. Equação de Navier‐Stokes
Colocando então as fontes e sumidouros na equação da continuidade do momento
obtemos a equação de Navier‐Stokes
∂v
.
t
i
f i
+∂ j
σ ij
=ρ(v ⋅∇ )vi
+ρ ∂
5.4.8. Equação de Stokes ou “Creeping Motion”
∂vi
Vamos voltar à equação de Navier‐Stokes, fi + 2µ∂jDij
−ρv⋅∇ v=ρ ∂ t
.
Reescrevendo‐a na forma em função do número de Reynolds
L v vi
fL
i
2 [ L
jD ρ
∂
+ µ ∂
ij
− ⋅∇ v] =ρL (5. 24),
µ ∂ t
vemos que o mesmo aparece no termo que contém o gradiente de v, tornando‐o
desprezível. Para baixos números de Reynolds, portanto, a equação de Navier‐Stokes se
∂vi
reduz a fi + 2µ∂ jDij
=ρ . As equações de “creeping motion” para movimentos
∂ t
∂ v
estacionários = 0 são dadas por: ∂
jσ ij
=− fi
pela continuidade do momento e ∂
ivi
= 0
∂t
pela continuidade da massa, com a definição σ
ij
=−pδ ij
+µ ( ∂
ivj +∂
jv i
). Entretanto:
2
∂j[ −pδ ij
+µ∂
jvi +µ∂
iv j] =−∂
ip+µ∂j∂ jvi +µ∂∂
i jv j
= [ −∇ p+µ∇ v +µ∇( ∇⋅v)]
i
(5. 25)
e como ∇⋅ v
= 0 concluímos que as equações no regime viscoso são (“governing
equations”): µ∇ 2 v =∇p−
f junto com ∇ ⋅ v
= 0 . Na ausência de forças externas devemos
resolver
µ∇ 2 v = ∇p
com ∇⋅ v
= 0 . Como os operadores
2
∇ e ∇ ⋅ comutam entre si,
aplicando o divergente na primeira equação e usando a segunda obtemos a equação
escalar
laplaciano
p
0
2
∇ = para p, que significa que p é uma função harmônica. Já, aplicando o
v p p
2 2 2 2
µ∇ ∇ = ∇ ∇ = ∇∇ =
de velocidades é uma função biharmônica.
0
de modo que
4
∇ v =
0, significando que o campo
5.4.9. Teoremas Integrais em Escoamento de Stokes ou “Creeping Motion”
5.4.9.A Teorema da Dissipação
Vamos escrever as equações de Stokes na forma: ∂ σ = 0 , D =∇⋅ v = 0 . Vejamos
quanto vale ∂j(v iσ ij)
: ∂j(v iσ ij
) = vi∂jσ ij
+σij∂ jv i
=σ
ij( Dij + Wij ) =σ
ijDij
pois σ
ijWij
= 0
211
j
ij
ii