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εijk∂ juk =−εijk∂ kuj
pela antisimetria do ε
ijk
, de modo que w= eiεijk∂ juk
=∇× u . Isso
significa que
7
w×δ X = ( ∇× u) ×δ X =−ew i ikδXk
é apenas uma rotação de um corpo rígido
do tipo v
=ω×
r , pois nesse caso ∇× v
= 2ω
portanto, é dada apenas pela componente simétrica
e
1
ω× r =
2 ( ∇× v)
×
r . A deformação,
1
η
2 ( )
ij
=η
ji
= ∂
iuj +∂
jui
.
5.4.6. Lei de Hooke Generalizada.
A lei de Hooke generalizada estabelece uma relação linear entre os tensores das
tensões e deformação na forma π ij = Cjiklη kl , onde C jikl agora é um tensor de rank 4 com
3 4 = 81 elementos. As simetrias diminuem o número de elementos distintos. Por
exemplo, π ij =π ji implica que Cjikl = Cjikl
enquanto η kl = η lk implica em Cjikl = Cjilk
.
∂Energia
∂E
Existe mais uma simetria pelo fato de que Cijkl = = = Cklij
. Essas
∂η ∂η ∂η ∂η
ij kl kl ij
simetrias trazem o número de elementos distintos para apenas 21. Se o meio é isotrópico
C
ijkl
pode ser decomposto nos 3 tensores isotrópicos A
ijkl
= δδ
ij kl
, B
ijkl
=δikδ jl
+δilδ jk
e
D =δ δ −δ δ , de forma que C = aδ δ + b( δ δ +δ δ ) + c( δ δ −δ δ ). O tensor
ijkl ik jl il jk
ijkl ij kl ik jl il jk ik jl il jk
das tensões será dado por π = aδ δ η + b( δ δ +δ δ ) η + c( δ δ −δ δ ) η , mas como
ij ij kl kl ik jl il jk kl ik jl il jk kl
ηij é simétrico o terceiro termo se anula e π = aη δ + 2bη =−pδ + 2µη , onde p é a
ij kk ij ij ij ij
pressão e µ a “shear viscosity”. Até aqui temos usado a notação para elasticidades. A
notação da mecânica dos fluidos faz a troca de
π ij por
σ ij e
η ij por
D ij , na forma
σ =−pδ + 2µ D e
ij ij ij
1
D
2 ( )
ij
= ∂
iuj +∂
jui
.
7
1 1
w×δ X= eiεijkwj δ Xk = eiεijkεjlmwlm δ Xk = ei( δlkδmi −δliδmk ) wlm δ Xk
=
2 2
1
= ei( wki −wik)
δ Xk =−ew i ikδXk
2
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