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π 22 π 11 π 22
π 12
π 21
π 21
π 12
π 11
π 12
π 21
π 11
Figura 126. Tensão homogênea e as forças.
Figura 127. Deformação.
Vamos considerar dois pontos de um corpo
ur
( )
δ Y
inicialmente em P 0 e Q 0 que se movem
para os pontos P 1 e Q 1, como mostra a
δ X
Q o
P 1 P o Q 1
ur
(
+ δ
X
)
Figura 127. Isso não significa que houve
uma deformação pois o corpo pode ter
simplesmente transladado e girado sem
deformar.
Para haver deformação, portanto, é necessária a existência de uma deformação.
Se ur ( ) = ur ( +δ
X)
só ocorreu uma translação, logo só haverá deformação se
δ u= u( r +δX) −u( r)
≠0
, embora isso ainda não descarte a possibilidade de ter
acontecido apenas uma rotação. Expandindo δu em série de Taylor até primeira ordem
δ u= u( r) + ( δX⋅∇) u( r) − u( r) = ( δX⋅∇) u( r)
, vemos que δ ui =δXk∂ kui
onde ∂
kui
é um
tensor de rank 2. Todo tensor de rank 2 pode ser decomposto em um tensor simétrico e
um antisimétrico pois:
portanto
1 1
Γ
ij
= ( Γ
ij
+Γ
ji
) + ( Γij −Γ
ji
) = Sij + Aij
(5. 23),
2 2
1 1
∂
kui = ( ∂
kui +∂
iuk) + ( ∂kui −∂
iuk)
=η
ik
+ wik. Analisando a parte antisimétrica
2 2
percebemos que se trata de uma rotação apenas, pois o tensor antisimétrico de
dimensão 3 pode ser associado a um vetor dual na forma
1 1
w= ε
ijkwjkei = ei εijk( ∂juk −∂kuj
)
2 2
ijk j k ikj k j
, onde ε
ijk
é o tensor de Levi‐Civita. Entretanto,
ε ∂ u =ε ∂ u por simples troca de letras dos índices mudos j e k, mas
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