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Já a inclusão do senϕ leva a:
ρ+ρ 2ρρcos( ϕ−ϕ)
ρ+ρ
−
ω ω ω − ϕ imϕ
2 2 2 2
0 0 0 0
− ∞
2 2 2
0 0 0
im
0
e − e ⎛2ρρ
⎞
0
sen ϕ e e = e ∑ e e Im
2
=
m=−∞
2i
⎜ ω ⎟
⎝ 0 ⎠
iϕ
−iϕ
2 2
ρ+ρ0
− ∞
ω
2
0 − im ϕ
0
im ( 1) im ( 1) 2 0
(
+ ϕ − ϕ
⎛ ρρ
∑
) m
⎜ 2
m=−∞
ω0
1
⎞
= e e e − e I
=
2i
⎟
⎝ ⎠
⎧
⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
= e ⎨ e e I ⎜ ⎟
− e I
⎜ ⎟⎥
+
⎪ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦
2 2
ρ+ρ0
− ∞
ω
2
⎪ 1
0
im ϕ
⎡ − im ( + 1) ϕ 2ρρ
0 0 − im ( − 1) ϕ 2ρρ
0
0
∑ ⎢
m+ 1 2 m−1
2
2i
m=−∞
⎢
ω0 ω0
⎪⎩ m≠0
⎛2ρρ
⎞⎤
0
e − e I1 ⎜ =
2 ⎟⎥
0
⎡ 1 (
iϕ0 −iϕ0
⎢
)
2i
⎜ ω ⎟
⎢⎣
⎝ ⎠⎥⎦
2 2
ρ+ρ
⎧⎡
⎤
⎫
0
− ∞
2 1
0
im im
0
i 2
0 0 i 2
0
0 2 0
e ω ⎪
⎢
e ϕ
e − ϕ
⎡
e − ϕ
⎛ ρρ ⎞
Im
1 e ϕ
⎛ ρρ ⎞⎤⎥
⎛ ρρ ⎞
⎪
= ⎨⎢
∑ ⎢ + I
2 m−1 sin
2 0I1
2
2i
⎜ ⎟
− ⎜ ⎟⎥⎥+ ϕ ⎜ ⎟⎬=
⎪
m=−∞
⎢⎣
⎝ ω0 ⎠ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦
⎝ ω0
⎠⎪
⎪⎩⎢⎣
m≠0
⎥⎦
⎪⎭
2 2
ρ+ρ
⎧⎡
⎤
⎫
0
− ∞
2 1
0
im im ( 1) 2
0 0 2i
2
0
0 2 0
e ω ⎪⎢
e ϕ
e − − ϕ
⎡ ⎛ ρρ ⎞
Im
1 e − ϕ
⎛ ρρ ⎞⎤⎥
⎛ ρρ ⎞
⎪
= ⎨⎢
∑ ⎢ − I
2 − m+
1 sin
2 ⎥⎥+ ϕ0I1
2
⎬ (3. 180)
2i
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪
m=−∞
⎢⎣
⎝ ω0 ⎠ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦
⎝ ω0
⎠⎪
⎪⎩⎢⎣
m≠0
⎥⎦
⎪⎭
Com isso, os campos radiais elétrico e magnético ficam dados por:
2 2
ρ+ρ0
∞ −
2
m ikz 1
0
( 1) 2
0 0 2 2
0
0
0 sin ω ⎪ im ϕ − im − ϕ ρρ − i ϕ ρρ
r = ∑ θ ⎢ m− 1 +
2 m+
1 2
m=−∞
⎩
2
⎢ ω0 ω0
m≠0
⎧ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
E E e e ⎨ e e I ⎜ ⎟
e I
⎜ ⎟⎥
⎪ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦
⎛ ⎞⎫
+ cosϕ → = θ
∞
2ρρ0
⎪ m ikz imϕ
m
0I1 ⎜ 2 ⎟⎬⎟
Er
∑ E0e sin e Fr
⎝ ω0
⎠⎭⎪
m=−∞
m≠0
(3. 181)
2 2
ρ+ρ0
∞ −
2
m ikz 1
0
( 1) 2
0 0 2 2
0
0
0 sin ω ⎪ im ϕ − im − ϕ ρρ − i ϕ ρρ
r = ∑ θ ⎢ m− 1 −
2 m+
1 2
m=−∞
2i
⎩
⎢ ω0 ω0
m≠0
⎧ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
H H e e ⎨ e e I ⎜ ⎟
e I
⎜ ⎟⎥
⎪ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦
(3. 182).
⎛ ⎞⎫
+ sin ϕ → = θ
∞
2ρρ0
⎪ m ikz imϕ
m
0I1 ⎜ 2 ⎟⎬⎟
Hr
∑ H0e sin e Ir
⎝ ω0
⎠⎭⎪
m=−∞
m≠0
Agora podemos usar uma relação em m das funções modificadas de Bessel
I− m( x) = Im( x)
para limitar os somatórios de m = 0 até infinito, isolando o termo com
m = 0 , reescrevendo as expressões acima como:
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