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Nesse ponto, economizamos páginas de álgebra em relação ao artigo de
Gouesbet e seu grupo [38, 39, 40] fazendo
i
t = e ϕ → na função geratriz para as funções
modificadas de Bessel,
para reencontrar a fórmula
dependência azimutal diretamente como:
1 1
zt ( + )
t m
m
∞
zcosϕ
imϕ
e e I m ( z)
m=−∞
e2 = ∑ t I ( z)
(3. 176)
= ∑ que nos permite explicitar a
2 2 2 2
ρ+ρ0 2ρρ0 cos( ϕ−ϕ0)
ρ+ρ0
− − ∞
2 2 2
ω ω ω im( ϕ−ϕ ) ⎛2ρρ
⎞
0 0 0 0
e e = e e I 0
∑ m
2
(3. 177)
⎜ ⎟
m=−∞
⎝ ω0
⎠
Para o campo elétrico falta incluir um cosϕ e para o magnético um senϕ.
Incluindo o cosϕ obtemos:
2 2 2 2
ρ+ρ 2ρρcos( ϕ−ϕ)
ρ+ρ
0 0 0 0
− − ∞ iϕ −iϕ
2 2 2
ω ω ω −imϕ 2
0 0 0 0
imϕ
e + e ⎛ ρρ ⎞
cos ϕ e e = e e e I 0
∑
m
=
2 ⎜ 2
⎟
m=−∞
⎝ ω0
⎠
2 2
ρ+ρ0
− ∞
ω
2
0 − im ϕ
0
im ( 1) im ( 1) 2 0
(
+ ϕ − ϕ
⎛ ρρ
) m ⎜ 2
m=−∞
ω0
1
⎞
= e ∑ e e + e I ⎜ 2
⎟
(3. 178)
⎝ ⎠
Como nosso objetivo é obter um campo do tipo E (,) r θ e redefinimos os m´s
das somatórias para expressar ψ 0 na forma:
m
r
imϕ
⎧
⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
= e ⎨ e e I ⎜ ⎟
+ e I
⎜ ⎟ ⎥
⎪ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
2 2
ρ+ρ0
− ∞
ω
2
⎪1
0
im ϕ
⎡ − im ( + 1) ϕ 2ρρ
0 0 − im ( − 1) ϕ 2ρρ
0
0
∑ ⎢
m+ 1 2 m−1
2
2
m=−∞
⎢
ω0 ω0
⎪⎩ m≠0
1 2
(
iϕ0 −iϕ
⎛ ρρ ⎞
0 )
0 ⎪
e e I1 ⎜ 2 ⎟⎥⎬
0
⎡ ⎤⎫
+ ⎢ + =
2
⎜ ω ⎟
⎣⎢
⎝ ⎠⎥⎦⎭
⎪
2 2
ρ+ρ
⎧⎡
⎤
⎫
0
− ∞
2 1
0
im im
0
i 2
0 0 i 2
0
0 2 0
e ω ⎪
⎢
e ϕ
e − ϕ
⎡
e − ϕ
⎛ ρρ ⎞
Im
1 e ϕ
⎛ ρρ ⎞⎤⎥
⎛ ρρ ⎞⎪
= ⎨⎢
∑ ⎢ + I
2 m−1 cos
2 0I1
2
2
⎜ ⎟
+ ⎜ ⎟⎥⎥+ ϕ ⎜ ⎟⎬=
⎪⎢
m=−∞
⎣⎢
⎝ ω0 ⎠ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦⎥
⎝ ω0
⎠⎪
⎪⎩⎢⎣
m≠0
⎥⎦
⎪⎭
2 2
ρ+ρ
⎧⎡
⎤
⎫
0
− ∞
2 1
0
im im ( 1) 2
0 0 2i
2
0
0 2 0
e ω ⎪
⎢
e ϕ
e − − ϕ
⎡ ⎛ ρρ ⎞
Im
1 e − ϕ
⎛ ρρ ⎞⎤⎥
⎛ ρρ ⎞
⎪
= ⎨⎢
∑ ⎢ − I
2 + m+
1 cos
2 ⎥⎥+ ϕ0I1
2
⎬ (3. 179)
2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪⎢
m=−∞
⎢⎣
⎝ ω0 ⎠ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦⎥
⎝ ω0
⎠⎪
⎪⎩⎢⎣
m≠0
⎥⎦
⎪⎭
113