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Fazendo, A=
A()
r e −ω
i t
5. E= −∇φ − ∂A ∂t
(3. 149)
i t
e φ=φ( re )
− ω , ficamos com:
2 2
1. ∇ A + k A=
0 ,
2 2
2. ∇ φ+ k φ= 0 ,
c
3. φ =−i
∇⋅A
,
k
c
4. E= i ∇∇⋅ ( A)
+ω i A e
k
5. B= ∇× A (3. 150)
No formalismo de Davis, o potencial vetor A é linearmente polarizado na forma
A = eˆ
ψ( r) e
ikz . Para usar a equação 1 logo acima precisamos de:
x
2 ikz ikz 2 ikz 2 ikz 2 ∂ψ
∇ [ ψ ( re ) ] = e ∇ ψ ( r) + 2 ∇ψ⋅∇ e +ψ( r) ∇ e ⇒∇ ψ ( r) + 2ik = 0, ou seja,
∂ z
2 2 2
∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ
+ + + 2ik
= 0
x
2 y
2 z
2
∂ ∂ ∂ ∂ z
(3. 151)
rearranjando essa equação e usando k e ω 0 obtemos:
2 2 2 2
∂ψ ∂ψ ω0
∂ψ ∂ψ
2
+
2
+
2 4
2
+ 2i
= 0
⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ k ω0
⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞
∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ∂
2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ω k
0 ⎠ ⎝ω0 ⎠ ⎝kω ω
0 ⎠ ⎝ 0 ⎠
(3. 152)
e, finalmente, redefinindo as coordenadas da forma:
ξ= x ω
0
, y
0
η= ω e
2
ζ = z ( kω 0
) e s 1 k
0
= ω (3. 153),
chegamos à equação final:
2 2 2
∂ψ 1
+ ∂ψ + ∂ψ + 2i
∂ψ = 0
∂ξ ∂η ω ∂ζ ∂ζ
2 2 2 2 2
k 0
(3. 154).
Para analisar as ordens de grandeza notamos que:
1 1
s = kω
= 2 π 0 ω
λ
0
e ω0
≈λ, então
1
s < é pequeno.
2 π
108