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2 ∂ ρ 2 ∂ ρ
∇⋅ E=−∇ φ− ∇⋅ A= ⇒∇ φ+ ∇⋅ A=−
(3. 144)
∂t
ε ∂t
ε
Já,
2 ∂E
2
∂ ∂A
∇× B=∇×∇× A=−∇ A+∇( ∇⋅ A) =µ J +µε ⇒∇ A−∇( ∇⋅ A) =−µ J−µε [ −∇φ− ]
∂t ∂t ∂t
2 2
∂φ ∂ A
2 ∂ A ∂φ
= −µ J + µε[ −∇ + ] ⇒ ∇ A− µε − ∇[ ∇ . A+ µε ] = −µ J
2 2
(3. 145)
∂t
∂t
∂t
∂t
2
usando µε = 1 c ,
2
2 1 ∂ A 1 ∂φ
∇ A − −∇[ ∇⋅ A+ ] =−µ J
2 2 2
(3. 146)
c ∂t c ∂t
sem cargas, ρ= 0 e J = 0 , ficamos com
1. B= ∇× A ,
2. E= −∇φ − ∂A ∂t,
2 ∂
3. ∇ φ+ ∇⋅ A = 0 e
∂t
2
2 1 ∂ A 1 ∂φ
4. ∇ A− −∇[ ∇⋅ A+ ] = 0
2 2 2
c ∂t c ∂t
1 ∂φ
Usando o calibre de Lorentz, onde∇ ⋅ A + = 0
2
c ∂t
(3. 147).
e substituindo na equação 3
para φ, temos
2
2 ∂
2 ∂ 1 ∂φ 2 1 ∂ φ
∇φ+ ∇⋅ A =∇φ+ [ − ] =∇φ− = 0
2 2 2
∂t ∂t c ∂t
c ∂t
(3. 148)
Assim, vemos que no calibre de Lorentz as seguintes equações são válidas:
2
2 1 ∂ A
1. ∇ A − = 0 ,
c
2 t
2
∂
2 1 ∂φ
2. ∇ φ− = 0 ,
2 2
c ∂t
1 ∂φ
3. ∇ ⋅ A + = 0 ,
2
c ∂t
4. B= ∇× A e
107
2