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A receita para encontrar os coeficientes da expansão
m
g nTM e
m
g nTE é a seguinte:
1. Expandir as componentes radiais dos campos elétricos e magnéticos em modos
azimutais na forma Er(, r , ) Er(,) r e
im ϕ
θϕ = ∑ θ e Hr(, r , ) Hr(,) r e
im ϕ
θϕ = ∑ θ .
m
r
m
r
2. Criar as novas funções F (,) r θ e I (,) r θ através da remoção dos modos azimutais
das contribuições de ondas planas, isto é,
m ikz m
r
r
m ikz m
r
r
E = E0 sen θ e F e H = H0 sen θ e I .
1. Aplicar o operador localização nas funções F (,) r θ e I (,) r θ , transformando‐as em
ˆ m m
GF = F n + / k, π/
r
r
m
r
⎡⎣( 1 2)
2⎤⎦ e m m
r r ⎡ ( )
m
r
GI ˆ = I ⎣ n + 1 / 2 k, π/
2 ⎤⎦ .
4. Multiplicar as expressões resultantes pelos fatores de normalização
Z
m −1
m nn ( + 1) i ⎡ −i
⎤
n = δ m,0 + −δm,0
n+ 1/2 ⎢n+
1/2⎥
⎣ ⎦
(1 ) .
m m m
nTM n r
5. Os coeficientes de forma do feixe da expansão são dados por g = Z Gˆ( F ) e
g
= Z Gˆ( I ) .
m m m
nTE n r
Os autores validaram essa receita em muitas situações diferentes que
demonstraram ser uma boa aproximação para a expansão em ondas parciais de feixes
paraxiais. Nós vamos utilizá‐la na descrição de Davis.
3.2.2 Aproximação de Davis e a Descrição do Feixe Incidente
O primeiro passo é encontrar a expressão para os campos elétricos e magnéticos
de um feixe gaussiano focalizado paraxial na representação de Davis com a polarização
na direção x. Davis utiliza uma expansão em série em termos do parâmetro s= 1 kω 0 ,
onde ω 0 é o “beam size” ou “spot size” e k o número de onda, truncada em alguma
potência de s. Quanto maior a potência de s, melhor é a aproximação.
Para fazer essa aproximação voltamos às equações de Maxwell. Se ∇ ⋅ B = 0
podemos escrever o campo magnético como B= ∇× A e usando ∇× E=−∂B ∂t⇒
∇× E=−∇×∂A ∂t⇒
∇× [ E+∂A ∂ t] = 0⇒ E+∂A ∂ t =−∇φ , podemos escrever o campo
elétrico como E=−∇φ−∂A ∂t. Temos então que,
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