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3.2.1 Aproximação da Integral Localizada
Vamos procurar apresentar os feixes incidentes na forma mais apropriada para a
aplicação da Aproximação da Integral Localizada proposta pela primeira vez por
Gouesbet [44] e bem sintetizada por Ren, Gouesbet e Gréhan [45] em uma receita com
um conjunto de 5 regras para evitar o cálculo das integrais da seção 3.1.2 e utilizadas
nas determinação dos coeficientes das ondas parciais. O princípio da localização foi
proposto por Van de Hulst que fez um paralelo entre a teoria eletromagnética de Mie e
a posição de um raio da óptica geométrica, percebendo que a função esférica de Bessel
jn ( kr ) vai a zero para kr < ( n + 1
2
). Ao expandir uma onda em ondas parciais, as
m
2 2
componentes com j ( kr) Y carregam L = n( n+
1) e p = k, como L= r×
p
n
n
⇒ L= bp⇒ b= L P= n( n+
1) k, para n grande nn ( + 1) = n (1+ 1 n) ≅ n(1+
1 2 n)
= n +12, então o parâmetro de impacto b será b≅ ( n+
1 2) k. Por isso, Van de Hulst
associou o número do modo n a um raio que cruza a partícula na distância
( n 1
)
r = λ
2π
+
2
de seu centro. Dessa forma, Ren, Gouesbet e Gréhan construíram o
operador localização G ˆ n que atua apenas nas funções de r e θ transformando kr em
1
n + e θ em π / 2 , deixando intactas as funções de ϕ. Veja por exemplo a Figura 70 a
2
abaixo, jn( kr ) em função de ρ = kr para n=20, jn( kr ) vai a zero para
r< ( n+ 1 ) (20 1
2
≈ +
2
) ≈ 20. Analogamente, vemos outro exemplo na Figura 70 b, agora
de jn( kr ) em função de n para ρ = 20, vemos que jn( kr ) vai a zero para
n> ( r−1 ) (20 1
2
≈ −
2
) ≈ 20.
0.2
0.1
- 0.1
0.2
0.1
a) b)
10 20 30 40
10 20 30 40
- 0.1
Figura 70. Princípio da localização. a. jn( kr ) em função de ρ. b. jn( kr ) em função de n.
- 0.2
105