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π
π
I = dθ θ θ E E − −i − i e ×
{
* n′+ 1 n+ 1 2iρ
∫ sen cos
n n′
2Re ( ) ( )
2k
(3. 119)
3 2
0
∑
[ an n n′ bn n n′ an n n′ an n n′ an n n′ bn n n′ bn n n′ bn n n′
]}
× τ π + π π − π π − τ τ + π τ − τ π − π τ + τ τ
Usando as soluções dessas integrais em θ demonstradas por Gouesbet [33],
temos,
( 2n
+ 1)
4π 2 π nn ( + 2)
I E a b E b b a a
∞
∞
2 * 2
* *
1
=
2 0 ∑
n n+ ∑ 2 0
⎡
n n+ 1+
n n+
1
k n= 1 n( n+ 1) n=
1 k ( n+
1)
⎣
∞
2 π 2 ( n+ 1)( n−1)
* *
+ ∑ E
2 0
⎡bnbn−
1+ anan−
1⎤=
k n
⎣
⎦
n=
1
⎤⎦
(3. 120)
Na terceira somatória fazemos n− 1= n→ n= n+ 1, pois ela poderia começar de 2
por causa do n − 1 e obtemos:
( 2n
+ 1)
4π 4 π nn ( + 2)
I E ⎡⎣a b ⎤⎦ E ⎡⎣b b a a ⎤⎦
∞
∞
2 * 2
* *
1
=
0
Re
2 n n
+
2 0
Re
n n+ 1+
n n+
1
k n= 1 n( n+ 1) k n=
1 ( n+
1)
∑ ∑ (3. 121)
Agora para I 2 ,
2
∞ ∞ ∞
π E ⎧
0 ⎪ ⎧ 2 nn ( + 2) 2( n+ 1)( n− 1) ⎛ 2n+
1 ⎞ ⎫⎫ ⎪⎪
I2 =− 2Re
2 ⎨ ⎨∑ [ an+ 1+ bn+ 1] + ∑ [ an−1+ bn−1] + ∑2⎜
⎟[ an + bn]
⎬⎬
2 k ⎩⎪
⎩n= 1 ( n+ 1) n= 1 n n=
1 ⎝n( n+
1) ⎠ ⎭⎭ ⎪⎪
(3. 122)
Fazendo na primeira somatória n+ 1= n→ n= n− 1 e na segunda
n− 1= n→ n= n + 1:
2
∞
2π
E0
2 2
k n=
1
{ [ ]}
I =− ∑ Re (2n+ 1) an + b (3. 123)
n
Quanto a I 3 , vamos deixá‐la por enquanto na sua forma integral.
De maneira similar, temos para o campo magnético H ,
n+ {() 1 −iρ
n+
[ ] ( ) 1
iρ
[ ] }
k senϕ
Hiθ
= ∑ En i e πn −τ n + −i π n +τn
e (3. 124)
µω 2ρ n+ {() 1 −ρ i
n+
[ ] ( ) 1 iρ[ ]}
k cosϕ
Hiϕ
=− ∑ En i e πn −τn − −i e π n +τn
(3. 125)
µω 2ρ +
{( ) 1 ρ
[ ]}
k senϕ
n i
Hsθ
= ∑ En −i e bnτ n + anπn
(3. 126)
µω ρ
98