Faça o download da tese completa na versão em PDF - A Biblioteca ...

n+ 1 n′
+ 1
( i) ( i) [ an n bn n][ n′ n′
]}
n+ 1 n′
+ 1
{( ) ( ) [ ][ ]
2
* sen ϕ *
sϕ
iϕ
=
2 ∑ n n′ − nπ n + nτn πn′ −τn′
E E E E i i a b
2ρ
− − π + τ π −τ
(3. 115)
2π
∫
0
Agora já podemos fazer as integrais em ϕ :
Para Fz
→ e ˆ = cosθ→
rz
2π
2π
2 2
∫ cos ϕ dϕ= ∫ sen ϕdϕ=π, e para
0 0
2π
2π
2 2
F → e = senθcos ϕ e F → e = senθsenϕ⇒ cos ϕcos ϕ dϕ= cos ϕsen ϕ dϕ=
0
x rx y ry
∫ ∫ .
0 0
Portanto, só haverá força em z, como já sabíamos pela simetria do problema.
Continuando o cálculo de acordo com o apêndice,
n′+ 1 n+ 1 iρ
{{ ( ) ( ) [ ][ ]}
* * * π
2
( EE θ θ + EE ϕ ϕ)
dϕ= ∑ EE n n′ − −i −i e π
2
n′ −τn′
anτ n + bnπn −anπn−bnτn
−
2ρ
n+ 1 n′
+ 1 −2 iρ
* * * *
{() i () i e [ πn −τn]
⎡an ′ n′ bn′ n′ an′ n′ bn′ n′
⎤
⎣
τ + π − π − τ
⎦}
−
n+ 1 n′
+ 1
{( −i) ( i) [ π n′ +τn′
][ anπ n + bnτ n + anτ n + bnπn]
} −
n+ 1 n′
+ 1 * * * *
{() i ( −i) [ π n +τn]
⎡an ′ π n′ + bn′ τ n′ + an′
n′ bn′ n′
⎤
⎣
τ + π
⎦}
+
n+ 1 n′
+ 1 * * * *
{ 2( −i) ( i) {[ anτ n + bnπn]
⎡an ′ n′ bn′ n′ ⎤} { ⎡an ′ n′ bn′ n′
⎤
⎣
τ + π
⎦
+
⎣
π + τ
⎦[ anπ n + bnτn]
}}
(3. 116)
Rearranjando os termos de
EE
+ EE e chamando o último de I
1
,
* *
θ θ ϕ ϕ
temos
2 π
* * * *
I1 = ∫dθsen θcos θr ∑ − i i E E b b + a a τ τ +π π + 2a b π τ +τ π
2
ρ
⎣ ⎦
(3. 117)
n+ 1 n′
+ 1
( ) ( ) n n′ { ⎡
n n′ n n′ ⎤[ n n′ n n′ ] n n′ [ n n′ n n′
]}
Já os terceiro e quarto termos ficam como I
2
,
π
2 π * 1 1
2 = ∫ θ senθcos
θ ∑ 2 n n′ { − − n+ n πnπ n′ +τnτ n′ + n+ n τnπ n′ +πnτn′
2ρ ⎣
0
n+ n′
+
( ) ( ) 2Re ⎡[ ][ ] [ ][ ] ⎤}
I d r E E i i a b a b
(3. 118)
⎦
Só falta agora, definir a integral I3
que é referente aos primeiros e segundos
termos,
97