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Universi<strong>da</strong>de Estadual de Campi<strong>na</strong>s<br />
Instituto de Física Gleb Wataghin<br />
Tese de Doutorado<br />
Sist<strong>em</strong>a de Micromanipulação e<br />
Microanálise com Pinças Ópticas<br />
Adria<strong>na</strong> Fontes<br />
Orientador: Prof. Dr. Carlos Lenz Cesar<br />
Banca Exami<strong>na</strong>dora:<br />
Prof. Dr. Ricardo de Carvalho Ferreira<br />
Prof. Dr. Herch Moysés Nussenzveig<br />
Prof. Dr. Antonio Manoel Mansa<strong>na</strong>res<br />
Prof. Dr. Luiz Carlos Barbosa
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA<br />
BIBLIOTECA DO IFGW - UNICAMP<br />
F737s<br />
Fontes, Adria<strong>na</strong><br />
Sist<strong>em</strong>a de micromanipulação e microanálise com<br />
pinças óticas / Adria<strong>na</strong> Fontes. -- Campi<strong>na</strong>s, SP :<br />
[s.n.], 2004.<br />
Orientador: Carlos Lenz Cesar.<br />
Tese (doutorado) - Universi<strong>da</strong>de Estadual de<br />
Campi<strong>na</strong>s, Instituto de Física “Gleb Wataghin”.<br />
1. Pinças óticas. 2. Análise espectral. 3. Células.<br />
4. Microanálise. 5. Microscópio e microscopia.<br />
6. Lasers. I. Cesar, Carlos Lenz. II. Universi<strong>da</strong>de<br />
Estadual de Campi<strong>na</strong>s. Instituto de Física “Gleb<br />
Wataghin”. III. Título.<br />
(vsv/ifgw)<br />
-Título <strong>em</strong> inglês: Micromanipulation and microa<strong>na</strong>lysis in an optical tweezers syst<strong>em</strong>s<br />
- Palavras-chave <strong>em</strong> inglês (Keywords):<br />
1. Optical tweezers<br />
2. Spectrum a<strong>na</strong>lysis<br />
3. Cells<br />
4. Microa<strong>na</strong>lysis<br />
5. Microscope and microscopy<br />
6. Lasers<br />
- Área de concentração: Física<br />
- Titulação: Doutora <strong>em</strong> ciências<br />
- Banca exami<strong>na</strong>dora:<br />
Prof. Carlos Lenz Cesar<br />
Prof. Ricardo de Carvalho Ferreira<br />
Prof. Luiz Carlos Barbosa<br />
Prof. Herch Moysés Nussenzveig<br />
Prof. Antonio Manoel Mansa<strong>na</strong>res<br />
iii
Agradecimentos<br />
Gostaria de agradecer especialmente:<br />
• Ao meu orientador Prof. Carlos Lenz Cesar pelo estímulo e atenção.<br />
• Aos meus pais, especialmente à minha mãe Leonides Gandini, pelo incentivo e compreensão.<br />
• Aos meus amigos: Antônio, Wendel, André, Lilia<strong>na</strong>, Diogo, Herculano e Eugênio de<br />
Campi<strong>na</strong>s e também Patrícia e Beate de Recife.<br />
• Às agências FAPESP, CAPES e CNPq pelo suporte fi<strong>na</strong>nceiro.<br />
• Ao H<strong>em</strong>ocentro e à Profa. Selma Giorgio do Departamento de Parasitologia do Instituto de<br />
Biologia <strong>da</strong> UNICAMP pelo fornecimento de amostras, discussões e idéias.<br />
iv
Resumo<br />
A pinça óptica é um instrumento capaz de aprisio<strong>na</strong>r e mover partículas <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de<br />
micrômetros, consistindo basicamente de um laser infravermelho fort<strong>em</strong>ente focalizado que<br />
incide sobre um objeto com índice de refração maior do que o meio ao seu redor. As forças que<br />
uma pinça óptica exerce sobre uma partícula são <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de f<strong>em</strong>to a pico Newtons. Por esse<br />
motivo sua principal aplicação é no mundo microscópico, especialmente no estudo de células e<br />
organelas, que pod<strong>em</strong> ser manipula<strong>da</strong>s individualmente s<strong>em</strong> qualquer <strong>da</strong>no térmico. Neste<br />
trabalho abor<strong>da</strong>mos aspectos teóricos e experimentais relacio<strong>na</strong>dos às pinças ópticas. No<br />
capítulo 2, <strong>em</strong> conjunto com a descrição <strong>da</strong>s várias montagens utiliza<strong>da</strong>s nesta Tese, <strong>da</strong>mos<br />
especial atenção ao funcio<strong>na</strong>mento de uma pinça óptica e aos pontos cruciais para entendê‐la e<br />
utilizá‐la. No capítulo 3, faz<strong>em</strong>os uso de sua ultra‐sensibili<strong>da</strong>de tanto para observar<br />
ressonâncias de Mie <strong>em</strong> microesferas captura<strong>da</strong>s e ilumi<strong>na</strong><strong>da</strong>s por on<strong>da</strong>s pla<strong>na</strong>s e feixes<br />
focalizados. Nesse mesmo capítulo também realizamos uma medi<strong>da</strong> dinâmica <strong>da</strong> sua<br />
intensi<strong>da</strong>de <strong>em</strong> função <strong>da</strong> distância do foco do laser ao centro <strong>da</strong> partícula. Os resultados<br />
obtidos revelam o papel fun<strong>da</strong>mental <strong>da</strong> polarização <strong>da</strong> luz <strong>na</strong> força <strong>da</strong> pinça óptica e só pod<strong>em</strong><br />
ser explicados com o formalismo <strong>da</strong> óptica eletromagnética. No capítulo 4, mostramos que é<br />
possível unir a capaci<strong>da</strong>de de manipulação <strong>da</strong> pinça óptica com a de caracterização de<br />
diferentes técnicas espectroscópicas lineares e não lineares, colocando‐as <strong>em</strong> um mesmo<br />
sist<strong>em</strong>a. Com esse acoplamento fomos capazes de fazer espectroscopia Raman, Hiper Raman,<br />
Hiper Rayleigh e fluorescência excita<strong>da</strong> por absorção de 2 fótons <strong>em</strong> materiais biológicos e<br />
outras amostras. No capítulo 5, mostramos que uma calibração <strong>da</strong> pinça óptica nos possibilita<br />
medir forças <strong>em</strong> partículas microscópicas e aplicamos a mesma <strong>na</strong> medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> força do parasita<br />
leishmania, encontrando valores tão pequenos quanto 200 f<strong>em</strong>to Newtons. Também utilizamos<br />
esse instrumento para medir a elastici<strong>da</strong>de de h<strong>em</strong>ácias normais, estoca<strong>da</strong>s, irradia<strong>da</strong>s e<br />
falciza<strong>da</strong>s. Fechamos a Tese com o capítulo 6 que traz uma conclusão geral e perspectivas.<br />
v
Abstract<br />
The optical tweezers is a tool capable of capturing and manipulating particles of micrometers<br />
order. The optical tweezers, basically, consists of a tightly focused infrared laser incident on a<br />
particle with refractive index larger than the surrounding media index. The optical forces<br />
actuating on the particle are of order of f<strong>em</strong>to to pico Newtons. For this reason, the main<br />
application of an optical tweezers is in the microscopic world, especially in the study of cells<br />
that can be manipulated individually without thermal <strong>da</strong>mage. In this work, we treat of<br />
theoretical and experimental aspects related to the optical tweezers. Chapter 2 contains the<br />
description of the set‐ups used in this thesis. Special <strong>em</strong>phasis was given to those points critical<br />
for the understanding and to mounting an optical tweezers set up. Chapter 3 describes the use<br />
of the high sensitivity of the optical tweezers to observe the Mie reso<strong>na</strong>nces in microspheres<br />
captured and illumi<strong>na</strong>ted by plane waves and focalized beams. It also contains the description<br />
of the measur<strong>em</strong>ents of the intensity of the optical force as a function of the distance of the laser<br />
focus to the center of the particle. Our results show the fun<strong>da</strong>mental hole of the laser<br />
polarization for the forces of an optical tweezers. This can only be explained by a complete<br />
electromagnetic theory. Chapter 4 shows that it is possible to add the capability of manipulation<br />
of an optical tweezers to the ability of characterization of linear and non‐linear spectroscopic<br />
techniques in only one integrated syst<strong>em</strong>. With this syst<strong>em</strong>, we were able to perform Raman,<br />
Hyper Rayleigh, Hyper Raman and Two‐Photon Excited Luminescence in biological and nonbiological<br />
samples. Chapter 5 describes an optical tweezers calibration method to measure<br />
forces as small as 200 f<strong>em</strong>to Newtons of the protozoa Leishmania amazonensis. We also used<br />
the optical tweezers to measure the elasticity of normal, storaged, sickle and irradiated red<br />
blood cells. Chapter 6 contains the conclusions and perspectives.<br />
vi
Índice<br />
1. Introdução 1<br />
2. Sist<strong>em</strong>as Experimentais 7<br />
2.1 A Pinça Óptica 8<br />
2.1.1 Princípio Básico de Funcio<strong>na</strong>mento: Transferência de Momento do Fóton 9<br />
2.1.2 Influência <strong>da</strong> Reflexão e Absorção <strong>na</strong> Força Óptica 12<br />
2.1.3 Ord<strong>em</strong> de Grandeza <strong>da</strong> Força Óptica e Dimensões <strong>da</strong>s Partículas Captura<strong>da</strong>s 14<br />
2.1.5 Outros Lasers Comumente Utilizados <strong>na</strong> Pinça Óptica 21<br />
2.1.6 Microscópio Óptico Simples 22<br />
2.1.7 Microscópios de Óptica Infinita 24<br />
2.1.8 Características <strong>da</strong>s Objetivas 26<br />
2.1.9 Falsa Armadilha e a Abertura Numérica 28<br />
2.1.10 Microscópios Invertidos: Vantagens e Desvantagens 30<br />
2.1.11 O Alinhamento 32<br />
2.1.12 Resultados Obtidos com a Pinça Óptica Simples 34<br />
2.2 A Pinça Óptica Dupla 35<br />
2.2.1 Motivação e Pontos Experimentais Relevantes 35<br />
2.2.2 O Sist<strong>em</strong>a Experimental de Pinça Dupla 39<br />
2.2.3 O Alinhamento 40<br />
2.2.4 Resultados Obtidos com a Pinça Óptica Dupla 41<br />
2.3 Sist<strong>em</strong>as Experimentais para a Calibração <strong>da</strong> força <strong>da</strong> Pinça Óptica e Aplicações com Leishmanias e<br />
H<strong>em</strong>ácias 42<br />
2.4 Sist<strong>em</strong>a Experimental de Espectroscopia de Força e Medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> Força Óptica <strong>em</strong> Função do<br />
Deslocamento Centro‐Foco e <strong>da</strong> Polarização 45<br />
2.4.1 Descrição dos Componentes do Sist<strong>em</strong>a 47<br />
2.4.2 Detalhes Experimentais <strong>da</strong> Aplicação de Espectroscopia de Força 52<br />
2.5 Sist<strong>em</strong>a Experimental de Pinça Óptica com Espectroscopias Confocais 56<br />
2.5.1 Laser de Ti:Safira de f<strong>em</strong>tosegundos (Tsu<strong>na</strong>mi) 57<br />
2.5.2 Monocromador 62<br />
vii
2.5.3 CCD 63<br />
2.5.4 Filtros Super NOTCH plus 63<br />
2.5.5 Detalhes Experimentais 65<br />
3. Teoria Óptica Eletromagnética 69<br />
3.1 “MDR modes” <strong>em</strong> Microesferas Excita<strong>da</strong>s por Incidência de On<strong>da</strong> Pla<strong>na</strong> 74<br />
3.1.1 Soluções <strong>da</strong> Equação de On<strong>da</strong> Vetorial 74<br />
3.1.2 Expansão de uma On<strong>da</strong> Incidente Arbitrária <strong>em</strong> Função dos Harmônicos Esféricos Vetoriais 78<br />
3.1.3 Cálculos dos Coeficientes de Mie para um Campo Incidente Arbitrário 80<br />
3.1.4 Expansão de uma On<strong>da</strong> Pla<strong>na</strong> <strong>em</strong> Função dos Vetores Harmônicos Esféricos 83<br />
3.1.5 Cálculos dos Coeficientes de Mie para On<strong>da</strong>s Pla<strong>na</strong>s 85<br />
3.1.6 “MDR modes” 86<br />
3.1.7 Cálculo <strong>da</strong>s Eficiências de Ressonâncias de Mie 90<br />
3.2 Pinças Óptica, Microesferas e Feixes Gaussianos Focalizados 104<br />
3.2.1 Aproximação <strong>da</strong> Integral Localiza<strong>da</strong> 105<br />
3.2.2 Aproximação de Davis e a Descrição do Feixe Incidente 106<br />
3.2.3 Expansão do Feixe Gaussiano Incidente Focalizado, os Fatores de Forma e os Coeficientes de Mie 112<br />
3.2.4. Seções de Choque 117<br />
3.2.5 Resultados 118<br />
4. Aplicações de Pinça Óptica com Espectroscopias Confocais 131<br />
4.1 Motivação 131<br />
4.1.1 Oportuni<strong>da</strong>de de Incorporação de Técnicas de Microanálise à Pinça Óptica 134<br />
4.1.2 Objetivos e Desafios do Trabalho Descrito nesse Capítulo 135<br />
4.1.3 Estrutura do Capítulo 136<br />
4.2 Espectroscopia Raman 136<br />
4.3 Resultados de Raman com Pinça Óptica 141<br />
4.4 Processos Ópticos Envolvendo Dois Fótons 144<br />
4.5 Processos de Absorção Multifotônica 145<br />
viii
4.6 Luminescência Excita<strong>da</strong> por Absorção Multifotônica 150<br />
4.7 Aplicações e Resultados de Luminescência por Absorção de 2 Fótons 155<br />
4.8 Processos Hiper Rayleigh e Hiper Raman 157<br />
4.9 Resultados de Hiper Raman e Hiper Rayleigh 163<br />
4.10 Integrando as Espectroscopias 164<br />
5. Óptica geométrica, Hidrodinâmica e Aplicações <strong>da</strong> Pinça Óptica 167<br />
5.1 Calibração <strong>da</strong> Pinça Óptica 170<br />
5.1.1 Teoria Óptica Geométrica 170<br />
5.1.2 Teoria Hidrodinâmica 172<br />
5.1.3 Métodos e Resultados 174<br />
5.2 Medi<strong>da</strong>s de Forças do Protozoário <strong>da</strong> Leishmaniose, o Parasita Leishmania amazonensis 177<br />
5.2.1 Motivação 177<br />
5.2.2. O Parasita 178<br />
5.2.3. Metodologia, Resultados e Conclusões 180<br />
5.3 Medi<strong>da</strong>s de Elastici<strong>da</strong>de de H<strong>em</strong>ácias Normais e Altera<strong>da</strong>s 184<br />
5.3.1. Motivação 184<br />
5.3.3 Vali<strong>da</strong>ção Experimental do Modelo Hidro‐elástico 191<br />
5.3.4 Aplicações às Medi<strong>da</strong>s de Elastici<strong>da</strong>de de H<strong>em</strong>ácias de Pacientes com An<strong>em</strong>ia e Traço Falciforme 197<br />
5.3.5. Aplicações às Medi<strong>da</strong>s de Elastici<strong>da</strong>de de H<strong>em</strong>ácias Irradia<strong>da</strong>s <strong>em</strong> Função do T<strong>em</strong>po de Estocag<strong>em</strong> 200<br />
5.3.6. Aplicações às Medi<strong>da</strong>s de Elastici<strong>da</strong>de de H<strong>em</strong>ácias Estoca<strong>da</strong>s de Pacientes com Traço Falciforme 202<br />
5.4 Teoria Hidrodinâmica 204<br />
5.4.1 Mundo Microscópico: Baixos Números de Reynolds. 204<br />
5.4.2 Equações de Continui<strong>da</strong>de 207<br />
5.4.3 Continui<strong>da</strong>de <strong>da</strong> Massa 207<br />
5.4.4 Continui<strong>da</strong>de do Momento 207<br />
5.4.5 Fontes e Sumidouros de Momento 207<br />
5.4.6. Lei de Hooke Generaliza<strong>da</strong>. 210<br />
5.4.7. Equação de Navier‐Stokes 211<br />
ix
5.4.8. Equação de Stokes ou “Creeping Motion” 211<br />
5.4.9. Teor<strong>em</strong>as Integrais <strong>em</strong> Escoamento de Stokes ou “Creeping Motion” 211<br />
5.4.10 Presença de Singulari<strong>da</strong>des ou Funções de Green 216<br />
6. Conclusão e Perspectivas 219<br />
Apêndice 1 223<br />
Apêndice 2 241<br />
Referências 253<br />
x
Capítulo 1<br />
Introdução<br />
A incorporação de lasers <strong>na</strong> microscopia óptica nessas duas últimas déca<strong>da</strong>s t<strong>em</strong><br />
colaborado consideravelmente para as mais moder<strong>na</strong>s pesquisas <strong>na</strong>s áreas de<br />
Biomedici<strong>na</strong> com propósitos de manipulação, medi<strong>da</strong>s, diagnóstico, microanálise e<br />
construção de imagens.<br />
Dentre as várias utilizações de lasers nessas áreas, destaca‐se o trabalho pioneiro<br />
de Ashkin e colaboradores. Em 1986, eles d<strong>em</strong>onstraram o uso de um instrumento,<br />
denomi<strong>na</strong>do pinça óptica, baseado <strong>na</strong> transferência de momento de fótons para<br />
capturar partículas dielétricas [1]. Embora essa ferramenta não tenha sido<br />
primeiramente desenvolvi<strong>da</strong> para aplicações biológicas, logo ficou claro que essa seria a<br />
sua principal área de aplicação. Já no seu próximo artigo [2], Ashkin aplicou a pinça<br />
óptica <strong>na</strong> captura e manipulação de partículas biológicas com tamanhos variando de<br />
décimos a cente<strong>na</strong>s de micra. Inicialmente, Ashkin utilizou um laser de argônio<br />
operando <strong>em</strong> λ = 514 nm, porém, devido ao alto coeficiente de absorção de radiação no<br />
comprimento de on<strong>da</strong> visível, esse causava <strong>da</strong>nos aos organismos vivos levando‐os à<br />
1
morte celular. Passaram assim a utilizar um laser Nd:YAG <strong>em</strong> λ = 1064 nm. Como a<br />
maioria <strong>da</strong>s substâncias que compõ<strong>em</strong> o ser vivo é transparente ao infravermelho, a<br />
absorção nessa região é peque<strong>na</strong> e o pouco calor gerado é rapi<strong>da</strong>mente transferido ao<br />
fluido por condução e convecção, conseqüent<strong>em</strong>ente não há <strong>da</strong>nos nesses organismos.<br />
A partir de então, a pinça óptica v<strong>em</strong> sendo amplamente utiliza<strong>da</strong> <strong>em</strong> duas vertentes:<br />
manipulação direta de microorganismos e medi<strong>da</strong>s de proprie<strong>da</strong>des mecânicas e de<br />
forças <strong>em</strong> sist<strong>em</strong>as biológicos.<br />
Como microferramenta de manipulação, a pinça óptica acopla<strong>da</strong> a outro<br />
instrumento denomi<strong>na</strong>do bisturi óptico já foi utiliza<strong>da</strong> para inserir DNA no interior de<br />
diferentes tipos de células [3], para conectar DNA ao silício <strong>na</strong> tentativa de construção<br />
de uma interface biomecânica [4], para fertilizações in vitro [5] e para fusão de células.<br />
O bisturi óptico é fun<strong>da</strong>mental para uma <strong>completa</strong> manipulação celular, pois é<br />
essencialmente um laser capaz de fazer perfurações <strong>em</strong> paredes e m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong>s celulares.<br />
Como os cortes são feitos por transferência de calor e não se pode <strong>da</strong>nificar o material<br />
biológico, usa‐se nesse instrumento um laser pulsado operando no verde. Geralmente,<br />
os tecidos orgânicos têm alta absorção nessa região do espectro.<br />
Por outro lado, como microferramenta de medi<strong>da</strong>, a pinça óptica já foi utiliza<strong>da</strong><br />
para medir e comparar deslocamentos celulares e forças de proteí<strong>na</strong>s (miosi<strong>na</strong>s)<br />
cardíacas [6], para caracterização de motores biológicos moleculares [7] e rigidez<br />
flexural de microtúbulos [8], para medir o comprimento de uma molécula de DNA [9] e<br />
a motili<strong>da</strong>de de espermatozóides humanos [10], para detectar concentrações de<br />
antígenos <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de f<strong>em</strong>tomolares [11] e para observar a ausência de travamento do<br />
movimento de rotação reversa de flagelos motores de bactérias [12]. Além de to<strong>da</strong>s<br />
essas aplicações, muito recent<strong>em</strong>ente, a pinça óptica também t<strong>em</strong> começado a ser<br />
utiliza<strong>da</strong> como uma ferramenta versátil e peça fun<strong>da</strong>mental, <strong>em</strong> conjunto com técnicas<br />
espectroscópicas como, por ex<strong>em</strong>plo, fluorescência e Raman, <strong>na</strong> construção de imagens<br />
e <strong>em</strong> estudos de células isola<strong>da</strong>s e microorganismos flagelados.<br />
2
Nesta Tese de Doutorado tratamos de aspectos teóricos e experimentais<br />
relacio<strong>na</strong>dos à pinça óptica. No capítulo 2, descrev<strong>em</strong>os to<strong>da</strong>s as montagens utiliza<strong>da</strong>s<br />
s<strong>em</strong>, no entanto, relatar os resultados obtidos abrindo uma exceção ape<strong>na</strong>s para os que<br />
envolveram as manipulações com a pinça óptica simples e dupla. Fiz<strong>em</strong>os essa opção<br />
de apresentar todos os sist<strong>em</strong>as experimentais utilizados conjuntamente ao perceber<br />
que os mesmos compartilhavam de equipamentos e procedimentos. Além disso,<br />
também descrev<strong>em</strong>os, s<strong>em</strong> utilizar qualquer modelo quantitativo mais sofisticado,<br />
intuitivamente, o que v<strong>em</strong> a ser a pinça óptica e os pontos teóricos e experimentais mais<br />
relevantes para um bom aproveitamento desse instrumento. Para realizar medi<strong>da</strong>s de<br />
forças de adesão e elastici<strong>da</strong>des, montamos um sist<strong>em</strong>a de pinça dupla <strong>em</strong> que ca<strong>da</strong><br />
uma delas pode ser manipula<strong>da</strong> independent<strong>em</strong>ente. Com isso observamos o intrigante<br />
comportamento de adesão de h<strong>em</strong>ácias entre si. Nossas observações mostram que elas<br />
deslizam facilmente umas sobre as outras, mas se ligam fort<strong>em</strong>ente pelas bor<strong>da</strong>s. Após<br />
a pinça dupla, passamos a detalhar as montagens <strong>da</strong>s aplicações realiza<strong>da</strong>s nessa Tese;<br />
são elas: medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> força óptica <strong>em</strong> função <strong>da</strong> posição do centro <strong>da</strong><br />
partícula <strong>em</strong> relação ao foco do laser e <strong>da</strong> polarização, observação de ressonâncias de<br />
Mie <strong>em</strong> microesferas, acoplamento de espectroscopia com a pinça óptica, calibração <strong>da</strong><br />
pinça óptica e medi<strong>da</strong> de força e elastici<strong>da</strong>de de leishmanias e h<strong>em</strong>ácias.<br />
No capítulo 3 apresentamos primeiramente as ressonâncias de Mie observa<strong>da</strong>s<br />
através <strong>da</strong> fluorescência excita<strong>da</strong> por absorção de dois fótons. Esse foi o ponto de<br />
parti<strong>da</strong> para as observações <strong>da</strong>s mesmas ressonâncias <strong>na</strong>s forças ópticas. Para tanto,<br />
utilizamos a sensibili<strong>da</strong>de e estabili<strong>da</strong>de <strong>da</strong> pinça óptica para observar diferenças muito<br />
peque<strong>na</strong>s de espalhamento e detectar as ressonâncias de Mie. Os “MDR modes” ou<br />
ressonâncias de Mie são previstos pelo formalismo de Mie para on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> e depend<strong>em</strong><br />
do tamanho, forma e índices de refração do objeto espalhador e do meio <strong>em</strong> que está<br />
<strong>em</strong>bebido e são divididos <strong>em</strong> TE e TM. Nós usamos a pinça óptica para excitar esses<br />
modos <strong>em</strong> duas situações: a. através <strong>da</strong> incidência por on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> e b. depois com o<br />
3
feixe focalizado <strong>na</strong> bor<strong>da</strong> <strong>na</strong>s posições ( R , 00 , ) , ( 0, R , 0)<br />
e ⎡( RR )<br />
⎣<br />
, , 0 / 2⎤<br />
⎦ , utilizando<br />
uma técnica que denomi<strong>na</strong>mos Espectroscopia Ultra‐sensível de Força. Com essa<br />
experiência concluímos que as ressonâncias de Mie depend<strong>em</strong> fort<strong>em</strong>ente <strong>da</strong> posição do<br />
feixe <strong>em</strong> relação à polarização do laser, de forma que pod<strong>em</strong>os excitar seletivamente os<br />
modos TE e TM. Ain<strong>da</strong> nesse mesmo capítulo relatamos a medi<strong>da</strong> dinâmica <strong>da</strong><br />
intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> força óptica <strong>em</strong> função <strong>da</strong> posição do centro ao foco do laser e <strong>da</strong><br />
polarização. Com ele concluímos que a força <strong>da</strong> pinça óptica não é somente anisotrópica<br />
com relação às forças verticais e horizontais, mas também que as próprias forças<br />
horizontais <strong>em</strong> x e y são anisotrópicas entre si, ou seja, não há sequer uma simetria<br />
azimutal, pois as mesmas depend<strong>em</strong> do movimento <strong>da</strong> partícula <strong>em</strong> relação à<br />
polarização do feixe incidente. Para explicar tanto a observação <strong>da</strong>s ressonâncias de Mie<br />
como também a medi<strong>da</strong> dinâmica <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de, tiv<strong>em</strong>os que deixar de lado a teoria<br />
de óptica geométrica, e utilizar a teoria eletromagnética para pinças ópticas, que acabou<br />
se mostrando muito boa <strong>na</strong> descrição dos nossos resultados.<br />
No capítulo 4 apresentamos o nosso sist<strong>em</strong>a de pinça óptica acoplado com as<br />
espectroscopias confocais Raman, Hiper Rayleigh, Hiper Raman e fluorescência por<br />
absorção de dois fótons. Comparamos a performance de nosso sist<strong>em</strong>a “hom<strong>em</strong>ade” de<br />
microanálise com a de outros grupos repetindo suas medi<strong>da</strong>s. Essa comparação<br />
mostrou que nossos t<strong>em</strong>pos de aquisição e relação si<strong>na</strong>l ruído eram iguais ou melhores<br />
do que os apresentados por outros grupos, incluindo os trabalhos de nosso colaborador,<br />
Dr. Katsuhiro Ajito <strong>da</strong> Nippon Telegraph & Telephone do Japão [13]. Além disso, nosso<br />
sist<strong>em</strong>a traz uma inovação <strong>em</strong> relação aos outros sist<strong>em</strong>as de espectroscopia & pinça<br />
óptica pelo fato de estarmos usando lasers de pulsos ultracurtos e um laser sintonizável<br />
para espectroscopia diferente do laser <strong>da</strong> pinça óptica. Com o laser pulsado foi possível<br />
observar espalhamento Hiper Raman e Hiper Rayleigh <strong>na</strong> pinça óptica, um resultado<br />
origi<strong>na</strong>l. O laser de f<strong>em</strong>tosegundos também nos permitiu observar simultaneamente a<br />
luminescência gera<strong>da</strong> por absorção de dois fótons <strong>na</strong> região do visível (500 nm), o<br />
4
espalhamento Raman <strong>na</strong> região do infravermelho próximo (800 nm) e os espalhamentos<br />
Hiper Rayleigh e Hiper Raman <strong>na</strong> região do azul (400 nm). Usualmente, a presença <strong>da</strong><br />
luminescência impede a observação do Raman, mas no nosso caso as regiões espectrais<br />
são <strong>completa</strong>mente diferentes. Talvez uma <strong>da</strong>s maiores vantagens do acoplamento <strong>da</strong><br />
pinça óptica com a espectroscopia é que agregando microanálise à pinça óptica<br />
pod<strong>em</strong>os a<strong>na</strong>lisar a composição e metabolismo de uma única célula, inclusive de células<br />
vivas <strong>em</strong> movimento. Também pod<strong>em</strong>os aproximar e afastar partículas umas <strong>da</strong>s<br />
outras, exercer tensões e forças sobre as mesmas e a<strong>na</strong>lisar as conseqüências dessas<br />
manipulações. O objetivo principal dessa pesquisa foi o de construir um sist<strong>em</strong>a<br />
integrando a habili<strong>da</strong>de de manipulação <strong>da</strong> pinça óptica com a de caracterização <strong>da</strong>s<br />
diferentes técnicas espectroscópicas.<br />
No capítulo 5 tratamos de óptica geométrica, hidrodinâmica e as aplicações<br />
biológicas realiza<strong>da</strong>s com a pinça óptica. Para medi<strong>da</strong>s de forças <strong>em</strong> microesferas<br />
obtiv<strong>em</strong>os, teórica e experimentalmente, as forças ópticas e hidrodinâmica atuantes<br />
sobre essa partícula quando força<strong>da</strong> a movimentar‐se <strong>em</strong> um líquido. Um dos objetivos<br />
de medir forças <strong>em</strong> microesferas é poder determi<strong>na</strong>r forças atuantes <strong>em</strong> partículas de<br />
geometria complexa. O cálculo <strong>da</strong>s forças ópticas e hidrodinâmica <strong>em</strong> objetos que não<br />
são esféricos é praticamente impossível. Assim, a microesfera é usa<strong>da</strong> como um<br />
calibrador cuja precisão está intimamente liga<strong>da</strong> à concordância entre as forças que<br />
ag<strong>em</strong> sobre a mesma. Do mesmo modo que a microesfera sofre um deslocamento <strong>na</strong><br />
direção contrária ao seu movimento no líquido, ela também sofrerá quando estiver<br />
acopla<strong>da</strong> à partícula causadora <strong>da</strong> força que se quer determi<strong>na</strong>r. Pod<strong>em</strong>os usar o<br />
deslocamento como uma medi<strong>da</strong> do valor dessa força. Afi<strong>na</strong>l, ela é igual e contrária à<br />
força óptica, que por sua vez é calibra<strong>da</strong> com esse deslocamento. Retomamos a<br />
calibração desenvolvi<strong>da</strong> <strong>na</strong> Tese de Mestrado, pois apesar de termos obtido resultados<br />
razoáveis, ao longo do Doutorado perceb<strong>em</strong>os a importância do uso <strong>da</strong> esfera<br />
integradora para uma medi<strong>da</strong> mais precisa <strong>da</strong> potência, que <strong>na</strong> época era realiza<strong>da</strong> com<br />
detectores para feixes paralelos e não convergentes, assim como é o caso <strong>da</strong> pinça<br />
5
óptica. Uma medi<strong>da</strong> precisa <strong>da</strong> potência reflete <strong>em</strong> uma calibração mais precisa <strong>da</strong><br />
pinça óptica.<br />
Depois de feita a calibração <strong>da</strong> pinça óptica, calculamos a força do<br />
protozoário Leishmania amazonensis, causador <strong>da</strong> doença Leishmaniose. Agora é o<br />
parasita que causa o deslocamento <strong>na</strong> microesfera. Sabendo o seu valor pod<strong>em</strong>os<br />
quantificar a força deseja<strong>da</strong>. Nesse mesmo capítulo também aplicamos a pinça óptica<br />
para estu<strong>da</strong>r a elastici<strong>da</strong>de de h<strong>em</strong>ácias. O bom des<strong>em</strong>penho <strong>da</strong>s funções dessas células<br />
<strong>na</strong> corrente sangüínea está fort<strong>em</strong>ente ligado à sua capaci<strong>da</strong>de de deformação, que por<br />
sua vez é manti<strong>da</strong> pelas proprie<strong>da</strong>des de elastici<strong>da</strong>de celular e viscosi<strong>da</strong>de de sua<br />
m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong>. A fim de quantificar essas proprie<strong>da</strong>des simulamos a deformação dessas<br />
células no laboratório. Para isso, capturamos as h<strong>em</strong>ácias com a pinça óptica, as<br />
submet<strong>em</strong>os a veloci<strong>da</strong>des constantes e estu<strong>da</strong>mos as forças elástica e hidrodinâmica<br />
que ag<strong>em</strong> sobre a mesma. A determi<strong>na</strong>ção <strong>da</strong> elastici<strong>da</strong>de e viscosi<strong>da</strong>de é muito<br />
importante, pois a partir de uma caracterização de h<strong>em</strong>ácias normais pod<strong>em</strong>os<br />
observar, por ex<strong>em</strong>plo, o quanto as h<strong>em</strong>ácias doentes ou o quanto as h<strong>em</strong>ácias<br />
estoca<strong>da</strong>s para transfusão estão com suas proprie<strong>da</strong>des altera<strong>da</strong>s. Após a caracterização<br />
<strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias normais estu<strong>da</strong>mos a deformabili<strong>da</strong>de de h<strong>em</strong>ácias de pacientes com<br />
an<strong>em</strong>ia falciforme homozigotos, medicados ou não com hidroxuréia, de h<strong>em</strong>ácias de<br />
doadores de sangue com traço falciforme correlacio<strong>na</strong><strong>da</strong> ao t<strong>em</strong>po de estocag<strong>em</strong> de<br />
bolsas e de h<strong>em</strong>ácias trata<strong>da</strong>s com radiação γ, normalmente transfundi<strong>da</strong>s <strong>em</strong> pacientes<br />
imuno‐suprimidos, também correlacio<strong>na</strong><strong>da</strong> ao t<strong>em</strong>po de estocag<strong>em</strong>. Ao realizar essa<br />
pesquisa perceb<strong>em</strong>os que para se aproveitar to<strong>da</strong> a varie<strong>da</strong>de de aplicações que a pinça<br />
óptica pode nos proporcio<strong>na</strong>r é fun<strong>da</strong>mental entendermos a hidrodinâmica para baixos<br />
números de Reynolds do universo habitado pelos microorganismos, por isso esse<br />
capítulo traz também estudos teóricos nessa área.<br />
Por fim, no último capítulo falamos um pouco <strong>da</strong>s perspectivas abertas pelos<br />
estudos realizados nessa Tese de Doutorado.<br />
6
Capítulo 2<br />
Sist<strong>em</strong>as Experimentais<br />
Neste capítulo descrev<strong>em</strong>os, do ponto de vista experimental, to<strong>da</strong>s as montagens<br />
utiliza<strong>da</strong>s ao longo dessa Tese. Entretanto, não incluímos a apresentação e a discussão<br />
dos resultados, que serão feitas nos capítulos posteriores. Os únicos resultados exibidos<br />
nesse capítulo são aqueles cuja maior dificul<strong>da</strong>de para obtê‐los reside no sist<strong>em</strong>a<br />
experimental e que falam por si próprios s<strong>em</strong> justificar maiores análises. Optamos por<br />
esse modo de apresentação ao perceber que as montagens compartilham de muitos<br />
equipamentos e procedimentos. Dessa forma todos os seus detalhes são então relatados<br />
aqui neste capítulo, s<strong>em</strong> mais detalhes nos capítulos subseqüentes.<br />
Como um fio condutor para as diversas aplicações, adotamos a estratégia de<br />
apresentar: as metas <strong>da</strong> experiência <strong>em</strong> questão, um esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> montag<strong>em</strong> com a<br />
descrição dos equipamentos e dos detalhes que se mostraram os mais importantes para<br />
o sucesso fi<strong>na</strong>l <strong>da</strong> aplicação, uma discussão dos probl<strong>em</strong>as que nos impediam de<br />
alcançar as metas e, dentro de um ponto de vista exclusivamente intuitivo e<br />
experimental, indicar como foi possível resolver ca<strong>da</strong> um deles.<br />
7
Os sist<strong>em</strong>as experimentais utilizados nessa Tese foram: 1. Pinça óptica simples; 2.<br />
Aplicação <strong>da</strong> pinça óptica simples para medi<strong>da</strong>s de força, elastici<strong>da</strong>de e viscosi<strong>da</strong>de; 3.<br />
Pinça óptica dupla; 4. Espectroscopia de força com pinças ópticas e 5. Espectroscopia<br />
linear (Raman) e não linear (luminescência excita<strong>da</strong> por absorção de dois fótons, Hiper<br />
Rayleigh e Hiper Raman) <strong>em</strong> conjunto com pinças ópticas.<br />
S<strong>em</strong> utilizar qualquer modelo quantitativo mais sofisticado apresentamos as<br />
idéias intuitivas dos fenômenos físicos envolvidos no experimento que nos permit<strong>em</strong><br />
entender as opções de montagens experimentais utiliza<strong>da</strong>s e as dificul<strong>da</strong>des que<br />
apareceram. Foi dessa forma que nós desenvolv<strong>em</strong>os o nosso trabalho, usando a<br />
intuição experimental <strong>na</strong>s montagens e usando uma análise quantitativa sobre os<br />
resultados obtidos como realimentação para a melhora do sist<strong>em</strong>a e a obtenção de<br />
resultados mais precisos.<br />
Assim, iniciamos este capítulo explicando, baseado <strong>na</strong> óptica geométrica, o<br />
princípio básico de funcio<strong>na</strong>mento de uma pinça óptica, o qual é suficiente para definir<br />
variáveis e parâmetros importantes <strong>na</strong> montag<strong>em</strong> e <strong>na</strong> operação dos sist<strong>em</strong>as<br />
experimentais.<br />
2.1 A Pinça Óptica<br />
Uma pinça óptica utiliza as forças de radiação de um laser para capturar e<br />
manipular partículas microscópicas. Os dois equipamentos fun<strong>da</strong>mentais <strong>na</strong> sua<br />
montag<strong>em</strong> são o microscópio, dentro do qual a objetiva t<strong>em</strong> o papel principal, e o laser.<br />
A Figura 1 mostra um esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> montag<strong>em</strong> experimental <strong>da</strong> nossa pinça óptica<br />
simples. Para entender a importância dos diversos componentes do sist<strong>em</strong>a iniciamos,<br />
de forma intuitiva, com os fenômenos envolvidos <strong>na</strong> captura <strong>da</strong>s partículas por uma<br />
pinça óptica.<br />
8
VCR<br />
Laser<br />
de Nd:YAG<br />
Ocular<br />
Câmera<br />
BS<br />
BS<br />
Telescópio<br />
M1<br />
Figura 1. Sist<strong>em</strong>a Experimental de Pinça Óptica simples.<br />
2.1.1 Princípio Básico de Funcio<strong>na</strong>mento: Transferência de Momento do Fóton<br />
A forma mais simples de entender o princípio de operação de uma pinça óptica é<br />
através <strong>da</strong> óptica geométrica (aplica<strong>da</strong> quando r >> λ , onde r é o raio <strong>da</strong> partícula e λ é<br />
o comprimento de on<strong>da</strong>) a<strong>na</strong>lisando a trajetória dos raios e associando‐os a uma<br />
<br />
partícula, o fóton, que transporta momento p = hν<br />
c (no vácuo). Um obstáculo que<br />
mu<strong>da</strong> ape<strong>na</strong>s a direção do fóton recebe um impulso <strong>na</strong> direção <strong>da</strong> bissetriz do ângulo<br />
entre os fótons incidentes e refratados, como se fosse um choque entre partículas,<br />
conforme ilustra a Figura 2.<br />
direção<br />
<strong>da</strong> força<br />
p <br />
refratado<br />
p <br />
incidente<br />
incidente<br />
recuo <strong>da</strong> partícula<br />
que desviou o raio<br />
9<br />
∆ p<br />
partícula<br />
p <br />
incidente<br />
p <br />
refratado<br />
∆ p<br />
fóton<br />
Figura 2. Choque entre fóton e centro espalhador.<br />
Os trabalhos pioneiros de A. Ashkin <strong>em</strong> levitação de partículas iniciaram‐se com<br />
a utilização de feixes de lasers contra‐propagantes [14, 15, 16, 17] até que notou que<br />
ape<strong>na</strong>s um feixe altamente focalizado era suficiente para capturá‐las [18, 1]. Foi só a<br />
partir desse momento que essa técnica experimental passou a ser chama<strong>da</strong> de pinça<br />
óptica.
Para entender como um único feixe altamente focalizado é capaz de capturar<br />
uma partícula, mesmo contra um campo gravitacio<strong>na</strong>l, vamos a<strong>na</strong>lisar ape<strong>na</strong>s a<br />
trajetória de dois raios meridio<strong>na</strong>is, simétricos, que se encontrariam com o eixo z <strong>na</strong><br />
posição z<br />
0<br />
se não sofress<strong>em</strong> desvio devido ao centro espalhador. Vamos considerar que<br />
a partícula espalhadora é uma esfera com o eixo <strong>na</strong> vertical oposto à gravi<strong>da</strong>de,<br />
conforme pode ser visto <strong>na</strong> Figura 3 e <strong>na</strong> Figura 4. Pod<strong>em</strong> ocorrer quatro situações<br />
distintas dependendo se o índice de refração <strong>da</strong> esfera n1 for maior, ou menor, do que o<br />
índice de refração do meio externo n2, e se a posição do foco é positiva, z<br />
0<br />
> 0, ou<br />
negativa, z<br />
0<br />
< 0. Quando n1 > n2, o raio se aproxima <strong>da</strong> normal ao entrar <strong>na</strong> partícula e se<br />
afasta <strong>da</strong> mesma ao sair. O oposto ocorre se n1 < n2. Assim, para n1 > n2 e z<br />
0<br />
> 0, a<br />
trajetória será como mostra a Figura 3 a. Já se n1 > n2 e z<br />
0<br />
< 0, será como <strong>na</strong> Figura 3 b.<br />
Nota‐se então que a diferença entre esses casos, z<br />
0<br />
> 0 e z<br />
0<br />
< 0, é que o raio se incli<strong>na</strong><br />
para “baixo” ou para “cima”. A situação se inverte quando n1 < n2, conforme apresenta a<br />
Figura 4.<br />
raio incidente<br />
raio incidente<br />
z 0<br />
g<br />
z 0<br />
n 1<br />
> n 2<br />
z 0 > 0<br />
raio refratado n 1<br />
> n 2<br />
z 0 < 0<br />
raio refratado<br />
Figura 3. Trajetórias dos raios para n1 > n2.<br />
g<br />
raio incidente<br />
raio incidente<br />
raio refratado<br />
z 0<br />
n 1 < n 2<br />
z 0 > 0<br />
z 0<br />
raio refratado<br />
n 1 < n 2<br />
z 0 < 0<br />
Figura 4. Trajetórias dos raios para n1 < n2.<br />
10
Essa análise nos permite entender como um único feixe de laser pode capturar<br />
uma partícula, inclusive se opondo à gravi<strong>da</strong>de, no caso n1 > n2, e como a partícula é<br />
expulsa do foco do laser no caso oposto. Para tanto, vamos considerar o foco <strong>na</strong> posição<br />
z<br />
0<br />
> 0 no eixo vertical e a<strong>na</strong>lisar ape<strong>na</strong>s as trajetórias de dois raios opostos a e b nos dois<br />
casos, n1 > n2 e n1 < n2.<br />
a<br />
raios incidentes<br />
b<br />
a<br />
Fa<br />
z 0<br />
Fb<br />
Fa<br />
Fb<br />
b<br />
raios refratados<br />
n 1 > n 2<br />
Figura 5. Forças e trajetórias de dois raios para o caso n1 > n2.<br />
a<br />
a<br />
raios incidentes<br />
b<br />
Fa<br />
b<br />
raios refratados<br />
z 0<br />
Fa<br />
Fb<br />
Fb<br />
n 1<br />
< n 2<br />
Figura 6. Forças e trajetórias de dois raios para o caso n1 < n2.<br />
Na Figura 5, nota‐se que as componentes horizontais se anulam e a força<br />
resultante é para “cima”, oposta à gravi<strong>da</strong>de, tendendo a trazer o centro <strong>da</strong> partícula<br />
para o foco do laser. Já <strong>na</strong> Figura 6, a força resultante é para “baixo”, <strong>na</strong> direção <strong>da</strong><br />
gravi<strong>da</strong>de, tendendo a afastar o centro <strong>da</strong> partícula do foco do laser. A Figura 7 ilustra<br />
os raios e a direção <strong>da</strong> força para o foco do laser <strong>em</strong> diferentes posições no caso n1 >n2.<br />
Delas, se compreende que, se n1 > n2, a força é restauradora tendendo s<strong>em</strong>pre a trazer o<br />
centro <strong>da</strong> partícula para o foco do laser, e se n1 < n2 a tendência é expulsar a esfera do<br />
foco do laser.<br />
11
Figura 7. Forças de dois raios para o caso n1 < n2 e várias posições de foco.<br />
2.1.2 Influência <strong>da</strong> Reflexão e Absorção <strong>na</strong> Força Óptica<br />
Desconsiderando as reflexões, a força óptica seria nula quando o foco do laser<br />
coincidisse com o centro <strong>da</strong> esfera. Entretanto, associado à refração que desvia a<br />
trajetória dos raios, s<strong>em</strong>pre existe uma reflexão cuja intensi<strong>da</strong>de para incidência normal<br />
2<br />
é <strong>da</strong><strong>da</strong> por R = [( n2 − n1<br />
) /( n2<br />
+ n1<br />
)] . Os fótons refletidos tend<strong>em</strong> a expulsar a esfera do<br />
foco do laser conforme mostra a Figura 8 a. Dessa forma, a reflexão gera uma força que<br />
se contrapõe à força restauradora <strong>da</strong> pinça óptica. Normalmente a reflexão é muito<br />
menor que a transmissão, mas conforme a razão entre os índices de refração<br />
n n 2 1<br />
aumenta, o papel <strong>da</strong> reflexão será ca<strong>da</strong> vez mais significativo, impedindo a<br />
operação <strong>da</strong> pinça óptica quando n1 >> n2.<br />
Figura 8. (a). Efeito <strong>da</strong> reflexão <strong>na</strong> força óptica. (b). Efeito radiômetro.<br />
Não só a reflexão pode impossibilitar a captura de uma partícula pela pinça<br />
óptica, mas também a absorção. A absorção t<strong>em</strong> dois efeitos: direto, por transferência de<br />
momento de um fóton, que desaparece como se fosse um choque plástico e que também<br />
tende a expulsar a partícula do foco do laser, e indireto, através do calor gerado pela<br />
absorção do fóton. Nesse caso pode ocorrer o “efeito radiômetro” se a parte <strong>da</strong> partícula<br />
<strong>em</strong> que o feixe incide se tor<strong>na</strong> mais aqueci<strong>da</strong> do que a parte oposta. Quando aparece um<br />
12
gradiente de t<strong>em</strong>peratura assimétrico entre amostra e o meio externo, as moléculas do<br />
fluido que ating<strong>em</strong> a superfície <strong>da</strong> partícula adquir<strong>em</strong> maior veloci<strong>da</strong>de por aumento<br />
de t<strong>em</strong>peratura e são relança<strong>da</strong>s, transferindo a diferença de momento para a partícula.<br />
A Figura 8 b ilustra esse efeito que também tende a expulsar a partícula <strong>da</strong> armadilha<br />
óptica.<br />
Mesmo que o efeito térmico seja pequeno do ponto de vista <strong>da</strong> força ele deve ser<br />
evitado ao máximo, pois um dos principais objetivos <strong>da</strong> pinça óptica é capturar e<br />
estu<strong>da</strong>r partículas biológicas vivas, s<strong>em</strong> <strong>da</strong>nificá‐las termicamente. A maior parte <strong>da</strong>s<br />
substâncias orgânicas presentes tende a ter alta absorção <strong>na</strong> região do visível onde<br />
encontram as ressonâncias eletrônicas dos elétrons de valência. A absorção dos modos<br />
vibracio<strong>na</strong>is tende a ocorrer no infravermelho mais longínquo, deixando uma janela no<br />
infravermelho próximo com pouca absorção, conforme mostra a Figura 9, <strong>na</strong> qual<br />
apresentamos os espectros de absorção <strong>da</strong> melani<strong>na</strong> e <strong>da</strong> h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong>. A água, por<br />
ex<strong>em</strong>plo, o componente mais abun<strong>da</strong>nte <strong>em</strong> todos os nossos estudos, possui linhas de<br />
absorção pouco intensas <strong>na</strong> região de 1.4 µm e muito fortes <strong>na</strong> região de 2.7 µm. Além<br />
<strong>da</strong> absorção, o espalhamento Rayleigh que também tende a expulsar a partícula<br />
captura<strong>da</strong> cai proporcio<strong>na</strong>lmente ao fator<br />
4<br />
1 λ no infravermelho. Nas primeiras<br />
d<strong>em</strong>onstrações de uso <strong>da</strong> pinça óptica, Ashkin utilizou um laser de Argônio no visível,<br />
para capturar partículas inorgânicas <strong>em</strong> água. Entretanto, bactérias apareceram após<br />
certo t<strong>em</strong>po e ele observou que elas morriam depois de captura<strong>da</strong>s por t<strong>em</strong>pos <strong>da</strong><br />
ord<strong>em</strong> de 3 a 5 minutos, dependendo <strong>da</strong> potência do laser [19]. Isso lhe chamou a<br />
atenção para a importância <strong>da</strong>s aplicações <strong>da</strong> pinça óptica <strong>em</strong> sist<strong>em</strong>as biológicos vivos<br />
e <strong>da</strong> necessi<strong>da</strong>de de evitar <strong>da</strong>nos térmicos aos mesmos. Para tanto, a idéia foi trocar o<br />
comprimento o laser para o infravermelho próximo [2]. Por isso, usou o laser comercial<br />
mais comum nessa região, o Nd:YAG, operando <strong>na</strong> região de 1064 nm, conforme<br />
também ilustra a Figura 9.<br />
13
H<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong><br />
Absorção%<br />
(%)<br />
Melani<strong>na</strong><br />
Vísivel Visível<br />
Infravermelho<br />
Ti:safira<br />
Argônio Nd:YAG<br />
Nd:YAG<br />
dobrado<br />
comprimento Comprimento<br />
de on<strong>da</strong>nm<br />
(nm)<br />
Figura 9. Espectro de absorção <strong>da</strong> melani<strong>na</strong> e h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong>.<br />
2.1.3 Ord<strong>em</strong> de Grandeza <strong>da</strong> Força Óptica e Dimensões <strong>da</strong>s Partículas Captura<strong>da</strong>s<br />
Uma estimativa superior <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de grandeza <strong>da</strong> força <strong>da</strong> pinça óptica pode<br />
ser feita supondo que um feixe de laser unidirecio<strong>na</strong>l com 1 W de potência seja<br />
<strong>completa</strong>mente absorvido pelo objeto. Neste caso a força será <strong>da</strong><strong>da</strong> por:<br />
o<br />
−<br />
dp n fótons potência hν<br />
F = = × p<br />
potência<br />
fóton = × =<br />
dt t<strong>em</strong>po hν<br />
c c<br />
(2. 1)<br />
Aqui vale ressaltar que, muito antes do conceito de fótons como partículas,<br />
Maxwell já d<strong>em</strong>onstrara que a força transmiti<strong>da</strong> por uma on<strong>da</strong> eletromagnética era<br />
<strong>da</strong><strong>da</strong> por<br />
ord<strong>em</strong> de:<br />
F = potência<br />
c . Usando essa expressão, t<strong>em</strong>os que o valor <strong>da</strong> força será <strong>da</strong><br />
1 W<br />
−9<br />
F = = 3×<br />
10 N<br />
8<br />
3×<br />
10 m/s<br />
(2. 2)<br />
Na prática ape<strong>na</strong>s 100 a 200 mW de laser incide <strong>na</strong> partícula e os fótons são<br />
ape<strong>na</strong>s desviados, e não <strong>completa</strong>mente absorvidos, de modo que as força ópticas são<br />
b<strong>em</strong> menores do que nN. Forças máximas <strong>da</strong> pinça óptica são <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 100 pN.<br />
Apesar de muito peque<strong>na</strong>s são forças consideráveis para partículas microscópicas.<br />
Suponha que o objeto capturado é uma partícula cúbica de 1 µm de aresta com<br />
densi<strong>da</strong>de igual a <strong>da</strong> água, ou seja<br />
3 3 −6 3 3 −15<br />
m = (10 kg/m ) × (10 ) m = 10 kg . Nesse caso a<br />
aceleração causa<strong>da</strong> por uma força óptica de 100 pN vale a= F m =<br />
−10 −15 5 2 4<br />
10 N 10 kg = 10 m/s = 10 ×g , onde g é a aceleração <strong>da</strong> gravi<strong>da</strong>de. Tomando uma<br />
14
partícula 10 vezes maior, a massa cresce e a aceleração decresce, por um fator 10 3 , ain<strong>da</strong><br />
<strong>na</strong> faixa de 10 g’s. Entretanto para partículas com 100 µm a aceleração seria 10 ‐2 g’s, já<br />
desprezível frente a outras interações microscópicas. Dessa forma, fica claro que a<br />
aceleração causa<strong>da</strong> pela força do laser só é considerável para partículas menores do que<br />
50 µm.<br />
Em princípio, a força óptica não t<strong>em</strong> limite inferior, pois a potência do laser pode<br />
ser nula. Entretanto, a menor força óptica que pod<strong>em</strong>os detectar é <strong>da</strong><strong>da</strong> pela menor<br />
força ain<strong>da</strong> capaz de aprisio<strong>na</strong>r uma partícula <strong>da</strong> mesma ord<strong>em</strong> de grandeza <strong>da</strong>s forças<br />
causa<strong>da</strong>s pelo movimento browniano gerado a partir de flutuações térmicas. Para uma<br />
estimativa desse limite inferior, vamos considerar a pinça óptica como um oscilador<br />
harmônico com constante elástica K(P), proporcio<strong>na</strong>l à potência do laser incidente. Pelo<br />
teor<strong>em</strong>a de eqüipartição de energia t<strong>em</strong>os:<br />
2<br />
Kδx kT B<br />
kT B<br />
= ⇒ δ x = (2. 3)<br />
2 2<br />
K<br />
onde T é a t<strong>em</strong>peratura, kB é a constante de Boltzmann e<br />
δ x o deslocamento causado<br />
pelo movimento browniano. Portanto, a expressão para a força devido às flutuações é<br />
F = K( P) δ x=<br />
K( P)<br />
k T . Para estimar seu valor basta saber a constante elástica K(P)<br />
flut<br />
B<br />
<strong>da</strong> pinça. Usando nossas medi<strong>da</strong>s de calibração descritas no capítulo 5, obtiv<strong>em</strong>os uma<br />
constante elástica para potência de 70 mW do laser <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de<br />
−6<br />
K(100mW) = 18× 10 N/m . Utilizando esse valor de K para T = 300 K t<strong>em</strong>os<br />
F flut = 027pN . = 270fN. Diminuindo a potência do laser por um fator de 100, para 1 mW,<br />
cai pelo mesmo fator e a força de flutuação por um fator de 10, ou seja pod<strong>em</strong>os<br />
considerar<br />
F flut = 27 fN como o limite inferior para nossa medi<strong>da</strong> de força. Por outro<br />
lado baixas potências limitam a força máxima, logo a estratégia é usar potências altas<br />
para medir forças altas e baixas potências para medi<strong>da</strong> de forças peque<strong>na</strong>s.<br />
Partículas muito peque<strong>na</strong>s adquir<strong>em</strong> facilmente energia cinética suficiente para<br />
escapar do potencial óptico. Nas condições experimentais típicas <strong>em</strong> líquidos à<br />
15
t<strong>em</strong>peratura ambiente, a pinça óptica pode aprisio<strong>na</strong>r partículas com dimensão até <strong>da</strong><br />
ord<strong>em</strong> de 50 nm, abaixo do limiar de resolução típica de 200 nm dos microscópios<br />
ópticos. Embora partículas dessa dimensão não sejam visíveis seu aprisio<strong>na</strong>mento pode<br />
ser detectado com técnicas espectroscópicas. Dessa forma a pinça é capaz de manipular<br />
partículas com dimensões entre 50 nm a 50 µm, o que a tor<strong>na</strong> uma ferramenta ideal para<br />
estudos de células e microorganismos.<br />
2.1.4 Laser de Nd:YAG<br />
Na nossa pinça óptica usamos um laser de Nd:YAG modelo 3800 S <strong>da</strong> Spectra<br />
Physics operando <strong>em</strong> modo contínuo (“continuous wave” – cw) no comprimento de<br />
on<strong>da</strong> de λ = 1064 nm. Trata‐se de um laser comercial de alta potência, mais de 10 W<br />
(exist<strong>em</strong> lasers de Nd:YAG com cente<strong>na</strong>s de W), com o comprimento de on<strong>da</strong> b<strong>em</strong> <strong>na</strong><br />
janela deseja<strong>da</strong>, conforme mostrou a Figura 9 acima, e excelente quali<strong>da</strong>de de modo,<br />
geralmente TEM00, tor<strong>na</strong>ndo‐o a ferramenta ideal para a pinça óptica. É um laser de<br />
estado sólido capaz de operar por deze<strong>na</strong>s de anos ape<strong>na</strong>s com troca <strong>da</strong>s lâmpa<strong>da</strong>s de<br />
bombeio e reposição <strong>da</strong> água deioniza<strong>da</strong>.<br />
O principal componente desse laser é o íon de terra rara Nd 3+ <strong>em</strong>bebido <strong>em</strong> um<br />
cristal de YAG (Ytrium, Aluminium, Garnet – Y3Al5O12) no qual o Nd entra <strong>em</strong><br />
substituição ao Y, já <strong>em</strong> um ambiente químico balanceado do ponto de vista <strong>da</strong>s 3<br />
cargas negativas à sua volta. O Nd faz parte <strong>da</strong> família dos Lantanídeos, terras raras<br />
com orbitais 4f incompletos, <strong>em</strong> que quase todos os el<strong>em</strong>entos, exceto o Promécio por<br />
ser radioativo, são utilizados como meios laser ativos (Figura 10). O estado de oxi<strong>da</strong>ção<br />
usual <strong>da</strong>s terras raras é 3, que quase s<strong>em</strong>pre se apresentam <strong>na</strong> forma de íons trivalentes.<br />
Para tanto elas perd<strong>em</strong> dois elétrons do orbital 6s e um dos orbitais 4f. Entretanto, as<br />
funções de on<strong>da</strong> dos orbitais 5p, mesmo com energias mais baixas do que os 4f, são<br />
mais espalha<strong>da</strong>s espacialmente. O orbital 5p completo cria uma distribuição esférica de<br />
cargas que blin<strong>da</strong> os elétrons dos orbitais 4f de campos elétricos e magnéticos de<br />
átomos vizinhos. Dessa forma os níveis 4f se modificam muito pouco quando colocados<br />
16
<strong>em</strong> diferentes hospedeiros, mantendo quase intacta a estrutura de níveis do átomo<br />
isolado.<br />
2<br />
4<br />
12<br />
20<br />
38<br />
56<br />
2p 6<br />
1s 2<br />
2s 2<br />
3s 2 3p 6<br />
3d 10<br />
4s 2 4p 6<br />
4d 10<br />
4f n<br />
5s 2<br />
5p 6<br />
6s<br />
Lantânideos<br />
Figura 10. Distribuição dos elétrons <strong>em</strong> cama<strong>da</strong>s para as terras raras.<br />
Quando colocados <strong>em</strong> um hospedeiro sólido, os níveis tend<strong>em</strong> a se alargar por<br />
influência dos fônons, a se deslocar por algumas cente<strong>na</strong>s de cm ‐1 ape<strong>na</strong>s devido ao<br />
efeito Stark e a quebrar a degenerescência magnética <strong>em</strong> J. O Nd 3+ possui três elétrons<br />
nos orbitais 4f que dev<strong>em</strong> ser colocados segundo o esqu<strong>em</strong>a de Russel‐Saunders, no<br />
qual os spins S e os momentos angulares orbitais L se somam independent<strong>em</strong>ente, para<br />
<br />
fi<strong>na</strong>lmente <strong>da</strong>r orig<strong>em</strong> ao momento angular total J = L + S , cujos números quânticos<br />
variam de<br />
L − S até L + S . Para íons com menos <strong>da</strong> metade <strong>da</strong> cama<strong>da</strong> cheia, o estado<br />
fun<strong>da</strong>mental corresponde ao menor J. A Figura 11 mostra a disposição dos 3 elétrons do<br />
Nd 3+ no estado de energia mais baixa. Somando os spins, obt<strong>em</strong>os S = ½+ ½ + ½ = 3/2 , e<br />
somando os m’s obt<strong>em</strong>os L = 3+2+1 = 6.<br />
+3 +2 +1 0 -1 -2 -3<br />
Figura 11. Disposição dos elétrons de Nd 3+ segundo a regra de Russel‐Saunders.<br />
A notação espectroscópica é <strong>da</strong> forma 2S+1 LJ, usando as letras S, P, D, F, G, H, I, J,<br />
etc para L = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 etc. No caso do Nd 3+ , então, 2S+1 = 4, L = 6 = I, e o menor J<br />
= 6 ‐ 3/2 = 9/2, portanto o estado fun<strong>da</strong>mental é 4 I9/2 com degenerescência 10. Os<br />
próximos 4 principais níveis excitados correspond<strong>em</strong> ape<strong>na</strong>s aos J’s seguintes de 11/2<br />
até 15/2. Níveis superiores são <strong>da</strong>dos por rearranjos dos elétrons entre os m’s. A<br />
17
<strong>em</strong>issão laser <strong>em</strong> 1064 nm ocorre entre os níveis 4 F3/2 e 4 I11/2, conforme ilustrado <strong>na</strong><br />
Figura 12 onde v<strong>em</strong>os o diagrama de níveis do Nd 3+ . Esse é um sist<strong>em</strong>a laser de 4 níveis,<br />
no qual elétrons fotoexcitados para os níveis acima do 4 F3/2 rapi<strong>da</strong>mente deca<strong>em</strong> para o<br />
mesmo, não radiativamente, via <strong>em</strong>issão de fônons devido à peque<strong>na</strong> separação entre<br />
esses níveis. A <strong>em</strong>issão de fônons do nível 4 F3/2 é muito peque<strong>na</strong> pois seriam necessários<br />
muitos fônons para atingir o nível mais próximo 4 I15/2. Por isso esse estado t<strong>em</strong> um<br />
t<strong>em</strong>po de vi<strong>da</strong> razoavelmente longo, <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 200 µs. Já os elétrons dos níveis 4 I11/2<br />
até 4 I15/2 deca<strong>em</strong> rapi<strong>da</strong>mente para o estado fun<strong>da</strong>mental por <strong>em</strong>issão de fônons <strong>em</strong><br />
cascata. As duas linhas principais utiliza<strong>da</strong>s nos lasers de Nd:YAG são a de 1064 nm, a<br />
mais intensa, do nível 4 F3/2 para o 4 I11/2, e a de 1350 nm, do 4 F3/2 para o 4 I13/2, conforme<br />
pod<strong>em</strong>os ver <strong>na</strong> Figura 12. O bombeio é feito opticamente usando as ban<strong>da</strong>s <strong>em</strong> torno<br />
de 800 nm, 750 nm e 580 nm, marca<strong>da</strong>s com setas pretas. A Figura 13 mostra o espectro<br />
de absorção do Nd 3+ no YAG.<br />
2.4<br />
Níveis de Energia do Nd 3+<br />
4 G 7/2 1064 nm<br />
2.0<br />
4 G 5/2<br />
2 H 11/2<br />
Energia (eV)<br />
1.6<br />
1.2<br />
0.8<br />
4 S 3/2 4 F 7/2<br />
2 H 9/2<br />
4 F 9/2<br />
4 F 5/2<br />
4 F 3/2<br />
1350 nm<br />
4 I 15/2<br />
0.4<br />
4 I 13/2<br />
0.0<br />
4 I 11/2<br />
4 I 9/2<br />
Figura 12. Diagrama de níveis do Nd:YAG.<br />
Para bombeio de lasers cw se usa lâmpa<strong>da</strong>s de arco de Kriptônio <strong>em</strong> alta pressão<br />
cujas linhas se ajustam b<strong>em</strong> ao espectro de excitação do Nd 3+ . Essa lâmpa<strong>da</strong>, <strong>na</strong> forma<br />
18
de um tubo de comprimento igual ao do bastão de Nd:YAG, <strong>em</strong> torno de 10 cm, é<br />
coloca<strong>da</strong> no foco de uma cavi<strong>da</strong>de elíptica com o bastão de YAG no outro foco. Dessa<br />
forma todos os raios <strong>em</strong>itidos pela lâmpa<strong>da</strong> atingirão o bastão. Uma opção mais barata<br />
é a lâmpa<strong>da</strong> de Xenônio. Hoje também t<strong>em</strong> se tor<strong>na</strong>do comum o uso de lasers de diodo<br />
como fonte de bombeio, devido à vantag<strong>em</strong> de melhor casamento <strong>da</strong>s linhas e menor<br />
geração de calor. Entretanto, os lasers de diodo tend<strong>em</strong> a ter vi<strong>da</strong> curta e são muito<br />
mais caros do que as lâmpa<strong>da</strong>s de Kriptônio. O laser de Nd:YAG cw funcio<strong>na</strong> muito<br />
b<strong>em</strong>, mesmo com uma tecnologia antiqua<strong>da</strong>, sendo estável e s<strong>em</strong> probl<strong>em</strong>as de<br />
operação. Um estoque de lâmpa<strong>da</strong>s pode mantê‐lo operacio<strong>na</strong>l por déca<strong>da</strong>s, s<strong>em</strong><br />
maiores necessi<strong>da</strong>des de manutenção e importações.<br />
absorção<br />
Absorbância<br />
500 600 700 800 900<br />
comprimento de on<strong>da</strong><br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 13. Espectro de absorção do laser de Nd:YAG.<br />
O nível 4 I11/2 está <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 200 meV do estado fun<strong>da</strong>mental, ou seja, <strong>em</strong> torno<br />
de 10 KBT para 300 K, t<strong>em</strong>peratura ambiente. Porém, se a t<strong>em</strong>peratura aumenta para<br />
600 K, esses níveis já pod<strong>em</strong> ser termicamente populados com o fator de<br />
−5<br />
e , tor<strong>na</strong>ndo o<br />
t<strong>em</strong>po de decaimento para o estado fun<strong>da</strong>mental mais longo, prejudicando a in<strong>versão</strong><br />
de população e o des<strong>em</strong>penho do laser. Por isso, o laser de Nd:YAG é refrigerado.<br />
Entretanto, a parti<strong>da</strong> <strong>da</strong> lâmpa<strong>da</strong> de arco de Kriptônio se dá através de uma descarga<br />
de alta tensão. Assim, se a água de refrigeração <strong>em</strong> torno <strong>da</strong> lâmpa<strong>da</strong> apresentar<br />
resistência menor do que a do gás dentro <strong>da</strong> lâmpa<strong>da</strong>, a descarga ocorrerá pela água,<br />
19
não ionizando o gás <strong>da</strong> lâmpa<strong>da</strong>. Dessa forma, é fun<strong>da</strong>mental que se utilize água<br />
bidestila<strong>da</strong> e deioniza<strong>da</strong> <strong>na</strong> refrigeração <strong>da</strong> lâmpa<strong>da</strong> e do bastão de Nd:YAG. A fonte<br />
do laser já v<strong>em</strong> com colu<strong>na</strong>s para deionizar a água que requer<strong>em</strong> manutenção<br />
periódica. A extração fi<strong>na</strong>l de calor se dá por troca de calor entre o circuito primário <strong>da</strong><br />
água deioniza<strong>da</strong> e um circuito secundário de água comum ou refrigera<strong>da</strong>. O controle<br />
grosso <strong>da</strong> potência do laser é feito através <strong>da</strong> corrente <strong>da</strong> lâmpa<strong>da</strong> de bombeio.<br />
O bastão de Nd:YAG é cortado <strong>em</strong> ângulo de Brewster de modo que o laser sai<br />
polarizado, pois a per<strong>da</strong> por reflexão para a polarização s <strong>em</strong> cente<strong>na</strong>s de i<strong>da</strong>s e vin<strong>da</strong>s<br />
<strong>na</strong> cavi<strong>da</strong>de é muito grande para competir com a polarização p. Em alta potência,<br />
entretanto, pod<strong>em</strong>os observar 4 lóbulos <strong>na</strong> luz transmiti<strong>da</strong> por um polarizador cruzado.<br />
Esse efeito se deve a birrefringência termicamente induzi<strong>da</strong> no bastão pelo gradiente de<br />
t<strong>em</strong>peratura, que vai tor<strong>na</strong>ndo os raios fora dos eixos x e y elipticamente polarizados.<br />
Para garantir um bom modo <strong>da</strong> luz <strong>em</strong>iti<strong>da</strong> se coloca uma abertura intracavi<strong>da</strong>de no<br />
laser. A forma correta de alinhamento do laser para se ter um bom modo TEM00 é,<br />
primeiro retirar essa abertura, e depois buscar o máximo de potência alinhando os<br />
espelhos de trás e <strong>da</strong> frente. Só depois se recoloca a abertura movendo‐a lateralmente<br />
até encontrar o máximo de potência. Daí, se pode repetir o procedimento até não mais<br />
ser possível melhorar o valor <strong>da</strong> potência. Para exami<strong>na</strong>r o modo, abrimos o feixe com<br />
uma lente divergente e observamos se a figura forma<strong>da</strong> <strong>em</strong> um anteparo está b<strong>em</strong><br />
circular. Alguns pesquisadores prefer<strong>em</strong> utilizar o modo <strong>na</strong> forma de “donought” do<br />
laser, Figura 14, com o argumento de que os raios próximos do eixo do cone de luz<br />
incidente não geram forças <strong>na</strong> direção vertical. Nesse caso é necessário colocar uma<br />
abertura também <strong>na</strong> forma de “donought” <strong>em</strong> substituição à abertura circular dentro <strong>da</strong><br />
cavi<strong>da</strong>de do laser.<br />
a. b.<br />
Figura 14. Modos dos laser. a. TEM00 e b.“donought”.<br />
20
2.1.5 Outros Lasers Comumente Utilizados <strong>na</strong> Pinça Óptica<br />
T<strong>em</strong> sido comum o uso de lasers de diodo para pinça óptica que <strong>em</strong>it<strong>em</strong> <strong>na</strong><br />
região de 800 nm e utilizam como transições laser a recombi<strong>na</strong>ção de portadores <strong>da</strong><br />
ban<strong>da</strong> de condução para a ban<strong>da</strong> de valência. A grande vantag<strong>em</strong> desse laser é que o<br />
bombeio é realizado simplesmente por injeção de portadores, ou seja, através de uma<br />
corrente elétrica. Esses lasers, entretanto, têm apresentado probl<strong>em</strong>as de baixa potência<br />
e péssima quali<strong>da</strong>de do modo. Isso porque a região <strong>da</strong> junção p‐n que <strong>em</strong>ite luz nesses<br />
lasers é retangular, levando a modos elípticos, como ilustra a Figura 15.<br />
ban<strong>da</strong> de condução<br />
ban<strong>da</strong> de valência<br />
Figura 15. Laser de diodo.<br />
Ao focalizar modos desse tipo se perde boa parte <strong>da</strong> energia localiza<strong>da</strong> no foco<br />
do laser, pode‐se s<strong>em</strong>pre tentar torná‐los mais quadrados usando prismas a<strong>na</strong>mórficos<br />
ou “limpar” o modo com um filtro espacial, mas isso é geralmente obtido às custas de<br />
per<strong>da</strong> de potência. Nossa experiência com esses lasers mostra pinças com pouca força,<br />
limita<strong>da</strong>s <strong>em</strong> torno de 10 pN. Lasers de Nd:YAG operam facilmente com 10 W<br />
enquanto os lasers de diodo usualmente têm potências abaixo de 1 W. Lasers de diodo<br />
com maiores potências geralmente têm t<strong>em</strong>pos de vi<strong>da</strong> b<strong>em</strong> mais curtos e preços muito<br />
mais altos.<br />
Outra desvantag<strong>em</strong> dos lasers de diodo v<strong>em</strong> dos <strong>da</strong>nos térmicos no<br />
comprimento de on<strong>da</strong> <strong>em</strong> torno de 800 nm, b<strong>em</strong> maiores do que <strong>em</strong> 1064 nm. Apesar de<br />
não ser necessário usar 10 W <strong>na</strong> pinça óptica, é s<strong>em</strong>pre desejável ter mais potência do<br />
que o mínimo necessário. Boa parte <strong>da</strong> potência será perdi<strong>da</strong> <strong>na</strong> abertura <strong>da</strong> objetiva e<br />
<strong>na</strong>s reflexões de suas lentes. Isso porque to<strong>da</strong>s as objetivas vêm com “coating antirefletor”<br />
para o visível para evitar o aparecimento de artefatos <strong>na</strong> imag<strong>em</strong> devido a<br />
múltiplas reflexões <strong>em</strong> suas superfícies. Esse “coating anti‐refletor” para o visível acaba<br />
21
aumentando a reflexão no infravermelho, de modo que ape<strong>na</strong>s de 8‐10% <strong>da</strong> luz do<br />
Nd:YAG é transmiti<strong>da</strong> pela objetiva. Só ultimamente têm aparecido objetivas com<br />
“coating anti‐refletor” para o visível e o infravermelho simultaneamente, devido<br />
exatamente ao uso de lasers <strong>em</strong> microscopia, como microscopia confocal e pinças<br />
ópticas. Uma pinça óptica “fraca” se tor<strong>na</strong> incapaz de capturar microorganismos vivos<br />
com capaci<strong>da</strong>de motora, principalmente os flagelados, pois ao se debater<strong>em</strong> acabam<br />
escapando pela direção de menor força, geralmente <strong>na</strong> vertical. O grande teste <strong>da</strong><br />
quali<strong>da</strong>de de uma pinça é sua capaci<strong>da</strong>de de capturar espermatozóides, um dos<br />
campeões entre os microorganismos flagelados, com forças <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 50 pN [10].<br />
2.1.6 Microscópio Óptico Simples<br />
O quadro intuitivo traçado até aqui pode nos aju<strong>da</strong>r a entender a importância<br />
dos diversos componentes <strong>da</strong> montag<strong>em</strong> experimental <strong>da</strong> pinça óptica, iniciando pelo<br />
microscópio, e dentro dele, <strong>da</strong> objetiva. Nossa descrição do microscópio irá se restringir<br />
aos aspectos importantes para a operação <strong>da</strong> pinça óptica. A Figura 16 mostra um objeto<br />
e sua imag<strong>em</strong> obti<strong>da</strong> através de uma objetiva de aumento m.<br />
h<br />
‘ X<br />
f<br />
X<br />
H<br />
Figura 16. Formação de imag<strong>em</strong>.<br />
Usando a regra <strong>da</strong> óptica geométrica de que raios que passam pelo foco sa<strong>em</strong><br />
paralelos e raios que entram paralelos passam pelo foco no plano <strong>da</strong> imag<strong>em</strong>, obt<strong>em</strong>os<br />
por s<strong>em</strong>elhança de triângulos que<br />
h<br />
X<br />
H H f<br />
= → m = = (2. 4),<br />
f h X<br />
onde m é a magnificação lateral. Da<strong>da</strong> uma magnificação m, o objeto que está <strong>em</strong> foco<br />
se encontra a uma distância<br />
X = f m do foco <strong>da</strong> objetiva. Entretanto, um feixe de luz<br />
22
paralelo típico de um laser incidindo <strong>na</strong> objetiva pelo lado oposto <strong>da</strong> imag<strong>em</strong>, será<br />
focalizado no foco <strong>da</strong> mesma objetiva, fora do plano de visão. Isso significa que as<br />
partículas captura<strong>da</strong>s estarão <strong>completa</strong>mente fora de foco e não serão detecta<strong>da</strong>s, assim<br />
como mostra a Figura 17. Para focalizar o feixe do laser no plano de visão dev<strong>em</strong>os<br />
torná‐lo ligeiramente divergente.<br />
objetiva<br />
plano do ponto focal<br />
plano de visão<br />
formação de imag<strong>em</strong><br />
laser focalizado<br />
pela objetiva<br />
(s<strong>em</strong> lentes)<br />
Figura 17. Plano do ponto focal e plano de visão.<br />
Isso é feito através de um telescópio, um sist<strong>em</strong>a de duas lentes coloca<strong>da</strong>s uma<br />
no foco <strong>da</strong> outra, conforme ilustra a Figura 18, <strong>na</strong> qual se percebe que afastando as duas<br />
lentes se obtém um feixe convergente e aproximando‐as se obtém um feixe divergente.<br />
Ele nos permite controlar a profundi<strong>da</strong>de z <strong>em</strong> que o laser é focalizado. Utilizamos<br />
lentes com distância focal b<strong>em</strong> curta para ganhar sensibili<strong>da</strong>de, ou seja, um pequeno<br />
deslocamento entre as lentes com um transla<strong>da</strong>dor micrométrico xyz terá um efeito<br />
apreciável <strong>na</strong> posição do foco do laser. Auxiliando alguns grupos que desejavam<br />
montar seus próprios sist<strong>em</strong>as de pinças ópticas perceb<strong>em</strong>os que um dos fatores que<br />
mais haviam dificultado o alinhamento foi o fato de usar<strong>em</strong> lentes de grande distância<br />
focal. Fica difícil manter o alinhamento quando é necessário mover lentes por vários cm<br />
até encontrar o foco. Do ponto de vista do alinhamento <strong>da</strong> pinça esse telescópio é o<br />
ponto crucial.<br />
23
lentes<br />
Figura 18. Importância do telescópio.<br />
É importante notar que dev<strong>em</strong>os ser capazes de visualizar as partículas<br />
“pinça<strong>da</strong>s”, significando que não pod<strong>em</strong>os obstruir o caminho dos raios do microscópio<br />
utilizados para a formação <strong>da</strong> imag<strong>em</strong>. Por isso o “beam splitter” que desvia o feixe do<br />
laser de Nd:YAG para a objetiva t<strong>em</strong> que ser transparente ao visível, ou seja, um<br />
espelho dicróico. Espelhos dielétricos para Nd:YAG com mais de 99% de reflexão são<br />
b<strong>em</strong> transparentes ao visível se tor<strong>na</strong>ndo a escolha ideal para o BS mostrado no<br />
esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Figura 1. Esses espelhos dielétricos, além de atuar<strong>em</strong> como espelhos<br />
também atuam como filtro, mas não de 100%, <strong>da</strong> luz do laser retroespalha<strong>da</strong>. Filtros<br />
compl<strong>em</strong>entares dev<strong>em</strong> ser usados para segurança se o operador olha diretamente <strong>na</strong><br />
ocular. No caso de uso exclusivo <strong>da</strong> câmera de vídeo pode‐se usar o pequeno<br />
vazamento de luz desse espelho para alinhamento do sist<strong>em</strong>a. Nos microscópios<br />
“upright” pod<strong>em</strong>os usar a porta de epi‐ilumi<strong>na</strong>ção, por cima, ou de excitação de<br />
fluorescência para envio do laser. Foi o que fiz<strong>em</strong>os no nosso caso <strong>em</strong> que o<br />
microscópio foi um Olympus modelo BH2.<br />
2.1.7 Microscópios de Óptica Infinita<br />
Até aqui, tratamos do microscópio convencio<strong>na</strong>l, também chamado de óptica<br />
finita. Os microscópios mais modernos são de óptica infinita funcio<strong>na</strong>ndo de forma<br />
s<strong>em</strong>elhante a uma lupa, onde o objeto é colocado no foco <strong>da</strong> objetiva. Assim, ca<strong>da</strong><br />
porção do objeto, vai <strong>da</strong>r orig<strong>em</strong> a um feixe de raios paralelos que passam incli<strong>na</strong>dos<br />
24
pelo centro <strong>da</strong> objetiva, como mostra a Figura 19. Para focalizar esses raios paralelos e<br />
reconstruir a imag<strong>em</strong> desse objeto, coloca‐se uma outra lente, chama<strong>da</strong> “lente de tubo”.<br />
f tubo<br />
hf obj H<br />
Figura 19. Formação de imag<strong>em</strong> <strong>em</strong> um microscópio de óptica infinita.<br />
Nessa configuração, o aumento fi<strong>na</strong>l será:<br />
h<br />
f<br />
obj<br />
H H fobj<br />
= → m = = (2. 5)<br />
f h f<br />
tubo<br />
tubo<br />
Como os raios de luz, que são formados entre a objetiva e a “lente de tubo”, são<br />
paralelos, el<strong>em</strong>entos ópticos como prismas, filtros e polarizadores pod<strong>em</strong> ser colocados<br />
nesse espaço s<strong>em</strong> causar aberrações <strong>na</strong> formação <strong>da</strong> imag<strong>em</strong> <strong>na</strong> ocular. Há um número<br />
máximo de componentes que pod<strong>em</strong> ser colocados, o qual é limitado pela distância<br />
existente entre a objetiva e a “lente de tubo”. Colocar a “lente de tubo” muito longe <strong>da</strong><br />
objetiva reduz a quanti<strong>da</strong>de de raios periféricos coletados resultando <strong>em</strong> imagens<br />
borra<strong>da</strong>s e/ou escureci<strong>da</strong>s reduzindo assim sua quali<strong>da</strong>de. Nos microscópios de óptica<br />
infinita, se o laser for acoplado ao microscópio s<strong>em</strong> passar pela “lente de tubo”, não<br />
haveria a necessi<strong>da</strong>de do uso do telescópio, pois o laser seria focalizado no foco que<br />
agora é o plano de visão. Entretanto, se a “lente de tubo” estiver no caminho do laser,<br />
haverá a necessi<strong>da</strong>de do telescópio para compensar o desvio que será sofrido pelo feixe,<br />
pois nesse caso o plano focal não mais será o mesmo que o plano de visão.<br />
Na grande maioria <strong>da</strong>s vezes o feixe de laser entra no microscópio pelas portas<br />
reserva<strong>da</strong>s para câmeras, máqui<strong>na</strong>s fotográficas e/ou fluorescência e por isso fatalmente<br />
passa pela “lente de tubo”. Apesar disso, mesmo quando pode ser feita alguma<br />
modificação no microscópio de forma a possibilitar que o laser entre diretamente pela<br />
25
objetiva e não se t<strong>em</strong> a necessi<strong>da</strong>de direta de visualizar a captura, o telescópio permite<br />
corrigir a divergência do feixe de laser e é a única forma de controlar a posição vertical<br />
do foco.<br />
2.1.8 Características <strong>da</strong>s Objetivas<br />
Os parâmetros que defin<strong>em</strong> as proprie<strong>da</strong>des <strong>da</strong>s objetivas são: aumento,<br />
abertura numérica, distância de trabalho e se são de imersão <strong>em</strong> óleo ou água. O<br />
aumento já foi discutido, e é <strong>da</strong>do pela razão f / X , ou f / f . A abertura numérica é<br />
defini<strong>da</strong> como o ângulo do cone de luz <strong>na</strong> saí<strong>da</strong> <strong>na</strong> objetiva NA . . = r/<br />
f, como mostra a<br />
Figura 20. De acordo com a lei do seno de Abbe, r/<br />
f = senθ onde θ é a abertura angular<br />
de um cone de luz que atravessa uma objetiva. Se não é o ar que está entre a mesma e a<br />
lâmi<strong>na</strong>, a abertura numérica é então defini<strong>da</strong> por NA . . = nsenθ , onde n é o índice de<br />
refração do meio.<br />
r<br />
obj<br />
tubo<br />
cone<br />
de luz<br />
θ<br />
f<br />
Figura 20. Definição de abertura numérica.<br />
Quanto maior for a abertura numérica, maior é o ângulo de abertura do cone de<br />
luz formado. A abertura numérica, o aumento e o campo de visão de uma objetiva estão<br />
relacio<strong>na</strong>dos. Da Figura 21 v<strong>em</strong>os que o ângulo máximo que passa pela abertura <strong>da</strong><br />
objetiva é <strong>da</strong>do por<br />
2 h X = NA , e usando m = f X t<strong>em</strong>os que 2 h = ( f m)NA<br />
, ou seja o<br />
campo de visão cai com o aumento <strong>da</strong> objetiva e aumenta com sua abertura numérica.<br />
f<br />
f<br />
h<br />
X<br />
Figura 21. A objetiva e o campo de visão.<br />
26
Para evitar campos de visão muito pequenos, menores dos que os objetos que se<br />
pretende visualizar, é necessário crescer a abertura numérica com o aumento <strong>da</strong><br />
objetiva. Vejamos o ex<strong>em</strong>plo de uma objetiva de 100X com distância focal de 5 µm. Para<br />
uma abertura numérica de 1, o campo de visão inteiro é <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de ape<strong>na</strong>s 50 µm.<br />
Aberturas <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 1 significam ângulos muito grandes. Tão grandes que parte <strong>da</strong><br />
luz sofreria reflexão inter<strong>na</strong> total e seria praticamente impossível conseguir uma boa<br />
correção <strong>da</strong>s aberrações. A forma encontra<strong>da</strong> para obter aberturas numéricas acima de 1<br />
foi o uso <strong>da</strong>s objetivas de imersão esqu<strong>em</strong>atiza<strong>da</strong>s <strong>na</strong> Figura 22. O fluido representado<br />
pela cor azul <strong>da</strong> figura t<strong>em</strong> o mesmo índice de refração do vidro <strong>da</strong> esfera corta<strong>da</strong>. Isso<br />
significa que o ponto P sai dessa primeira lente como se viesse de P 1 e do menisco a<br />
seguir como se viesse de P 2 <strong>em</strong> um ângulo b<strong>em</strong> menor do que o inicial. A partir <strong>da</strong>í se<br />
usam outras lentes para fazer correção <strong>da</strong>s aberrações cromáticas.<br />
Óleo<br />
P 2<br />
P 1<br />
P<br />
C<br />
Lamínula<br />
Figura 22. Objetivas de imersão.<br />
As objetivas de imersão <strong>em</strong> óleo pod<strong>em</strong> chegar a aberturas numéricas de 1.4.<br />
Outro fator relacio<strong>na</strong>do às aberturas numéricas é a distância de trabalho de uma<br />
objetiva. Ela é defini<strong>da</strong> como a distância do objeto à saí<strong>da</strong> <strong>da</strong> objetiva, no caso de<br />
objetivas de imersão, <strong>da</strong> lamínula até o objeto, conforme pod<strong>em</strong>os ver <strong>na</strong> Figura 23.<br />
Dessa forma percebe‐se que quanto maior o aumento, maior é a abertura numérica e<br />
menor é a distância de trabalho.<br />
27
laminula<br />
distância de trabalho<br />
Figura 23. Abertura numérica e distância de trabalho.<br />
2.1.9 Falsa Armadilha e a Abertura Numérica<br />
Uma pinça óptica deve ser capaz de capturar um objeto tridimensio<strong>na</strong>lmente,<br />
com forças <strong>na</strong>s 3 direções x, y e z. Para isso é necessário garantir que os raios de luz<br />
tenham componentes nessas 3 direções. Entretanto, também é possível se criar uma<br />
falsa armadilha, capaz de capturar uma partícula <strong>em</strong> ape<strong>na</strong>s duas dimensões, e não <strong>em</strong><br />
três. Ela opera s<strong>em</strong>pre que um agente externo fornece a força necessária para que a<br />
partícula não mova <strong>na</strong> direção vertical, como por ex<strong>em</strong>plo, uma partícula no fundo <strong>da</strong><br />
lâmi<strong>na</strong>, ou que flutua no líquido. Para criar uma “pinça óptica” ver<strong>da</strong>deira é necessário<br />
usar feixes de grande abertura numérica, enquanto mesmo ape<strong>na</strong>s um feixe de luz<br />
paralelo é capaz de criar a falsa armadilha. Pod<strong>em</strong>os entender isso acompanhando a<br />
trajetória de um raio vertical que incide lateralmente <strong>na</strong> esfera à uma certa distância de<br />
seu centro como mostrado <strong>na</strong> Figura 24. Esse raio se incli<strong>na</strong> <strong>na</strong> direção <strong>da</strong> esfera e<br />
aparec<strong>em</strong> duas forças, uma perpendicular ao raio tendendo a colocar o centro <strong>da</strong> esfera<br />
ao longo do raio e outra ao longo do raio, <strong>na</strong> direção z, acelerando a partícula<br />
verticalmente. A partícula poderia ficar <strong>em</strong> qualquer posição de equilíbrio ao longo do<br />
raio que passa pelo seu centro caso não houvesse a reflexão. Com a reflexão não há<br />
como estabilizar a partícula <strong>em</strong> alguma posição. Os primeiros trabalhos de Ashkin<br />
sobre levitação de partículas utilizavam uma configuração de 6 feixes contrapropagantes,<br />
para cancelar as forças de reflexão, <strong>na</strong>s três direções para capturar as<br />
partículas.<br />
28
aio incidente<br />
z<br />
raio refratado<br />
seis feixes<br />
Figura 24. Configuração de uma falsa armadilha.<br />
Num cone de luz são os raios mais incli<strong>na</strong>dos, com maiores componentes<br />
horizontais, que geram as forças <strong>na</strong> direção vertical. A parte central do cone, quase to<strong>da</strong><br />
vertical, gera forças restauradoras <strong>na</strong> direção horizontal. Quanto maior a abertura<br />
numérica, maior a força <strong>na</strong> direção vertical às custas de uma força menor <strong>na</strong> direção<br />
horizontal, conforme esqu<strong>em</strong>atizado <strong>na</strong> Figura 25 e <strong>na</strong> Figura 26.<br />
raios<br />
incidentes<br />
raios<br />
incidentes<br />
f .<br />
forças<br />
raios<br />
refratados<br />
Figura 25. Falsa armadilha e a abertura numérica.<br />
Armadilhas <strong>em</strong> 3 dimensões só são obti<strong>da</strong>s com aberturas numéricas <strong>da</strong> ord<strong>em</strong><br />
de 1, tipicamente com aumentos acima de 60X. Qualquer movimento horizontal<br />
observado com objetivas de 40X ou menos são, <strong>na</strong> reali<strong>da</strong>de, de falsa armadilha,<br />
usualmente de partículas no fundo <strong>da</strong> lâmi<strong>na</strong> que não pod<strong>em</strong> se mover <strong>na</strong> direção<br />
vertical.<br />
Para essas partículas pode‐se observar movimento horizontal, mas não se<br />
consegue levantá‐las, pois a força vertical não é maior que seu peso. Um cui<strong>da</strong>do extra<br />
deve ser tomado no caso de microscópios invertidos, <strong>em</strong> que o feixe incide<br />
verticalmente contra a gravi<strong>da</strong>de, pois a tendência <strong>da</strong> reflexão de expelir a partícula<br />
pode cancelar a gravi<strong>da</strong>de e mesmo uma falsa armadilha pode movimentar a partícula<br />
29
<strong>em</strong> 3 dimensões. Entretanto, não será capaz de capturar microorganismos com força<br />
motriz própria, a menos que existam forças <strong>na</strong>s 3 dimensões.<br />
R<br />
F<br />
NA = 0,3<br />
NA = 1<br />
Peque<strong>na</strong> abertura numérica:<br />
menor componente horizontal<br />
Grande abertura numérica:<br />
maior componente horizontal<br />
menor força vertical<br />
maior força vertical<br />
Figura 26. A abertura numérica e a força vertical.<br />
Os cui<strong>da</strong>dos com a falsa armadilha vão além do uso de uma objetiva com<br />
abertura numérica de alto valor. Esse valor é <strong>da</strong>do para a coleta <strong>da</strong> luz e definido pelas<br />
íris ao longo <strong>da</strong> objetivas. Do ponto de vista <strong>da</strong> luz incidindo <strong>na</strong> objetiva pelo lado <strong>da</strong><br />
imag<strong>em</strong> só se obtém sua abertura numérica nomi<strong>na</strong>l quando a mesma é <strong>completa</strong>mente<br />
preenchi<strong>da</strong>, como mostra o esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Figura 27. Um feixe que incide <strong>na</strong> objetiva com<br />
diâmetro menor <strong>da</strong> que sua íris vai corresponder a um feixe focalizado com abertura<br />
menor do que a nomi<strong>na</strong>l.<br />
Figura 27. Falsa armadilha e o preenchimento <strong>da</strong> objetiva.<br />
2.1.10 Microscópios Invertidos: Vantagens e Desvantagens<br />
Um outro aspecto relevante <strong>na</strong> montag<strong>em</strong> de uma pinça óptica é se o<br />
microscópio é convencio<strong>na</strong>l “upright” ou invertido. Na Figura 28 a t<strong>em</strong>os um esqu<strong>em</strong>a<br />
de um microscópio convencio<strong>na</strong>l, onde v<strong>em</strong>os que o laser entra por cima, passa<br />
primeiramente pela objetiva e depois incide sobre uma amostra que está<br />
30
necessariamente delimita<strong>da</strong> por uma lamínula e uma lâmi<strong>na</strong>, de forma que logo a<br />
seguir já está a plataforma. Ou seja, nesse caso só cabe uma lâmi<strong>na</strong> de profundi<strong>da</strong>de<br />
máxima <strong>em</strong> torno de 150 µm entre a objetiva e a plataforma, l<strong>em</strong>brando que as<br />
distâncias de trabalho <strong>da</strong>s objetivas usa<strong>da</strong>s <strong>na</strong> pinça óptica são extr<strong>em</strong>amente peque<strong>na</strong>s.<br />
Já <strong>na</strong> Figura 28 b, t<strong>em</strong>os a ilustração de um microscópio invertido. Diferent<strong>em</strong>ente do<br />
microscópio “upright”, agora o laser entra por baixo, encontra a objetiva e então incide<br />
sobre a amostra, tal que para podermos utilizar as objetivas de grande abertura<br />
numérica t<strong>em</strong>os que inverter a lâmi<strong>na</strong> para o laser passar primeiramente pela lamínula<br />
e depois pela lâmi<strong>na</strong> respeitando assim os pequenos valores de distância de trabalho. A<br />
grande vantag<strong>em</strong> do microscópio invertido é o espaço considerável que há entre a<br />
lâmi<strong>na</strong> e a lâmpa<strong>da</strong> e condensadores, o qual nos propicia trabalhar com câmaras abertas<br />
que é bastante desejável para estudos com aplicações biológicas onde muitas vezes<br />
quer<strong>em</strong>os estu<strong>da</strong>r efeitos de determi<strong>na</strong><strong>da</strong>s substâncias ou também quando a<br />
experiência requer o uso micro‐manipuladores. Assim, uma boa maneira de aproveitar<br />
esse recurso e que também nos livra <strong>da</strong> tarefa de in<strong>versão</strong> de lâmi<strong>na</strong>, é trocar as câmaras<br />
convencio<strong>na</strong>is por uma lamínula acopla<strong>da</strong> a um O’ring. Dessa forma pod<strong>em</strong>os<br />
introduzir, <strong>em</strong> conjunto com a pinça óptica, substâncias e/ou instrumentos. O uso do<br />
“O’ring” ain<strong>da</strong> traz outra vantag<strong>em</strong>, como a amostra só está delimita<strong>da</strong> pela face <strong>da</strong><br />
lamínula, os modelos de hidrodinâmica envolvidos nos experimentos são b<strong>em</strong> mais<br />
simples do que no caso anterior do microscópio convencio<strong>na</strong>l onde a amostra está<br />
delimita<strong>da</strong> por duas faces.<br />
lâmi<strong>na</strong> e lamínula<br />
condensador e lâmpa<strong>da</strong><br />
micromanipuladores<br />
condensador e lâmpa<strong>da</strong><br />
lâmi<strong>na</strong> e “o’ ring”<br />
a. b.<br />
Figura 28. a. Microscópio convencio<strong>na</strong>l “upright”. b. Microscópio invertido.<br />
31
2.1.11 O Alinhamento<br />
O procedimento que utilizamos para o alinhamento <strong>da</strong> pinça óptica no<br />
microscópio foi:<br />
1. Em primeiro lugar garantir que o foco do laser caia no campo de visão do<br />
microscópio. S<strong>em</strong> as duas lentes do telescópio, obriga‐se o feixe do laser a incidir<br />
perpendicularmente <strong>na</strong> objetiva do microscópio, certificando‐se de que ele está<br />
centralizado <strong>na</strong> mesma e a atravessa. Faz<strong>em</strong>os isso s<strong>em</strong> a objetiva e com um papel<br />
espalhador para ver o ponto central do laser b<strong>em</strong> no meio de onde seria o círculo <strong>da</strong><br />
abertura <strong>da</strong> objetiva. Feito isso, colocamos a objetiva e procuramos visualizar o feixe <strong>na</strong><br />
TV, começando com objetivas de pouco aumento para ampliar o campo de visão. As<br />
CCD’s <strong>da</strong>s câmeras de vídeo são fabrica<strong>da</strong>s com detectores de silício capazes de<br />
detectar si<strong>na</strong>is até 1100 nm, logo seriam sensíveis ao 1064 nm do Nd:YAG. Entretanto,<br />
para não apresentar<strong>em</strong> artefatos que o olho humano não enxerga, elas inclu<strong>em</strong> um filtro<br />
que só deixa passar o visível. Abrindo a câmera e retirando esse filtro pode‐se visualizar<br />
a peque<strong>na</strong> parcela do infravermelho <strong>em</strong> 1064 nm refleti<strong>da</strong> <strong>na</strong> lâmi<strong>na</strong> e que vaza pelo<br />
espelho dielétrico, incapaz de <strong>da</strong>nificar a CCD. Centralizamos o laser no campo de<br />
visão <strong>da</strong>s objetivas de menor aumento, usualmente de 10X e passamos ao procedimento<br />
2 de verticalizar a incidência do feixe do laser. Quando o mesmo estiver perpendicular<br />
ver<strong>em</strong>os <strong>na</strong> TV um círculo concêntrico de laser simétrico que irá abrir e fechar<br />
uniform<strong>em</strong>ente conforme mov<strong>em</strong>os o parafuso de ajuste focal do microscópio – Figura<br />
29.<br />
2. Para garantir a verticali<strong>da</strong>de utilizamos um procedimento que converge<br />
movimentando‐se alter<strong>na</strong><strong>da</strong>mente o espelho BS dentro do microscópio e o espelho M1<br />
do esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Figura 1, de forma que o movimento de um compense o do outro até se<br />
visualizar o círculo perfeito <strong>na</strong> TV. O ponto central do círculo deve estar mais ou menos<br />
no centro <strong>da</strong> imag<strong>em</strong>, ou sairá do campo de visão quando usarmos objetivas de maiores<br />
aumentos.<br />
32
feixe perpendicular<br />
feixe incli<strong>na</strong>do<br />
foco<br />
microscópio<br />
círculos concêntricos<br />
círculos não concêntricos<br />
Figura 29. Esqu<strong>em</strong>a de alinhamento.<br />
3. Nesse momento dev<strong>em</strong>os introduzir o telescópio, ain<strong>da</strong> utilizando uma objetiva de<br />
10X. Para centralizar o feixe ao longo dos eixos <strong>da</strong>s várias lentes, primeiramente<br />
colocamos ape<strong>na</strong>s a primeira delas que é normalmente monta<strong>da</strong> sobre um sist<strong>em</strong>a de<br />
translação XY. Essa lente tor<strong>na</strong>rá o laser divergente e mu<strong>da</strong>rá <strong>completa</strong>mente a posição<br />
z do foco, que deve ser reencontra<strong>da</strong>. Agora, movendo ape<strong>na</strong>s a lente que acabamos de<br />
introduzir no seu plano horizontal obrigamos o foco do laser a coincidir no mesmo<br />
ponto <strong>em</strong> que estava antes <strong>da</strong> lente ser coloca<strong>da</strong>. Para isso, usamos a TV com um círculo<br />
desenhado <strong>na</strong> tela com uma caneta de retroprojetor. Repetimos então o processo de<br />
“verticalização”. Movimentando ape<strong>na</strong>s a lente nos certificamos que o feixe, apesar de<br />
divergente, continua perpendicular formando círculos simétricos. Garanti<strong>da</strong> que a<br />
primeira lente está centraliza<strong>da</strong>, colocamos a segun<strong>da</strong> lente do telescópio, que deve ser<br />
monta<strong>da</strong> <strong>em</strong> sist<strong>em</strong>a de translação XYZ, para se poder variar a distância entre as duas<br />
lentes <strong>na</strong> direção z. Repetimos o procedimento anterior. Com o foco do laser b<strong>em</strong><br />
próximo do centro <strong>da</strong> tela pod<strong>em</strong>os passar para objetivas de maior aumento até chegar<br />
a de 100X.<br />
4. Agora, o procedimento para colocar o foco do laser no plano de visão. Nesse ponto é<br />
bom usar uma câmara de Neubauer (Figura 30). Trata‐se de um dispositivo utilizado<br />
para a contag<strong>em</strong> de glóbulos vermelhos do sangue e consiste <strong>em</strong> uma lâmi<strong>na</strong> escava<strong>da</strong><br />
com profundi<strong>da</strong>de de 100 µm cujo fundo é riscado com um quadriculado de 50 x 50 µm.<br />
33
A lamínula fecha essa “micro‐pisci<strong>na</strong>” por cima. Preparamos a câmara de Neubauer<br />
com água, fechamos com a lamínula e colocamos óleo de imersão sobre a mesma para<br />
usar a objetiva de 100X. Focalizamos a imag<strong>em</strong> até enxergar b<strong>em</strong> as ranhuras de 50 µm<br />
<strong>da</strong> câmara de Neubauer, nos certificando assim que estamos no plano de visão do<br />
microscópio. Liberamos o laser. Já deve ser possível visualizar um círculo nesse estágio<br />
se as etapas anteriores foram b<strong>em</strong> feitas. Agora, movendo a segun<strong>da</strong> lente do telescópio<br />
ape<strong>na</strong>s <strong>na</strong> direção z, dev<strong>em</strong>os ver esse círculo abrindo e fechando, que nos permite<br />
encontrar a distância z para o menor ponto focal do laser no plano de visão. Feito isso<br />
voltamos ao procedimento <strong>da</strong> “verticalização” movendo a lente do telescópio <strong>na</strong>s<br />
direções XY até garantir a formação dos círculos concêntricos novamente. Nesse ponto,<br />
a captura ocorrerá b<strong>em</strong> próxima do plano de visão do microscópio.<br />
Profundi<strong>da</strong>de 100 µm<br />
Fundo quadriculado 50 x 50 µm<br />
Figura 30. Ilustração <strong>da</strong> câmara de Neubauer.<br />
5. A última etapa é feita com a captura de microesferas de poliestireno. Qualquer tinta<br />
branca de parede está cheia dessas microesferas. Diluímos b<strong>em</strong> essas microesferas <strong>em</strong><br />
água e colocamos essa solução <strong>na</strong> câmara de Neubauer, usando a objetiva de 100X e<br />
ligando o laser de Nd:YAG. Se as etapas anteriores foram b<strong>em</strong> feitas, dev<strong>em</strong>os ser<br />
capazes de visualizar esferinhas sendo captura<strong>da</strong>s no fundo <strong>da</strong> lâmi<strong>na</strong>. Capturamos<br />
uma delas e a subimos movendo o foco do microscópio. Fi<strong>na</strong>lmente realizamos o ajuste<br />
fino do telescópio movendo‐o <strong>na</strong> direção z até obter a microesfera b<strong>em</strong> focaliza<strong>da</strong>.<br />
Nessa etapa o ponto de captura não precisa estar obrigatoriamente no centro <strong>da</strong> tela.<br />
2.1.12 Resultados Obtidos com a Pinça Óptica Simples<br />
Abaixo estão algumas imagens de manipulação feitos <strong>em</strong> nosso laboratório com<br />
a pinça óptica simples.<br />
34
a. b. c.<br />
Figura 31 a. Cristal de oxalato de cálcio de célula de cebola. b. Espermatozóide. c. M<strong>em</strong>bra<strong>na</strong><br />
estica<strong>da</strong> de célula de cebola.<br />
2.2 A Pinça Óptica Dupla<br />
2.2.1 Motivação e Pontos Experimentais Relevantes<br />
Normalmente, a maneira prática de transportar a partícula captura<strong>da</strong> de um local<br />
para o outro <strong>na</strong>s direções x e y é mantendo a pinça fixa e movimentando a plataforma<br />
ou plati<strong>na</strong>, do microscópio. Isso porque mover a posição do feixe de pinça é muito mais<br />
complicado, podendo até desalinhar o sist<strong>em</strong>a. Entretanto, para vários estudos, tais<br />
como adesão de partículas e medi<strong>da</strong>s estáticas de elastici<strong>da</strong>des, é necessário usar dois<br />
ou mais pontos de captura e assegurar a capaci<strong>da</strong>de de movimentá‐los um <strong>em</strong> relação<br />
ao outro de forma independente. Incli<strong>na</strong>ndo o feixe de laser incidente pod<strong>em</strong>os mover a<br />
posição de uma pinça <strong>em</strong> relação à outra conforme mostra a Figura 32 a. O probl<strong>em</strong>a<br />
com esse procedimento é que a incli<strong>na</strong>ção do feixe que estava centralizado, o desalinha<br />
<strong>em</strong> relação à abertura <strong>da</strong> objetiva, esbarrando nos seus limites, perdendo potência e<br />
obtendo um feixe totalmente assimétrico, assim como apresenta a Figura 32 b. Essa<br />
per<strong>da</strong> de potência vai ocorrer s<strong>em</strong>pre se a objetiva está <strong>completa</strong>mente preenchi<strong>da</strong> <strong>em</strong><br />
um bom alinhamento <strong>da</strong> pinça óptica.<br />
Para se resolver essa questão, é necessário defletir o feixe incidente de forma que<br />
sua rotação seja pivota<strong>da</strong> <strong>em</strong> torno do centro <strong>da</strong> abertura <strong>na</strong> entra<strong>da</strong> <strong>da</strong> objetiva,<br />
conforme mostra a Figura 33. Além disso, essa incli<strong>na</strong>ção t<strong>em</strong> que ser realiza<strong>da</strong><br />
satisfazendo a captura no plano de visão e o preenchimento <strong>da</strong> objetiva. Fi<strong>na</strong>lmente,<br />
também é desejável controlar independent<strong>em</strong>ente a potência de ca<strong>da</strong> uma <strong>da</strong>s pinças<br />
ópticas.<br />
35
Feixe incli<strong>na</strong>do<br />
incli<strong>na</strong>ção<br />
Abertura abertura<br />
<strong>da</strong> objetiva<br />
b<br />
pinça 1 pinça 2<br />
a<br />
Figura 32. a. Movimento <strong>da</strong> pinça dupla. b. Incli<strong>na</strong>ção do feixe <strong>na</strong> objetiva.<br />
pivot de rotação – s<strong>em</strong> per<strong>da</strong> de potência<br />
Figura 33. Ilustração <strong>da</strong> melhor forma de incli<strong>na</strong>r os feixes.<br />
Para isso usamos a montag<strong>em</strong> esqu<strong>em</strong>atiza<strong>da</strong> <strong>na</strong> Figura 34 abaixo. O laser é<br />
dividido por um “polarizer beam splitter” – PBS1 que transmite a parte do feixe<br />
polariza<strong>da</strong> paralelamente e reflete a polariza<strong>da</strong> perpendicularmente e que são<br />
recombi<strong>na</strong><strong>da</strong>s no segundo PBS2 de onde segu<strong>em</strong> colineares. Girando a polarização do<br />
laser incidente através <strong>da</strong> placa de meia on<strong>da</strong> HWP1, pod<strong>em</strong>os controlar<br />
arbitrariamente a potência relativa dos dois feixes. Já a placa de meia on<strong>da</strong> HWP2 é<br />
usa<strong>da</strong> como um atenuador para controlar a potência do braço no qual está. Com essas<br />
duas placas somos capazes então de controlar individualmente a potência <strong>em</strong> ca<strong>da</strong> uma<br />
<strong>da</strong>s pinças ópticas.<br />
L HWP1<br />
PBS1<br />
5<br />
L 6<br />
objetiva<br />
L f 4<br />
4<br />
f<br />
L 1<br />
1<br />
L f<br />
3<br />
3<br />
HWP2<br />
GM<br />
d 3<br />
PBS2<br />
f<br />
2 d 1<br />
d 12<br />
GM<br />
L 2<br />
d 2<br />
Figura 34. Esqu<strong>em</strong>a de montag<strong>em</strong> <strong>da</strong> pinça dupla.<br />
36
Os espelhos GM são “gimbal mounts” produzidos para garantir que o centro do<br />
espelho seja o ponto de interseção dos eixos de rotação vertical e horizontal e são<br />
utilizados para incli<strong>na</strong>r o laser. Entretanto, é necessário transferir uma rotação do laser<br />
<strong>em</strong> torno do “gimbal mount” para uma rotação <strong>em</strong> torno do centro <strong>da</strong> objetiva. Para<br />
isso utilizamos um conjunto de 3 telescópios, L1+ L2, L3 + L4<br />
e L5 + L6com distâncias<br />
focais f i , tal que i = 1 até 6 . Os telescópios L3 + L4<br />
e L5 + L6<br />
são utilizados para o foco<br />
do laser estar no plano de visão e o L1+ L2<br />
para assegurar a rotação pivota<strong>da</strong> no centro<br />
<strong>da</strong> abertura <strong>da</strong> objetiva.<br />
Para satisfazer to<strong>da</strong>s essa condições utilizamos traçado de raios <strong>da</strong> óptica<br />
geométrica. Os pontos de rotação no “gimbal mount” e <strong>na</strong> abertura <strong>da</strong> objetiva dev<strong>em</strong><br />
ser pontos conjugados, ou seja, um é a imag<strong>em</strong> do outro. Para isso os suportes GM<br />
dev<strong>em</strong> estar a uma distância d = d1 + d12 + d2 dessa objetiva.<br />
d 12<br />
f 2<br />
f 1<br />
d 1 d 2<br />
d d’<br />
Figura 35. Diagrama de raios para as lentes L 1 e L 2 .<br />
Usando a Figura 35 obt<strong>em</strong>os para a lente 1:<br />
e para a lente 2:<br />
de onde tiramos que:<br />
1 1 1 f1d1<br />
− f1d12−d1( d12−<br />
f1)<br />
+ = → d = e d′ =<br />
(2. 6)<br />
d d f d − f<br />
( d − f )<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1 1 f d′<br />
d d f d f<br />
2<br />
+ = → d2<br />
=<br />
2<br />
′<br />
2<br />
′− 2<br />
37<br />
1 1<br />
(2. 7)<br />
fd 1 12−d1( d12−<br />
f1)<br />
− f2<br />
d1− f1 f2[ f1d12 −d1( d12 − f1)]<br />
d2<br />
= = ⇒<br />
fd 1 12−d1( d12− f1) −<br />
− f<br />
fd 1 12−d1( d12− f1)<br />
+ d1f2−<br />
f1f2<br />
2<br />
d1−<br />
f1<br />
f2[ f1d12 − d1( d12 − f1)]<br />
d2<br />
=<br />
(2. 8)<br />
f1( d12 − f2) −d1( d12 − f1−<br />
f2)
Substituindo agora d 12 , t<strong>em</strong>os:<br />
d<br />
f2<br />
f2<br />
= ( f2<br />
+ f1<br />
− 1<br />
f<br />
f<br />
) (2. 9).<br />
2 d<br />
1<br />
1<br />
Usando s<strong>em</strong>elhança de triângulos, pod<strong>em</strong>os obter o tamanho do feixe r 2 no<br />
suporte GM <strong>da</strong> Figura 36, onde consideramos as relações:<br />
1<br />
f<br />
1 1 f3d3<br />
= − + → X′<br />
= (2. 10),<br />
X′<br />
d ( d − )<br />
3 3<br />
3 f3<br />
r1 r′<br />
r1<br />
r<br />
= → r′ = ( d34 − X′<br />
− f4)<br />
→ r′ = 1 ( d34 − f4)(( d3 − f3)<br />
− f3d3<br />
f4 d34 − X′<br />
− f4 f4<br />
f4( d3 − f3)<br />
( d<br />
3<br />
r r′<br />
( d3<br />
− f<br />
= → r2<br />
=<br />
− f ) f<br />
f3<br />
2 3 )<br />
3<br />
3<br />
[ ]<br />
r′<br />
(2. 12)<br />
(2. 11)<br />
e portanto,<br />
( d − f )<br />
r = [( d − f )(( d − f ) − f d r →<br />
[ ]<br />
3 3<br />
2 34 4 3 3 3 3 1<br />
f3f4( d3 − f3)<br />
r<br />
2<br />
⎛ d<br />
⎜<br />
⎝<br />
( d<br />
−<br />
f<br />
)( d<br />
− f ) ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
3 34 4 3 3<br />
= −<br />
⎜<br />
−<br />
r1<br />
f4<br />
f4<br />
f ⎟ (2. 13),<br />
3<br />
sendo r 1 o tamanho antes <strong>da</strong> lente f 4 e d 34 = f3<br />
+ f4<br />
.<br />
d 34<br />
X’<br />
r 1<br />
f 3 r 2<br />
f 4 r’<br />
Se fizermos f3 = d3, t<strong>em</strong>os:<br />
d 4 d 3<br />
Figura 36. Diagrama de raios para as lentes L 3 e L 4 .<br />
r<br />
f<br />
= (2. 14)<br />
3<br />
2<br />
− r1<br />
f4<br />
e o tamanho do feixe r 2 no GM é s<strong>em</strong>pre o mesmo, independent<strong>em</strong>ente <strong>da</strong><br />
convergência ou divergência resultante <strong>da</strong> distância d34, pois não é função <strong>da</strong> mesma,<br />
assim como mostra a Figura 37.<br />
38
GM<br />
f 3 + f 4<br />
GM<br />
f 3 + f 4<br />
GM<br />
f 3 + f 4<br />
Figura 37. Telescópio relacio<strong>na</strong>do ao tamanho do feixe.<br />
Levando isso <strong>em</strong> consideração e o fato de que o GM e a abertura <strong>da</strong> objetiva são<br />
planos conjugados, t<strong>em</strong>os que o tamanho fi<strong>na</strong>l do feixe r 4 <strong>na</strong> objetiva relacio<strong>na</strong>do ao<br />
tamanho do feixe que entrou no sist<strong>em</strong>a de lentes e espelhos é <strong>da</strong>do por:<br />
r<br />
f f<br />
=<br />
⎛ ⎞⎛<br />
⎞<br />
⎟ (2. 15)<br />
⎝ ⎠⎝<br />
⎠<br />
1 3<br />
4 ⎜ f ⎟⎜<br />
r1<br />
2<br />
f<br />
4<br />
Por outro lado o tamanho do feixe no “gimbal mount” r 2 está relacio<strong>na</strong>do ao<br />
f<br />
tamanho r 4 <strong>na</strong> entra<strong>da</strong> <strong>da</strong> objetiva por r<br />
1<br />
4 =<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ f ⎟ r2<br />
. Dessa forma, uma deflexão<br />
⎝ 2 ⎠<br />
angular θ 1 no “gimbal mount” ocasio<strong>na</strong>rá uma deflexão do laser <strong>na</strong> entra<strong>da</strong> <strong>da</strong> objetiva<br />
de:<br />
f<br />
2<br />
1<br />
( f )<br />
θ = θ e o deslocamento entre os focos será d= f obj θ 2<br />
onde f obj é o foco <strong>da</strong><br />
2 1<br />
2<br />
objetiva. Escolhendo as distâncias focais <strong>da</strong>s diversas lentes pod<strong>em</strong>os ampliar ou<br />
comprimir o movimento no microscópio.<br />
Considerando‐se as equações acima, garantimos a condição de preenchimento <strong>da</strong><br />
objetiva, <strong>da</strong> rotação pivota<strong>da</strong> <strong>na</strong> sua abertura e do foco do laser no plano de visão, para<br />
obter uma pinça óptica dupla operando eficient<strong>em</strong>ente.<br />
2.2.2 O Sist<strong>em</strong>a Experimental de Pinça Dupla<br />
A Figura 38, apresenta uma foto do nosso sist<strong>em</strong>a experimental de pinça dupla.<br />
Os valores escolhidos para os pares de telescópio {(f1, f2), (f3, f4)} foram respectivamente<br />
39
30, 50, 2.5, 5 cm. As distâncias d1 e d2 foram 38 e 25 cm. Os feixes são movimentados<br />
pelo computador ou por joystick com atuadores piezoelétricos <strong>da</strong> NewFocus colocados<br />
<strong>em</strong> “gimbal mounts” <strong>da</strong> Newport e incid<strong>em</strong> <strong>na</strong> amostra através de uma objetiva de<br />
100X e abertura numérica de 1.25. Uma mini‐câmera CCD JVC faz parte do sist<strong>em</strong>a e<br />
registra as imagens <strong>da</strong>s partículas captura<strong>da</strong>s que pod<strong>em</strong> ser estoca<strong>da</strong>s e a<strong>na</strong>lisa<strong>da</strong>s<br />
qualitativa e quantitativamente <strong>em</strong> VHS ou no computador. O microscópio “upright”<br />
Olympus está equipado com uma plataforma motoriza<strong>da</strong> <strong>da</strong> Prior para movimentar a<br />
partícula captura<strong>da</strong> <strong>em</strong> x e y para aplicações com a pinça óptica simples e com um<br />
micrômetro com um rotator motorizado também <strong>da</strong> Prior para movimentos <strong>em</strong> z. Essa<br />
plataforma motoriza<strong>da</strong> pode ser controla<strong>da</strong> via joystick ou via software.<br />
PBS1<br />
telescópio<br />
GM2<br />
GM1<br />
PBS2<br />
Figura 38. Montag<strong>em</strong> <strong>da</strong> pinça óptica dupla.<br />
2.2.3 O Alinhamento<br />
Para alinhar a pinça dupla adotamos os seguintes procedimentos:<br />
1. S<strong>em</strong> qualquer lente e placas de meia‐on<strong>da</strong> e com o auxílio de um visor ou um cartão<br />
sensível ao infravermelho, dividimos, recombi<strong>na</strong>mos e direcio<strong>na</strong>mos o feixe<br />
infravermelho até o microscópio, assegurando a perpendiculari<strong>da</strong>de de ambos os feixes.<br />
Isso é feito para ca<strong>da</strong> feixe separa<strong>da</strong>mente, respeitando‐se as distâncias calcula<strong>da</strong>s nos<br />
itens anteriores. Para o primeiro feixe a perpendiculari<strong>da</strong>de é garanti<strong>da</strong> através de um<br />
espelho M1 fora do microscópio e M2 (BS) interior ao microscópio, assim como <strong>na</strong> pinça<br />
40
óptica simples. Com o “gimbal mount” GM2 e o BPS2 obrigamos os dois feixes a ser<strong>em</strong><br />
colineares se certificando <strong>da</strong> perpendiculari<strong>da</strong>de do segundo feixe.<br />
2. As lentes f1 e f 2 são coloca<strong>da</strong>s uma de ca<strong>da</strong> vez de forma que o círculos volt<strong>em</strong> a ser<br />
obtidos no mesmo ponto <strong>da</strong> TV e a abrir e fechar uniform<strong>em</strong>ente. Para isso só dev<strong>em</strong>os<br />
utilizar os atuadores <strong>da</strong>s lentes.<br />
3. Fi<strong>na</strong>lmente, introduzimos os telescópios L3 + L4<br />
e L5 + L6<br />
de ca<strong>da</strong> braço repetindo o<br />
alinhamento <strong>da</strong> pinça simples para ca<strong>da</strong> um deles separa<strong>da</strong>mente até que as respectivas<br />
pinças se encontrar<strong>em</strong> no plano de visão.<br />
Dessa forma, fomos capazes de capturar duas microesferas e movimentá‐las por<br />
todo o campo de visão no aumento de 100X. Também conferimos se a potência<br />
transmiti<strong>da</strong> se mantinha constante quando se movimentava a posição <strong>da</strong> pinça óptica<br />
dupla.<br />
2.2.4 Resultados Obtidos com a Pinça Óptica Dupla<br />
Abaixo estão algumas imagens obti<strong>da</strong>s <strong>em</strong> nosso laboratório de manipulação<br />
com pinça óptica duplas.<br />
a. b. c.<br />
Figura 39 a. Duas esferas captura<strong>da</strong>s, ca<strong>da</strong> uma por uma pinça óptica. b. H<strong>em</strong>ácia sendo<br />
estica<strong>da</strong> pela pinça dupla. c. H<strong>em</strong>ácias sendo desconecta<strong>da</strong>s pela pinça dupla.<br />
Um resultado interessante foi o comportamento <strong>da</strong> adesão de h<strong>em</strong>ácias entre si<br />
mostrado <strong>na</strong> Figura 40. Nesse experimento capturamos um aglomerado de h<strong>em</strong>ácias,<br />
chamado “rouleaux” <strong>na</strong> área de h<strong>em</strong>atologia, mantendo a pinça óptica <strong>da</strong> direita fixa<br />
enquanto se afastava a pinça <strong>da</strong> esquer<strong>da</strong> para forçar a separação <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias. Da<br />
figura, percebe‐se que as h<strong>em</strong>ácias deslizam facilmente umas sobre as outras, mas se<br />
41
ligam fort<strong>em</strong>ente pelas bor<strong>da</strong>s. Esse é um probl<strong>em</strong>a interessante do ponto de vista<br />
biológico. Primeiro porque não se deseja que ocorra a adesão <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias com a<br />
formação de coágulos, e depois porque quase todos os mecanismos de infecção de<br />
células por parasitas e vírus se iniciam por um processo de adesão.<br />
a. b. c.<br />
Figura 40 a. “rouleaux” de h<strong>em</strong>ácias. b. deslizando entre si. c. adesão forte <strong>na</strong>s bor<strong>da</strong>s.<br />
Esse sist<strong>em</strong>a de pinça dupla abriu perspectivas para inúmeras novas aplicações<br />
que ain<strong>da</strong> não tiv<strong>em</strong>os t<strong>em</strong>po de explorar <strong>completa</strong>mente. Entre essas se encontram as<br />
medi<strong>da</strong>s de adesão <strong>em</strong> h<strong>em</strong>ácias e outros sist<strong>em</strong>as biológicos e estudos de quimiotaxia.<br />
2.3 Sist<strong>em</strong>as Experimentais para a Calibração <strong>da</strong> força <strong>da</strong> Pinça Óptica e Aplicações<br />
com Leishmanias e H<strong>em</strong>ácias<br />
Usamos um sist<strong>em</strong>a experimental de pinça óptica simples para realizar uma<br />
calibração <strong>da</strong> pinça óptica e também para estu<strong>da</strong>r h<strong>em</strong>ácias e leishmanias. A calibração<br />
<strong>da</strong> força pinça óptica é feita arrastando a partícula <strong>em</strong> um fluido com várias veloci<strong>da</strong>des<br />
e comparando as forças óptica e hidrodinâmica que dev<strong>em</strong> se anular no equilíbrio.<br />
O experimento consiste <strong>na</strong> medi<strong>da</strong> do deslocamento do centro <strong>da</strong> microesfera <strong>em</strong><br />
relação à sua posição de equilíbrio <strong>na</strong> ausência e <strong>na</strong> presença do campo de veloci<strong>da</strong>des<br />
hidrodinâmico. Para isso foi necessário imprimir uma veloci<strong>da</strong>de conheci<strong>da</strong> e calibra<strong>da</strong><br />
ao estágio de translação <strong>da</strong> Prior que nos permite atingir controla<strong>da</strong>mente veloci<strong>da</strong>des<br />
tão peque<strong>na</strong>s quanto 10 µm/s. O experimento foi repetido para diferentes<br />
profundi<strong>da</strong>des z e com fluidos de diferentes viscosi<strong>da</strong>des. Para controlar a translação<br />
construímos um programa <strong>na</strong> linguag<strong>em</strong> LabView <strong>da</strong> Natio<strong>na</strong>l Instruments, que foi<br />
42
desenvolvido especialmente para facilitar a interface computador/equipamentos<br />
usando portas paralelas e seriais. Os códigos são escritos graficamente como se foss<strong>em</strong><br />
um diagrama de fluxo <strong>em</strong> que ape<strong>na</strong>s conectamos os blocos <strong>da</strong> maneira deseja<strong>da</strong>, como<br />
mostram as figuras do apêndice 2. Geralmente partimos dos ex<strong>em</strong>plos que<br />
acompanham o próprio software para modificá‐los de acordo com as nossas<br />
necessi<strong>da</strong>des.<br />
As imagens obti<strong>da</strong>s foram grava<strong>da</strong>s <strong>em</strong> vídeo ao mesmo t<strong>em</strong>po <strong>em</strong> que foram<br />
digitaliza<strong>da</strong>s usando a placa de captura de imagens <strong>da</strong> Pin<strong>na</strong>cle Syst<strong>em</strong> e a<strong>na</strong>lisa<strong>da</strong>s<br />
pelo software Image Pro‐Plus <strong>da</strong> Media Cybernetic.<br />
Um dos fatores mais importantes para a obtenção de uma calibração precisa <strong>da</strong><br />
força <strong>da</strong> pinça óptica é a medi<strong>da</strong> correta <strong>da</strong> potência. O probl<strong>em</strong>a de utilizar um<br />
medidor de potência convencio<strong>na</strong>l é que ele fornece a leitura erra<strong>da</strong> se o feixe incidente<br />
não for paralelo. Conforme a Figura 41, isso pode ocorrer por dois motivos: diferença de<br />
caminho óptico e reflexão exter<strong>na</strong> total. Porém, o feixe <strong>da</strong> pinça óptica é<br />
obrigatoriamente altamente convergente.<br />
l l 2 > l 0<br />
2 l 0<br />
Figura 41. Detector de potência convencio<strong>na</strong>l e a incli<strong>na</strong>ção dos raios.<br />
Para solucio<strong>na</strong>r esse probl<strong>em</strong>a optamos pelo uso de uma esfera integradora<br />
capaz de realizar uma medi<strong>da</strong> proporcio<strong>na</strong>l de todos os raios incidentes<br />
independent<strong>em</strong>ente de seus ângulos. A idéia <strong>da</strong> esfera integradora é a de espalhar<br />
<strong>completa</strong>mente os raios incidentes tor<strong>na</strong>ndo a ilumi<strong>na</strong>ção de um detector uniforme,<br />
assim como mostra a Figura 42. Ela opera <strong>da</strong> seguinte forma: a luz é coleta<strong>da</strong> por uma<br />
de suas portas e é refleti<strong>da</strong> e espalha<strong>da</strong> no seu interior de forma que a luz que sai por<br />
uma <strong>da</strong>s outras portas, <strong>na</strong> qual é detecta<strong>da</strong>, <strong>em</strong>bora menos intensa, é uniforme. O<br />
anteparo <strong>da</strong> figura é utilizado para evitar que os raios inci<strong>da</strong>m diretamente no detector.<br />
43
Figura 42. Esfera integradora e algumas de suas aplicações.<br />
Os materiais usados no interior <strong>da</strong> esfera integradora, comumente spectralon,<br />
spectraflect, duraflect e infragold, são altamente refletores e espalhadores. Para a<br />
medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> grandeza de interesse, seja ela, a potência, o fluxo, a intensi<strong>da</strong>de ou a<br />
irradiância, há a necessi<strong>da</strong>de de se fazer uma calibração, determi<strong>na</strong>ndo a refletância <strong>da</strong><br />
esfera integradora com uma fonte conheci<strong>da</strong>. A relação entre as potências de entra<strong>da</strong> e<br />
saí<strong>da</strong> é:<br />
Pe<br />
ρ Ae<br />
As<br />
=<br />
P (1 −ρ (1 −A A ))<br />
a p s<br />
(2. 16),<br />
onde<br />
P<br />
e<br />
é a potência <strong>na</strong> porta de saí<strong>da</strong>,<br />
P<br />
a<br />
é a potência incidente,<br />
A<br />
e<br />
é a área <strong>da</strong> porta<br />
de saí<strong>da</strong>,<br />
A<br />
s<br />
é a área <strong>da</strong> esfera integradora,<br />
A<br />
p<br />
é a área <strong>da</strong>s somas <strong>da</strong>s portas e ρ é a<br />
refletância.<br />
No nosso caso, não há a necessi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> calibração, pois desejamos ape<strong>na</strong>s<br />
determi<strong>na</strong>r o quanto se perde <strong>da</strong> potência incidente <strong>na</strong> objetiva e <strong>na</strong> lamínula. Dessa<br />
forma, basta realizar uma medi<strong>da</strong> comparativa, entre a potência do feixe de laser<br />
paralelo e do feixe convergente s<strong>em</strong> modificar a geometria <strong>da</strong> esfera integradora. Os<br />
esqu<strong>em</strong>as do posicio<strong>na</strong>mento <strong>da</strong> esfera integradora para as medi<strong>da</strong>s de feixes paralelos<br />
e convergentes são mostrados <strong>na</strong> Figura 43. Com essa razão e a medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> potência do<br />
feixe paralelo, agora determi<strong>na</strong><strong>da</strong> com precisão, obt<strong>em</strong>os a potência total transmiti<strong>da</strong><br />
pela pinça óptica, incluindo as per<strong>da</strong>s <strong>da</strong> objetiva, tanto <strong>na</strong> sua abertura quanto <strong>na</strong>s<br />
reflexões, e considerando o óleo de imersão e a lamínula.<br />
44
detector<br />
detector<br />
feixe<br />
anteparo<br />
Figura 43. Configuração de medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> potência para feixes paralelos e convergentes.<br />
Para isso usamos uma esfera integradora Labsphere de spectralon que t<strong>em</strong> mais<br />
de 95% de refletância para comprimentos de on<strong>da</strong> de 250 a 2500 nm e com 2.5 cm de<br />
raio.<br />
2.4 Sist<strong>em</strong>a Experimental de Espectroscopia de Força e Medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> Força Óptica <strong>em</strong><br />
Função do Deslocamento Centro‐Foco e <strong>da</strong> Polarização<br />
O objetivo desse experimento foi caracterizar quantitativamente, dentro de um<br />
modelo mais sofisticado do que a óptica geométrica, a força óptica <strong>em</strong> uma microesfera<br />
captura<strong>da</strong> <strong>na</strong> pinça óptica <strong>em</strong> função do comprimento de on<strong>da</strong>, <strong>da</strong> polarização e <strong>da</strong><br />
distância do foco do laser ao centro <strong>da</strong> microesfera. Como a pinça óptica pode ser é um<br />
instrumento muito sensível para medi<strong>da</strong>s de forças decidimos utilizá‐la para<br />
caracterizar a sua própria força óptica. Para tanto s<strong>em</strong>pre utilizamos dois lasers, um<br />
para manter a microesfera fixa <strong>em</strong> determi<strong>na</strong><strong>da</strong> posição e o outro, de potência b<strong>em</strong><br />
menor e modulado por um chopper mecânico, para perturbar essa partícula e estu<strong>da</strong>r<br />
sua ação <strong>em</strong> função dos parâmetros desejados. Os dois lasers que utilizamos nessa<br />
montag<strong>em</strong> foram Nd:YAG e o Ti:Safira cw.<br />
Para estu<strong>da</strong>r a força óptica <strong>em</strong> função do comprimento de on<strong>da</strong> e polarização<br />
usamos o laser de Nd:YAG para fixar a microesfera, e o de Ti:Safira sintonizável, para<br />
causar a perturbação conforme mostra o esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Figura 44. Neste caso o laser de<br />
Ti:Safira é modulado por um chopper mecânico e o monitoramento do movimento <strong>da</strong><br />
microesfera é realizado através <strong>da</strong> luz de um laser de HeNe cujo espalhamento é<br />
modulado pelo movimento <strong>da</strong> microesfera. Essa luz espalha<strong>da</strong> é detecta<strong>da</strong> pela<br />
fotomultiplicadora e filtra<strong>da</strong> eletronicamente pelo amplificador lock‐in para medir<br />
45
ape<strong>na</strong>s si<strong>na</strong>is com a mesma freqüência de modulação do chopper. Para varrer o<br />
comprimento de on<strong>da</strong> foi necessário construir um sist<strong>em</strong>a para sintonizar o laser de<br />
Ti:Safira tanto do ponto de vista mecânico quanto de software. Usando um espelho<br />
dicróico juntamos os dois feixes de laser enviados para o microscópio.<br />
Por outro lado, para caracterizar a força <strong>em</strong> função <strong>da</strong> posição do foco e<br />
polarização invert<strong>em</strong>os, usando o Ti:Safira para fixar a microesfera e o Nd:YAG para<br />
perturbá‐la, assim como ilustra o esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Figura 45. Agora o laser de Nd:YAG é<br />
qu<strong>em</strong> está sendo modulado pelo chopper mecânico. Para esse experimento foi<br />
fun<strong>da</strong>mental o movimento controlado por computador do foco do laser de Nd:YAG<br />
permitido pela montag<strong>em</strong> <strong>da</strong> pinça dupla. Dessa forma obtiv<strong>em</strong>os os resultados<br />
discutidos no capítulo 3.<br />
fotomultiplicadora<br />
lockin<br />
laser Nd:Yag<br />
BS<br />
Controlador do<br />
comprimento de on<strong>da</strong><br />
filtros<br />
BS<br />
laser argônio<br />
filtros<br />
laser Ti:Sa<br />
contínuo<br />
laser HeNe<br />
chopper<br />
Figura 44. Sist<strong>em</strong>a de observação dos modos de ressonância de Mie com pinças ópticas.<br />
46
fotomultiplicadora<br />
controlador dos<br />
atuadores<br />
lockin<br />
lockin<br />
atuadores<br />
piezoelétricos<br />
laser Nd:Yag<br />
BS<br />
filtros<br />
chopper<br />
BS<br />
Placas de ½ on<strong>da</strong><br />
laser argônio<br />
laser HeNe<br />
laser Ti:Sa<br />
contínuo<br />
Figura 45. Sist<strong>em</strong>a experimental <strong>da</strong> medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de de força <strong>da</strong> pinça óptica.<br />
2.4.1 Descrição dos Componentes do Sist<strong>em</strong>a<br />
2.4.1.A Laser de Ti:Safira sintonizável cw<br />
O laser de Ti:Safira cw utilizado <strong>na</strong>s nossas medi<strong>da</strong>s foi o modelo 3900S <strong>da</strong><br />
Spectra Physics. Ele é um laser de estado sólido bombeado opticamente por um laser de<br />
argônio <strong>da</strong> Coherent modelo Innova 400 que fornece uma potência de saí<strong>da</strong> de 15 W ao<br />
ser alimentado com 60A no modo multilinha. As linhas mais intensas do laser de<br />
Argônio são as de 488 nm e 514 nm as quais além de bombear opticamente geram calor<br />
que deve ser dissipado por um circuito de refrigeração de água gela<strong>da</strong>. Tanto a potência<br />
quanto o modo são fun<strong>da</strong>mentais para um bom funcio<strong>na</strong>mento dos lasers de Ti:Safira e<br />
esses dois parâmetros depend<strong>em</strong> principalmente <strong>da</strong> t<strong>em</strong>peratura do laser, a qual<br />
depende <strong>da</strong> t<strong>em</strong>peratura <strong>da</strong> água gela<strong>da</strong>. Isso tor<strong>na</strong> a t<strong>em</strong>peratura de refrigeração <strong>da</strong><br />
água, b<strong>em</strong> como o seu fluxo, parâmetros críticos do sist<strong>em</strong>a como um todo.<br />
47
O principal componente de um laser de Ti:Safira é o íon Ti 3+ <strong>em</strong>bebido <strong>em</strong> um<br />
cristal de Safira (Al2O3), caracterizado por uma ban<strong>da</strong> larga de luminescência, uma<br />
estrutura de níveis simples e uma seção de choque de ganho relativamente alta, assim<br />
como mostra a Figura 46. A estrutura eletrônica do Ti 3+ envolve uma cama<strong>da</strong> fecha<strong>da</strong><br />
mais um elétron 3d. Os níveis 3d têm sua degenerescência levanta<strong>da</strong> pelo campo<br />
cristalino do cristal hospedeiro. Dessa forma o estado excitado 2 E0 é duplamente<br />
degenerado com uma energia <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 19000 cm ‐1 (1000 cm ‐1 = 124 meV), enquanto<br />
o nível fun<strong>da</strong>mental é composto de três estados 2 T2 quase degenerados, sendo um o<br />
estado fun<strong>da</strong>mental e os outros dois separados por energias de 38 cm ‐1 e 107 cm ‐1 . A<br />
transição laser ocorre entre o estado 2 E0 e o estado 2 T2 de energia mais alta (107 cm ‐1 ),<br />
indicando que dev<strong>em</strong>os resfriar o cristal para evitar popular termicamente o nível laser<br />
inferior (l<strong>em</strong>brando que para T = 300K, KBT = 208 cm ‐1 ) e diminuir a eficiência do laser.<br />
A curva de absorção se estende por aproxima<strong>da</strong>mente 250 nm com o máximo <strong>em</strong> torno<br />
de 500 nm. Assim, o laser de argônio operando continuamente e <strong>em</strong> to<strong>da</strong>s as linhas do<br />
visível é a escolha mais usa<strong>da</strong> para bombear o laser de Ti:Safira. Na Figura 46 também<br />
mostramos os espectros de absorção e o de <strong>em</strong>issão, que t<strong>em</strong> uma largura à meia altura<br />
de quase 200 nm, com um pico <strong>em</strong> torno de 780 nm; ou seja, o laser de Ti:Safira é um<br />
laser sintonizável. Por isso, o utilizamos <strong>em</strong> sua forma cw para os experimentos de<br />
ressonância de Mie cujos resultados estão no capítulo 3.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
absorção<br />
<strong>em</strong>issão<br />
Energia 10 3 cm -1<br />
relaxação<br />
2 E g fluorescência<br />
infravermelha<br />
absorção<br />
azul-verde<br />
2 T 2g<br />
comprimento de on<strong>da</strong><br />
Figura 46. Espectros de absorção e <strong>em</strong>issão e esqu<strong>em</strong>a de níveis do Ti:Safira.<br />
A Figura 47 apresenta um esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de do laser de Ti:Safira. O laser de<br />
Argônio é focalizado no bastão de Ti:Safira através do espelho M1 e atravessa o espelho<br />
dicróico M2, criando o feixe focalizado de cor verde no bastão de Ti:Safira. O feixe no<br />
48
infravermelho é <strong>completa</strong>mente refletido pelos espelhos M2 e M3 para o espelho HR<br />
(“High Reflector”) e o OC (“Output Coupler”). Só haverá ganho <strong>na</strong>s regiões com alta<br />
intensi<strong>da</strong>de do laser de bombeio no bastão. Por isso é tão importante o casamento de<br />
modos entre o laser de bombeio e do infravermelho. Os espelhos HR e OC têm seu foco<br />
um no outro, formando a cavi<strong>da</strong>de estável. O OC transmite 10% <strong>da</strong> luz intracavi<strong>da</strong>de.<br />
Feixe de saí<strong>da</strong> do Laser<br />
Placa birrefringente<br />
Bastão de Ti:safira<br />
Output Coupler<br />
Laser de Ar:Bombeio<br />
M 1 M 2 M 3<br />
Feixe intracavi<strong>da</strong>de do infravermelho<br />
Espelho High Reflector<br />
Figura 47. Esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de do laser de Ti:Safira.<br />
A placa birrefringente do esqu<strong>em</strong>a faz o papel do el<strong>em</strong>ento de sintonia <strong>da</strong><br />
cavi<strong>da</strong>de, modulando as per<strong>da</strong>s por reflexão. Exist<strong>em</strong> 4 superfícies intracavi<strong>da</strong>de<br />
coloca<strong>da</strong>s <strong>em</strong> ângulo de Brewster para a polarização p, 2 superfícies para a placa<br />
birrefringente e 2 para o bastão de Ti:Safira, significando que as per<strong>da</strong>s para a<br />
polarização s serão apreciáveis. Uma placa birrefringente mu<strong>da</strong> o estado de polarização<br />
<strong>da</strong> luz incidente de linearmente polariza<strong>da</strong>, p, para elíptica, circular e até polariza<strong>da</strong><br />
perpendicularmente, s, dependendo do seu ângulo de rotação, do comprimento de<br />
on<strong>da</strong> <strong>da</strong> luz incidente e de sua espessura. Não há qualquer per<strong>da</strong> extra para o<br />
comprimento de on<strong>da</strong> que não mu<strong>da</strong> a polarização linear de incidência, enquanto os<br />
outros comprimentos de on<strong>da</strong> sofrerão as per<strong>da</strong>s de reflexão. Dessa forma, o laser é<br />
obrigado a operar <strong>em</strong> torno do comprimento de on<strong>da</strong> de menor per<strong>da</strong>. A sintonia é<br />
obti<strong>da</strong> através <strong>da</strong> rotação dessa placa birrefringente. A curva de sintonia para diferentes<br />
conjuntos de óptica não consta no manual do laser mas é similar a Figura 48 que é<br />
referente laser Ti:Safira pulsado ‐ Tsu<strong>na</strong>mi.<br />
49
potência (W)<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 48. Curva de sintonia do Ti:Safira.<br />
2.4.1.B Fotomultiplicadora<br />
Na fotomultiplicadora o primeiro elétron é <strong>em</strong>itido através do efeito fotoelétrico<br />
e dá orig<strong>em</strong> a uma <strong>em</strong>issão <strong>em</strong> cascata e amplifica<strong>da</strong> através <strong>da</strong> colisão com placas<br />
polariza<strong>da</strong>s contra as quais foi acelerado como mostra a Figura 49. A <strong>em</strong>issão do elétron<br />
fotoexcitado requer uma energia mínima para ultrapassar a função trabalho <strong>da</strong><br />
superfície dos metais e a reposta espectral <strong>da</strong>s fotomultiplicadoras tende a ser nula <strong>na</strong><br />
região do infravermelho. Tratamentos <strong>da</strong> interface como GaAs pod<strong>em</strong> ampliar a região<br />
de resposta espectral, até pouco t<strong>em</strong>po limita<strong>da</strong> <strong>em</strong> torno de 900‐1000 nm.<br />
fótons<br />
catodo<br />
janela<br />
dinodo<br />
anodo<br />
resistores<br />
medidor<br />
fonte<br />
Figura 49. Configuração de uma fotomultiplicadora.<br />
O fator de amplificação depende <strong>da</strong> voltag<strong>em</strong> de polarização utiliza<strong>da</strong>, que foi<br />
manti<strong>da</strong>, no nosso caso até o valor de 600 V, uma vez que a intensi<strong>da</strong>de era bastante<br />
alta. As fotomultiplicadoras são muito sensíveis sendo importante evitar excesso de luz<br />
<strong>na</strong>s mesmas que pod<strong>em</strong> <strong>da</strong>nificá‐las por excesso de corrente. Nós fiz<strong>em</strong>os as medi<strong>da</strong>s<br />
com uma fotomultiplicadora Hamamatsu R282, com t<strong>em</strong>pos de resposta <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de<br />
ns e resposta espectral entre 185‐700 nm conforme pod<strong>em</strong>os ver <strong>na</strong> Figura 50.<br />
50
Alimentamos a fotomultiplicadora com uma fonte de tensão <strong>da</strong> Products for Reserch<br />
Inc.<br />
1000000<br />
100000<br />
10000<br />
sensibili<strong>da</strong>de radiante<br />
do anodo (A/W)<br />
eficiência quântica %<br />
1000<br />
sensibili<strong>da</strong>de relativa %<br />
100<br />
100 200 300 400 500 600 700 800 900<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 50. Resposta espectral <strong>da</strong> fotomultiplicadora.<br />
2.4.1.C Amplificador Lock‐in<br />
A idéia do amplificador lock‐in é amplificar ape<strong>na</strong>s o si<strong>na</strong>l de entra<strong>da</strong> de mesma<br />
freqüência que um si<strong>na</strong>l de referência. Para tanto ele faz a seguinte operação com o<br />
si<strong>na</strong>l:<br />
τ<br />
S = ∫ S ()sen( t ω t+φ)<br />
dt (2. 17).<br />
saí<strong>da</strong> entra<strong>da</strong> ref<br />
0<br />
O si<strong>na</strong>l de entra<strong>da</strong> pode ser decomposto <strong>na</strong>s suas freqüências por uma transforma<strong>da</strong><br />
seno de Fourier, por ex<strong>em</strong>plo, Sentra<strong>da</strong><br />
= ∫ S( ω)sen( ωt)<br />
dω<br />
(2. 18).<br />
E assim obt<strong>em</strong>os:<br />
∞<br />
S = S( ω)[ sen( ωt)sen( ω t+φ) dt]<br />
dω<br />
saí<strong>da</strong><br />
el<strong>em</strong>entar resultando <strong>em</strong>:<br />
0<br />
∞ τ<br />
∫ ∫ ref<br />
(2. 19). A integral <strong>em</strong> τ é<br />
0 0<br />
τ τ τ<br />
1 1<br />
sen( ωt) sen( ω rt +φ ) dt = cos[( ω−ω r) t +φ] dt − cos[( ω+ω r) t +φ]<br />
dt<br />
2 2<br />
∫ ∫ ∫<br />
0 0 0<br />
para<br />
r<br />
1 sen[( ω−ωr) τ+φ] 1 sen[( ω s +ωr) τ+φ] 1 sen[( ω−ωr) τ+φ]<br />
= − ≅<br />
(2. 20)<br />
2 ( ω−ω ) 2 ( ω+ω ) 2 ( ω−ω )<br />
r r r<br />
w grande. O termo sen[( ω −ω ) τ+φ]/ 2( ω−ω ) funcio<strong>na</strong> como um filtro<br />
r<br />
r<br />
vetorial de freqüência tendendo à função delta de Dirac para τ tendendo à infinito.<br />
Nesse caso, o si<strong>na</strong>l de saí<strong>da</strong> é <strong>da</strong>do por S = S( ω )sen( φ ), ou seja, o lock‐in mede a<br />
saí<strong>da</strong><br />
51<br />
ref
intensi<strong>da</strong>de e a fase <strong>da</strong> componente <strong>na</strong> freqüência de referência do si<strong>na</strong>l. O t<strong>em</strong>po de<br />
integração τ pode ser escrito <strong>em</strong> função <strong>da</strong> quanti<strong>da</strong>de de ciclos <strong>da</strong> freqüência de<br />
referência, τ = n . 2π / ω 0 , então ∆ω = 2π / τ = ω0 / n é largura de ban<strong>da</strong> que o lock‐in deixa<br />
passar. A regra prática aqui é usar n <strong>em</strong> torno de 10. Desta forma, quanto maior o<br />
t<strong>em</strong>po de integração utilizado, mais se filtram as freqüências indeseja<strong>da</strong>s. Por outro<br />
lado, esse t<strong>em</strong>po de integração define o t<strong>em</strong>po mínimo s<strong>em</strong> variações no si<strong>na</strong>l<br />
necessário para a filtrag<strong>em</strong> do ruído, definindo o t<strong>em</strong>po total de uma varredura. Outra<br />
regra prática utiliza<strong>da</strong> é que ca<strong>da</strong> passo para a aquisição de um si<strong>na</strong>l d<strong>em</strong>ore um t<strong>em</strong>po<br />
igual ao t<strong>em</strong>po de integração. Isso significa que o t<strong>em</strong>po de varredura para obter 600<br />
pontos com t<strong>em</strong>po de integração de 1 s é de 600 s, ou 10 min.<br />
No nosso caso, por ex<strong>em</strong>plo, o laser de Ti:Safira é o laser modulado pelo chopper<br />
mecânico de onde sai o si<strong>na</strong>l de referência para o lock‐in. O laser de Ti:Safira obriga a<br />
partícula a se mover nessa mesma freqüência modulando o espalhamento <strong>da</strong> luz do<br />
laser de HeNe. A fotomultiplicadora só detecta a luz espalha<strong>da</strong> do laser de HeNe,<br />
modula<strong>da</strong> e não modula<strong>da</strong>, pois utilizamos um filtro que corta o laser de Ti:Safira e o<br />
Nd:YAG. O lock‐in então fi<strong>na</strong>lmente filtra ape<strong>na</strong>s a componente <strong>da</strong> luz espalha<strong>da</strong><br />
modula<strong>da</strong> <strong>na</strong> freqüência de referência, ou seja, a variação do espalhamento gera<strong>da</strong> pelo<br />
movimento <strong>da</strong> microesfera.<br />
Utilizamos o lock‐in SR830 <strong>da</strong> Stanford Research Syst<strong>em</strong> com o si<strong>na</strong>l de<br />
referência modulado <strong>em</strong> 12 Hz e t<strong>em</strong>po de integração de 1 s no experimento de<br />
espectroscopia de força. Na medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> força <strong>em</strong> função <strong>da</strong> posição aumentamos a<br />
freqüência de modulação para 80 Hz mas deixamos o t<strong>em</strong>po de integração <strong>em</strong> 1 s.<br />
2.4.2 Detalhes Experimentais <strong>da</strong> Aplicação de Espectroscopia de Força<br />
Observamos os modos de ressonância de Mie, ou “Morphology Dependent<br />
Reso<strong>na</strong>nces” (MDR),<br />
<strong>em</strong> microesferas de poliestireno de 9 µm diluí<strong>da</strong>s <strong>em</strong> água<br />
coloca<strong>da</strong>s <strong>em</strong> uma câmara de Neubauer. Para garantir que o laser de Ti:Safira<br />
representasse ape<strong>na</strong>s uma perturbação usamos filtros de densi<strong>da</strong>de neutra para atenuá‐<br />
52
lo até potências 10 vezes menores do que a do laser <strong>da</strong> pinça óptica. O programa para<br />
varrer o comprimento de on<strong>da</strong> do laser de Ti:Safira e fazer a aquisição do si<strong>na</strong>l foi<br />
escrito <strong>em</strong> LabView, com entra<strong>da</strong>s para as variáveis de controle tais como tamanho do<br />
passo, t<strong>em</strong>po de espera entre medi<strong>da</strong>s sucessivas e média entre as medi<strong>da</strong>s. O<br />
comprimento de on<strong>da</strong> do laser é ajustado através de um motor de passo de rotação<br />
colocado no micrômetro que controla uma placa birrefringente no interior <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de<br />
do laser. A relação entre o comprimento de on<strong>da</strong> e o passo do motor é calibra<strong>da</strong> através<br />
de uma CCD e um monocromador.<br />
Nós observamos os espectros de força MDR <strong>em</strong> 4 situações distintas que<br />
pod<strong>em</strong>os classificar <strong>em</strong> dois grupos:<br />
1. Feixe de Ti:Safira incidindo como uma on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>. Para isso movimentamos a<br />
distância entre as lentes do telescópio do Ti:Safira até que seu foco estivesse muito<br />
distante do foco do laser de Nd:YAG. Com esse deslocamento, o raio do Ti:Safira se<br />
tornou <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 40% maior do que o raio <strong>da</strong> microesfera no plano horizontal de seu<br />
centro, conforme mostra a Figura 51 a. Nessa situação, por simetria, o movimento <strong>da</strong><br />
microesfera se dá no direção vertical, z.<br />
Nd:Yag<br />
x<br />
z<br />
Ti:Sa<br />
Nd:Yag<br />
a<br />
Ti:Sa<br />
Figura 51. Posição do feixe de Nd:YAG e Ti:Safira incidindo como uma on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> a. e<br />
focalizado b. para as medi<strong>da</strong>s de modos MDR. Onde z é a direção de propagação.<br />
2. Feixe de Ti:Safira como pinça óptica incidindo lateralmente. Nesse caso fiz<strong>em</strong>os os<br />
focos do laser de Nd:YAG e de Ti:Safira coincidir<strong>em</strong> no centro <strong>da</strong> microesfera até que<br />
não existisse qualquer modulação <strong>da</strong> luz espalha<strong>da</strong>. Usando o atuador de uma <strong>da</strong> lentes<br />
movimentamos o feixe de Ti:Safira até a bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> microesfera assim como ilustra a<br />
53<br />
b
Figura 51 b. Esse é um ponto crítico <strong>da</strong> medi<strong>da</strong>, não se observam os modos <strong>em</strong> qualquer<br />
posição <strong>da</strong> bor<strong>da</strong>, pois os modos de uma microcavi<strong>da</strong>de possu<strong>em</strong> mínimos e máximos<br />
<strong>na</strong> superfície, como ilustrado <strong>na</strong> Figura 52. É necessário acertar um máximo do modo. O<br />
procedimento experimental utilizado foi mover a posição do laser de Ti:Safira até<br />
observar um forte espalhamento no lado oposto, indicando que a luz acopla<strong>da</strong> <strong>na</strong><br />
microcavi<strong>da</strong>de deu a volta sobre a mesma. Essas medi<strong>da</strong>s foram feitas <strong>na</strong>s direções x, y<br />
e a 45º entre x e y, sendo x o eixo definido pela polarização do laser de Ti:Safira,<br />
conforme mostra a Figura 53. As 3 medi<strong>da</strong>s foram feitas <strong>na</strong> mesma microesfera.<br />
a 2 b 2<br />
a 3 b 3<br />
a 4<br />
b 4<br />
E ∝ N e12 E ∝ M o12 E ∝ N e13 E ∝ M o13 E ∝ N e14 E ∝ M o14<br />
Figura 52. Modos de Mie no interior de uma esfera.<br />
z<br />
x<br />
y<br />
a b c<br />
sentido <strong>da</strong> polarização<br />
Figura 53. Posição do feixe focalizado de Ti:Safira para as medi<strong>da</strong>s de modos MDR. Figura<br />
representando o plano do microscópio, vista <strong>da</strong> posição z de incidência do feixe. a. polarizado<br />
paralelamente ao movimento <strong>da</strong> partícula. b. polarizado perpendicularmente ao movimento <strong>da</strong><br />
partícula. c. polarizado a 45 o <strong>em</strong> relação o movimento <strong>da</strong> partícula. O ponto vermelho<br />
representa o laser de Ti:Safira.<br />
2.4.3 Detalhes Experimentais <strong>da</strong> Medi<strong>da</strong> de Força Óptica <strong>em</strong> Função do Deslocamento<br />
Centro‐Foco e <strong>da</strong> Polarização<br />
O movimento de ca<strong>da</strong> um dos feixes de Nd:YAG e conseqüent<strong>em</strong>ente o<br />
movimento <strong>da</strong> partícula é feito através dos atuadores piezoelétricos <strong>da</strong>s montagens de<br />
“gimbal mount”. Nesse caso, como já mencio<strong>na</strong>do, a pinça dupla do Nd:YAG foi usa<strong>da</strong><br />
para perturbar a posição <strong>da</strong> microesfera captura<strong>da</strong> pelo laser de Ti:Safira. Garantimos<br />
54
que as potências dos dois braços foss<strong>em</strong> as mesmas utilizando as placas de meia on<strong>da</strong><br />
para dividir a potência. A seguir obrigamos que todos os feixes de lasers, o Ti:Safira e os<br />
dois braços <strong>da</strong> pinça dupla do Nd:YAG, capturass<strong>em</strong> a partícula <strong>na</strong> mesma posição x, y<br />
e z, movimentando‐os até não mais observar qualquer modulação <strong>da</strong> microesfera.<br />
Nesse ponto atenuamos igualmente os dois braços do Nd:YAG através de um filtro de<br />
densi<strong>da</strong>de neutra após o PBS2, tor<strong>na</strong>ndo‐os ape<strong>na</strong>s uma perturbação frente ao Ti:Safira,<br />
<strong>da</strong> mesma forma que <strong>na</strong> experiência de espectroscopia de força.<br />
Bloqueamos um dos feixes <strong>da</strong> pinça dupla e movimentamos a posição do outro<br />
no microscópio através de um software de controle do atuador usando LabView para<br />
fazer a aquisição de si<strong>na</strong>l modulado no lock‐in versus distância do Nd:YAG ao centro<br />
<strong>da</strong> microesfera, assim como pod<strong>em</strong>os ver <strong>na</strong> Figura 54. Repetimos a medi<strong>da</strong> trocando os<br />
braços bloqueados e desbloqueado. Nesses dois casos estamos medindo deslocamentos<br />
diferentes, com o movimento horizontal <strong>da</strong> partícula paralelo ou perpendicular à<br />
polarização do laser de Nd:YAG. A varredura foi feita desde zero até 6 µm, para<br />
certificar que não houvesse mais luz atingindo a partícula, com passo de 0.1 µm, para a<br />
microesfera de 4.5 µm de raio. O manual dos atuadores piezoelétricos <strong>da</strong> NewFocus<br />
afirma que os mesmos apresentam um erro aleatório de 10 % no seu posicio<strong>na</strong>mento.<br />
Adquirimos esses atuadores ape<strong>na</strong>s para controlar a posição <strong>da</strong>s duas pinças <strong>da</strong> pinça<br />
dupla de forma monitora<strong>da</strong>, de modo que esse erro não significava qualquer probl<strong>em</strong>a.<br />
A precisão dessa medi<strong>da</strong>, entretanto, teria sido b<strong>em</strong> mais alta se dispuséss<strong>em</strong>os de um<br />
estágio de rotação mais preciso. Apesar disso os resultados foram muito claros e a<br />
concordância teoria–resultados experimentais foi boa, conforme se verá no capítulo 3.<br />
Nd:Yag<br />
Ti:Sa<br />
x<br />
z<br />
Figura 54. Configuração <strong>da</strong> movimentação dos feixes de Nd:YAG para a medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de<br />
<strong>em</strong> função do deslocamento centro‐foco.<br />
55
2.5 Sist<strong>em</strong>a Experimental de Pinça Óptica com Espectroscopias Confocais<br />
Fi<strong>na</strong>lmente, a última montag<strong>em</strong> experimental foi a <strong>da</strong> incorporação de<br />
espectroscopias linear e não linear à pinça óptica. Essa montag<strong>em</strong> <strong>na</strong> reali<strong>da</strong>de se inicia<br />
<strong>em</strong> 1999 com obras civis para trazer o laboratório de pinça óptica para um espaço<br />
vizinho ao laboratório onde tínhamos o sist<strong>em</strong>a de lasers de pulsos curtos operacio<strong>na</strong>l e<br />
com a aquisição de duas mesas ópticas extras para acoplamento com as duas já<br />
existentes deixando todos os lasers e microscópios <strong>em</strong> uma única mesa óptica. Isso<br />
significou um bom investimento de t<strong>em</strong>po e trabalho, mas nos permitiu acoplar os<br />
diferentes lasers à pinça óptica assim como a incorporação de espectroscopias. Desde<br />
1998, após um estudo <strong>na</strong> literatura utilizado como exame de qualificação, decidimos<br />
incorporar duas técnicas espectroscópicas à pinça óptica: luminescência excita<strong>da</strong> por<br />
absorção de dois fótons, usando o laser de Ti:Safira de f<strong>em</strong>tosegundos de nosso<br />
laboratório, e micro Raman, usando laser de Ti:Safira cw. Entretanto, só no fi<strong>na</strong>l de 2002<br />
tiv<strong>em</strong>os condições técnicas de <strong>completa</strong>r esse projeto. Basicamente nos faltava o<br />
conjunto monocromador, CCD e filtros super NOTCH plus para impl<strong>em</strong>entar essas<br />
idéias. A montag<strong>em</strong> fi<strong>na</strong>l está mostra<strong>da</strong> no esqu<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Figura 55.<br />
VCR<br />
computador<br />
laser Nd:Yag<br />
BS<br />
pinça dupla<br />
BS<br />
filtros notch<br />
lente<br />
laser Ti:Sa<br />
pulsado<br />
laser Ti:Sa<br />
contínuo<br />
laser argônio<br />
monocromador<br />
CCD<br />
Figura 55. Sist<strong>em</strong>a Experimental de Espectroscopias Raman, Mutifotônica, Hiper Raman e<br />
Hiper Rayleigh acopla<strong>da</strong>s à pinça óptica.<br />
56
O laser de Nd:YAG continua a fazer o papel <strong>da</strong> pinça óptica, simples ou dupla,<br />
enquanto o laser de argônio pode bombear ou o laser de Ti:Safira cw, para<br />
espectroscopia micro Raman, ou o laser de Ti:Safira pulsado de f<strong>em</strong>tosegundos, para<br />
espectroscopias não lineares. Ca<strong>da</strong> um desses lasers t<strong>em</strong> seu próprio telescópio e entra<br />
colinear no microscópio, exigindo alinhamento de todos <strong>na</strong> mesma posição focal <strong>em</strong> x, y<br />
e z. Os lasers de Ti:Safira, cw ou pulsado, são utilizados para excitar Raman, ou<br />
luminescência, Hiper Rayleigh ou Hiper Raman. A coleta do si<strong>na</strong>l gerado é feita através<br />
<strong>da</strong> mesma objetiva utiliza<strong>da</strong> <strong>na</strong> excitação, ou seja estamos utilizando a geometria de<br />
retroespalhamento, onde o “beam splitter” BS é utilizado para enviar ape<strong>na</strong>s o si<strong>na</strong>l<br />
retroespalhado ao monocromador. Esse é o esqu<strong>em</strong>a básico do sist<strong>em</strong>a, sobre o qual<br />
dev<strong>em</strong>os acrescentar detalhes s<strong>em</strong> os quais não é possível a obtenção de resultados, tais<br />
como procedimentos e respostas espectrais dos diferentes componentes. Para tanto<br />
vamos descrever primeiro os componentes principais, ou seja, laser de Ti:Safira de<br />
f<strong>em</strong>tosegundos, monocromador, CCD e os filtros super NOTCH plus.<br />
2.5.1 Laser de Ti:Safira de f<strong>em</strong>tosegundos (Tsu<strong>na</strong>mi)<br />
Esse laser parte <strong>da</strong> geometria básica do Ti:Safira cw descrita <strong>na</strong> seção 2.4.1A<br />
modificando‐a para gerar pulsos entre 60 a 120 f<strong>em</strong>tosegundos (FWHM – “Full Width<br />
Half Maximum”) de duração, potência média de até 2 W, potência de pico de até 400<br />
kW e taxa de repetição de 80 MHz. Trata‐se do primeiro laser de pulsos de<br />
f<strong>em</strong>tosegundos largamente comercializado, que apareceu por volta de 1990‐1991. No<br />
início foi chamado de “magic mode locked lasers” porque não se entendia como era<br />
capaz de funcio<strong>na</strong>r, não sendo similar aos lasers pulsados utilizados até então.<br />
Fi<strong>na</strong>lmente se percebeu que isso se devia ao fenômeno não linear de autofocalização no<br />
bastão de Safira. Basicamente o bastão de Ti:Safira t<strong>em</strong> uma não‐lineari<strong>da</strong>de alta o<br />
suficiente para, <strong>na</strong>s potências de intracavi<strong>da</strong>de do laser, funcio<strong>na</strong>r como uma lente nãolinear.<br />
Na região central de um pulso de perfil gaussiano a intensi<strong>da</strong>de é maior. O<br />
índice de refração de um material com n2 positivo, segundo a forma n(I) = no + n2I, será<br />
57
maior no centro, o que é equivalente a uma lente. Como a mu<strong>da</strong>nça do índice de<br />
refração com a intensi<strong>da</strong>de do laser é chama<strong>da</strong> de efeito Kerr, esse mecanismo de<br />
geração dos pulsos ultracurtos é hoje conhecido como “Kerr Lens Modelocking”. A<br />
grande vantag<strong>em</strong> desse laser é que ele é capaz de gerar pulsos de f<strong>em</strong>tosegundos <strong>em</strong><br />
todo o intervalo de ganho do Ti:Safira, ou seja de 750 a 1100 nm.<br />
A idéia intuitiva do travamento de modos, “mode‐locking”, é que se obtém um<br />
pulso curto adicio<strong>na</strong>ndo on<strong>da</strong>s com diferentes freqüências com uma orig<strong>em</strong> t<strong>em</strong>poral<br />
<strong>em</strong> comum, ou seja, existe um determi<strong>na</strong>do momento <strong>em</strong> que to<strong>da</strong>s as diferentes<br />
freqüências se somam. Se essas on<strong>da</strong>s possuír<strong>em</strong> uma relação de fase relativa b<strong>em</strong><br />
defini<strong>da</strong> pod<strong>em</strong>os atingir o limite de um pulso curto limitado por transforma<strong>da</strong> de<br />
Fourier, ∆ν ∆Τ > ½. Na cavi<strong>da</strong>de de um laser só sobreviv<strong>em</strong> as freqüências diferentes<br />
correspondentes aos modos longitudi<strong>na</strong>is <strong>da</strong> mesma. Por isso, se obtém pulso curto<br />
quando se consegue travar esses modos <strong>em</strong> uma relação de fase b<strong>em</strong> defini<strong>da</strong>.<br />
Um laser opera <strong>na</strong> forma pulsa<strong>da</strong> s<strong>em</strong>pre que a janela de t<strong>em</strong>po <strong>na</strong> qual o ganho<br />
supera as per<strong>da</strong>s se repete no t<strong>em</strong>po com o mesmo “round trip time” do pulso dentro<br />
<strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de, como mostra a Figura 56. O laser operando assim obriga a todos os modos<br />
oscilar<strong>em</strong> conjuntamente <strong>na</strong> janela t<strong>em</strong>poral de ganho, gerando o “mode‐locking”. O<br />
travamento de modos (“mode‐locking”) é ativo quando existe um meio externo<br />
modulando as per<strong>da</strong>s <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de, tal como um modulador acusto‐óptico desviando o<br />
feixe, por ex<strong>em</strong>plo, e passivo quando essa modulação ocorre <strong>na</strong>turalmente. No<br />
bombeamento ativo é necessário sincronizar o modulador com a freqüência de<br />
repetição própria <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de, enquanto no passivo essa sincronização ocorre<br />
automaticamente. No caso do Ti:Safira pulsado as diferenças de ganho se dev<strong>em</strong> ape<strong>na</strong>s<br />
à presença <strong>da</strong> lente Kerr, que só aparece <strong>em</strong> altas intensi<strong>da</strong>des. Se as per<strong>da</strong>s <strong>na</strong> cavi<strong>da</strong>de<br />
for<strong>em</strong> menores para o laser operando com essa lente extra do que s<strong>em</strong> ela, o laser tende<br />
a operar <strong>na</strong> forma de travamento de modos (mode‐locked) pulsado, caso contrário<br />
opera <strong>na</strong> forma cw.<br />
58
Figura 56. Esqu<strong>em</strong>a do ganho e as per<strong>da</strong>s <strong>na</strong> cavi<strong>da</strong>de do laser. Nas janelas onde o ganho é<br />
maior que as per<strong>da</strong>s o laser pode pulsar.<br />
Como as diferenças de per<strong>da</strong>s entre as operações cw e pulsa<strong>da</strong> do laser de<br />
Ti:Safira são peque<strong>na</strong>s, esse laser pode operar tanto cw, quanto pulsado e até de forma<br />
mista, com pulsos sobre uma <strong>em</strong>issão cw. A lente Kerr só aparece quando se formam os<br />
primeiros pulsos intensos, usualmente a partir do ruído, de modo que o laser não é<br />
“self‐starting”. Diferentes esqu<strong>em</strong>as foram utilizados para obrigar esse laser a operar <strong>na</strong><br />
forma “mode‐locked”, dentre elas a Spectra Physics optou pela inserção de um<br />
modulador acusto‐óptico dentro <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de, iniciando a operação pulsa<strong>da</strong> através de<br />
um “mode‐locking” ativo. Entretanto, o “round trip time” <strong>na</strong> cavi<strong>da</strong>de de um pulso<br />
muito intenso é diferente do de um pulso pouco intenso, pois o índice de refração<br />
depende <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de. Isso significa que o mode‐locked ativo inicial logo estaria fora<br />
de sincronia. A estratégia utiliza<strong>da</strong>, então, foi manter a operação pulsa<strong>da</strong> através de<br />
uma realimentação do modulador com um detector do próprio pulso do laser, abrindo<br />
e fechando a janela de ganho do modulador acusto‐óptico no mesmo “round trip time”<br />
do pulso <strong>na</strong> cavi<strong>da</strong>de. Trata‐se, portanto, de uma forma de operação que mistura<br />
“mode‐lockings” ativo e passivo. Quando b<strong>em</strong> alinhado pode‐se desligar esse<br />
modulador e o laser se manterá <strong>na</strong> operação pulsa<strong>da</strong> por horas segui<strong>da</strong>s.<br />
Além do modulador acusto‐óptico duas modificações dentro <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de <strong>em</strong><br />
relação ao laser de Ti:Safira cw são necessárias. A primeira delas é <strong>em</strong> relação à placa de<br />
birrefringente de sintonia, que deve permitir ganho para uma ban<strong>da</strong> espectral b<strong>em</strong> mais<br />
larga do que a do laser cw, caso contrário a duração do pulso estaria limita<strong>da</strong> por<br />
transforma<strong>da</strong> de Fourier (largura espectral). A outra é a necessi<strong>da</strong>de de incluir um<br />
dispositivo para correção <strong>da</strong> dispersão de veloci<strong>da</strong>de de grupo dentro <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de. S<strong>em</strong><br />
esse dispositivo as diferentes freqüências do pulso do laser sincroniza<strong>da</strong>s <strong>em</strong> t = 0<br />
59
perderiam esse sincronismo <strong>na</strong>s voltas seguintes, porque ca<strong>da</strong> componente de<br />
freqüência possui veloci<strong>da</strong>de de grupo diferente. Por isso todos os lasers pulsados de<br />
Ti:Safira utilizam o dispositivo de correção <strong>da</strong> dispersão de veloci<strong>da</strong>de de grupo<br />
formado por quatro prismas, mostrado <strong>na</strong> Figura 57. A inserção dos prismas no ângulo<br />
de Brewster evita per<strong>da</strong>s por reflexão. A idéia intuitiva é que o primeiro prisma abre o<br />
feixe e o último o recombi<strong>na</strong>, tor<strong>na</strong>ndo diferente o caminho óptico percorrido por ca<strong>da</strong><br />
componente. No ex<strong>em</strong>plo <strong>da</strong> figura o caminho óptico percorrido pelo azul é maior do<br />
que o percorrido pelo vermelho, ou seja, estamos atrasando o azul <strong>em</strong> relação ao<br />
vermelho. Essa dispersão é oposta à dispersão normal dos materiais existente <strong>na</strong><br />
cavi<strong>da</strong>de do laser e pode ser usa<strong>da</strong> para compensá‐la. A forma experimental de obter<br />
essa compensação é através <strong>da</strong> introdução de maior ou menor quanti<strong>da</strong>de de vidro dos<br />
dois prismas P2 e P3 movimentando‐os conjuntamente. Isso não modifica a dispersão<br />
de caminho geométrico dos prismas mas introduz mais ou menos vidro <strong>na</strong> cavi<strong>da</strong>de<br />
mu<strong>da</strong>ndo a dispersão material. Essa quanti<strong>da</strong>de de prisma intracavi<strong>da</strong>de é o parâmetro<br />
chave para a boa operação de forma pulsa<strong>da</strong> do laser de Ti:Safira de pulso curto.<br />
Figura 57. Configuração dos prismas <strong>na</strong> cavi<strong>da</strong>de.<br />
O esqu<strong>em</strong>a de 4 prismas é o responsável pela compensação <strong>da</strong> dispersão. Só com<br />
eles é possível ter pulsos de f<strong>em</strong>tosegundos de largura.<br />
Prismas para<br />
correção de<br />
dispersão<br />
M 2<br />
Ti:S<br />
High<br />
Reflector<br />
Placa<br />
birrefringente<br />
M 1<br />
Output<br />
Modulador<br />
Coupler<br />
Acusto<br />
Óptico<br />
Figura 58. Esqu<strong>em</strong>a geral <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de do laser.<br />
60
A Figura 58 mostra um esqu<strong>em</strong>a simplificado <strong>da</strong> cavi<strong>da</strong>de do Ti:Safira pulsado<br />
que pode ser compara<strong>da</strong> à cavi<strong>da</strong>de do Ti:Safira cw <strong>da</strong> Figura 47. O alinhamento do<br />
laser pulsado é b<strong>em</strong> mais complexo e sensível do que o do laser cw exigindo um<br />
trei<strong>na</strong>mento de qu<strong>em</strong> o faz. Sobre ele ape<strong>na</strong>s dir<strong>em</strong>os que é feito <strong>em</strong> etapas, separando<br />
os braços entre M1 e o HR, e entre M2 e o OC, procurando maximizar a potência<br />
independent<strong>em</strong>ente do laser estar ou não pulsando. Com o laser operando <strong>em</strong> alta<br />
potência vamos introduzindo os prismas e monitorando a freqüência <strong>da</strong> taxa de<br />
repetição dos pulsos. Quando o laser está próximo <strong>da</strong> operação pulsa<strong>da</strong>, mesmo com o<br />
modulador acusto‐óptico desligado, começam a aparecer instabili<strong>da</strong>des conheci<strong>da</strong>s<br />
como “noise bursts”. A experiência nos ensinou o truque do corante, o qual diminuiu<br />
muito o t<strong>em</strong>po gasto com o alinhamento desse laser. Esse truque consiste <strong>em</strong> focalizar a<br />
saí<strong>da</strong> do laser <strong>em</strong> uma cubeta contendo ro<strong>da</strong>mi<strong>na</strong>. A ro<strong>da</strong>mi<strong>na</strong> não é excita<strong>da</strong> pelos<br />
comprimentos de on<strong>da</strong> entre 750 – 1000 nm do Ti:Safira, mas pode ser excita<strong>da</strong> pelo seu<br />
segundo harmônico, entre 375 – 500 nm. Como a eficiência do processo de absorção de<br />
dois fótons é proporcio<strong>na</strong>l à intensi<strong>da</strong>de do pulso ao quadrado, a intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong><br />
luminescência aumenta muito à medi<strong>da</strong> que a duração t<strong>em</strong>poral do pulso diminui.<br />
Ligando o modulador acusto‐óptico o laser pode não operar <strong>em</strong> f<strong>em</strong>tosegundos mas é<br />
obrigado a operar pulsado, com pulsos de deze<strong>na</strong>s a cente<strong>na</strong>s de picosegundos. Isso é o<br />
suficiente para a geração de alguma luminescência visível, <strong>em</strong>bora pouco intensa, <strong>na</strong><br />
cubeta com ro<strong>da</strong>mi<strong>na</strong>. Vê‐se um aumento muito intenso dessa luminescência à medi<strong>da</strong><br />
que o pulso vai ficando mais curto, o que a tor<strong>na</strong> uma realimentação instantânea entre<br />
as ações do alinhador e seus resultados. Com isso, basta otimizar essa intensi<strong>da</strong>de<br />
movendo os prismas e realinhando. A otimização fi<strong>na</strong>l é feita acompanhando a duração<br />
e intensi<strong>da</strong>de do pulso no autocorrelador, dispositivo utilizado <strong>na</strong> medi<strong>da</strong> de duração<br />
de t<strong>em</strong>pos ultracurtos descrito <strong>na</strong> Tese de Doutorado do Gaston Tudury [20].<br />
61
2.5.2 Monocromador<br />
Nos experimentos com espectroscopias confocais utilizamos um monocromador<br />
de 30 cm <strong>da</strong> Acton Research modelo Spectra‐Pro 300i <strong>em</strong> conjunto com a CCD “backillumi<strong>na</strong>ted”<br />
<strong>da</strong> Princeton Instruments. O monocromador é equipado com duas grades<br />
de difração com blaze <strong>em</strong> 500 nm, uma com 1200 e outra com 300 linhas/mm. Ele e a<br />
CCD são coman<strong>da</strong>dos pelo computador através do programa WinSpec.<br />
A Figura 59 apresenta um esqu<strong>em</strong>a desse monocromador. A luz que entra pela<br />
fen<strong>da</strong> de entra<strong>da</strong> é direcio<strong>na</strong><strong>da</strong> por um espelho côncavo até a grade de difração que<br />
abre o feixe <strong>em</strong> suas componentes espectrais. Outro espelho côncavo reflete o feixe para<br />
uma CCD que registra todo o espectro de uma vez só. Para o máximo de eficiência do<br />
monocromador é importantes escolher a grade com blaze para o comprimento de on<strong>da</strong><br />
correto e número de linhas por mm adequa<strong>da</strong> à resolução deseja<strong>da</strong>. A melhor resolução<br />
<strong>da</strong> grade de difração ocorre quando ela é <strong>completa</strong>mente preenchi<strong>da</strong>, por isso o feixe de<br />
entra<strong>da</strong> deve estar no mesmo cone de luz definido pelas dimensões dos componentes<br />
do monocromador. Para tanto, dev<strong>em</strong>os escolher a óptica de focalização <strong>na</strong> fen<strong>da</strong><br />
casando com parâmetro do monocromador chamado f‐number. O f‐number ou<br />
f/number é definido como f/number = F/W = NA/2, sendo NA a abertura numérica do<br />
feixe.<br />
Figura 59. Interior do monocromador.<br />
62
2.5.3 CCD<br />
Nossa câmera CCD – Charge‐coupled device – <strong>da</strong> Princeton Instruments é<br />
composta de uma matriz de pixels de 100 X 1200 fotodiodos de silício <strong>na</strong> configuração<br />
“back‐illumi<strong>na</strong>ted” e refrigera<strong>da</strong> a nitrogênio líquido. Por software pod<strong>em</strong>os aumentar<br />
o tamanho do pixel acio<strong>na</strong>ndo a forma binning que soma a carga de pixels adjacentes.<br />
Essa operação troca resolução espectral por razão si<strong>na</strong>l/ruído, importante para si<strong>na</strong>is<br />
fracos. Como a luz do espectro se espalha ape<strong>na</strong>s <strong>na</strong> horizontal adicio<strong>na</strong>mos os pixels<br />
verticais, tomando o cui<strong>da</strong>do de evitar os pixels <strong>da</strong> região não ilumi<strong>na</strong><strong>da</strong> que só<br />
contribu<strong>em</strong> com ruído.<br />
A Figura 60 mostra a diferença entre as configurações “front‐illumi<strong>na</strong>ted” e<br />
“back‐illumi<strong>na</strong>ted”. Na configuração “back‐illumi<strong>na</strong>ted” a luz atinge os pixels após<br />
atravessar uma cama<strong>da</strong> de 25‐30 µm de espessura com “coating antirefletor”,<br />
diminuindo as per<strong>da</strong>s por absorção e reflexão e aumentando a eficiência quântica por<br />
um fator maior do que 2. Na região espectral <strong>em</strong> que o “coating antireflector” deixa de<br />
atuar, usualmente no infravermelho próximo, as reflexões <strong>da</strong>s duas superfícies pod<strong>em</strong><br />
interferir formando um padrão típico de um etalon, que apareceriam como artefatos no<br />
espectro. Não observamos quaisquer desses artefatos.<br />
Dióxido<br />
de S ílic io<br />
Front<br />
Back<br />
Fi<strong>na</strong><br />
cam a<strong>da</strong> de<br />
s ilíc io<br />
Fótons<br />
Fótons<br />
Fotodiodo<br />
Figura 60. Esqu<strong>em</strong>a de CCDs back e front‐illumi<strong>na</strong>ted.<br />
2.5.4 Filtros Super NOTCH plus<br />
O grande probl<strong>em</strong>a <strong>da</strong> espectroscopia Raman v<strong>em</strong> do fato de que sua<br />
intensi<strong>da</strong>de pode ser 10 10 vezes menor do que a intensi<strong>da</strong>de do espalhamento Rayleigh.<br />
Mesmo nos melhores monocromadores existe uma certa quanti<strong>da</strong>de de luz espalha<strong>da</strong><br />
<strong>em</strong> to<strong>da</strong>s as direções, a “stray light”, que acaba chegando ao detector e mascarando um<br />
63
si<strong>na</strong>l Raman. A solução encontra<strong>da</strong> no passado para conseguir contraste para detecção<br />
de Raman foi o uso de monocromadores duplos de 1 m. A “stray light” de um pequeno<br />
monocromador simples de 30 cm tor<strong>na</strong>ria <strong>completa</strong>mente inviável a observação de<br />
Raman. Ultimamente, entretanto, esse probl<strong>em</strong>a foi contor<strong>na</strong>do através de filtros notchs<br />
que chegam a rejeitar por fatores de 10 6 a luz incidente <strong>em</strong> determi<strong>na</strong>do comprimento<br />
de on<strong>da</strong>. Dois filtros desses <strong>em</strong> série permit<strong>em</strong> uma rejeição de 10 12 , significando que<br />
<strong>na</strong><strong>da</strong> <strong>da</strong> luz advin<strong>da</strong> do espalhamento Rayleigh penetra no monocromador. O filtro<br />
ideal teria uma ban<strong>da</strong> de corte muito estreita e intensa. Quanto mais estreita a ban<strong>da</strong><br />
espectral de corte mais caro é o filtro. Os melhores filtros no mercado são os super<br />
NOTCH plus, com largura total de ban<strong>da</strong> de 350 cm ‐1 , conforme exibe a curva <strong>da</strong> Figura<br />
61 extraí<strong>da</strong> <strong>da</strong> folha de especificações de nosso filtro, especificado para 785 nm. Esses<br />
filtros funcio<strong>na</strong>m refletindo <strong>completa</strong>mente luz com comprimento de on<strong>da</strong> <strong>na</strong> ban<strong>da</strong> de<br />
rejeição, mas transmitindo outros comprimentos de on<strong>da</strong>. Dessa forma ele se tor<strong>na</strong> útil<br />
como o espelho dicróico utilizado para dirigir o laser de Ti:Safira ao microscópio,<br />
enquanto bloqueia o Rayleigh transmite o Raman retroespalhado para o<br />
monocromador. Para acoplar os lasers antes do microscópio, usamos um dos filtros<br />
NOTCH, assim como mostra a Figura 62 já que ele reflete somente o comprimento de<br />
on<strong>da</strong> do Ti:Safira e permite que passe por ele os outros, tais como o 1064 nm do<br />
Nd:YAG.<br />
Transmissão<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 61. Curva <strong>da</strong> transmissão do filtro NOTCH <strong>em</strong> função do comprimento de on<strong>da</strong>.<br />
64
Ti:safira<br />
monocromador<br />
microscópio<br />
Nd:YAG<br />
Figura 62. Acoplamento dos lasers.<br />
2.5.5 Detalhes Experimentais<br />
Para medi<strong>da</strong> do Raman operamos o laser de Ti:Safira cw no centro do<br />
comprimento de on<strong>da</strong> do filtro super NOTCH plus, 785 nm, com potências variando de<br />
10 a 500 mW. Foi necessário o uso de um filtro passa ban<strong>da</strong> para cortar muitos<br />
comprimentos de on<strong>da</strong> gerados inter<strong>na</strong>mente <strong>na</strong> cavi<strong>da</strong>de do laser que são pouco<br />
intensos frente ao 785 nm porém mais intensos do que o Raman. A luz retroespalha<strong>da</strong><br />
do Nd:YAG usado <strong>na</strong> pinça óptica não representou probl<strong>em</strong>a maior por três razões: (1)<br />
é fácil bloqueá‐la com filtros comuns, o próprio espelho dielétrico do Nd:YAG fez papel<br />
de filtro, (2) espectralmente ela está b<strong>em</strong> afasta<strong>da</strong> <strong>da</strong> região de 785 nm e (3) a resposta<br />
<strong>da</strong> CCD cai bastante para a região de 1064 nm, já no limiar do gap óptico do silício. Foi<br />
necessário trocar o espelho BS dentro do microscópio que desviava o Nd:YAG por um<br />
espelho dielétrico próprio para o Ti:Safira. Nesse caso optamos por perder potência do<br />
Nd:YAG <strong>em</strong> lugar de perder eficiência <strong>na</strong> coleta do Raman. A transmissão <strong>da</strong>s objetivas<br />
<strong>na</strong> região de 785 nm é melhor do que <strong>na</strong> região de 1064 nm chegando a quase 30%.<br />
Para garantir resolução espacial o micro Raman deve ser montado <strong>na</strong><br />
configuração confocal, <strong>em</strong> que o foco do laser e a abertura do detector são conjugados,<br />
um <strong>na</strong> imag<strong>em</strong> do outro, conforme Figura 62.<br />
Figura 63. Configuração do Raman confocal.<br />
65
Tor<strong>na</strong>mos o nosso micro‐Raman confocal quando focalizamos a luz<br />
retroespalha<strong>da</strong> do laser <strong>na</strong> fen<strong>da</strong> do monocromador. Para saber se o Raman irá incidir<br />
no centro <strong>da</strong> fen<strong>da</strong>, usamos a luz do laser retroespalha<strong>da</strong> por um espelho colocado após<br />
a objetiva no microscópio, para isso sintonizamos o Ti:Safira fora de 785 nm, onde é<br />
transmitido pelo filtro NOTCH. Uma maneira de certificar se o sist<strong>em</strong>a está confocal é<br />
observar a imag<strong>em</strong> de um modo Raman <strong>na</strong> CCD, se ela estiver b<strong>em</strong> focaliza<strong>da</strong> estamos<br />
<strong>na</strong> configuração deseja<strong>da</strong>. Dessa forma, os si<strong>na</strong>is Raman gerados fora do plano de visão<br />
são bastante atenuados. Com essa montag<strong>em</strong> conseguimos ver si<strong>na</strong>is Raman Stokes e<br />
anti‐Stokes de partículas captura<strong>da</strong>s e não captura<strong>da</strong>s, que serão descritos no capítulo 4.<br />
Para as espectroscopias não lineares, ou seja, luminescência excita<strong>da</strong> por<br />
absorção de dois fótons, Hiper Rayleigh e Hiper Raman, foram necessárias algumas<br />
modificações. A mais importante foi trocar o laser de Ti:Safira cw pelo laser pulsado de<br />
f<strong>em</strong>tosegundos. Outra modificação importante foi a troca de espelhos e filtros, pois<br />
agora desejamos coletar si<strong>na</strong>is <strong>na</strong>s regiões espectrais de 500 nm e 390 nm. O<br />
retroespalhamento do próprio laser <strong>na</strong> região de 800 nm é facilmente bloqueado com<br />
um filtro passa baixa que corta acima de 600 nm. O maior probl<strong>em</strong>a foi a resposta<br />
espectral do BS pois deve refletir tanto o Nd:YAG, o Ti:Safira e os si<strong>na</strong>is retroespalhados<br />
coletados pela objetiva para o monocromador. Usar o espelho dielétrico para os lasers<br />
de Nd:YAG ou Ti:Safira significaria uma per<strong>da</strong> enorme <strong>na</strong> coleta dos si<strong>na</strong>is para 500 –<br />
390 nm. Acabamos optando pelo uso de um espelho s<strong>em</strong>i‐metálico, com refletivi<strong>da</strong>de<br />
<strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 80% e resposta espectral praticamente constante <strong>na</strong> ban<strong>da</strong> de 350‐1100 nm.<br />
Essa resposta espectral constante é um fator importante para não introduzir artefatos<br />
nos espectros. O uso de espelhos dielétricos <strong>em</strong> ban<strong>da</strong>s espectrais muito largas é s<strong>em</strong>pre<br />
probl<strong>em</strong>ático nesse aspecto. Em relação às intensi<strong>da</strong>des, nossa regra prática foi de<br />
sacrificar a intensi<strong>da</strong>de onde a luz é muito intensa <strong>em</strong> prol <strong>da</strong>s intensi<strong>da</strong>des menores. O<br />
aumento <strong>da</strong> potência dos lasers pode compensar facilmente as per<strong>da</strong>s sofri<strong>da</strong>s no BS.<br />
Por outro lado, também aumentamos a intensi<strong>da</strong>de do ilumi<strong>na</strong>dor do microscópio para<br />
poder compensar a per<strong>da</strong> de potência <strong>da</strong> luz visível que incide <strong>na</strong> câmera de vídeo JVC.<br />
66
A transmissão no visível foi de ape<strong>na</strong>s 20%, entretanto, mais do que suficiente para<br />
visualizar e gravar as nossas imagens.<br />
Com essas modificações nossa pinça óptica ficou equipa<strong>da</strong> com possibili<strong>da</strong>des de<br />
obter espectros de absorção, luminescência simples e excita<strong>da</strong> por absorção de dois<br />
fótons, Raman, Hiper Raman e Hiper Rayleigh para partículas captura<strong>da</strong>s <strong>na</strong> pinça<br />
óptica.<br />
67
Capítulo 3<br />
Teoria Óptica Eletromagnética<br />
Quando observamos as ressonâncias de Mie, ou “Morphology Dependent<br />
Reso<strong>na</strong>nces” (MDR), <strong>na</strong> luminescência excita<strong>da</strong> por absorção de dois fótons <strong>em</strong><br />
microesferas de poliestireno cora<strong>da</strong>s, como mostra a Figura 64, ficou claro que se<br />
exist<strong>em</strong> ressonâncias no espalhamento <strong>da</strong> luz do laser incidente e <strong>na</strong> fluorescência, elas<br />
também deveriam aparecer como ressonâncias <strong>na</strong>s forças ópticas. Experiências de<br />
espalhamento de Mie usualmente med<strong>em</strong> a intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> luz espalha<strong>da</strong>, para a qual<br />
exist<strong>em</strong> detectores ultrasensíveis, atingindo o limite de uni<strong>da</strong>des de fótons. Perceb<strong>em</strong>os<br />
então que a própria pinça óptica seria a única possibili<strong>da</strong>de de substituir as<br />
fotomultiplicadoras como detector ultrasensível para a medi<strong>da</strong> <strong>da</strong>s forças ópticas muito<br />
peque<strong>na</strong>s envolvi<strong>da</strong>s no espalhamento. A pinça óptica também satisfaz o critério de que<br />
uma boa medi<strong>da</strong> de força deve ser realiza<strong>da</strong> com um sist<strong>em</strong>a estável, através de forças<br />
restauradoras, como as molas, que operam no mínimo de potencial. É impossível medir<br />
forças com sist<strong>em</strong>as de equilíbrio instável e é muito difícil a medi<strong>da</strong> com sist<strong>em</strong>as de<br />
equilíbrio indiferente. Um ex<strong>em</strong>plo de medi<strong>da</strong> de força com sist<strong>em</strong>as indiferentes foi a<br />
69
medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> carga do elétron de Millikan <strong>na</strong> qual a força elétrica e gravitacio<strong>na</strong>l se<br />
cancelavam, mas as partículas podiam se mover para qualquer posição.<br />
A grande inovação desse capítulo, que foi o uso <strong>da</strong> própria pinça óptica para<br />
a<strong>na</strong>lisar as forças ópticas através de dois lasers, um para a medi<strong>da</strong> e outro como causa<br />
do efeito, nos permitiu estu<strong>da</strong>r diretamente as forças no espalhamento de Mie, através<br />
dos experimentos que denomi<strong>na</strong>mos “Espectroscopia Ultrasensível de Força” e<br />
“Medi<strong>da</strong> Ultrasensível <strong>da</strong> Força <strong>em</strong> Função do Deslocamento”.<br />
Outra grande vantag<strong>em</strong> do uso <strong>da</strong> pinça óptica para esse estudo é o fato de que<br />
ela permite realizar a medi<strong>da</strong> <strong>em</strong> partículas isola<strong>da</strong>s, e também <strong>em</strong> diferentes condições<br />
<strong>na</strong> mesma partícula. Isso nos permitiu excitar seletivamente os modos TE e TM.<br />
Embora a teoria <strong>da</strong> óptica geométrica tenha apresentado resultados satisfatórios<br />
<strong>na</strong> calibração <strong>da</strong> força óptica, o fato é que se trata de um formalismo restrito. Os<br />
próprios resultados obtidos <strong>na</strong> luminescência excita<strong>da</strong> por absorção de dois fótons <strong>em</strong><br />
microesferas de poliestireno cora<strong>da</strong>s nos obrigou a abando<strong>na</strong>r a estratégia de usar a<br />
teoria mais simples para explicar os nossos resultados experimentais. Para usar a óptica<br />
geométrica nesse caso, seria necessário no mínimo, incluir efeitos de interferência.<br />
Entretanto, um tratamento desse tipo, além de limitado, se tor<strong>na</strong> mais complicado do<br />
que resolver de uma vez o probl<strong>em</strong>a eletromagnético completo.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
438 458 478 498<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 64. Ressonâncias de Mie <strong>em</strong> uma microesfera de poliestireno cora<strong>da</strong>.<br />
O formalismo para on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> prevê a existência de ressonâncias de Mie que<br />
depend<strong>em</strong> do tamanho, forma e índices de refração do objeto espalhador e do meio <strong>em</strong><br />
70
que está <strong>em</strong>bebido. Descobrimos, após a obtenção dos nossos primeiros resultados, que<br />
o próprio Arthur Ashkin [21, 22] havia observado os “MDR modes” nos seus<br />
experimentos de levitação óptica <strong>em</strong> gotas de óleo de silicone suspensas no ar. Nas<br />
experiências de levitação a partícula flutua pela compensação <strong>da</strong> gravi<strong>da</strong>de com a força<br />
óptica de reflexão, de forma análoga à <strong>da</strong> experiência de Millikan, um sist<strong>em</strong>a<br />
indiferente. Para conseguir seus resultados Ashkin precisou construir um sist<strong>em</strong>a de<br />
realimentação que modificava a potência do laser s<strong>em</strong>pre que a partícula tendia a subir<br />
ou descer. O fato de que a experiência não foi repeti<strong>da</strong> por outros grupos desde 1977,<br />
d<strong>em</strong>onstra que ape<strong>na</strong>s a excepcio<strong>na</strong>l habili<strong>da</strong>de experimental de Ashkin e seu técnico<br />
Dziedzic, permitiu a obtenção <strong>da</strong>queles resultados. Nas experiências de levitação,<br />
entretanto, a partícula está obrigatoriamente centra<strong>da</strong> <strong>em</strong> relação a um feixe incidente.<br />
As ressonâncias de Mie também já foram observa<strong>da</strong>s através de espalhamentos<br />
Rayleigh, Raman e fluorescência convencio<strong>na</strong>l [23].<br />
Neste capítulo relatamos os nossos resultados experimentais, os quais<br />
concor<strong>da</strong>m com o formalismo eletromagnético adotado. A técnica que utilizamos para<br />
desenvolver a teoria óptica eletromagnética pode ser explica<strong>da</strong> de maneira resumi<strong>da</strong> <strong>da</strong><br />
seguinte forma:<br />
1. É necessário aplicar condições de contorno <strong>em</strong> uma superfície esférica, logo os<br />
campos incidentes e espalhados dev<strong>em</strong> ser decompostos <strong>em</strong> on<strong>da</strong>s parciais, ou seja,<br />
dev<strong>em</strong> ser descritos <strong>em</strong> coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s esféricas com a orig<strong>em</strong> no centro <strong>da</strong> partícula. A<br />
solução <strong>da</strong> equação de on<strong>da</strong> <strong>em</strong> coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s esféricas é <strong>da</strong><strong>da</strong> pelas funções esféricas de<br />
Bessel para a parte radial e pelos harmônicos esféricos para a angular.<br />
2. As dificul<strong>da</strong>des que se contrapõ<strong>em</strong> a essa estratégia são: feixes de luz simétricos<br />
prefer<strong>em</strong> a descrição <strong>em</strong> coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s cilíndricas, não esféricas. Além disso, nosso feixe<br />
t<strong>em</strong> que ser focalizado, e com o foco obrigatoriamente fora do centro <strong>da</strong> partícula. O<br />
quadro piora quando se considera que o feixe antes de incidir <strong>na</strong> objetiva é linearmente<br />
polarizado <strong>na</strong> direção x, quebrando qualquer traço de simetria que porventura ain<strong>da</strong><br />
existisse para facilitar os cálculos.<br />
71
3. É fácil encontrar descrições do feixe de luz focalizado por uma objetiva usando o<br />
formalismo de difração escalar para peque<strong>na</strong>s aberturas numéricas. Entretanto, o<br />
espalhamento de Mie requer um tratamento vetorial desde o início e nossos<br />
experimentos são realizados <strong>em</strong> condições de grandes aberturas numéricas.<br />
4. A maior dificul<strong>da</strong>de encontra<strong>da</strong> pelos pesquisadores <strong>em</strong> óptica é <strong>na</strong> descrição do<br />
feixe incidente e sua decomposição <strong>em</strong> on<strong>da</strong>s parciais, assim como afirma Gouesbet <strong>em</strong><br />
um dos seus artigos [24]: “In all these theories, a crucial step is to describe the incident<br />
beam correctly. Unfortu<strong>na</strong>tely, the usual theoretical models of shaped beams do not<br />
exactly satisfy Maxwell’s equations. This is, for instance, the case for the so called Davis<br />
sch<strong>em</strong>e for Gaussian beams. Such features then necessarily introduce inconsistencies in<br />
light scattering theories of shaped beams“ 1 . Quase todos os experimentos nessa área são<br />
explicados com on<strong>da</strong>s pla<strong>na</strong>s porque sua expansão <strong>em</strong> on<strong>da</strong>s parciais é conheci<strong>da</strong><br />
desde o século XIX. Além do probl<strong>em</strong>a central de encontrar os campos<br />
eletromagnéticos vetoriais para feixes focalizados, expandi‐los <strong>em</strong> on<strong>da</strong>s parciais<br />
usualmente tor<strong>na</strong>va inviáveis os cálculos computacio<strong>na</strong>is.<br />
5. O grupo de Gouesbet d<strong>em</strong>onstrou que o princípio <strong>da</strong> localização fornecia uma<br />
excelente aproximação para a expansão de qualquer feixe <strong>em</strong> on<strong>da</strong>s parciais. Os<br />
resultados obtidos utilizando essa técnica <strong>na</strong> aproximação de Davis, para feixes<br />
gaussianos paraxiais, são suficientes para explicar nossos resultados de espectroscopia<br />
de força, tanto para a posição espectral dos picos quanto para a excitação seletiva dos<br />
modos TE e TM <strong>da</strong> microesfera através <strong>da</strong> polarização. A aproximação de Davis é mais<br />
apropria<strong>da</strong> para feixes com peque<strong>na</strong> abertura numérica. Uma descrição quantitativa <strong>da</strong><br />
intensi<strong>da</strong>de dos picos com maior precisão requer modelos mais gerais para o feixe<br />
incidente, como as encontra<strong>da</strong>s nos trabalhos de Richards & Wolf [42] e,<br />
1<br />
Em to<strong>da</strong>s essas teorias, o passo crucial é descrever o feixe incidente corretamente. Infelizmente, os modelos teóricos<br />
usuais de feixes focalizados (shaped beams) não satisfaz<strong>em</strong> as equações de Maxwell exatamente. Este é o caso, por<br />
ex<strong>em</strong>plo, do assim chamado esqu<strong>em</strong>a de Davis para feixes gaussianos. Tais feições, portanto, necessariamente<br />
introduz<strong>em</strong> inconsistências <strong>na</strong>s teorias de espalhamento de luz de feixes focalizados.<br />
72
particularmente, nos artigos de Paulo Américo Maia Neto e Moysés Nussenzveig [25,<br />
26]. Dois motivos nos levaram a escolha do modelo de Gouesbet et al: 1 a facili<strong>da</strong>de<br />
computacio<strong>na</strong>l dessa técnica, devido a aproximação <strong>da</strong> localização e 2 a possibili<strong>da</strong>de<br />
para li<strong>da</strong>r com feixes polarizados, única forma de excitação seletiva dos modos TE e<br />
TM, <strong>em</strong> lugar de feixes circularmente polarizados descritos por Mazolli et al [27]. Para<br />
descrever a excitação seletiva a única restrição é que o “spot size” do feixe seja b<strong>em</strong><br />
menor do que o raio <strong>da</strong> partícula, tor<strong>na</strong>ndo a aproximação de Davis irrelevante.<br />
Nesse capítulo apresentamos o formalismo eletromagnético e os resultados<br />
obtidos <strong>na</strong> seguinte ord<strong>em</strong>. Iniciamos com a teoria de incidência por on<strong>da</strong>s pla<strong>na</strong>s que<br />
descreve b<strong>em</strong> os resultados do espalhamento <strong>da</strong> força óptica <strong>na</strong> direção vertical com o<br />
feixe de Ti:Safira desfocalizado e <strong>da</strong> luminescência excita<strong>da</strong> por absorção de 2 fótons. Já<br />
os resultados para a força <strong>da</strong> pinça óptica incidindo <strong>na</strong> bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> partícula e <strong>da</strong> força <strong>em</strong><br />
função do deslocamento só pod<strong>em</strong> ser explicados com o feixe focalizado. Assim, a<br />
segun<strong>da</strong> parte do capítulo descreve como utilizamos o princípio <strong>da</strong> localização para<br />
calcular os coeficientes de expansão <strong>em</strong> on<strong>da</strong>s parciais de feixes gaussianos, e também<br />
como os mesmos foram usados para calcular as forças ópticas <strong>na</strong>s diferentes direções.<br />
Todos os nossos programas numéricos foram realizados com o software Math<strong>em</strong>atica e<br />
estão no apêndice 2. Fi<strong>na</strong>lmente apresentamos os gráficos experimentais e teóricos para<br />
as ressonâncias observa<strong>da</strong>s <strong>na</strong> bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> partícula e a força <strong>em</strong> função do deslocamento.<br />
Muitos cálculos teóricos, integrais e provas de relações foram omitidos nesse capítulo e<br />
desenvolvidos no apêndice 1, para melhor compreensão do texto. Por outro lado,<br />
desenvolvimentos já existentes <strong>na</strong> literatura que requereriam um número excessivo de<br />
pági<strong>na</strong>s de pura álgebra foram omitidos, os substituindo pela simples referência à fonte<br />
origi<strong>na</strong>l.<br />
Acreditamos ter d<strong>em</strong>onstrado com os resultados desse capítulo a necessi<strong>da</strong>de de<br />
utilizar um formalismo b<strong>em</strong> mais complexo para a descrição <strong>da</strong>s forças envolvi<strong>da</strong>s <strong>em</strong><br />
experimentos de pinças ópticas. As aplicações <strong>da</strong> pinça óptica são s<strong>em</strong>pre realiza<strong>da</strong>s <strong>em</strong><br />
meio fluido <strong>na</strong> presença de inevitáveis forças hidrodinâmicas anisotrópicas. Além disso,<br />
73
<strong>na</strong> descrição hidrodinâmica de uma partícula captura<strong>da</strong> é s<strong>em</strong>pre necessário considerar<br />
a proximi<strong>da</strong>de <strong>da</strong>s paredes <strong>da</strong> lâmi<strong>na</strong> e lamínula, pois a distância de trabalho <strong>da</strong>s<br />
objetivas capazes de aprisio<strong>na</strong>r é de ape<strong>na</strong>s 200 µm. Já sabíamos de ant<strong>em</strong>ão através <strong>da</strong><br />
análise intuitiva do capítulo 2 que a própria força óptica é anisotrópica, com a força<br />
vertical menor do que a força horizontal, mas preservando uma simetria azimutal.<br />
Nossos resultados, entretanto, mostram que sequer existe essa simetria azimutal, pois<br />
mesmo a força óptica horizontal depende <strong>da</strong> direção do movimento <strong>em</strong> relação à<br />
polarização do feixe incidente. Em outras palavras, a polarização do laser quebra a<br />
simetria azimutal.<br />
3.1 “MDR modes” <strong>em</strong> Microesferas Excita<strong>da</strong>s por Incidência de On<strong>da</strong> Pla<strong>na</strong><br />
As principais referências para os cálculos de on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> dessa seção são os livros<br />
de Bohren & Huffman [28], bastante didático, Van de Hulst [29], não tão didático mas<br />
fun<strong>da</strong>mental <strong>na</strong> área e praticamente citado por todos os artigos no assunto, e do Jackson<br />
[30], que <strong>em</strong>bora não trate especificamente desse probl<strong>em</strong>a, t<strong>em</strong> a linguag<strong>em</strong> mais<br />
comum para os físicos <strong>da</strong> geração que o utilizaram como livro texto de Eletrodinâmica.<br />
3.1.1 Soluções <strong>da</strong> Equação de On<strong>da</strong> Vetorial<br />
Provavelmente, um dos probl<strong>em</strong>as mais importantes com solução exata <strong>na</strong> teoria<br />
de absorção e espalhamento por peque<strong>na</strong>s partículas seja o de um centro espalhador<br />
esférico com raio e índice de refração arbitrários. O equacio<strong>na</strong>mento desse tipo de<br />
probl<strong>em</strong>a começa com as equações de Maxwell <strong>na</strong> ausência de cargas livres <strong>em</strong> meios<br />
<br />
homogêneos para os campos D=εE<br />
e H = B µ <strong>da</strong><strong>da</strong>s por:<br />
<br />
1. ∇⋅ D = 0 , 2. ∇ ⋅ H = 0 , 3.<br />
<br />
∂H<br />
∇× E =−µ ∂ t<br />
e 4.<br />
<br />
∂E<br />
∇× H =ε ∂ t<br />
(3. 1)<br />
Aplicando o ∇ × <strong>na</strong>s equações 3 e 4, encontramos as equações de on<strong>da</strong> vetoriais:<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 1 ∂ E 2<br />
2 1 ∂ H<br />
∇ E − = 0 e<br />
c<br />
2 t<br />
2<br />
∇ H − = 0 (3. 2).<br />
2 2<br />
∂<br />
c ∂ t<br />
Há duas estratégias para achar a solução dessas equações:<br />
74
i t<br />
1. Partindo de um campo elétrico <strong>na</strong> forma Er ( , t) = Er ( ) e − ω<br />
resolve‐se a equação<br />
diferencial vetorial para a dependência espacial do campo elétrico<br />
<br />
impondo a condição de que ∇⋅ E = 0<br />
<br />
Hrt ( , )<br />
i<br />
=− ∇×<br />
µω<br />
<br />
E.<br />
<br />
2 ω <br />
∇ E+ =<br />
c<br />
2<br />
E 0<br />
2<br />
e se obtém o campo magnético através de<br />
i t<br />
2. Partindo de um campo magnético <strong>na</strong> forma Hrt ( , ) = Hr ( ) e − ω resolve‐se a equação<br />
vetorial<br />
<br />
2 ω <br />
∇ H+ =<br />
c<br />
2<br />
H 0<br />
2<br />
<br />
elétrico através de Er ( , t)<br />
impondo a condição de que ∇ ⋅ H <br />
= 0<br />
i<br />
= ∇×<br />
εω<br />
<br />
H.<br />
e se obtém o campo<br />
De qualquer forma dev<strong>em</strong>os iniciar encontrando as soluções <strong>da</strong>s equações<br />
<br />
2 2<br />
diferenciais vetoriais do tipo ∇ F+ k F = 0 , onde k = ω c. Quando as condições de<br />
contorno permit<strong>em</strong>, esse probl<strong>em</strong>a pode ser decomposto <strong>em</strong> uma equação diferencial<br />
escalar para ca<strong>da</strong> componente. Infelizmente, <strong>na</strong> nossa situação, as condições de<br />
contorno <strong>em</strong> uma superfície esférica misturam as diferentes componentes tor<strong>na</strong>ndo a<br />
técnica de decomposição muito complica<strong>da</strong>. Nesse caso, é melhor utilizar outra técnica<br />
para encontrar a solução <strong>da</strong>s equações diferenciais vetoriais, partindo <strong>da</strong>s soluções <strong>da</strong>s<br />
equações diferenciais escalares <strong>da</strong> forma<br />
2 2<br />
∇ φ+ k φ= 0 . Para isso, suponha que se<br />
conhece a solução de um operador escalar L φ = 0, e que o operador vetorial A comuta<br />
com L. Então, L A φ = A <br />
L φ = 0, e u= Aφ<br />
é uma solução <strong>da</strong> equação vetorial. Desse<br />
modo, é necessário encontrar os operadores vetoriais que comutam com o operador<br />
2 2<br />
∇ + k . No apêndice 1 d<strong>em</strong>onstramos que os operadores ∇ , L e ∇ × L <br />
comutam com o<br />
2<br />
<br />
∇ e, portanto, as funções vetoriais A = ∇φ , D = Lφ<br />
e F = ( ∇× L)<br />
φ são possíveis soluções<br />
<br />
<strong>da</strong> equação vetorial, onde L=− ir×∇<br />
é o operador momento angular.<br />
Entretanto, o gradiente deve ser descartado para equações de on<strong>da</strong>s<br />
2<br />
eletromagnéticas porque ele não é solenoi<strong>da</strong>l, isto é, ∇ ⋅∇φ=∇ φ≠ 0 , uma vez que<br />
2 2<br />
∇φ=−k<br />
φ. Já as outras duas são solenoi<strong>da</strong>is, pois ⋅∇ × = 0<br />
75<br />
∇ V e
∇⋅ L =∇⋅( − ir×∇ ) =−i∂ [ ε x ∂ ] =−i [ ε x ∂ ∂ +ε δ ∂ ] = 0<br />
j jkl k l jkl k j l jkl jk l<br />
pois os tensores<br />
∂∂ j l e δ jk<br />
são simétricos e o εijk antisimétrico 2 .<br />
<br />
O produto escalar r ⋅ L = −ixjεjklxk∂ l = −iεjklxjxk∂ l = 0 pois xx j k é simétrico.<br />
<br />
<br />
Assim, ao escolher uma solução do tipo E= Lφ<br />
e H = − i µω∇× ( Lφ)<br />
a componente radial<br />
<br />
do campo elétrico Er<br />
= r⋅ E=<br />
0 é nula, o campo elétrico será transversal e estamos no<br />
<br />
<br />
caso denomi<strong>na</strong>do TE. Já a escolha H = Lφ<br />
e E= − i µεω∇× ( Lφ)<br />
leva a um campo<br />
magnético transversal e de maneira análoga estamos no caso TM.<br />
2 2<br />
A equação escalar ∇φ+ k φ= 0 , sendo<br />
2 2 2 2 2<br />
∇ = 1 r∂ ∂r ( r)<br />
− L r é resolvi<strong>da</strong> por<br />
m<br />
separação de variáveis com φ= ZrY ( ) n ( θ, ϕ ). L<strong>em</strong>brando que LY 2 = nn ( + 1)<br />
Y , onde<br />
m<br />
Y n<br />
são os harmônicos esféricos.<br />
m<br />
n<br />
m<br />
n<br />
a qual é igual a:<br />
m<br />
m<br />
d ( + 1) n 2 m<br />
2 rZ<br />
2 k Y l Z<br />
Yn<br />
n n Y Z<br />
( ) − + = 0 (3. 3)<br />
r dr r<br />
2<br />
2 dZ dZ 2 2<br />
r + 2 r + [ k r − n( n+ 1)] Z= 0 (3. 4)<br />
2<br />
dr dr<br />
que é a equação <strong>da</strong>s funções esféricas de Bessel.<br />
Assim,<br />
1 2<br />
n = n( ), η n( ), n( ) = n+ η n e n( ) = n+ η n, onde jn( kr ) e<br />
Z j kr kr h kr j i h kr j i<br />
η n( kr ) são as funções esféricas de Bessel e de Neumann e 1<br />
hn<br />
( kr ) e<br />
2<br />
h ( kr ) são as funções<br />
l<br />
de Hankel de primeiro e segundo tipo. A função n ( kr ) diverge <strong>na</strong> orig<strong>em</strong> e<br />
n<br />
1 ( )~<br />
ikr<br />
hn<br />
kr e r e<br />
2 ( )~<br />
−ikr<br />
h kr e r. Por isso dev<strong>em</strong>os usar j ( kr ) como solução para os<br />
n<br />
n<br />
campos no interior <strong>da</strong> esfera e para as on<strong>da</strong>s incidentes, sejam as mesmas pla<strong>na</strong>s ou<br />
não, e<br />
1<br />
h ( kr ) para os campos espalhados.<br />
n<br />
2<br />
A contração de um tensor simétrico Sij com um antisimétrico Aij é s<strong>em</strong>pre nula, pois Sij Aij = Sji Aji por simples<br />
troca de letras, agora usando as proprie<strong>da</strong>des de simetria Sij Aij = (Sij) (‐Aij) = ‐ Sij Aij levando a 2 Sij Aij = 0, (c.q.d.).<br />
76
Com o intuito de facilitar os cálculos e tor<strong>na</strong>r nossos resultados comparáveis com<br />
os dos livros de Van de Hulst e Bohren & Huffman não usar<strong>em</strong>os diretamente os<br />
harmônicos esféricos<br />
m<br />
Y n , mas sim combi<strong>na</strong>ções lineares com pari<strong>da</strong>de defini<strong>da</strong><br />
construí<strong>da</strong>s a partir de<br />
m<br />
Y n e<br />
m<br />
n<br />
Y − , mantendo s<strong>em</strong>pre m ≥ 0 . Assim, pod<strong>em</strong>os utilizar:<br />
m (2 1)( )!<br />
( 1) m n+ n−m<br />
n<br />
n<br />
m (cos )<br />
im ϕ<br />
Y = − P θ e<br />
4 π ( n+<br />
m)!<br />
e<br />
m (2n 1)( n m)!<br />
Yn<br />
− + −<br />
= Pn<br />
m (cos θ)<br />
e<br />
−imϕ<br />
4 π ( n+<br />
m)!<br />
(3. 5)<br />
para construir as funções:<br />
m m −m m (2n+ 1)( l−n)!<br />
m imϕ −imϕ<br />
Yn + ( − 1) Yn = ( −1) Pn<br />
(cos θ ) [ e + e ] =<br />
4 π ( n+<br />
m)!<br />
m (2n+ 1)( n−m)!<br />
m<br />
= ( −1) Pn<br />
(cos θ) cos m ϕ<br />
π ( n+<br />
m)!<br />
(3. 6)<br />
e,<br />
m m −m m (2n+ 1)( n−m)!<br />
m imϕ −imϕ<br />
Yn −− ( 1) Yn =− ( 1) Pn<br />
(cos θ) [ e − e ] =<br />
4 π ( n+<br />
m)!<br />
m (2n+ 1)( n−m)!<br />
m<br />
= ( −1) i P n (cos θ) sen mϕ<br />
π ( n+<br />
m)!<br />
(3. 7),<br />
que estão relacio<strong>na</strong><strong>da</strong>s as funções comumente utiliza<strong>da</strong>s pelas relações:<br />
m m π ( n + m)!<br />
m m −m<br />
ψ enm = Pn (cos θ)cos mϕ= ( − 1) [ Yn + ( −1) Yn<br />
] (3. 8)<br />
(2n+ 1) ( n−m)!<br />
m m π ( n + m)!<br />
m m −m<br />
ψ onm = Pn (cos θ) sen mϕ=−i( −1) [ Yn −( −1) Yn<br />
]<br />
(2n+ 1) ( n−m)!<br />
(3. 9)<br />
as quais possu<strong>em</strong> as mesmas proprie<strong>da</strong>des de ortogo<strong>na</strong>li<strong>da</strong>de dos harmônicos esféricos.<br />
Usamos também as mesmas convenções dos livros supracitados com os subscritos e e o<br />
para indicar as pari<strong>da</strong>des pares e ímpares (e, de even, significa par e o, de odd, ímpar).<br />
Com essas funções construímos os vetores harmônicos esféricos M <br />
e N , definidos de<br />
maneira adimensio<strong>na</strong>l, como:<br />
1 1 1 1 <br />
Menm = Zn( kr)<br />
Lψenm<br />
, Monm = Zn( kr)<br />
Lψonm<br />
, Nenm = ∇× [ Zn( kr) Lψ enm]<br />
= ∇× Menm<br />
i<br />
i<br />
ik<br />
k<br />
1 1 <br />
Nonm = ∇× [ Zn( kr) Lψ onm]<br />
= ∇× Monm<br />
(3. 10).<br />
ik<br />
k<br />
77<br />
e
Usando<br />
eˆ<br />
L i [ θ ∂ ∂<br />
= −eˆ<br />
ϕ ]<br />
sen θ∂ϕ ∂θ<br />
e explicitando as dependências de M e N com<br />
ψ , conforme detalhado no apêndice, ficamos com:<br />
<br />
m<br />
−m<br />
m<br />
dP ( cos )<br />
( sen ) ( cos ) ( ) ˆ ( cos<br />
n θ<br />
Menm = mϕ Pn θ Zn ρ eθ<br />
− mϕ)<br />
Zn<br />
( ρ)<br />
eˆϕ<br />
(3. 11),<br />
sen θ<br />
dθ<br />
<br />
m<br />
m<br />
m<br />
dP ( cos )<br />
( cos ) ( cos ) ( ) ˆ<br />
n θ<br />
Monm = mϕ Pn θ Zn ρ eθ<br />
−( sen mϕ)<br />
Zn<br />
( ρ)<br />
eˆϕ<br />
(3. 12),<br />
sen θ<br />
dθ<br />
e<br />
<br />
m<br />
Zn( ρ) ( )<br />
( ) ( )<br />
m<br />
dP cos 1<br />
cos 1 ( cos ) ˆ ( cos )<br />
n θ d<br />
Nenm = mϕ n n+ Pn θ er + mϕ ⎡ρZn<br />
( ρ)<br />
⎤ eˆθ<br />
ρ dθ ρ dρ<br />
⎣ ⎦<br />
m<br />
( θ)<br />
Pn<br />
cos 1 d<br />
−m( sen mϕ)<br />
⎡ρZn<br />
( ρ)<br />
⎤ eˆ<br />
sen θ ρ dρ<br />
⎣ ⎦<br />
ϕ<br />
(3. 13),<br />
<br />
m<br />
Zn( ρ) ( )<br />
( ) ( )<br />
m<br />
dP cos 1<br />
sen 1 ( cos ) ˆ ( sen )<br />
n θ d<br />
Nonm = mϕ n n+ Pn θ er + mϕ ⎡ρZn<br />
( ρ)<br />
⎤ eˆθ<br />
ρ dθ ρ dρ<br />
⎣ ⎦<br />
m<br />
( θ)<br />
Pn<br />
cos 1 d<br />
−m ( cos mϕ)<br />
⎡ρZn<br />
( ρ)<br />
⎤ eˆ<br />
sen θ ρ dρ<br />
⎣ ⎦<br />
ϕ<br />
(3. 14).<br />
onde<br />
ρ= kr . No cálculo de N usamos a equação diferencial dos polinômios associados<br />
de Legendre,<br />
1<br />
sen<br />
m<br />
2<br />
d dP<br />
(sen n<br />
m m<br />
θ ) + [ nn ( + 1) − ] P 0<br />
2 n =<br />
θ dθ θ sen θ<br />
. Os vetores M são também<br />
ortogo<strong>na</strong>is a N e ortogo<strong>na</strong>is entre si.<br />
3.1.2 Expansão de uma On<strong>da</strong> Incidente Arbitrária <strong>em</strong> Função dos Harmônicos<br />
Esféricos Vetoriais<br />
Resolvi<strong>da</strong> a equação vetorial pod<strong>em</strong>os agora encontrar os campos elétricos e<br />
magnéticos de uma on<strong>da</strong> incidente. Para tanto, vamos então expandi‐los <strong>em</strong> termos dos<br />
vetores M e N , segundo a forma:<br />
∞ <br />
E= A M + B N<br />
∑<br />
nm ,<br />
nm nm nm nm<br />
e<br />
∞<br />
iεω<br />
ik <br />
H = ∑ − A M − B N<br />
k<br />
µω<br />
nm ,<br />
nm nm nm nm<br />
(3. 15)<br />
Nosso objetivo é determi<strong>na</strong>r os coeficientes<br />
A nm e B nm<br />
. Far<strong>em</strong>os isso somente<br />
para uma <strong>da</strong>s pari<strong>da</strong>des, pois o desenvolvimento para a outra é análogo. Iniciamos<br />
78
obtendo o produto escalar de r <br />
com os campos e usando o fato de que r⋅ E=<br />
0<br />
<br />
campos TE e r⋅ H = 0 para os campos TM:<br />
<br />
nn ( + 1)<br />
r ⋅ E = ∑ Bnm r ⋅ Nnm = ∑ Bnm ( Znψnm<br />
) e<br />
k<br />
<br />
−ik<br />
<br />
− in( n + 1)<br />
r ⋅ H = ∑ Anm r ⋅ Nnm = ∑ Anm ( Znψnm<br />
) (3. 16).<br />
µω µω<br />
para<br />
Usando a ortogo<strong>na</strong>li<strong>da</strong>de <strong>da</strong>s funções angulares para extrair um único termo do<br />
somatório:<br />
∫<br />
<br />
∗<br />
nn ( + 1) ∗ n′ ( n′ + 1) 2 π ( n′ + m′<br />
)!<br />
r ⋅Eψnm ′ ′ dΩ= ∑ ZnBnm nm nm ′ ′ d Zn′ Bnm<br />
′ ′<br />
k<br />
∫ψ ψ Ω=<br />
k 2n′ + 1 ( n′ −m′<br />
)!<br />
k(2n+ 1) ( n−<br />
m)!<br />
∗ <br />
Zn( kr) Bnm = ψnm( r⋅E)<br />
dΩ<br />
( n+ m)! 2 π n ( n+ 1)<br />
∫<br />
(3. 17)<br />
∫<br />
e<br />
<br />
∗<br />
nn ( + 1) − ik ∗ n′ ( n′ + 1) 2 π ( n′ + m′<br />
)!<br />
r⋅Hψnm ′ ′ dΩ= ∑<br />
ZnAnm ψnmψnm ′ ′ dΩ=−i Zn′ Anm<br />
′ ′<br />
k µω<br />
∫<br />
µω 2n′ + 1( n′ − m′<br />
)!<br />
iµω (2n+ 1)( n−<br />
m)!<br />
∗ <br />
Zn( kr) Anm = ψnm( r⋅H)<br />
dΩ<br />
2 π nn ( + 1) ( n+ m)!<br />
∫<br />
(3. 18)<br />
onde<br />
dΩ= sen θdθdϕ é o diferencial do ângulo sólido. Em princípio, para soluções<br />
exatas <strong>da</strong>s equações de Maxwell, as funções radiais Z ( kr) j ( kr)<br />
n<br />
= de ambos os lados<br />
deveriam se cancelar, o que n<strong>em</strong> s<strong>em</strong>pre ocorre com as aproximações. Uma opção para<br />
elimi<strong>na</strong>r a dependência radial dos coeficientes é multiplicar por j ( kr)<br />
usando a identi<strong>da</strong>de:<br />
obtendo:<br />
∞<br />
π<br />
2 (2n+<br />
1)<br />
0<br />
∫ j ( ) ( ) ( )<br />
n kr j n ′ kr d kr = δ nn ′ (3. 19)<br />
n<br />
n<br />
′ e integrar <strong>em</strong> r<br />
∞ π 2π<br />
k(2n+ 1) ( n− m)! 2(2n+<br />
1)<br />
∗ <br />
Bnm = jn′<br />
( kr) d( kr)<br />
ψnm( r ⋅E)<br />
dΩ<br />
( n+ m)! 2 π n ( n+ 1) π<br />
∫ ∫ ∫<br />
0 0 0<br />
(3. 20)<br />
∞ π 2π<br />
iµω (2n+ 1)( n− m)! 2(2n+<br />
1)<br />
∗ <br />
Anm = jn′<br />
( kr) d( kr)<br />
ψnm( r ⋅H)<br />
dΩ<br />
2 π nn ( + 1) ( n+ m)!<br />
π<br />
∫ ∫ ∫<br />
(3. 21)<br />
0 0 0<br />
79
3.1.3 Cálculos dos Coeficientes de Mie para um Campo Incidente Arbitrário<br />
Com a expansão <strong>da</strong> on<strong>da</strong> incidente pod<strong>em</strong>os agora encontrar os assim chamados<br />
coeficientes de Mie, definidos como as razões entre os coeficientes de mesma ord<strong>em</strong> n,m<br />
<strong>da</strong> expansão dos campos espalhados/campos incidentes e internos à partícula/campos<br />
incidentes. Para isso, é necessário aplicar as condições de contorno <strong>da</strong> continui<strong>da</strong>de dos<br />
campos elétricos e magnéticos tangenciais <strong>em</strong> r<br />
= a, onde a é o raio <strong>da</strong> esfera. Isso pode<br />
ser feito separa<strong>da</strong>mente para as funções pares e ímpares, considerando as diferenças<br />
entre o meio interno e externo à partícula. Definimos os campos<br />
<br />
E e H ,<br />
respectivamente, para as on<strong>da</strong>s incidentes, interior à esfera e espalha<strong>da</strong> como:<br />
<br />
E ( g M ig N )<br />
∞<br />
m 1 m 1<br />
i = ∑ nTE omn − nTM <strong>em</strong>n<br />
nm ,<br />
<br />
( )<br />
∞<br />
k m 1 m 1<br />
e Hi =− ∑ gnTMM<strong>em</strong>n + ignTENomn<br />
µω<br />
nm ,<br />
(3. 22)<br />
<br />
E ( c M id N )<br />
∞<br />
m 1 m 1<br />
d = ∑ n omn − n <strong>em</strong>n<br />
nm ,<br />
<br />
E ( ia N b M )<br />
∞<br />
m 3 m 3<br />
s = ∑ n <strong>em</strong>n − n omn<br />
nm ,<br />
<br />
( )<br />
∞<br />
k m 1 m 1<br />
e Hd =− ∑ dn M<strong>em</strong>n + icn Nomn<br />
µω 1 nm ,<br />
<br />
( )<br />
∞<br />
k m 3 m 3<br />
e Hs =− ∑ an M<strong>em</strong>n + ibn Nomn<br />
µω nm ,<br />
(3. 23)<br />
(3. 24)<br />
1<br />
onde os índices “1” e “3” representam Z ( ρ ) = j ( ρ ) e Z ( ρ ) = h ( ρ ). As condições de<br />
n<br />
contorno são: E + E = ( E + E ) − ( E + E ) e H + H = ( H + H ) − ( H + H ).<br />
iθ iϕ dθ dϕ sθ sϕ<br />
Para a pari<strong>da</strong>de ímpar os campos incidentes são <strong>da</strong>dos por:<br />
n<br />
n<br />
n<br />
iθ iϕ dθ dϕ sθ sϕ<br />
<br />
E g [ A ( , ) Z ( ka) e A ( , ) Z ( ka) eˆ<br />
]<br />
∞<br />
m<br />
i = ∑ nTE 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ n<br />
nm ,<br />
ϕ<br />
(3. 25)<br />
<br />
H g { B ( , ) [ ka Z ( ka)] e B ( , ) [ ka Z ( ka)] eˆ<br />
]}<br />
∞<br />
−ki m 1 d 1 d<br />
i = ∑ nTE 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ<br />
n<br />
ωµ<br />
nm ,<br />
ka dka<br />
ka dka<br />
ϕ<br />
(3. 26)<br />
os campos internos por:<br />
<br />
E c [ A ( , ) Z ( ka) e A ( , ) Z ( ka) eˆ<br />
]<br />
∞<br />
m<br />
d = ∑ n 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ n<br />
nm ,<br />
ϕ<br />
(3. 27)<br />
<br />
H c { B ( , ) [ ka Z ( ka)] e B ( , ) [ ka Z ( ka)] eˆ<br />
]}<br />
∞<br />
−ki m 1 d 1 d<br />
d = ∑ n 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ<br />
n<br />
ωµ 1 nm ,<br />
ka dka<br />
ka dka<br />
ϕ<br />
(3. 28)<br />
e os campos <strong>da</strong>s on<strong>da</strong>s espalha<strong>da</strong>s por:<br />
80
E b [ A ( , ) Z ( ka) e A ( , ) Z ( ka) eˆ<br />
] (3. 29)<br />
∞<br />
m<br />
s = ∑ − n 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ n<br />
nm ,<br />
ϕ<br />
<br />
H b { B ( , ) [ ka Z ( ka)] e B ( , ) [ ka Z ( ka)] eˆ<br />
]}<br />
∞<br />
ki m 1 d 1 d<br />
s = ∑ n 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ<br />
n<br />
ωµ nm ,<br />
ka dka<br />
ka dka<br />
ϕ<br />
(3. 30)<br />
onde A1, A2, B1 e B 2 expressam as dependências <strong>em</strong> θ e ϕ dos M ʹ s e Nʹs.<br />
Definindo x = ka = 2πNa<br />
λ como o parâmetro de tamanho e M = k k = N N<br />
1 1<br />
como o índice de refração relativo, onde N é o índice de refração do meio, N1 o índice de<br />
refração <strong>da</strong> partícula, a o raio <strong>da</strong> partícula e λ o comprimento de on<strong>da</strong>, t<strong>em</strong>os que a<br />
continui<strong>da</strong>de dos campos elétricos leva a:<br />
m<br />
m<br />
[ A1( θϕ , ) eθ + A2( θϕ , ) eϕ] g nTE jn( x) = [ A1( θϕ , ) eθ + A2( θϕ , ) eϕ] cn jn( Mx)<br />
m 1<br />
+ [ A ( θ, ϕ ) e + A ( θ, ϕ) e ] b h ( x)<br />
⇒<br />
1 θ 2<br />
m m 1 m<br />
nTE n( ) n( ) n n( ) n<br />
Repetindo para os campos magnéticos:<br />
g j x = j Mx c + h x b (3. 31)<br />
m<br />
gnTE<br />
1 m<br />
1 θϕ ˆθ + 2 θϕ ˆϕ n = 1 θϕ ˆθ + 2 θϕˆϕ<br />
n n<br />
µ µ 1<br />
1 m 1<br />
+ [ B1( θ, ϕ ) eˆθ<br />
+ B2( θ, ϕ) eˆϕ] [ bn<br />
[ x hn( x)]<br />
′ ⇒<br />
µ 1<br />
m m m<br />
gnTE cn bn<br />
1<br />
[ xjn( x)] ′ = [ Mxjn( Mx)] ′ + [ xhn( x)]<br />
′ (3. 32)<br />
µ µ 1 µ 1<br />
[ B ( , ) e B ( , ) e ] [ x j ( x)] ′ [ B ( , ) e B ( , ) e ] [ c [ Mx j ( Mx)]<br />
′<br />
Multiplicando por µµ 1 obt<strong>em</strong>os:<br />
1<br />
1[ xj ( )] g m [ ( )] m 1[ ( )]<br />
m<br />
n x ′<br />
nTE Mxjn Mx ′ cn xhn x ′ bn<br />
µ =µ +µ (3. 33)<br />
Repetindo para a pari<strong>da</strong>de par:<br />
ϕ<br />
n<br />
n<br />
<br />
E i g { C ( , ) [ kaZ ( ka)] e C ( , ) [ kaZ ( ka)] eˆ<br />
]}<br />
∞<br />
m 1 d<br />
1 d<br />
i =−∑<br />
nTM 1 θϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θϕ<br />
n<br />
nm ,<br />
ka dka<br />
ka dka<br />
ϕ<br />
(3. 34);<br />
<br />
H g [ D ( , ) Z ( ka) e D ( , ) Z ( ka) eˆ<br />
]<br />
∞<br />
−k<br />
m<br />
i = ∑ nTM 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ n<br />
ωµ nm ,<br />
ϕ<br />
(3. 35);<br />
<br />
E i d { C ( , ) [ kaZ ( ka)] e C ( , ) [ kaZ ( ka)] eˆ<br />
]} (3. 36);<br />
∞<br />
m 1 d<br />
1 d<br />
d =−∑<br />
n 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ<br />
n<br />
nm ,<br />
ka dka<br />
ka dka<br />
ϕ<br />
81
H d [ D ( , ) Z ( ka) e D ( , ) Z ( ka) eˆ<br />
]<br />
∞<br />
−k<br />
m<br />
d = ∑ n 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ n<br />
ωµ 1 nm ,<br />
ϕ<br />
(3. 37);<br />
<br />
E i a [ A ( , ) Z ( ka) e A ( , ) Z ( ka) eˆ<br />
]<br />
∞<br />
m<br />
s = ∑ n 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ n<br />
nm ,<br />
ϕ<br />
(3. 38);<br />
<br />
H a { B ( , ) [ kaZ ( ka)] e B ( , ) [ kaZ ( ka)] eˆ<br />
]}<br />
∞<br />
ki m 1 d 1 d<br />
s = ∑ n 1 θ ϕ n<br />
ˆθ<br />
+ 2 θ ϕ<br />
n<br />
ωµ nm ,<br />
ka dka<br />
ka dka<br />
ϕ<br />
(3. 39);<br />
A continui<strong>da</strong>de dos campos elétricos leva a:<br />
m<br />
g<br />
1<br />
ˆ<br />
2<br />
ˆ<br />
nTM<br />
θϕ θ + θϕ ϕ n<br />
′ = 1 θϕ ˆθ + 2 θϕˆϕ<br />
[ C ( , ) e C ( , ) e ] [ x j ( x)] [ C ( , ) e C ( , ) e ]<br />
k<br />
1 1<br />
d [ Mx j ( Mx)] ′ + [ C ( θ, ϕ ) eˆ<br />
+ C ( θ, ϕ) eˆ<br />
] a [ x h ( x)]<br />
′ ⇒<br />
m<br />
m 1<br />
n n 1 θ 2 ϕ n n<br />
k1<br />
k<br />
m<br />
gnTM<br />
1 1<br />
[ xj ( x)] ′ = d [ Mxj ( Mx)] ′ + a [ xh( x)]<br />
′ (3. 40)<br />
k k k<br />
Multiplicando por k 1 :<br />
m<br />
m 1<br />
n n n n n<br />
1<br />
M[ xj ( x)] ′ g = [ Mxj ( Mx)] ′ d + Mxh [ ( x)]<br />
′ a (3. 41)<br />
m m 1 m<br />
n nTM n n n n<br />
Já a continui<strong>da</strong>de dos campos magnéticos:<br />
k<br />
ˆ ˆ ˆ ˆ<br />
m<br />
1 m<br />
[ D1( θϕ , ) eθ + D2( θϕ , ) eϕ] gnTM jn( x) = [ D1( θϕ , ) eθ + D2( θϕ , ) eϕ] dn jn( Mx)<br />
µ µ 1<br />
k m 1<br />
+ [ D1( θ, ϕ ) eˆθ<br />
+ D2( θ, ϕ) eˆϕ] anhn( x)<br />
⇒<br />
µ<br />
k g j ( x) k d j ( Mx) k a h ( x)<br />
(3. 42)<br />
µ µ µ<br />
m 1 m m 1<br />
nTM n = n n + n n<br />
1<br />
Multiplicando por µµ 1 e dividindo por k ,<br />
m m 1 m<br />
1jn( xg ) nTM M jn( Mxd ) n 1hn( xa ) n<br />
µ = µ +µ (3. 43)<br />
Dessa forma, no fi<strong>na</strong>l ficamos com quatro equações para determi<strong>na</strong>r quatro<br />
coeficientes desconhecidos, <strong>da</strong>s on<strong>da</strong>s interior e espalha<strong>da</strong>, <strong>em</strong> termos dos coeficientes<br />
<strong>da</strong> on<strong>da</strong> incidente, supostamente conhecidos:<br />
m m 1 m<br />
n( ) g nTE n( ) n n( ) n<br />
j x = j Mx c + h x b (3. 44)<br />
µ ′ =µ ′ +µ ′ (3. 45)<br />
m m 1 m<br />
1[ xjn( x)] g nTE [ Mxjn( Mx)] cn 1[ xhn( x)]<br />
bn<br />
k<br />
m m 1 m<br />
n<br />
′<br />
nTM n<br />
′<br />
n n<br />
′<br />
n<br />
M[ xj ( x)] g = [ Mxj ( Mx)] d + Mxh [ ( x)]<br />
a (3. 46)<br />
82
m m 1 m<br />
1jn( xg ) nTM M jn( Mx) dn 1hn( x)<br />
an<br />
µ = µ +µ (3. 47)<br />
Essas equações pod<strong>em</strong> ser resolvi<strong>da</strong>s duas a duas e independent<strong>em</strong>ente para<br />
ca<strong>da</strong> pari<strong>da</strong>de, com as duas primeiras determi<strong>na</strong>ndo os coeficientes c e b; e as duas<br />
últimas os coeficientes a e d. Para achar c, multiplicamos a primeira equação por<br />
1<br />
−µ 1[ xhn( x )]′<br />
, a segun<strong>da</strong> por<br />
h<br />
1 ( x ) e somamos:<br />
n<br />
1 m 1 m 1 1 m<br />
1[ xhn( x)] ′ jn( xg ) nTE 1[ xhn( x)] ′ jn( Mx) cn 1[ xhn( x)] ′ hn( x)<br />
bn<br />
−µ = −µ − µ<br />
1 m 1 m 1 1 m<br />
1hn( x)[ xjn( x)] ′ g nTE hn( x)[ Mxjn( Mx)] ′ cn 1hn( x)[ xhn( x)]<br />
′ bn<br />
µ =µ +µ ⇒<br />
m<br />
1 1 m 1 1<br />
1 nTE n ′ n n ′ n n n n ′ 1 n ′ n<br />
µ g {[ xj ( x)] h ( x) − [ xh ( x)] j ( x)} = c { µ h ( x)[ Mxj ( Mx)] −µ [ xh ( x)] j ( Mx)}<br />
c<br />
m<br />
1 1<br />
m µ 1 nTE n<br />
′<br />
n − n<br />
′<br />
n<br />
n 1 1<br />
µ n n<br />
′ −µ 1 n<br />
′<br />
n<br />
g {[ x j ( x)] h ( x) [ x h ( x)] j ( x)}<br />
= ⇒<br />
{ h ( x)[ Mx j ( Mx)] [ x h ( x)] j ( Mx)}<br />
c<br />
m<br />
1 1<br />
cn<br />
µ 1 n n − n n<br />
n = =<br />
m 1 1<br />
nTE µ 1 n n −µ n n<br />
{[ j ( x) x h ( x)] ′ h ( x)[ x j ( x)]}<br />
′<br />
g { j ( Mx)[ x h ( x)] ′ h ( x)[ Mx j ( Mx)]}<br />
′<br />
(3. 48)<br />
Repetindo para os outros termos obt<strong>em</strong>os:<br />
m<br />
2<br />
an<br />
{ µ M jn( Mx) [ xjn( x)] ′<br />
−µ 1 jn( x)[ Mxjn( Mx)<br />
]} ′<br />
an = =<br />
(3. 49)<br />
m<br />
g<br />
2 1 1<br />
nTM µ M jn( Mx) [ x hn( x) ]<br />
′<br />
−µ 1 hn( x) [ Mx jn( Mx)<br />
]<br />
′<br />
d<br />
{ Mj ( x)[ x h x ] M h x [ x j x ]}<br />
′<br />
g M j Mx [ x h x ]<br />
′<br />
h x [ Mx j Mx ]<br />
′<br />
1 1<br />
n n( ) ′ n( ) n( )<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
m<br />
dn<br />
µ 1<br />
−<br />
n = =<br />
m 2 1 1<br />
nTM µ n n −µ 1 n n<br />
(3. 50)<br />
m<br />
bn<br />
{ µ 1 jn( Mx) [ x jn( x)] ′<br />
−µ jn( x)[ Mx jn( Mx)<br />
]}<br />
′<br />
bn = =<br />
m (3. 51)<br />
g<br />
1 1<br />
nTE µ 1 jn( Mx) [ x hn( x) ]<br />
′<br />
−µ hn( x) [ Mx jn( Mx)<br />
]<br />
′<br />
que são coeficientes de Mie, e independentes de m.<br />
3.1.4 Expansão de uma On<strong>da</strong> Pla<strong>na</strong> <strong>em</strong> Função dos Vetores Harmônicos Esféricos<br />
Usando os resultados <strong>da</strong> seção 3.1.2 pod<strong>em</strong>os decompor os campos elétricos e<br />
magnéticos uma on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> incidente <strong>em</strong> on<strong>da</strong>s parciais. Assumindo E e H <br />
como<br />
<br />
<br />
E=<br />
E e e x H = ( − i µω) E ∇× e eˆ<br />
= ( kE µω) e ikz eˆ<br />
. T<strong>em</strong>os,<br />
ikz<br />
0<br />
ˆ<br />
e ikz 0 x 0<br />
y<br />
<br />
ikz ikr cosθ<br />
iE0<br />
d ikr cosθ<br />
r⋅ E= E0e x= E0e rsen θ cos ϕ= ( e )cosϕ<br />
(3. 52)<br />
k dθ<br />
83
k ikz k ikr cos θ<br />
iE0<br />
d ikr cosθ<br />
r ⋅ H = E0e y = E0e rsen θ sen ϕ = ( e )senϕ<br />
µω µω µω dθ<br />
(3. 53)<br />
Assim,<br />
k(2n+ 1) ( n−m)!<br />
iE0<br />
d ikr cosθ<br />
∗<br />
Zn( kr) Bnm = ( e )cosϕ ψnm<br />
sen θ dθ dϕ<br />
( n+ m)! 2 π n( n+ 1)<br />
∫<br />
(3. 54).<br />
k dθ<br />
Se<br />
m<br />
ψ = P (cos θ)sen<br />
mϕ, t<strong>em</strong>os<br />
nm<br />
m<br />
n<br />
ψ = P (cos θ)cos<br />
mϕ,<br />
nm<br />
n<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
2π<br />
cosϕcos mϕ dϕ =πδm<br />
Kronecker. Dessa forma, ficamos com:<br />
∫ cos ϕ sen mϕ dϕ = 0 . Por outro lado com<br />
0<br />
,1<br />
, onde δ representa a função delta de<br />
e integrando por partes,<br />
π<br />
iE0π k(2n+ 1) ( n−1)!<br />
1 d ikr cosθ<br />
n 1n n<br />
k ( n+ 1)! 2 π n( n+ 1)<br />
dθ<br />
0<br />
Z ( kr) B = ∫ sen θ P (cos θ)( e ) dθ<br />
(3. 55)<br />
π<br />
iE0π k(2n+ 1) ( n−1)!<br />
ikr cosθ<br />
d<br />
1<br />
n 1n n<br />
k ( n+ 1)! 2 π n( n+ 1) dθ<br />
0<br />
Z ( kr) B = − ∫ e [ [sen θ P (cos θ)]<br />
dθ<br />
(3. 56).<br />
Usando novamente a equação diferencial dos polinômios de Legendre, t<strong>em</strong>os:<br />
π<br />
iE0(2n + 1) nn ( + 1) ikr cosθ<br />
1<br />
n 1n 2<br />
n<br />
[ nn ( 1)] 2<br />
0<br />
Z ( kr) B =− e P (cos θ)sen<br />
θdθ<br />
+<br />
∫<br />
(3. 57).<br />
π<br />
ikr cosθ<br />
1<br />
2<br />
Entretanto, ∫ e Pn(cos θ)sen θ dθ= jn( kr)<br />
, tal que<br />
n<br />
( − i)<br />
0<br />
iE0(2n + 1) nn ( + 1) 2<br />
Z n ( kr) B1 n =−<br />
j ( )<br />
2<br />
n<br />
[ ( 1)] 2 ( )<br />
n kr<br />
nn+ −i<br />
(3. 58),<br />
ii () E0<br />
(2n+<br />
1)<br />
e portanto, no fi<strong>na</strong>l t<strong>em</strong>os B1n<br />
=−<br />
nn ( + 1)<br />
ímpar.<br />
Já,<br />
n<br />
para<br />
ψ par e B 1 = 0 para ψ nm<br />
nm<br />
n<br />
iµω (2n+ 1)( n−<br />
m)!<br />
iE0<br />
d ikr cosθ<br />
∗<br />
Zn( kr) Anm = ( e )senϕψnm<br />
sen θ dθ dϕ=<br />
2 π nn ( + 1) ( n+ m)!<br />
∫<br />
µω dθ<br />
E0 (2n+ 1)( n−m)!<br />
d ikr cos<br />
( e<br />
θ<br />
∗<br />
)sen nm sen d d<br />
= − ϕψ θ θ ϕ<br />
2 π nn ( + 1) ( n+ m)!<br />
∫<br />
(3. 59)<br />
dθ<br />
84
e agora t<strong>em</strong>os que se<br />
∫<br />
m<br />
ψ nm = Pn<br />
(cos θ)sen<br />
mϕ, senϕsen mϕdϕ =πδm<br />
,1<br />
, porém se<br />
m<br />
ψ = P (cos θ)cos<br />
mϕ, senϕcos mϕdϕ = 0 . Portanto,<br />
nm<br />
n<br />
e desse modo,<br />
∫<br />
π E0<br />
(2n+ 1)( n−<br />
1)!<br />
1 d ikr cosθ<br />
Zn( kr) A1n =− sen θPn(cos θ)( e ) dθ=<br />
2 π nn ( + 1) ( n+ 1)!<br />
∫<br />
dθ<br />
E (2n+<br />
1) d<br />
2[ nn ( + 1)]<br />
∫<br />
dθ<br />
0<br />
1 ikr cosθ<br />
= ( [sen θ P (cos )]<br />
2<br />
n θ e =<br />
π<br />
0 ikr cosθ<br />
1<br />
0<br />
2<br />
n<br />
nn<br />
0<br />
E (2n+ 1) E (2n+<br />
1) 1<br />
= nn ( + 1) e P(cos θ)sen θ dθ=<br />
jn( kr)<br />
n<br />
2 [ ( + 1)]<br />
∫<br />
(3. 60)<br />
nn ( + 1) ( −i)<br />
n<br />
0 1<br />
0<br />
n( ) 1n = n( ) ⇒<br />
n<br />
1n<br />
=<br />
E (2n+ 1) ( i) E (2n+<br />
1)<br />
Z kr A j kr A<br />
nn ( + 1) ( −i)<br />
nn ( + 1)<br />
para<br />
ψ nm par.<br />
No fim dos cálculos, v<strong>em</strong>os que o campo E é <strong>da</strong>do por:<br />
ψ ímpar e A 1 = 0 para<br />
( ) (2 1) ( ) (2 1) ()(2 1)<br />
E = M − N = E ( M −iN<br />
<br />
) ⇒<br />
∞ n n ∞ n<br />
i E0 n+ i i E0<br />
n+ i n+<br />
∑<br />
o1n e1n 0∑<br />
o1n e1n<br />
n= 1 nn ( + 1) nn ( + 1) n=<br />
1 nn ( + 1)<br />
∞ <br />
E = E ( M −iN<br />
) (3. 61)<br />
∑<br />
i n o1n e1n<br />
n=<br />
1<br />
Para encontrar H <br />
basta aplicar H = ( − i µω)<br />
∇× E :<br />
nm<br />
n<br />
iE<br />
H −<br />
= ( ) ∇× [( M − iN )] = ( ) ( ∇× M −i∇×<br />
N<br />
<br />
)<br />
µω + µω +<br />
∞ n<br />
∞ n<br />
0 ()(2 i n+ 1) −iE0<br />
()(2 i n+<br />
1)<br />
∑<br />
o1n e1n ∑<br />
o1n e1n<br />
n= 1 nn ( 1) n=<br />
1 nn ( 1)<br />
iE<br />
H − + +<br />
= ( ) ( kN − ikM ) =− ( M + iN<br />
<br />
) ⇒<br />
µω + µω +<br />
∞ n<br />
∞ n<br />
0 ()(2 i n 1) kE0<br />
()(2 i n 1)<br />
∑<br />
o1n e1n ∑<br />
e1n o1n<br />
n= 1 nn ( 1) n=<br />
1 nn ( 1)<br />
∞<br />
k<br />
H =− ∑<br />
<br />
E ( M + iN ) (3. 62)<br />
µω<br />
i n e1n o1n<br />
n=<br />
1<br />
3.1.5 Cálculos dos Coeficientes de Mie para On<strong>da</strong>s Pla<strong>na</strong>s<br />
Comparando as expressões para os campos elétrico e magnéticos incidentes<br />
calculado para on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> com os definidos <strong>na</strong> seção 3.1.3 e definindo os campos<br />
espalhados e interior como:<br />
85
E E ( c M id N )<br />
∞<br />
1 1<br />
d = ∑ n n o1n − n e1n<br />
n=<br />
1<br />
<br />
( )<br />
∞<br />
k<br />
1 1<br />
e<br />
1<br />
Hd =− ∑ En dnMe1n + icnNo1n<br />
µω 1 n=<br />
1<br />
(3. 63)<br />
<br />
E E ( ia N b M )<br />
∞<br />
3 3<br />
s = ∑ n n e1n − n o1n<br />
n=<br />
1<br />
<br />
( )<br />
∞<br />
k<br />
3 3<br />
e Hs = ∑ En anMe1n + ibnNo1n<br />
µω n=<br />
1<br />
(3. 64)<br />
onde, os índices “1” e “3” também representam as funções Z ( kr) = j ( kr)<br />
e<br />
1<br />
n<br />
Z ( kr) = h ( kr)<br />
. V<strong>em</strong>os então que, os coeficientes de Mie definidos <strong>na</strong> seção 3.1.3<br />
n<br />
n<br />
n<br />
aparec<strong>em</strong> <strong>na</strong>turalmente <strong>na</strong> decomposição <strong>da</strong> on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>:<br />
m m<br />
nTE nTM n<br />
g = g = E ,<br />
c<br />
m<br />
n<br />
= E c ,<br />
n n<br />
d<br />
m<br />
n Endn<br />
= ,<br />
a<br />
m<br />
n<br />
= E a e<br />
n n<br />
b<br />
m<br />
n<br />
= E b .<br />
n n<br />
3.1.6 “MDR modes”<br />
Os valores de x’s para os quais os denomi<strong>na</strong>dores são exatamente nulos são<br />
chamados freqüências <strong>na</strong>turais <strong>da</strong> esfera, são complexos e os modos normais associados<br />
são denomi<strong>na</strong>dos modos virtuais. Como os denomi<strong>na</strong>dores não possu<strong>em</strong> raízes reais, as<br />
ressonâncias acontec<strong>em</strong> para as raízes complexas <strong>em</strong> que a parte imaginária é b<strong>em</strong><br />
menor que a parte real, ou <strong>em</strong> outras palavras, para valores de x real <strong>em</strong> que os valores<br />
absolutos dos denomi<strong>na</strong>dores passam por mínimos. Esses modos dão orig<strong>em</strong> a picos de<br />
ressonância que tanto pod<strong>em</strong> ser vistos através de espectros de radiação retroespalha<strong>da</strong><br />
como através do monitoramento do espalhamento Raman, <strong>da</strong> fluorescência e <strong>da</strong> força<br />
de pressão de radiação <strong>da</strong> pinça óptica. Suas posições espectrais são s<strong>em</strong>pre as mesmas<br />
não importando o tipo de medi<strong>da</strong> realiza<strong>da</strong>. Para as on<strong>da</strong>s espalha<strong>da</strong>s, quando a n = 0<br />
campo elétrico espalhado é <strong>da</strong> forma<br />
<br />
<br />
E E ( b M ),<br />
∞<br />
3<br />
s = ∑ n n o1n<br />
n=<br />
1<br />
s<strong>em</strong> componente radial, só existindo modos TE. No outro caso, quando b n = 0 , no qual<br />
<br />
<br />
H E ( a M )<br />
∞<br />
k<br />
3<br />
s =− n n e1n<br />
µω<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
modos TM.<br />
não t<strong>em</strong> componente radial e<br />
86<br />
<br />
<br />
E E ( ia N )<br />
∞<br />
3<br />
s = ∑ n n e1n<br />
n=<br />
1<br />
, o<br />
só existirá os<br />
Intuitivamente pod<strong>em</strong>os interpretar as ressonâncias de duas maneiras. A<br />
primeira é através <strong>da</strong> óptica geométrica, onde a luz fica confi<strong>na</strong><strong>da</strong> por um pequeno
t<strong>em</strong>po dentro de uma esfera devido às múltiplas reflexões que ocorr<strong>em</strong> <strong>na</strong> superfície<br />
inter<strong>na</strong>. A outra maneira, segundo Nussenzveig [31], é através <strong>da</strong> associação <strong>da</strong> óptica<br />
com a trajetória de uma partícula <strong>na</strong> mecânica clássica, ou mesmo <strong>na</strong> mecânica<br />
quântica, quando se consideram efeitos de interferência e tunelamento. A a<strong>na</strong>logia <strong>da</strong><br />
trajetória de um raio <strong>da</strong> óptica geométrica com a trajetória de uma partícula sujeita a<br />
um campo de forças <strong>na</strong> mecânica clássica é direta. Basicamente pod<strong>em</strong>os mostrar que<br />
s<strong>em</strong>pre existirá um potencial para o qual as duas trajetórias, do raio <strong>da</strong> óptica<br />
geométrica e <strong>da</strong> partícula no campo de forças, serão idênticas. Isso pode ser mostrado<br />
através dos dois princípios de ação mínima, o de Fermat <strong>da</strong> óptica geométrica, que<br />
afirma que:<br />
<br />
onde ( )<br />
s2<br />
∫<br />
s1<br />
<br />
n ds é mínima (3. 65),<br />
( r )<br />
n r é o índice de refração dependente <strong>da</strong> posição r e ds é o deslocamento<br />
infinitésimal ao longo <strong>da</strong> trajetória do raio, e o princípio <strong>da</strong> ação mínima para o<br />
movimento de uma partícula <strong>em</strong> um campo de forças conservativo, que afirma que:<br />
t<br />
∫ 2<br />
t1<br />
T dt (3. 66),<br />
sujeita à restrição de que a conservação <strong>da</strong> energia mecânica, T + V = E, é mínima [32],<br />
onde T é a energia cinética e V a energia potencial.<br />
Mu<strong>da</strong>ndo <strong>da</strong> variável t<strong>em</strong>po para a variável s que representa o deslocamento ao<br />
longo <strong>da</strong> trajetória <strong>da</strong> partícula, t<strong>em</strong>os que<br />
2<br />
2<br />
ds = dx + dy + dz e<br />
2<br />
2<br />
. . .<br />
2 2 2<br />
( )<br />
2<br />
T = m[( x ) + ( y ) + ( z ) ] 2 = ⎡m ds dt ⎤ 2 . Assim:<br />
⎣ ⎦<br />
t t s<br />
m⎛ds⎞ds m⎛ds⎞<br />
Tdt= ⎜ ⎟ dt=<br />
⎜ ⎟ds(3. 67)<br />
2 ⎝ dt ⎠ dt 2 ⎝ dt ⎠<br />
2 2 2<br />
∫ ∫ ∫<br />
t t s<br />
1 1 1<br />
A conservação <strong>da</strong> energia, por outro lado, é expressa como:<br />
2<br />
m⎛ds<br />
⎞ ds 2<br />
⎜ ⎟ + V = E ⇒ = E − V<br />
2 ⎝ dt ⎠<br />
dt m<br />
integral<br />
s<br />
2<br />
∫<br />
s<br />
1<br />
( )<br />
. Substituindo <strong>na</strong> equação 3.65 obt<strong>em</strong>os que a<br />
m mE<br />
( E − V ) ds deve ser mínima, ou, extraindo a constante , que<br />
2<br />
2<br />
87
S<br />
2<br />
V<br />
∫ (1 − ) ds é mínima (3. 68).<br />
E<br />
S<br />
1<br />
As integrais (3.66) e (3.67) serão idênticas se<br />
n( r<br />
) = 1−<br />
V E , logo o potencial<br />
2 <br />
V( r)<br />
= E[<br />
1− n ( r)]<br />
dá orig<strong>em</strong> uma trajetória <strong>da</strong> partícula idêntica a trajetória do raio de<br />
luz. Nota‐se que o potencial será atrativo para regiões com maior índice de refração.<br />
Figura 1 a e b mostra o ex<strong>em</strong>plo do potencial equivalente <strong>em</strong> uma região que apresenta<br />
descontinui<strong>da</strong>de no índice de refração entre as posições − L / 2 e + L / 2 , situação típica<br />
de uma partícula homogênea <strong>em</strong>bebi<strong>da</strong> <strong>em</strong> outro meio, também homogêneo.<br />
Potencial equivalente V(x)<br />
-0.8<br />
-1.3<br />
-1.8<br />
-5 -3 -1 1 3 5<br />
Posição x<br />
Índice de Refração n(x)<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
-5 -3 -1 1 3 5<br />
Posição x<br />
a. b.<br />
Figura 65. Potencial equivalente.<br />
<br />
O caso de uma partícula esférica, <strong>na</strong> qual nr ( ) = nr ( ), onde<br />
2 2 2<br />
r = x + y + z ,<br />
corresponde ao caso do movimento <strong>da</strong> partícula <strong>em</strong> um campo de força central. Se o<br />
<br />
potencial é tal que φ ( r) =φ( r)<br />
, então F= φ′( r)<br />
e<br />
<br />
r e dL <br />
<br />
= τ= r× F =0 , ou seja, o momento<br />
dt<br />
angular L se conserva. Como,<br />
2<br />
L= r× p= mre × r <br />
= mre × ( re + rθ e ) = mr θ <br />
e × e<br />
2 <br />
= mr θe<br />
e<br />
T<strong>em</strong>os,<br />
88<br />
( )<br />
r r r θ<br />
r θ<br />
z<br />
mr 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2<br />
m 2 2 2 mr mr θ mr m r θ mr<br />
L<br />
T = = ( r + r θ ) = + = + = + ,<br />
2 2<br />
2 2 2 2 2 2mr<br />
2 2mr<br />
2 2<br />
2<br />
mr<br />
L mr<br />
E= + +φ () r = +φef<br />
() r ,<br />
2<br />
2 2mr<br />
2<br />
2<br />
2<br />
L ll ( + 1) <br />
onde φ<br />
ef<br />
() r =φ () r + =φ () r + é o potencial efetivo que permite estados<br />
2 2<br />
2mr<br />
2mr<br />
ligados e também tunelamento.
Estendendo essa a<strong>na</strong>logia entre a óptica geométrica e a mecânica clássica para<br />
uma a<strong>na</strong>logia entre a óptica geométrica‐ondulatória e a mecânica quântica, pod<strong>em</strong>os<br />
relacio<strong>na</strong>r o índice n dos coeficientes de Mie com o número quântico principal e as<br />
autofunções com os próprios coeficientes de Mie an e bn. O índice n também representa o<br />
número de nodos <strong>da</strong>s autofunções. Também pod<strong>em</strong>os dizer que nessa associação com a<br />
mecânica quântica, a luz está sujeita a um potencial efetivo que é composto por um<br />
poço de potencial quadrado que representa a própria esfera somado a uma barreira<br />
centrífuga, assim como ilustra a Figura 66 a, onde a é o raio <strong>da</strong> esfera. Associando a<br />
largura <strong>da</strong>s ressonâncias com a largura do poço pod<strong>em</strong>os concluir que a largura <strong>da</strong>s<br />
ressonâncias decresce com n.<br />
U n (r)<br />
tunelamento<br />
r 3<br />
T<br />
n 1<br />
n 2<br />
n 3<br />
r 2<br />
r 1<br />
a<br />
c<br />
b<br />
b<br />
a<br />
B<br />
0 c<br />
a<br />
b<br />
r<br />
a. b. c.<br />
Figura 66. A<strong>na</strong>logia dos modos de Mie com a mecânica quântica.<br />
De acordo com o princípio <strong>da</strong> localização de Van de Hulst que ver<strong>em</strong>os um<br />
pouco mais adiante, pod<strong>em</strong>os associar o número n de um modo de ressonância a um<br />
raio que passa pela partícula <strong>na</strong> distância kr = (n +1 2<br />
) de seu centro. Vamos então<br />
associar aos números de modos n1, n2 e n3 <strong>da</strong> Figura 66 b a raios que passam<br />
respectivamente <strong>na</strong>s distâncias r1 = c, r2 = a e r3 = b do centro <strong>da</strong> esfera. Ou seja, o raio c<br />
cruza a esfera, o raio a é tangente a sua bor<strong>da</strong> e o raio b passa por fora <strong>da</strong> esfera. Porém,<br />
ape<strong>na</strong>s os modos que estão entre T e B são do nosso interesse, pois somente esses<br />
correspond<strong>em</strong> às ressonâncias de Mie. Vamos a<strong>na</strong>lisar então o raio b <strong>na</strong> Figura 66 c.<br />
Assim como para partículas (tais como elétrons) <strong>na</strong> mecânica quântica, o raio b t<strong>em</strong> que<br />
tunelar pela barreira centrífuga e atravessar a região proibi<strong>da</strong> entre a e b para atingir o<br />
89
interior <strong>da</strong> esfera. Uma vez dentro do poço, uma partícula sofre reflexões entre as<br />
paredes a e c até que tunele novamente para fora <strong>da</strong> barreira de potencial. Essa situação<br />
justamente corresponde a raios que sofr<strong>em</strong> múltiplas reflexões no interior <strong>da</strong> esfera até<br />
que tunel<strong>em</strong> novamente para fora <strong>da</strong> mesma e deêm orig<strong>em</strong> aos conhecidos modos ou<br />
ressonâncias de Mie.<br />
3.1.7 Cálculo <strong>da</strong>s Eficiências de Ressonâncias de Mie<br />
A eficiência Q <strong>da</strong>s ressonâncias de Mie representa o comportamento <strong>da</strong> seção de<br />
choque <strong>em</strong> função do comprimento de on<strong>da</strong>, ou do parâmetro de tamanho, e é defini<strong>da</strong><br />
por<br />
Q<br />
C<br />
a<br />
2<br />
= π , onde C é a seção de choque, defini<strong>da</strong> como C s Ws Is<br />
= com W s<br />
sendo a taxa de energia eletromagnética que atravessa uma superfície e I s a irradiância<br />
incidente. Para calcular a seção de choque para uma on<strong>da</strong> retroespalha<strong>da</strong>, usamos:<br />
onde<br />
1<br />
W = Re E × HdΩ<br />
2<br />
∫ (3. 69),<br />
<br />
<br />
E× H = S é o vetor de Poynting. Decompondo Ee<br />
H <strong>em</strong> coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s esféricas<br />
<br />
E= E eˆ + E eˆ + E eˆ<br />
r r<br />
θ θ<br />
ϕ ϕ<br />
<br />
e H = H eˆ + H eˆ + H eˆ<br />
r r<br />
θ θ<br />
ϕ ϕ<br />
<br />
, t<strong>em</strong>os que S= E H eˆ −E H eˆ<br />
θ ϕ r ϕ θ r<br />
componentes tangenciais que não interessam no caso <strong>da</strong> on<strong>da</strong> espalha<strong>da</strong>. Assim,<br />
obt<strong>em</strong>os,<br />
1 Re ( )<br />
2<br />
θ ϕ ϕ θ sen<br />
Ws<br />
= E H − E H r θ dθdϕ<br />
2<br />
∫<br />
(3. 70)<br />
Assumindo os campos elétrico e magnético espalhados como,<br />
<br />
E = α ( a M − a M −ib N −ib N ) (3. 71)<br />
∑<br />
s nm enm enm onm onm enm enm onm onm<br />
nm ,<br />
k<br />
H ∑<br />
<br />
( b M b M ia N ia N ) (3. 72)<br />
µω<br />
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗<br />
s =− α nm ′ ′ enm ′ ′ enm ′ ′ + onm ′ ′ onm ′ ′ − enm ′ ′ enm ′ ′ − onm ′ ′ onm ′ ′<br />
n′ , m′<br />
<br />
E θ = α { −a sen mϕ h ( ρ ) + a cos mϕ h ( ρ)<br />
m<br />
m<br />
mPn<br />
mPn<br />
s ∑ nm enm n onm n<br />
nm ,<br />
sen θ<br />
sen θ<br />
m<br />
dPn [ ρ hn ( ρ)] ′ dPn [ ρ hn( ρ)]<br />
′<br />
−ibenm<br />
cos mϕ − ibonm<br />
sen mϕ<br />
}<br />
dθ ρ dθ ρ<br />
m<br />
(3. 73)<br />
+<br />
90
m′ m′<br />
∗ −k<br />
∗ ∗ dPn′ ∗ ∗ dPn′<br />
∗<br />
sϕ<br />
∑ nm ′ ′ enm ′ ′ ′<br />
n′ onm ′ ′ ′<br />
n′<br />
µω<br />
n′ , m′<br />
dθ dθ<br />
H = α { b cos mϕ h ( ρ) −b sen mϕ h ( ρ)<br />
m′ ∗<br />
m′<br />
∗ mP ′<br />
n′ [ ρ hn′ ( ρ)] ′ ∗ mP ′<br />
n′ [ ρ hn′<br />
( ρ)]<br />
′<br />
+ iaen′ m′ sen m′ ϕ + iaon′ m′<br />
cos m′<br />
ϕ }<br />
sen θ ρ sen θ ρ<br />
∗<br />
(3. 74)<br />
<br />
m<br />
m<br />
mPn<br />
mPn<br />
Esϕ = ∑ α nm{ − aenm cos m hn( ) aonm sen m hn( )<br />
nm<br />
sen θ<br />
ϕ ρ − sen θ<br />
ϕ ρ<br />
(3. 75)<br />
m<br />
m<br />
dPn [ ρ hn( ρ)] ′ dPn [ ρ hn( ρ)]<br />
′<br />
+ ibenm<br />
sen mϕ −ibonm<br />
cos mϕ<br />
}<br />
dθ ρ dθ ρ<br />
m′ m′<br />
∗ −k<br />
∗ ∗ dPn′ ∗ ∗ dPn′<br />
∗<br />
Hsθ<br />
= ∑ αnm ′ ′{ benm ′ ′ sen m′ ϕ hn′ ( ρ) −bonm ′ ′ cos m′<br />
ϕ hn′<br />
( ρ)<br />
µω dθ dθ<br />
nm ′ ′<br />
′ ′<br />
m<br />
∗<br />
m<br />
∗<br />
∗ mP ′<br />
n′ [ ρ hn′ ( ρ)] ′ ∗ mP ′<br />
n′ [ ρ hn′<br />
( ρ)]<br />
′<br />
+ iaen′ m′ cos m′ ϕ + iaon′ m′<br />
sen m′<br />
ϕ }<br />
sen θ ρ sen θ ρ<br />
(3. 76).<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
t<strong>em</strong>os,<br />
Agora, pod<strong>em</strong>os integrar <strong>em</strong> ϕ e utilizar o fato de que:<br />
cos mϕ cos m′<br />
ϕ d ϕ= (1 +δ ) πδ ,<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
m0<br />
mm′<br />
2π<br />
2π<br />
0 0<br />
2π<br />
∫ sen mϕsen m′<br />
ϕ dϕ= (1 −δm0<br />
) πδmm′<br />
e<br />
0<br />
∫ cos mϕ sen m′ ϕ dϕ= 0 = ∫ sen mϕ cos m′<br />
ϕ dϕ<br />
(3. 77)<br />
m m<br />
πk<br />
mP dP<br />
E H dϕ=− α α { −a b (1 −δ ) h ( ρ) h ( ρ ) +<br />
∑<br />
∗ ∗ ∗ n n′<br />
∗<br />
sθ<br />
sϕ<br />
nm nm ′ enm onm ′ m0<br />
n n′<br />
µω<br />
nn , ′,<br />
m<br />
sen θ dθ<br />
2<br />
∗<br />
∗ m m m ρ hn′<br />
enm en′ m(1 m0) 2 n n′<br />
n( )<br />
[ ( ρ)]<br />
′<br />
ia a −δ P P h ρ +<br />
sen θ<br />
ρ<br />
m m<br />
∗ n n′<br />
∗ ∗<br />
onm en′ m +δm0 n ρ n′ ρ + onm on′<br />
m +δm0<br />
mP dP m<br />
a b (1 ) h ( ) h ( ) ia a (1 ) P P h<br />
2<br />
sen θ dθ<br />
sen θ<br />
2<br />
∗<br />
m m ρ hn<br />
′<br />
n n′<br />
n( ρ)<br />
m m m m<br />
∗<br />
∗ dPn dPn′ hn ∗ ∗<br />
mPn dPn′ hn hn′<br />
enm enm ′ m0 n′ enm onm ′ m0<br />
m m<br />
∗ dPn dPn′<br />
[ ρ hn( ρ)]<br />
′ ∗ ∗<br />
onm on′ m m0<br />
n′ onm en′<br />
m<br />
[ ( ρ)]<br />
′<br />
ρ<br />
[ ρ ( ρ)] ′ [ ρ ( ρ)] ′[ ρ ( ρ)]<br />
′<br />
− ib b (1 +δ ) h ( ρ ) + b a (1 +δ )<br />
dθ dθ ρ sen θ dθ ρ ρ<br />
−ib b (1 −δ ) h ( ρ) −b a (1−δ<br />
dθ dθ ρ<br />
(3. 78)<br />
m0<br />
m m<br />
∗<br />
n n′ n n′<br />
mP dP [ ρ h ( ρ)] ′ [ ρ h ( ρ)]<br />
′<br />
) }<br />
sen θ dθ ρ ρ<br />
91
earrajando os termos,<br />
<br />
<br />
2 π<br />
∗<br />
∗ πk<br />
∗ ∗ ∗ [ ρ h ′ ρ ′<br />
∫ θ ϕ ϕ=− ∑<br />
2<br />
n ( )] m m m<br />
Es Hs d αnmα n′ m{[ i aenmaen′ m + aonmaon′ m] hn( ρ)<br />
P<br />
2 n Pn′<br />
µω , ′,<br />
ρ sen θ<br />
0<br />
nn m<br />
m m<br />
∗ ∗ dPn dPn′<br />
[ ρ hn( ρ)]<br />
′ ∗<br />
− ib [ enmben′ m(1 +δ m0) + bonmbon′ m(1 −δm0)] hn′<br />
( ρ)<br />
dθ dθ ρ<br />
m m m m<br />
∗<br />
∗<br />
∗ mPn<br />
dPn′ ∗ ∗ ∗ mPn dPn′ [ ρ hn( ρ)] ′ [ ρ hn′<br />
( ρ)]<br />
′<br />
+− [ aenmbon′ m + aonmben′<br />
m] hn( ρ) hn′ ( ρ ) + [ benmaon′ m −bonmaen′<br />
m] }<br />
sen θ dθ sen θ dθ ρ ρ<br />
(3. 79)<br />
e<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
m m<br />
′<br />
E H d i a a a a h<br />
∗<br />
∗ πk<br />
∗ ∗ ∗ [ ρ hn′ ( ρ)]<br />
dPn dPn′<br />
sϕ<br />
sθ<br />
ϕ=− ∑ αnmαnm ′ { − [ enm enm ′ (1 +δ m0) + onm onm ′ (1 −δm0)] n( ρ)<br />
µω nn , ′,<br />
m<br />
ρ dθ dθ<br />
2<br />
∗ ∗ m m m [ ρ hn( ρ)]<br />
′ ∗<br />
+ ib [ enmben′ m + bonmbon′ m] P ′ ′( ρ)<br />
2 n Pn hn<br />
sen θ ρ<br />
m m m m<br />
∗<br />
∗<br />
∗ mPn<br />
dPn′ ∗ ∗ ∗ mPn dPn′ [ ρ hn( ρ)] ′ [ ρ hn′<br />
( ρ)]<br />
′<br />
+− [ aenmbon′ m −aonmben′<br />
m] hn( ρ) hn′ ( ρ ) + [ − benmaon′ m + bonmaen′<br />
m] }<br />
sen θ dθ sen θ dθ ρ ρ<br />
(3. 80)<br />
tal que no fi<strong>na</strong>l,<br />
π 2π<br />
∫∫<br />
0 0<br />
<br />
( E H −E H ) sen θ dθ dϕ<br />
∗<br />
∗<br />
sθ sϕ sϕ sθ<br />
∗ π m m 2<br />
∗ ∗ ∗ [ ρ hn′ ( ρ)]<br />
′ dPn dPn′<br />
m m m<br />
∑ nm n′ m enm en′ m m0 onm on′ m m0 n ∫<br />
2 n n′<br />
nn , ′, m<br />
d d sin<br />
0<br />
πk<br />
=− α α {[ ia a (1 +δ ) + a a (1 −δ )] h( ρ ) ( + P P ) sen θ dθ<br />
µω ρ θ θ θ<br />
m m 2<br />
∗<br />
∗ [ ρ hn( ρ)]<br />
′ ∗ dPn dPn′<br />
m m m<br />
− ib [ enmben′ m(1 +δ m0) + bonmbon′<br />
m(1 −δm0)]<br />
hn′ ( ρ ) + ′ θ θ<br />
ρ<br />
∫( P ) sen<br />
2 n Pn<br />
d<br />
dθ dθ sen θ<br />
π<br />
0<br />
π m m m m<br />
∗ ∗ ∗ mPn dPn′ mPn′<br />
dPn<br />
enm onm ′ onm enm ′ n n′<br />
∫<br />
sen θ dθ sen θ dθ<br />
0<br />
+− [ a b + a b ] h ( ρ) h ( ρ ) ( + ) sen θdθ<br />
(3. 81)<br />
∗ π m m m m<br />
∗ ∗ [ ρ hn( ρ)] ′[ ρ hn′ ( ρ)]<br />
′ mPn dPn′ mPn′<br />
dPn<br />
enm on′ m onm en′<br />
m<br />
ρ ρ<br />
∫<br />
sen θ dθ sen θ dθ<br />
0<br />
+ [ b a − b a ] ( + ) senθdθ<br />
As integrais <strong>em</strong> θ são de dois tipos:<br />
92
π<br />
0<br />
m<br />
n<br />
m<br />
n′ m<br />
n<br />
m<br />
n′<br />
2<br />
dP dP P P 2 nn ( + 1) ( n+<br />
m)!<br />
∫ { + }sen θ dθ = δnn′<br />
(3. 82) e<br />
dθ dθ sen θ<br />
2n+ 1 ( n−m)!<br />
π<br />
dPn′ Pn dPn Pn′<br />
∫ ( )sen d 0<br />
dθ senθ + dθ senθ<br />
θ θ = (3. 83)<br />
0<br />
m m m m<br />
ficamos com,<br />
π 2π ∗<br />
∗ ∗ πk<br />
∗ ∗ ∗<br />
ρ hn<br />
( EsθHsϕ −EsϕHsθ) sen θ dθ dϕ=− ∑ αnmα nm{ i [ aenmaenm(1 +δ m0) + aonmaonm(1 −δm0)] hn( ρ)<br />
0 0<br />
nm ,<br />
∫∫ [ ( ρ)]<br />
′<br />
µω ρ<br />
)!<br />
(3. 84)<br />
2 nn ( + 1)( n+ m)! ∗ ∗ [ ρ hn( ρ)]<br />
′ ∗ 2 nn ( + 1)( n+<br />
m<br />
− ib [ enmbenm(1 +δ m0) + bonmbonm(1 −δm0)] hn( ρ)<br />
2n+ 1 ( n−m)! ρ 2n+<br />
1 ( n−<br />
m)!<br />
de onde pod<strong>em</strong>os notar que quando m = 0 ,<br />
π 2π<br />
∗<br />
∗<br />
∫∫( E s H θ s ϕ − E s H ϕ s θ ) sen θ dθ dϕ=<br />
0 .<br />
0 0<br />
Para<br />
r → ∞ ,<br />
n+<br />
1<br />
ikr<br />
h ~[( − i) kr]<br />
e e então<br />
n<br />
∗ n+ 1 −ikr<br />
n ~[( ) ]<br />
h i kr e<br />
, tal que<br />
n+<br />
1<br />
ikr<br />
d dkr[ kr h ( kr)] ~ [( − i) ( i)]<br />
e e<br />
n<br />
∗ n+ 1 −ikr<br />
n<br />
−<br />
d dkr[ kr h ( kr)] ~ [( i) ( i)]<br />
e<br />
. Dessa forma:<br />
π 2π<br />
<br />
* * 2<br />
∫∫( EsθHsϕ −EsϕHsθ) r sen θ dθ dϕ=<br />
0 0<br />
(3. 85)<br />
∞ ∞<br />
π 2 2 nn ( + 1) ( n+<br />
m)! 2 2 2 2<br />
∑∑α nm {( aenm + benm )(1 +δ m0 ) + ( aonm + bonm )(1 −δm0<br />
)}<br />
kµω 2n+ 1 ( n−<br />
m)!<br />
m= 0 n=<br />
m<br />
E portanto,<br />
Ws<br />
=<br />
∞ ∞<br />
π 2 2 nn ( + 1) ( n+<br />
m)! 2 2 2 2 (3. 86)<br />
∑∑ α nm {( aenm + benm )(1 +δ m0 ) + ( aonm + bonm )(1 −δm0<br />
)}<br />
2kµω 2n+ 1 ( n−<br />
m)!<br />
m= 0 n=<br />
m<br />
Para o caso de incidência por on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>,<br />
()(2 i n+<br />
1) E<br />
α nm = En<br />
=<br />
nn ( + 1)<br />
n<br />
0<br />
e<br />
2<br />
2 2 2 (2n<br />
+ 1)<br />
nm En<br />
E0 2 2<br />
α = =<br />
n ( n+<br />
1)<br />
(3. 87),<br />
m = 1 e só t<strong>em</strong>os um coeficiente para as função pares que é o a n e um coeficiente para a<br />
função ímpar que é o b n . Então:<br />
∞<br />
2<br />
π 2 n+ n n+ n+ n n−<br />
2 2<br />
s = ∑ 0 2 2<br />
2k 1 ( 1) 2 1 ( 1)!<br />
n +<br />
µω n<br />
n=<br />
n n+<br />
n+ n−<br />
(2 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1)!<br />
W E {( a b )}<br />
93
∞<br />
π<br />
2 2 2<br />
s = 0 + n + n<br />
k n = 1<br />
W ∑ E (2n 1){ a b } (3. 88)<br />
µω<br />
1 <br />
∗<br />
ikz<br />
Mas, I<br />
i<br />
= Re( Ei<br />
× Hi<br />
), com Ei<br />
= E0e eˆ<br />
2<br />
então a seção de choque é <strong>da</strong><strong>da</strong> por:<br />
e a eficiência por:<br />
I =<br />
i<br />
E<br />
0<br />
2<br />
2<br />
x<br />
<br />
∗ k −ikz<br />
e Hi<br />
= E0e eˆ<br />
y ⇒<br />
µω<br />
k<br />
(3. 89)<br />
µω<br />
W<br />
C ∑ (2n 1){ a b } (3. 90)<br />
∞<br />
s 2 π<br />
2 2<br />
s = = +<br />
2<br />
n + n<br />
I i k n = 1<br />
∞<br />
C s 2<br />
2 2<br />
s = = +<br />
2 2<br />
n + n<br />
a x n = 1<br />
Q ∑ (2n 1){ a b } (3. 91)<br />
π<br />
Há outras definições de eficiência, tais como a de retroespalhamento e a de<br />
extinção. Por ex<strong>em</strong>plo, eficiência de retroespalhamento é <strong>da</strong><strong>da</strong> por<br />
2<br />
∑ ( 2 1 )( 1) n ( ) .<br />
Q = n+ − a −b x<br />
b n n<br />
n<br />
Vamos agora calcular a seção de choque de pressão de radiação para on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>.<br />
O tensor <strong>da</strong>s tensões de Maxwell e a força são <strong>da</strong>dos por:<br />
1 <br />
T = ED + H B − ( E⋅ D+ H⋅B)<br />
δ<br />
2<br />
ij i j i j ij<br />
(3. 92)<br />
F<br />
= ∫ T n <strong>da</strong> (3. 93)<br />
i ij j<br />
S<br />
onde S é qualquer superfície que engloba o objeto espalhador. Em particular pod<strong>em</strong>os<br />
usar a superfície <strong>em</strong><br />
r →∞ para meio externo não‐absorvente. Como os campos pod<strong>em</strong><br />
ser complexos mas a força t<strong>em</strong> que ser real, t<strong>em</strong>os que<br />
* * 1 * *<br />
Fi Re Tijnj<strong>da</strong> Re<br />
⎡<br />
<br />
= = ED i jnj + HiBjnj − ( E⋅ D + H⋅B ) n<br />
⎤<br />
∫ ∫ ⎢<br />
i <strong>da</strong><br />
⎣<br />
2<br />
⎥⎦<br />
<br />
(3. 94)<br />
com,<br />
<br />
n = e ˆ ,<br />
r<br />
<br />
D ⋅ n= D , B ⋅ n=<br />
B<br />
* * * *<br />
r<br />
r<br />
e<br />
<strong>da</strong> = r 2 senθdθdϕ,<br />
onde eˆ = senθcos ϕ eˆ + sen θsen ϕ eˆ + cos θ eˆ<br />
(3. 95)<br />
r x y z<br />
t<strong>em</strong>os,<br />
94
∫<br />
* * 1 <br />
* *<br />
{ }<br />
2 2 i<br />
Fi = Re ε EE i r +µ HiHr<br />
− [ εE⋅ E +µ H⋅H ] n <strong>da</strong> (3. 96)<br />
2<br />
Os componentes radiais dos campos, tanto incidente quanto espalhado, levam a<br />
função Z ( ) i<br />
n ρ e ±ρ<br />
ρ<br />
∼<br />
ρ<br />
2<br />
. O el<strong>em</strong>ento de área é proporcio<strong>na</strong>l a<br />
2<br />
r , logo qualquer produto<br />
3 4<br />
com uma <strong>da</strong>s componentes radiais vai com F F ~1/ ρ e F F ~1/ ρ , assim as relações<br />
2 2 2<br />
r t 1/ e r t 1/<br />
r t r t<br />
r F F ∼ r r F F ∼ r , se anulam para r →∞. Dessa forma, os dois primeiros<br />
* *<br />
i r e i r<br />
termos <strong>na</strong> integral EE HH são nulos. Além disso, para r →∞:<br />
<br />
* * * * * *<br />
EE ⋅ = EE<br />
r r<br />
+ EE<br />
θ θ<br />
+ EE<br />
ϕ ϕ<br />
= EE<br />
θ θ<br />
+ EE<br />
ϕ ϕ<br />
<br />
e H⋅ H = H H + H H + H H = H H + H H (3. 97)<br />
E então,<br />
* * * * * *<br />
r r θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ<br />
1<br />
{ ( ) ( ) }<br />
* * * *<br />
θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ i<br />
Fi<br />
= Re ∫ − [ ε E E + E E +µ H H + H H ] n <strong>da</strong> (3. 98)<br />
2<br />
<br />
inc sca<br />
Como o campo elétrico é E= E + E ,<br />
* inc sca inc* sca* inc inc* inc sca* sca inc* sca sca*<br />
EθEθ = ⎡⎣Eθ + Eθ ⎤⎡ ⎦⎣Eθ + Eθ ⎤⎦ = Eθ Eθ + Eθ Eθ + Eθ Eθ + Eθ Eθ<br />
(3. 99)<br />
Entretanto, o termo<br />
inc inc*<br />
Eθ Eθ só depende do campo incidente e, portanto, não está<br />
relacio<strong>na</strong>do à partícula, logo não deve entrar no cálculo <strong>da</strong> força. Antes de continuar o<br />
cálculo vamos definir as funções reais de θ :<br />
m<br />
m Pn<br />
m dPn<br />
π<br />
n<br />
= e τ<br />
n<br />
=<br />
senθ dθ m<br />
(3. 100).<br />
L<strong>em</strong>brando que os campos elétricos e magnéticos são:<br />
n 2n<br />
1 1 1 1 1<br />
E +<br />
i<br />
= E0∑i [ M o1n − iN e1n ] = ∑En [ M o1n −iN<br />
<br />
e1n<br />
] (3. 101)<br />
nn ( + 1)<br />
k n 2n 1 1 1 k<br />
1 1<br />
H +<br />
i<br />
=− E0∑i [ M e1n + iN o1n ] =− ∑En [ M e1n+<br />
iN<br />
<br />
o1n<br />
] (3. 102)<br />
µω nn ( + 1)<br />
µω<br />
n 2n<br />
1 3 3 3 3<br />
E +<br />
s<br />
= E0∑i [ iaN n e1n − bM n o1n ] = ∑En [ iaN n e1n −bM<br />
<br />
n o1n<br />
] (3. 103)<br />
nn ( + 1)<br />
k n 2n 1 3 3 k<br />
3 3<br />
H +<br />
s<br />
= E0∑i [ ibN n o1n + aM n e1n ] = ∑En [ ibN n o1n + aM<br />
<br />
n e1n<br />
] (3. 104)<br />
µω nn ( + 1)<br />
µω<br />
E considerando as formas assintóticas <strong>da</strong>s funções de Bessel,<br />
95
( ) ( ) 1 iρ<br />
1 n+ e 1 n+ , ( ) ( ) 1 iρ<br />
n+<br />
( )<br />
1<br />
n ρ = − ⎡<br />
n ρ = − +<br />
−ρ i<br />
h i j i e i e ⎤ e<br />
ρ 2ρ⎣ ⎦<br />
iρ<br />
1<br />
⎡<br />
1<br />
n e 1 1 n iρ<br />
n −ρ i<br />
ρ hn( ρ ) ⎤′ = ( −i) , ⎡⎣ρ jn( ρ ) ⎤⎦<br />
′ = ⎡( − i) e + ( i)<br />
e ⎤ (3.<br />
⎣ ⎦<br />
105),<br />
ρ ρ ρ 2ρ⎣ ⎦<br />
n+ {() 1 −iρ<br />
n+<br />
[ ] ( ) 1<br />
iρ<br />
[ ] }<br />
cosϕ<br />
Eiθ<br />
= ∑ En i e πn −τ n + −i π n +τn<br />
e (3. 106)<br />
2ρ n+ {() 1 −ρ i<br />
n+<br />
[ ] ( ) 1 iρ[ ]}<br />
senϕ<br />
Eiϕ<br />
= ∑ En i e πn−τn − −i e π n+τn<br />
(3. 107)<br />
2ρ assim, ficamos com as combi<strong>na</strong>ções:<br />
+<br />
{( ) 1 ρ<br />
[ ]}<br />
cosϕ<br />
n i<br />
Esθ<br />
= ∑ En −i e anτ n+ bnπn<br />
(3. 108)<br />
ρ<br />
+<br />
{( ) 1 ρ<br />
[ ]}<br />
senϕ<br />
n i<br />
Esϕ<br />
= ∑ En −i e anπ n+ bnτn<br />
(3. 109)<br />
ρ<br />
n′+ 1 n+<br />
1 * *<br />
() i ( i) [ n n] ⎡an ′ n′ bn′ n′<br />
⎤}<br />
{<br />
2<br />
* cos ϕ * n+ 1 n′<br />
+ 1 −2 iρ<br />
* *<br />
iθ<br />
sθ<br />
=<br />
2 ∑ n n′ −() () [ πn −τn]<br />
⎡<br />
n′ τ n′ + n′ πn′<br />
E E E E i i e a b<br />
2ρ<br />
⎣<br />
− − π +τ<br />
⎣<br />
τ + π<br />
n′+ 1 n+<br />
1<br />
() i ( i) [ n′ n′<br />
][ an n bn n]}<br />
⎦<br />
n′+ 1 n+ 1 iρ<br />
{ ( ) ( ) [ ][ ]<br />
2<br />
* cos ϕ * 2<br />
sθ<br />
iθ<br />
=<br />
2 ∑ n n′ − − − πn′ −τn′<br />
nτ n + nπn<br />
E E E E i i e a b<br />
2ρ<br />
− − π +τ τ + π<br />
⎤<br />
⎦<br />
(3. 110)<br />
(3. 111)<br />
2<br />
* cos ϕ * n n<br />
* *<br />
sθ<br />
sθ<br />
=<br />
2 n n − nτ n + nπn nτ n + nπn<br />
+ 1 ′ + 1<br />
∑ ′( ) ( ) [ ] ⎡<br />
′ ′ ′ ′<br />
⎤ (3. 112)<br />
E E E E i i a b<br />
⎣<br />
a b<br />
ρ<br />
⎦<br />
2<br />
* sen ϕ * n+ 1 n′<br />
+ 1 −2 iρ<br />
* *<br />
iϕ<br />
sϕ<br />
=<br />
2 ∑ n n′ {( ) () [ πn −τn]<br />
⎡<br />
n′ πn′ − n′ τn′<br />
E E E E i i e a b<br />
2ρ<br />
⎣<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1 * *<br />
( i) ( i) [ n n] ⎡an ′ n′ bn′ n′<br />
⎤}<br />
− − π +τ<br />
⎣<br />
π + τ<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎦<br />
(3. 113)<br />
+ 1 ′ + 1<br />
{( ) ( ) [ ] ⎡<br />
⎤}<br />
2<br />
* sen ϕ * n n<br />
* * * *<br />
sϕ<br />
sϕ<br />
=<br />
2 ∑ n n′ − nπ n + nτn n′ π n′ + n′ τn′<br />
(3. 114)<br />
E E E E i i a b<br />
⎣<br />
a b<br />
ρ<br />
⎦<br />
96
n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
( i) ( i) [ an n bn n][ n′ n′<br />
]}<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
{( ) ( ) [ ][ ]<br />
2<br />
* sen ϕ *<br />
sϕ<br />
iϕ<br />
=<br />
2 ∑ n n′ − nπ n + nτn πn′ −τn′<br />
E E E E i i a b<br />
2ρ<br />
− − π + τ π −τ<br />
(3. 115)<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
Agora já pod<strong>em</strong>os fazer as integrais <strong>em</strong> ϕ :<br />
Para Fz<br />
→ e ˆ = cosθ→<br />
rz<br />
2π<br />
2π<br />
2 2<br />
∫ cos ϕ dϕ= ∫ sen ϕdϕ=π, e para<br />
0 0<br />
2π<br />
2π<br />
2 2<br />
F → e = senθcos ϕ e F → e = senθsenϕ⇒ cos ϕcos ϕ dϕ= cos ϕsen ϕ dϕ=<br />
0<br />
x rx y ry<br />
∫ ∫ .<br />
0 0<br />
Portanto, só haverá força <strong>em</strong> z, como já sabíamos pela simetria do probl<strong>em</strong>a.<br />
Continuando o cálculo de acordo com o apêndice,<br />
n′+ 1 n+ 1 iρ<br />
{{ ( ) ( ) [ ][ ]}<br />
* * * π<br />
2<br />
( EE θ θ + EE ϕ ϕ)<br />
dϕ= ∑ EE n n′ − −i −i e π<br />
2<br />
n′ −τn′<br />
anτ n + bnπn −anπn−bnτn<br />
−<br />
2ρ<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1 −2 iρ<br />
* * * *<br />
{() i () i e [ πn −τn]<br />
⎡an ′ n′ bn′ n′ an′ n′ bn′ n′<br />
⎤<br />
⎣<br />
τ + π − π − τ<br />
⎦}<br />
−<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
{( −i) ( i) [ π n′ +τn′<br />
][ anπ n + bnτ n + anτ n + bnπn]<br />
} −<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1 * * * *<br />
{() i ( −i) [ π n +τn]<br />
⎡an ′ π n′ + bn′ τ n′ + an′<br />
n′ bn′ n′<br />
⎤<br />
⎣<br />
τ + π<br />
⎦}<br />
+<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1 * * * *<br />
{ 2( −i) ( i) {[ anτ n + bnπn]<br />
⎡an ′ n′ bn′ n′ ⎤} { ⎡an ′ n′ bn′ n′<br />
⎤<br />
⎣<br />
τ + π<br />
⎦<br />
+<br />
⎣<br />
π + τ<br />
⎦[ anπ n + bnτn]<br />
}}<br />
(3. 116)<br />
Rearranjando os termos de<br />
EE<br />
+ EE e chamando o último de I<br />
1<br />
,<br />
* *<br />
θ θ ϕ ϕ<br />
t<strong>em</strong>os<br />
2 π<br />
* * * *<br />
I1 = ∫dθsen θcos θr ∑ − i i E E b b + a a τ τ +π π + 2a b π τ +τ π<br />
2<br />
ρ<br />
⎣ ⎦<br />
(3. 117)<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
( ) ( ) n n′ { ⎡<br />
n n′ n n′ ⎤[ n n′ n n′ ] n n′ [ n n′ n n′<br />
]}<br />
Já os terceiro e quarto termos ficam como I<br />
2<br />
,<br />
π<br />
2 π * 1 1<br />
2 = ∫ θ senθcos<br />
θ ∑ 2 n n′ { − − n+ n πnπ n′ +τnτ n′ + n+ n τnπ n′ +πnτn′<br />
2ρ ⎣<br />
0<br />
n+ n′<br />
+<br />
( ) ( ) 2Re ⎡[ ][ ] [ ][ ] ⎤}<br />
I d r E E i i a b a b<br />
(3. 118)<br />
⎦<br />
Só falta agora, definir a integral I3<br />
que é referente aos primeiros e segundos<br />
termos,<br />
97
π<br />
π<br />
I = dθ θ θ E E − −i − i e ×<br />
{<br />
* n′+ 1 n+ 1 2iρ<br />
∫ sen cos<br />
n n′<br />
2Re ( ) ( )<br />
2k<br />
(3. 119)<br />
3 2<br />
0<br />
∑<br />
[ an n n′ bn n n′ an n n′ an n n′ an n n′ bn n n′ bn n n′ bn n n′<br />
]}<br />
× τ π + π π − π π − τ τ + π τ − τ π − π τ + τ τ<br />
Usando as soluções dessas integrais <strong>em</strong> θ d<strong>em</strong>onstra<strong>da</strong>s por Gouesbet [33],<br />
t<strong>em</strong>os,<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
4π 2 π nn ( + 2)<br />
I E a b E b b a a<br />
∞<br />
∞<br />
2 * 2<br />
* *<br />
1<br />
=<br />
2 0 ∑<br />
n n+ ∑ 2 0<br />
⎡<br />
n n+ 1+<br />
n n+<br />
1<br />
k n= 1 n( n+ 1) n=<br />
1 k ( n+<br />
1)<br />
⎣<br />
∞<br />
2 π 2 ( n+ 1)( n−1)<br />
* *<br />
+ ∑ E<br />
2 0<br />
⎡bnbn−<br />
1+ a<strong>na</strong>n−<br />
1⎤=<br />
k n<br />
⎣<br />
⎦<br />
n=<br />
1<br />
⎤⎦<br />
(3. 120)<br />
Na terceira somatória faz<strong>em</strong>os n− 1= n→ n= n+ 1, pois ela poderia começar de 2<br />
por causa do n − 1 e obt<strong>em</strong>os:<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
4π 4 π nn ( + 2)<br />
I E ⎡⎣a b ⎤⎦ E ⎡⎣b b a a ⎤⎦<br />
∞<br />
∞<br />
2 * 2<br />
* *<br />
1<br />
=<br />
0<br />
Re<br />
2 n n<br />
+<br />
2 0<br />
Re<br />
n n+ 1+<br />
n n+<br />
1<br />
k n= 1 n( n+ 1) k n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
∑ ∑ (3. 121)<br />
Agora para I 2 ,<br />
2<br />
∞ ∞ ∞<br />
π E ⎧<br />
0 ⎪ ⎧ 2 nn ( + 2) 2( n+ 1)( n− 1) ⎛ 2n+<br />
1 ⎞ ⎫⎫ ⎪⎪<br />
I2 =− 2Re<br />
2 ⎨ ⎨∑ [ an+ 1+ bn+ 1] + ∑ [ an−1+ bn−1] + ∑2⎜<br />
⎟[ an + bn]<br />
⎬⎬<br />
2 k ⎩⎪<br />
⎩n= 1 ( n+ 1) n= 1 n n=<br />
1 ⎝n( n+<br />
1) ⎠ ⎭⎭ ⎪⎪<br />
(3. 122)<br />
Fazendo <strong>na</strong> primeira somatória n+ 1= n→ n= n− 1 e <strong>na</strong> segun<strong>da</strong><br />
n− 1= n→ n= n + 1:<br />
2<br />
∞<br />
2π<br />
E0<br />
2 2<br />
k n=<br />
1<br />
{ [ ]}<br />
I =− ∑ Re (2n+ 1) an + b (3. 123)<br />
n<br />
Quanto a I 3 , vamos deixá‐la por enquanto <strong>na</strong> sua forma integral.<br />
De maneira similar, t<strong>em</strong>os para o campo magnético H ,<br />
n+ {() 1 −iρ<br />
n+<br />
[ ] ( ) 1<br />
iρ<br />
[ ] }<br />
k senϕ<br />
Hiθ<br />
= ∑ En i e πn −τ n + −i π n +τn<br />
e (3. 124)<br />
µω 2ρ n+ {() 1 −ρ i<br />
n+<br />
[ ] ( ) 1 iρ[ ]}<br />
k cosϕ<br />
Hiϕ<br />
=− ∑ En i e πn −τn − −i e π n +τn<br />
(3. 125)<br />
µω 2ρ +<br />
{( ) 1 ρ<br />
[ ]}<br />
k senϕ<br />
n i<br />
Hsθ<br />
= ∑ En −i e bnτ n + anπn<br />
(3. 126)<br />
µω ρ<br />
98
+<br />
{( ) 1 ρ<br />
[ ]}<br />
k cosϕ<br />
n i<br />
Hsϕ<br />
=− ∑ En −i e bnπ n + anτn<br />
(3. 127)<br />
µω ρ<br />
e portanto:<br />
n′+ 1 n+<br />
1 * *<br />
() i ( i) [ n n] ⎡bn ′ n′ an′ n′<br />
⎤}<br />
{<br />
2 2<br />
* k ⎛sen<br />
ϕ ⎞ * n+ 1 n′<br />
+ 1 −2 iρ<br />
* *<br />
HiθHiθ<br />
=<br />
2 ⎜ 2 ⎟∑<br />
EnEn′ −() i () i e [ πn −τn]<br />
⎡bn ′ τ n′ + an′ πn′<br />
⎤<br />
( µω)<br />
2ρ<br />
⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠<br />
− − π +τ<br />
⎣<br />
τ + π<br />
⎦<br />
(3. 128)<br />
( µω)<br />
n′+ 1 n+<br />
1<br />
() i ( i) [ n′ n′<br />
][ bn n an n]}<br />
n′+ 1 n+ 1 iρ<br />
{ ( ) ( ) [ ][ ]<br />
2 2<br />
* k sen ϕ * 2<br />
sθ<br />
iθ<br />
=<br />
2 2 n n′ − − − πn′ −τn′<br />
nτ n + nπn<br />
∑<br />
H H E E i i e b a<br />
2ρ<br />
− − π +τ τ + π<br />
(3. 129)<br />
2 2<br />
* ⎛ k ⎞ sen ϕ * n n<br />
* *<br />
sθ<br />
sθ<br />
=<br />
2 n n − nτ n + nπn nτ n + nπn<br />
+ 1 ′ + 1<br />
∑ ′ ( ) ( ) [ ] ⎡<br />
′ ′ ′ ′<br />
⎤ (3. 130)<br />
H H ⎜ ⎟ E E i i b a<br />
⎣<br />
b a<br />
µω ρ<br />
⎦<br />
⎝ ⎠<br />
2 2<br />
* k cos ϕ * n+ 1 n′<br />
+ 1 −2 iρ<br />
* *<br />
iϕ<br />
sϕ<br />
=<br />
2 2 n n′ {( ) () [ πn −τn]<br />
⎡<br />
n′ πn′ − n′ τn′<br />
H H E E i i e b a<br />
2ρ<br />
⎣<br />
( µω)<br />
∑<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1 * *<br />
( i) ( i) [ n n] ⎡bn′ n′ an′ n′<br />
⎤}<br />
− − π +τ<br />
⎣<br />
π + τ<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎦<br />
(3. 131)<br />
( µω)<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
( i) ( i) [ bn n an n][ n′ n′<br />
]}<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
{( ) ( ) [ ][ ]<br />
2 2<br />
* k cos ϕ *<br />
sϕ<br />
iϕ<br />
=<br />
2 2 n n′ − nπ n + nτn πn′ −τn′<br />
∑<br />
H H E E i i b a<br />
2ρ<br />
− − π + τ π −τ<br />
(3. 132)<br />
2 2<br />
* ⎛ k ⎞ cos ϕ * n n<br />
* * * *<br />
sϕ<br />
sϕ<br />
=<br />
2 n n′ − nπ n + nτn n′ π n′ + n′ τn′<br />
+ 1 ′ + 1<br />
{( ) ( ) [ ] ⎡<br />
⎤}<br />
H H ⎜ ⎟ ∑ E E i i b a<br />
⎣<br />
b a<br />
µω ρ<br />
⎦<br />
(3. 133)<br />
⎝ ⎠<br />
então dessa forma, ficamos com:<br />
2π<br />
2<br />
* * * π k<br />
∫ ( HH θ θ+ HH ϕ ϕ)<br />
dϕ=<br />
∑EE<br />
n n′<br />
2 2<br />
2ρ<br />
0<br />
µω<br />
99<br />
( ) {<br />
n′+ 1 n+ 1 2iρ<br />
{ −( −i) ( −i) e [ πn′ −τn′<br />
][ bnτ n+ anπn−bnπn−anτn]<br />
}<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1 −2 iρ<br />
* * * *<br />
{() i () i e [ n n]<br />
⎡bn ′ n′ an′ n′ bn′ n′ an′ n′<br />
⎤}<br />
− π −τ<br />
⎣<br />
τ + π − π − τ<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
{( i) ( i) [ n′ n′<br />
][ bn n an n bn n an n]<br />
}<br />
− − π +τ π + τ + τ + π<br />
⎦
n+ 1 n′<br />
+ 1 * * * *<br />
−{ () i ( −i) [ π n +τn]<br />
⎡<br />
⎣<br />
bn′ π n′ + an′ τ n′ + bn′ τ n′ + an′ πn′<br />
⎤<br />
⎦}<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1 * * * *<br />
{ 2( i) ( i) {[ bn n an n]<br />
⎡<br />
⎣<br />
bn′ n′ an′ n′ ⎤<br />
⎦} { ⎡<br />
⎣<br />
bn′ n′ an′ n′<br />
⎤<br />
⎦[ bn n an n]<br />
}}<br />
+ − τ + π τ + π + π + τ π + τ<br />
(3. 134)<br />
tal que as integrais ficam,<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
4π 4 π nn ( + 2)<br />
I E ⎡⎣a b ⎤⎦ E ⎡⎣b b a a ⎤⎦<br />
∞<br />
∞<br />
2 * 2<br />
* *<br />
4<br />
=<br />
0<br />
Re<br />
2 2 n n<br />
+<br />
2 2 0<br />
Re<br />
n n+ 1+<br />
n n+<br />
1<br />
µω n= 1 nn ( + 1) µω n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
π<br />
∑ ∑ (3. 135)<br />
2<br />
2π<br />
E0<br />
5 2 2<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
{ [ ]}<br />
I =− ∑ Re (2n+ 1) an + bn<br />
(3. 136)<br />
µω<br />
π<br />
I = dθ θ θ E E − −i − i e ×<br />
{<br />
* n′+ 1 n+ 1 2iρ<br />
∫ sen cos<br />
n n′<br />
2 Re ( ) ( )<br />
2( µω)<br />
(3. 137)<br />
6 2<br />
0<br />
∑<br />
[ bn n n′ an n n′ bn n n′ bn n n′ bn n n′ an n n′ an n n′ an n n′<br />
]}<br />
× τπ + ππ − ππ − ττ + πτ − τπ − πτ + ττ<br />
Combi<strong>na</strong>ndo I1 com I4 = I7, I2 com I5 = I8<br />
e I3 com I6 = I9, e de acordo com a<br />
1<br />
{ i}<br />
* * * *<br />
expressão de força<br />
i<br />
= ∫ − ε ( θ θ<br />
+<br />
ϕ ϕ) +µ ( θ θ<br />
+<br />
ϕ ϕ)<br />
F Re [ E E E E H H H H ] n <strong>da</strong>, ficamos com:<br />
2<br />
( 2n+<br />
1)<br />
∞<br />
∞<br />
⎛4π 2 4 π 2 ⎞⎛<br />
* nn ( + 2)<br />
* *<br />
⎞<br />
I7 = ⎜ E<br />
2 0<br />
ε+µ E<br />
2 2 0 ⎟⎜<br />
Re ⎡anbn⎤+ Re ⎡bnbn+ 1+<br />
a<strong>na</strong>n+<br />
1⎤⎟<br />
k µω n= 1 n( n+ 1)<br />
⎣ ⎦<br />
n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠<br />
<br />
2<br />
usando a relação k⋅ k =ω εµ :<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
∑ ∑ (3.138)<br />
∞<br />
∞<br />
8 π 2 ⎛<br />
* nn ( + 2)<br />
* *<br />
⎞<br />
I7 =<br />
⎛<br />
E<br />
⎞<br />
⎜ 2 0<br />
ε ⎟⎜<br />
Re ⎡anbn⎤+ Re ⎡bnbn+ 1+<br />
a<strong>na</strong>n+<br />
1⎤⎟<br />
⎝ k n= 1 n( n+ 1)<br />
⎣ ⎦<br />
n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
⎣ ⎦<br />
⎠⎝ ⎠<br />
e agora por último,<br />
π<br />
0<br />
∑ ∑ (3. 139)<br />
2<br />
4π<br />
E0<br />
8 2<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
{ [ ]}<br />
I =− ε ∑ Re (2n+ 1) an + bn<br />
(3. 140)<br />
k<br />
⎛ πε πµ ⎞<br />
* n′+ 1 n+ 1 2iρ<br />
I3 + I6 = ⎜ + d sen cos E Re<br />
2 2 2 ⎟ θ θ θ<br />
nEn′<br />
−( −i) ( − i)<br />
e ×<br />
⎝ k µω<br />
∫ ∑<br />
⎠<br />
[ anτπ n n′ + bnππ n n′ −anππ n n′ −anττ n n′ + anπτ n n′ −bnτπ n n′ −bnπτ n n′ + bnττ n n′<br />
] +<br />
[ bn n n′ an n n′ bn n n′ bn n n′ bn n n′ an n n′ an n n′ an n n′<br />
] }<br />
τπ + ππ − ππ − ττ + πτ − τπ − πτ + ττ ⇒0<br />
{<br />
(3. 141)<br />
Dessa forma, no fi<strong>na</strong>l dos cálculos a força devido a pressão de radiação é:<br />
100
2<br />
E0<br />
2<br />
∞<br />
2π<br />
F = ε ∑ Re {(2n+ 1) [ an<br />
+ bn]<br />
} −<br />
k<br />
n=<br />
1<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
∞<br />
∞<br />
⎛4 π 2 * nn ( 2)<br />
* *<br />
E<br />
⎞⎛<br />
+<br />
⎞<br />
⎜ 2 0<br />
ε ⎟⎜∑<br />
Re ⎡anbn Re bnbn+ 1<br />
a<strong>na</strong>n+<br />
1<br />
k n= 1 n( n 1)<br />
⎣ ⎤⎦+ ∑ ⎡ + ⎤⎟<br />
⎝ + n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
⎣ ⎦<br />
⎠⎝ ⎠<br />
(3. 142).<br />
F<br />
Definindo a relação entre a força e a seção de choque como C = , a<br />
2<br />
ε E<br />
eficiência para a pressão de radiação de uma on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> é:<br />
∞<br />
C 2<br />
Q = = Re ( n+ ) a + b −<br />
∑<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
{ 2 1 [ ]}<br />
pr 2 2 2<br />
n n<br />
πa<br />
k a n=<br />
1<br />
∞<br />
∞<br />
⎛ 4π 2<br />
* nn ( 2)<br />
* *<br />
E<br />
⎞⎛<br />
+<br />
⎞<br />
⎜ 2 0<br />
ε ⎟⎜∑<br />
Re ⎡anbn Re bnbn+ 1<br />
a<strong>na</strong>n+<br />
1<br />
k n= 1 n( n 1)<br />
⎣ ⎤⎦+ ∑<br />
⎡ + ⎤⎟⇒<br />
⎝ + n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
⎣ ⎦<br />
⎠⎝ ⎠<br />
∞<br />
2<br />
Q = Re ( n+ ) a + b −<br />
∑<br />
{ 2 1 [ ]}<br />
pr 2<br />
n n<br />
x n=<br />
1<br />
(3. 143)<br />
∞<br />
∞<br />
⎛4π 2 ( 2n<br />
1)<br />
* nn ( 2)<br />
* *<br />
E<br />
⎞⎛<br />
+<br />
+<br />
⎞<br />
⎜ 2 0<br />
ε ⎟⎜∑<br />
Re ⎡anbn⎤ Re ⎡bnbn+ 1<br />
a<strong>na</strong>n+<br />
1⎤<br />
k n= 1 n( n 1)<br />
⎣ ⎦+ ∑<br />
+ ⎟<br />
⎝ + n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
⎣ ⎦<br />
⎠⎝ ⎠<br />
0<br />
3.1.8 Aplicação dos Cálculos <strong>na</strong> Interpretação dos Experimentos de Espectroscopia de<br />
Força e Luminescência Excita<strong>da</strong> por Absorção de 2 Fótons<br />
Na Figura 67, <strong>na</strong> Figura 68 e <strong>na</strong> Figura 69 a seguir estão os resultados teóricos e<br />
experimentais obtidos por excitação com on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>. A Figura 67 mostra o gráfico <strong>da</strong><br />
medi<strong>da</strong> de espectroscopia de força. Na Figura 68 apresentamos os espectros de<br />
luminescência gerados através <strong>da</strong> absorção de 2 fótons, onde as curvas verde e<br />
vermelha se refer<strong>em</strong> respectivamente a microesferas captura<strong>da</strong>s de 2.5 e 6 µm de<br />
diâmetro, cora<strong>da</strong>s com uma substância similar ao DAPI 3 . A partir dela, v<strong>em</strong>os que<br />
ape<strong>na</strong>s <strong>na</strong> curva vermelha, para a microesfera maior, observamos as ressonâncias de<br />
Mie. A Figura 69 mostra o gráfico dos “MDR modes” s<strong>em</strong> a fluorescência de fundo.<br />
Para tanto, ajustamos a intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> curva verde <strong>da</strong> Figura 68 e a subtraímos <strong>da</strong><br />
curva vermelha. O valor nomi<strong>na</strong>l do diâmetro <strong>da</strong>s microesferas de poliestireno usa<strong>da</strong>s<br />
<strong>na</strong> espectroscopia de força e fornecido pela Polysciences é de (9.126 ± 0.5) µm. Já as<br />
3<br />
O nome oficial do corante não é fornecido pelo fabricante.<br />
101
microesferas cora<strong>da</strong>s são <strong>da</strong> Molecular Probes e têm diâmetro nomi<strong>na</strong>l de (6 ± 0.6) µm.<br />
Os respectivos índices de refração nunca foram medidos.<br />
experimental<br />
Intensi<strong>da</strong>de Intesi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
teórico<br />
720 740 760 780<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 67. Resultado <strong>da</strong> Espectroscopia Ultrasensível de Força para microesferas de poliestireno<br />
de 9 µm com incidência de on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>. Em azul estão os <strong>da</strong>dos experimentais e <strong>em</strong> vermelho os<br />
teóricos.<br />
Para o cálculo do espectro teórico consideramos para o índice de refração as<br />
relações de dispersão <strong>da</strong> água <strong>na</strong><br />
−3 2<br />
[ λ ] = 1.324 + 3.046× 10 λ e do poliestireno<br />
−3 2<br />
n p [ λ= ] 1.5683 + 10.087× 10 λ obti<strong>da</strong>s do artigo de Bat<strong>em</strong>an [34], com o comprimento de<br />
on<strong>da</strong> λ <strong>da</strong>do <strong>em</strong> <strong>na</strong>nômetros. Através do programa desenvolvido no Math<strong>em</strong>atica,<br />
apresentado no apêndice 2, ajustamos o raio <strong>da</strong> partícula até encontrar uma<br />
concordância entre os picos teóricos e os experimentais. Isso ocorreu para os raios de 4.5<br />
µm para a espectroscopia ultrasensível de força e 2.73 µm para a medi<strong>da</strong> <strong>da</strong><br />
luminescência excita<strong>da</strong> por absorção de 2 fótons, que estão dentro do erro de 10%<br />
fornecido do fabricante. Após encontrados os raios, fiz<strong>em</strong>os os gráficos teóricos usando<br />
as expressões de Q de espalhamento para a experiência de luminescência e<br />
Q pr de<br />
pressão de radiação para a medi<strong>da</strong> através <strong>da</strong> força.<br />
Até onde sab<strong>em</strong>os esse é um dos raros relatos de observação de “MDR modes”<br />
através <strong>da</strong> luminescência excita<strong>da</strong>s por absorção de 2 fótons, sendo o primeiro <strong>em</strong><br />
102
partículas captura<strong>da</strong>s pela pinça óptica. As ressonâncias de Mie também nunca foram<br />
observa<strong>da</strong>s <strong>em</strong> microesferas de poliestireno pela medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> força óptica. Nos<br />
experimentos de espectroscopia de força, a on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> é forma<strong>da</strong> pela desfocalização<br />
do feixe de laser que incide no objeto, assim como está descrito no capítulo 2 e Figura<br />
52. A posição <strong>da</strong>s ressonâncias dos nossos resultados experimentais concor<strong>da</strong>m com as<br />
previsões teóricas para, pelo menos, 10 picos. Já no outro caso, a on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> é gera<strong>da</strong><br />
no interior <strong>da</strong> microesfera pela luminescência. No total mais de 16 picos foram<br />
observados e a diferença entre as suas posições experimental e teórica é b<strong>em</strong> menor do<br />
que a largura <strong>da</strong>s ressonâncias que é defini<strong>da</strong> pela parte imaginária dos a ʹs e b ʹs .<br />
Conforme descrito no capítulo 2, usamos o laser de Ti:Safira pulsado para excitar<br />
a fluorescência por absorção de 2 fótons e observamos os espectros com a grade de 1200<br />
<strong>em</strong> 60s. Os primeiros estudos sobre a teoria de interação entre lasers pulsados e<br />
microcavi<strong>da</strong>des esféricas começaram a surgir agora <strong>em</strong> 2001 e 2002 [35].<br />
Os respectivos coeficientes a<br />
n<br />
e b<br />
n<br />
responsáveis pelos modos vão de a<br />
56<br />
e b<br />
56<br />
até<br />
a<br />
52<br />
e b<br />
52<br />
para a microesfera de poliestireno comum a 57 e b 57 até a 50 e b 50 para a<br />
microesfera cora<strong>da</strong>. Os coeficientes a<br />
n<br />
são referentes ao modo TM e os b<br />
n<br />
ao modo TE.<br />
n<br />
n<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
438 458 478 498<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 68. Espectros de fluorescência excita<strong>da</strong> por absorção de 2 fótons, curva verde –<br />
microesfera de 2.5 µm, curva vermelha – microesfera de 6 µm e modos MDR.<br />
103
Intensi<strong>da</strong>de Intensi<strong>da</strong>de (a. (a.u.)<br />
u.)<br />
438 448 458 468 478 488 498<br />
comprimento comprimento de de on<strong>da</strong> on<strong>da</strong> (nm)<br />
(nm)<br />
Figura 69. Preto: espectro para a microesfera de 6 µm <strong>da</strong> Figura 66 subtraído <strong>da</strong> fluorescência;<br />
vermelho: resultados teóricos.<br />
3.2 Pinças Óptica, Microesferas e Feixes Gaussianos Focalizados<br />
O aspecto mais importante no estudo <strong>da</strong> pressão de radiação e ressonâncias de<br />
Mie nessa seção é a descrição do feixe incidente focalizado. A representação de Davis<br />
para feixes gaussianos paraxiais traz como grande atrativo o controle <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> <strong>da</strong><br />
aproximação, mas ca<strong>da</strong> ord<strong>em</strong> isola<strong>da</strong>mente não satisfaz as equações de Maxwell [36].<br />
As principais referências que utilizam o feixe de Davis são os trabalhos de Gouesbet,<br />
Lock, Ren e também de Barton [37, 38, 39, 40, 41].<br />
Exist<strong>em</strong> outras estratégias para descrição de feixes gaussianos. Uma delas é<br />
partir <strong>da</strong>s funções de Green do tipo ( | <br />
ik r − r′<br />
e | / 4 | <br />
π r −r′<br />
| )<br />
, que sab<strong>em</strong>os ser solução <strong>da</strong>s<br />
<br />
equações de Maxwell mas com singulari<strong>da</strong>des <strong>em</strong> r = r′ , e usar um vetor complexo<br />
<br />
para r′ a fim de garantir uma solução s<strong>em</strong> singulari<strong>da</strong>des <strong>em</strong> qualquer posição. No<br />
entanto, essa descrição também leva a uma expressão do feixe gaussiano idêntica à<br />
forma de Davis de ord<strong>em</strong> zero. Outra estratégia é usar a teoria <strong>da</strong> difração no limite<br />
gaussiano, para aberturas numéricas peque<strong>na</strong>s. Porém, para isso precisamos considerar<br />
a teoria de difração vetorial, e não escalar. Nesse caso os feixes satisfaz<strong>em</strong> as equações<br />
de Maxwell mas são obtidos <strong>na</strong> forma integral. Essa é a estratégia utiliza<strong>da</strong> por<br />
Richards & Wolf [42] e por Cheng [43].<br />
104
3.2.1 Aproximação <strong>da</strong> Integral Localiza<strong>da</strong><br />
Vamos procurar apresentar os feixes incidentes <strong>na</strong> forma mais apropria<strong>da</strong> para a<br />
aplicação <strong>da</strong> Aproximação <strong>da</strong> Integral Localiza<strong>da</strong> proposta pela primeira vez por<br />
Gouesbet [44] e b<strong>em</strong> sintetiza<strong>da</strong> por Ren, Gouesbet e Gréhan [45] <strong>em</strong> uma receita com<br />
um conjunto de 5 regras para evitar o cálculo <strong>da</strong>s integrais <strong>da</strong> seção 3.1.2 e utiliza<strong>da</strong>s<br />
<strong>na</strong>s determi<strong>na</strong>ção dos coeficientes <strong>da</strong>s on<strong>da</strong>s parciais. O princípio <strong>da</strong> localização foi<br />
proposto por Van de Hulst que fez um paralelo entre a teoria eletromagnética de Mie e<br />
a posição de um raio <strong>da</strong> óptica geométrica, percebendo que a função esférica de Bessel<br />
jn ( kr ) vai a zero para kr < ( n + 1<br />
2<br />
). Ao expandir uma on<strong>da</strong> <strong>em</strong> on<strong>da</strong>s parciais, as<br />
m<br />
2 2 <br />
<br />
componentes com j ( kr) Y carregam L = n( n+<br />
1) e p = k, como L= r×<br />
p<br />
n<br />
n<br />
⇒ L= bp⇒ b= L P= n( n+<br />
1) k, para n grande nn ( + 1) = n (1+ 1 n) ≅ n(1+<br />
1 2 n)<br />
= n +12, então o parâmetro de impacto b será b≅ ( n+<br />
1 2) k. Por isso, Van de Hulst<br />
associou o número do modo n a um raio que cruza a partícula <strong>na</strong> distância<br />
( n 1<br />
)<br />
r = λ<br />
2π<br />
+<br />
2<br />
de seu centro. Dessa forma, Ren, Gouesbet e Gréhan construíram o<br />
operador localização G ˆ n que atua ape<strong>na</strong>s <strong>na</strong>s funções de r e θ transformando kr <strong>em</strong><br />
1<br />
n + e θ <strong>em</strong> π / 2 , deixando intactas as funções de ϕ. Veja por ex<strong>em</strong>plo a Figura 70 a<br />
2<br />
abaixo, jn( kr ) <strong>em</strong> função de ρ = kr para n=20, jn( kr ) vai a zero para<br />
r< ( n+ 1 ) (20 1<br />
2<br />
≈ +<br />
2<br />
) ≈ 20. A<strong>na</strong>logamente, v<strong>em</strong>os outro ex<strong>em</strong>plo <strong>na</strong> Figura 70 b, agora<br />
de jn( kr ) <strong>em</strong> função de n para ρ = 20, v<strong>em</strong>os que jn( kr ) vai a zero para<br />
n> ( r−1 ) (20 1<br />
2<br />
≈ −<br />
2<br />
) ≈ 20.<br />
0.2<br />
0.1<br />
- 0.1<br />
0.2<br />
0.1<br />
a) b)<br />
10 20 30 40<br />
10 20 30 40<br />
- 0.1<br />
Figura 70. Princípio <strong>da</strong> localização. a. jn( kr ) <strong>em</strong> função de ρ. b. jn( kr ) <strong>em</strong> função de n.<br />
- 0.2<br />
105
A receita para encontrar os coeficientes <strong>da</strong> expansão<br />
m<br />
g nTM e<br />
m<br />
g nTE é a seguinte:<br />
1. Expandir as componentes radiais dos campos elétricos e magnéticos <strong>em</strong> modos<br />
azimutais <strong>na</strong> forma Er(, r , ) Er(,) r e<br />
im ϕ<br />
θϕ = ∑ θ e Hr(, r , ) Hr(,) r e<br />
im ϕ<br />
θϕ = ∑ θ .<br />
m<br />
r<br />
m<br />
r<br />
2. Criar as novas funções F (,) r θ e I (,) r θ através <strong>da</strong> r<strong>em</strong>oção dos modos azimutais<br />
<strong>da</strong>s contribuições de on<strong>da</strong>s pla<strong>na</strong>s, isto é,<br />
m ikz m<br />
r<br />
r<br />
m ikz m<br />
r<br />
r<br />
E = E0 sen θ e F e H = H0 sen θ e I .<br />
1. Aplicar o operador localização <strong>na</strong>s funções F (,) r θ e I (,) r θ , transformando‐as <strong>em</strong><br />
ˆ m m<br />
GF = F n + / k, π/<br />
r<br />
r<br />
m<br />
r<br />
⎡⎣( 1 2)<br />
2⎤⎦ e m m<br />
r r ⎡ ( )<br />
m<br />
r<br />
GI ˆ = I ⎣ n + 1 / 2 k, π/<br />
2 ⎤⎦ .<br />
4. Multiplicar as expressões resultantes pelos fatores de normalização<br />
Z<br />
m −1<br />
m nn ( + 1) i ⎡ −i<br />
⎤<br />
n = δ m,0 + −δm,0<br />
n+ 1/2 ⎢n+<br />
1/2⎥<br />
⎣ ⎦<br />
(1 ) .<br />
m m m<br />
nTM n r<br />
5. Os coeficientes de forma do feixe <strong>da</strong> expansão são <strong>da</strong>dos por g = Z Gˆ( F ) e<br />
g<br />
= Z Gˆ( I ) .<br />
m m m<br />
nTE n r<br />
Os autores vali<strong>da</strong>ram essa receita <strong>em</strong> muitas situações diferentes que<br />
d<strong>em</strong>onstraram ser uma boa aproximação para a expansão <strong>em</strong> on<strong>da</strong>s parciais de feixes<br />
paraxiais. Nós vamos utilizá‐la <strong>na</strong> descrição de Davis.<br />
3.2.2 Aproximação de Davis e a Descrição do Feixe Incidente<br />
O primeiro passo é encontrar a expressão para os campos elétricos e magnéticos<br />
de um feixe gaussiano focalizado paraxial <strong>na</strong> representação de Davis com a polarização<br />
<strong>na</strong> direção x. Davis utiliza uma expansão <strong>em</strong> série <strong>em</strong> termos do parâmetro s= 1 kω 0 ,<br />
onde ω 0 é o “beam size” ou “spot size” e k o número de on<strong>da</strong>, trunca<strong>da</strong> <strong>em</strong> alguma<br />
potência de s. Quanto maior a potência de s, melhor é a aproximação.<br />
<br />
Para fazer essa aproximação voltamos às equações de Maxwell. Se ∇ ⋅ B = 0<br />
<br />
<br />
pod<strong>em</strong>os escrever o campo magnético como B= ∇× A e usando ∇× E=−∂B ∂t⇒<br />
<br />
<br />
∇× E=−∇×∂A ∂t⇒<br />
∇× [ E+∂A ∂ t] = 0⇒ E+∂A ∂ t =−∇φ , pod<strong>em</strong>os escrever o campo<br />
<br />
elétrico como E=−∇φ−∂A ∂t. T<strong>em</strong>os então que,<br />
106
2 ∂ ρ 2 ∂ ρ<br />
∇⋅ E=−∇ φ− ∇⋅ A= ⇒∇ φ+ ∇⋅ A=−<br />
(3. 144)<br />
∂t<br />
ε ∂t<br />
ε<br />
Já,<br />
<br />
<br />
<br />
2 ∂E<br />
<br />
2<br />
∂ ∂A<br />
∇× B=∇×∇× A=−∇ A+∇( ∇⋅ A) =µ J +µε ⇒∇ A−∇( ∇⋅ A) =−µ J−µε [ −∇φ− ]<br />
∂t ∂t ∂t<br />
<br />
<br />
2 2<br />
∂φ ∂ A <br />
2 ∂ A ∂φ <br />
= −µ J + µε[ −∇ + ] ⇒ ∇ A− µε − ∇[ ∇ . A+ µε ] = −µ J<br />
2 2<br />
(3. 145)<br />
∂t<br />
∂t<br />
∂t<br />
∂t<br />
2<br />
usando µε = 1 c ,<br />
<br />
2<br />
2 1 ∂ A 1 ∂φ <br />
∇ A − −∇[ ∇⋅ A+ ] =−µ J<br />
2 2 2<br />
(3. 146)<br />
c ∂t c ∂t<br />
<br />
s<strong>em</strong> cargas, ρ= 0 e J = 0 , ficamos com<br />
<br />
1. B= ∇× A ,<br />
<br />
2. E= −∇φ − ∂A ∂t,<br />
2 ∂ <br />
3. ∇ φ+ ∇⋅ A = 0 e<br />
∂t<br />
<br />
2<br />
2 1 ∂ A 1 ∂φ<br />
4. ∇ A− −∇[ ∇⋅ A+ ] = 0<br />
2 2 2<br />
c ∂t c ∂t<br />
1 ∂φ<br />
Usando o calibre de Lorentz, onde∇ ⋅ A + = 0<br />
2<br />
c ∂t<br />
(3. 147).<br />
e substituindo <strong>na</strong> equação 3<br />
para φ, t<strong>em</strong>os<br />
2<br />
2 ∂ <br />
2 ∂ 1 ∂φ 2 1 ∂ φ<br />
∇φ+ ∇⋅ A =∇φ+ [ − ] =∇φ− = 0<br />
2 2 2<br />
∂t ∂t c ∂t<br />
c ∂t<br />
(3. 148)<br />
Assim, v<strong>em</strong>os que no calibre de Lorentz as seguintes equações são váli<strong>da</strong>s:<br />
<br />
2<br />
2 1 ∂ A<br />
1. ∇ A − = 0 ,<br />
c<br />
2 t<br />
2<br />
∂<br />
2 1 ∂φ<br />
2. ∇ φ− = 0 ,<br />
2 2<br />
c ∂t<br />
1 ∂φ<br />
3. ∇ ⋅ A + = 0 ,<br />
2<br />
c ∂t<br />
<br />
4. B= ∇× A e<br />
107<br />
2
Fazendo, A=<br />
A()<br />
r e −ω<br />
i t<br />
<br />
5. E= −∇φ − ∂A ∂t<br />
(3. 149)<br />
i t<br />
e φ=φ( re )<br />
− ω , ficamos com:<br />
<br />
2 2<br />
1. ∇ A + k A=<br />
0 ,<br />
2 2<br />
2. ∇ φ+ k φ= 0 ,<br />
c<br />
3. φ =−i<br />
∇⋅A<br />
,<br />
k<br />
c <br />
4. E= i ∇∇⋅ ( A)<br />
+ω i A e<br />
k<br />
<br />
5. B= ∇× A (3. 150)<br />
No formalismo de Davis, o potencial vetor A é linearmente polarizado <strong>na</strong> forma<br />
<br />
A = eˆ<br />
ψ( r) e<br />
ikz . Para usar a equação 1 logo acima precisamos de:<br />
x<br />
2 ikz ikz 2 ikz 2 ikz 2 ∂ψ<br />
∇ [ ψ ( re ) ] = e ∇ ψ ( r) + 2 ∇ψ⋅∇ e +ψ( r) ∇ e ⇒∇ ψ ( r) + 2ik = 0, ou seja,<br />
∂ z<br />
2 2 2<br />
∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ<br />
+ + + 2ik<br />
= 0<br />
x<br />
2 y<br />
2 z<br />
2<br />
∂ ∂ ∂ ∂ z<br />
(3. 151)<br />
rearranjando essa equação e usando k e ω 0 obt<strong>em</strong>os:<br />
2 2 2 2<br />
∂ψ ∂ψ ω0<br />
∂ψ ∂ψ<br />
2<br />
+<br />
2<br />
+<br />
2 4<br />
2<br />
+ 2i<br />
= 0<br />
⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ k ω0<br />
⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞<br />
∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ∂<br />
2 ⎟ ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ω k<br />
0 ⎠ ⎝ω0 ⎠ ⎝kω ω<br />
0 ⎠ ⎝ 0 ⎠<br />
(3. 152)<br />
e, fi<strong>na</strong>lmente, redefinindo as coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s <strong>da</strong> forma:<br />
ξ= x ω<br />
0<br />
, y<br />
0<br />
η= ω e<br />
2<br />
ζ = z ( kω 0<br />
) e s 1 k<br />
0<br />
= ω (3. 153),<br />
chegamos à equação fi<strong>na</strong>l:<br />
2 2 2<br />
∂ψ 1<br />
+ ∂ψ + ∂ψ + 2i<br />
∂ψ = 0<br />
∂ξ ∂η ω ∂ζ ∂ζ<br />
2 2 2 2 2<br />
k 0<br />
(3. 154).<br />
Para a<strong>na</strong>lisar as ordens de grandeza notamos que:<br />
1 1<br />
s = kω<br />
= 2 π 0 ω<br />
λ<br />
0<br />
e ω0<br />
≈λ, então<br />
1<br />
s < é pequeno.<br />
2 π<br />
108
Vamos procurar, portanto, soluções para ψ <strong>em</strong> termos de potências de<br />
2<br />
s :<br />
2 4<br />
0<br />
s<br />
2<br />
s<br />
4<br />
...<br />
ψ=ψ + ψ + ψ + , e coletar termos de mesmo potência <strong>em</strong> s. Dessa forma as<br />
equações para as ordens zero, dois e quatro são <strong>da</strong><strong>da</strong>s por:<br />
2 2<br />
∂ψ0 ∂ψ0 ∂ψ0<br />
+ + 2i<br />
= 0<br />
2 2<br />
∂ξ ∂η ∂ζ<br />
∂ψ ∂ψ ∂ψ<br />
∂ξ ∂η ∂ζ ∂ζ<br />
2 2<br />
2<br />
2 2 2<br />
∂ ψ0<br />
+ + 2i =−<br />
2 2 2<br />
∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ<br />
∂ξ ∂η ∂ζ ∂ζ<br />
2 2 2<br />
4 4 4 2<br />
+ + 2i =−<br />
2 2 2<br />
(3. 155)<br />
A estratégia é encontrar primeiro a solução de ord<strong>em</strong> zero, usá‐la <strong>na</strong> equação<br />
seguinte para encontrar a solução de ord<strong>em</strong> 2 e assim sucessivamente. Para ord<strong>em</strong> zero<br />
verificamos que a função<br />
Para tanto, usamos:<br />
2<br />
ρ<br />
−i i−<br />
2 ζ<br />
ie<br />
ψ 0 =<br />
i −2ζ com 2 2 2<br />
ρ =ξ +η é uma solução.<br />
2<br />
ρ<br />
−i i−<br />
2 ζ<br />
∂ψ 0 ie 2 iξ 2 iξ<br />
=− =− ψ<br />
∂ξ ( i− 2 ζ)(1− 2 ζ) i− 2ζ<br />
0<br />
(3. 156)<br />
2 2<br />
2<br />
0 2i ⎛ 2i ⎞ 2i<br />
4<br />
= ψ<br />
2 0 + ⎜ ⎟ ψ 0 = { − } ψ<br />
2 0<br />
∂ψ − − ξ − ξ<br />
∂ξ i−2ζ ⎝i−2ζ⎠<br />
i−2ζ<br />
i 2<br />
( − ζ)<br />
(3. 157)<br />
2 2 2<br />
0 0 4i<br />
4<br />
+ = ψ<br />
2 2 0 − ψ<br />
2 0<br />
∂ψ ∂ψ − − ρ<br />
∂ξ ∂η i −2ζ<br />
−2ζ<br />
( i )<br />
(3. 158)<br />
( )<br />
2 2<br />
iρ<br />
iρ<br />
−<br />
i 2 2 1<br />
−<br />
− ζ<br />
i−2ζ<br />
i−2 ζ ie ( −iρ )[ − ]( −2) −ie<br />
( −2)<br />
−<br />
∂ψ0<br />
2 − ζ<br />
2 2<br />
= = { − + }<br />
2 2<br />
∂ζ − 2ζ i− 2ζ<br />
2<br />
( i − ζ)<br />
ie<br />
i 2<br />
2<br />
iρ<br />
( i−2ζ) i ( i−2ζ)<br />
iρ<br />
2<br />
(3. 159)<br />
assim:<br />
2<br />
∂ψ0<br />
4ρ<br />
4i<br />
2 i =ψ 0{ + }<br />
2<br />
∂ζ<br />
( i −2ζ)<br />
i − 2ζ<br />
(3. 160)<br />
109
e portanto,<br />
2 2<br />
0 0 0<br />
∂ψ ∂ψ ∂ψ<br />
+ + 2i<br />
= 0, d<strong>em</strong>onstrando nossa afirmação inicial.<br />
2 2<br />
∂ξ ∂η ∂ζ<br />
Falta determi<strong>na</strong>r os campos elétricos e magnéticos. Isso é feito à partir de<br />
c <br />
<br />
<br />
E= i ∇( ∇ . A)<br />
+ iωA<br />
com ˆ ( )<br />
ikz<br />
∂ψ( r)<br />
ikz<br />
A = exψ<br />
r e , t<strong>em</strong>os que ∇ . A = e e, portanto:<br />
k<br />
∂ x<br />
∂ ikz ∂ψ ∂ ikz ∂ψ ∂ ikz ∂ψ<br />
∇∇ ( . A) = eˆx [ e ] + eˆy [ e ] + eˆz<br />
[ e ] =<br />
∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x<br />
(3. 161)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ikz ∂ψ ikz ∂ψ ikz ∂ψ ikz ∂ψ ikz ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ<br />
ˆ ˆ [ ] ˆ { ˆ ˆ [ ] ˆ<br />
2 x y z 2 x y z<br />
= e e + e e + ike + e e = e e + e + ik + e<br />
∂x<br />
∂∂ xy ∂x ∂∂ xz ∂x<br />
∂∂ xy ∂x ∂∂ xz<br />
O campo elétrico pode ser calculado por:<br />
<br />
2 2 2<br />
1 ∂ψ 1 ∂ψ i ∂ψ 1 ∂ψ<br />
E=ωψ+ i {[ ] eˆ [ ] ˆ [ ] ˆ }<br />
2 2 x + e<br />
2 y + + e<br />
2 z<br />
k ∂x k ∂∂ xy k∂x k ∂∂ xz<br />
(3. 162)<br />
entretanto,<br />
2 2 2<br />
2<br />
= = s<br />
2 2 2 2 2 2<br />
∂ ω0<br />
∂ξ<br />
1 ∂ψ 1 ∂ψ ∂ψ<br />
k x k ⎛ x ⎞<br />
∂ ⎜ ⎟<br />
ω<br />
⎝ 0 ⎠<br />
2 2 2<br />
2<br />
= = s<br />
2 2 2<br />
∂xy<br />
∂ ω0<br />
⎛ x ⎞⎛ ⎞<br />
1 ∂ψ 1 ∂ψ ∂ψ<br />
k k y ∂ξ∂η<br />
∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟<br />
ω ω<br />
⎝ 0 ⎠⎝ 0 ⎠<br />
1 ∂ψ 1<br />
= ∂ψ = s<br />
∂ψ<br />
k ∂x kω0<br />
⎛ x ⎞ ∂ξ<br />
∂ ⎜ ⎟<br />
ω<br />
⎝ 0 ⎠<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
= = = s<br />
2 2 2 2 2 3 3<br />
xz ω0 ω0 ⎛ x ⎞⎛ y ⎞ ω0<br />
∂ ⎜ ⎟⎜ 2 2 ⎟<br />
ω0 k ω0<br />
1 ∂ψ 1 1 ∂ψ 1 ∂ψ ∂ψ<br />
k ∂∂ k k k ∂ξ∂ζ ∂ξ∂ζ<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠<br />
(3. 163)<br />
de forma que, no fi<strong>na</strong>l dos cálculos, o campo elétrico vale:<br />
<br />
2 2 2<br />
{[ 2 ∂ψ ] ˆ [ 2 ∂ψ ] ˆ [ ∂ψ 3 ∂ψ<br />
E=ωψ+ i s e ] ˆ }<br />
2 x + s ey + is + s ez<br />
∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ ∂ξ∂ζ<br />
(3. 164)<br />
Tomando até a ord<strong>em</strong> de<br />
0<br />
s :<br />
110
Ex<br />
= iωψ e , E y = 0 e E z = 0 (3. 165)<br />
Tomando até a ord<strong>em</strong> de s 1 :<br />
x<br />
ikz<br />
ikz<br />
E = iωψ e , E = 0 e<br />
Para o campo magnético, t<strong>em</strong>os:<br />
y<br />
Ez<br />
∂ψ ikz<br />
=−ω e (3. 166)<br />
∂ξ<br />
eˆx eˆy eˆz<br />
∇× E<br />
1 ikz<br />
ikz<br />
H = = ∂x ∂y ∂ z = { ∂z[ ψe ] eˆy −∂y[ ψe ] eˆz}<br />
µ µ<br />
ikz<br />
ψe<br />
0 0<br />
1 ikz ∂ψ ikz ∂ψ ikz ike i ∂ψ i ∂ψ<br />
= {[ ikψ e + e ] eˆy − e eˆz} = {[ ψ− ] eˆy + eˆz}<br />
=<br />
µ ∂z ∂ y µ k ∂z k ∂y<br />
ikz<br />
ikz<br />
2<br />
eˆy eˆz is eˆy is eˆz<br />
k y<br />
0<br />
2<br />
0 ω0<br />
ike i ∂ψ i ∂ψ ike ∂ψ ∂ψ<br />
= {[ ψ− ] + } = {[ ψ− ] + }<br />
2<br />
µ kk ( ω0<br />
) z ∂<br />
ω ∂<br />
µ ∂ζ ∂η<br />
kω<br />
Em ord<strong>em</strong> zero, os campos elétrico e magnético são <strong>da</strong>dos por:<br />
ikz<br />
(3. 167)<br />
ikz<br />
ik<br />
Ex<br />
=ωψ i 0e<br />
, E y = 0 e E z = 0 e H x = 0 , Hy<br />
= ψ0e<br />
µ<br />
com a função ψ 0 defini<strong>da</strong> como:<br />
ikz<br />
e H z = 0 (3. 168),<br />
2 2<br />
ξ +η<br />
−i<br />
i−2ζ<br />
2 2<br />
x + y<br />
2<br />
ω<br />
−i<br />
0<br />
z<br />
i−2<br />
2<br />
kω0<br />
ie ie<br />
ψ 0 = =<br />
i −2ζ<br />
z<br />
i − 2<br />
kω<br />
2<br />
0<br />
e<br />
z<br />
z<br />
−i<br />
−2 2<br />
1<br />
k<br />
= = −<br />
z<br />
i − 2 4z 4z 4z<br />
1+ 1+ 1+<br />
kω k ω k ω k ω<br />
2 2<br />
ω0 −i<br />
kω0<br />
2 2 2<br />
2 2 4 2 4 2 4<br />
0 0 0 0<br />
(3. 169)<br />
Chamando<br />
z−<br />
z0<br />
−1<br />
D= [ i− 2 ] , onde<br />
l<br />
2<br />
l= kω 0<br />
, os campos são expressos <strong>em</strong><br />
coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s cartesia<strong>na</strong>s <strong>na</strong> forma:<br />
ikz<br />
2 2 2 2<br />
x + y x + y<br />
−iD<br />
−iD<br />
2 2<br />
ik( z−z0)<br />
ω0 ikz<br />
ω0 −ikz0<br />
Ex<br />
= iωψ 0e = E0e iDe = E0 e [ iDe e ] (3. 170)<br />
2 2 2 2<br />
x + y x + y<br />
−iD<br />
−iD<br />
2 2<br />
ik( z−z0)<br />
ω0 ikz<br />
ω0 −ikz0<br />
ik ikz<br />
Hy<br />
= ψ 0e = H0e iDe = H0 e [ iDe e ]<br />
µ<br />
(3. 171)<br />
ou <strong>em</strong> coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s esféricas como:<br />
111
0<br />
ikz<br />
2 2<br />
x + y<br />
−iD<br />
2<br />
ω0 −ikz0<br />
E = E senθcos ϕ e [ iDe e ] e<br />
r<br />
0<br />
ikz<br />
2 2<br />
x + y<br />
−iD<br />
2<br />
ω0 −ikz0<br />
H = H senθsin ϕ e [ iDe e ] (3. 172).<br />
r<br />
ikz<br />
Dessa forma observamos que os termos do tipo E0 senθcos ϕ e se refer<strong>em</strong> à<br />
on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>. Nessa descrição, pod<strong>em</strong>os expressar os campos elétricos e magnéticos que<br />
descrev<strong>em</strong> um feixe gaussiano como:<br />
ikz<br />
E gE sen cos e<br />
r = 0 θ ϕ e r 0<br />
ikz<br />
H = gH senθsin ϕ e , onde<br />
2 2<br />
x + y<br />
−iD<br />
2<br />
ω0 −ikz0<br />
g = [ iDe e ] (3. 173).<br />
3.2.3 Expansão do Feixe Gaussiano Incidente Focalizado, os Fatores de Forma e os<br />
Coeficientes de Mie<br />
Para aplicar a receita de Gouesbet a primeira providência é colocar a orig<strong>em</strong> no<br />
centro <strong>da</strong> esfera ao invés do foco do laser. Feito isso dev<strong>em</strong>os ser capazes de explicitar a<br />
dependência azimutal. Na nossa situação experimental o foco do laser está <strong>em</strong> z 0 = 0<br />
<br />
(plano equatorial) e xe 0 x + ye 0 y <strong>em</strong> relação ao centro <strong>da</strong> partícula como ilustra a Figura<br />
71. Neste caso:<br />
2 2 2 2<br />
( x− x ) + ( y−y ) ( x− x ) + ( y−y<br />
)<br />
0 0 0 0<br />
−iD<br />
−<br />
2 2<br />
ω<br />
ω<br />
0 0<br />
ψ 0 = iDe<br />
= e<br />
com<br />
1 1<br />
D = =<br />
2z<br />
i − 0 i<br />
kω<br />
0<br />
(3. 174)<br />
Assim,<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( x− x ) + ( y− y ) ( x + y ) + ( x + y ) −2xx −2yy<br />
0 0 0 0 0 0<br />
ρ +ρ 2ρρ<br />
0 0<br />
− − − (cosϕcosϕ 2 2 2 2<br />
0+ sin ϕsin ϕ0)<br />
ω ω ω ω<br />
0 0 0 0<br />
ψ 0 = e = e = e e<br />
=<br />
2 2<br />
ρ +ρ0 2ρρ0 cos( ϕ−ϕ0)<br />
−<br />
2 2<br />
0 0<br />
e ω<br />
e ω<br />
= (3. 175)<br />
z<br />
{0, 0, 0}<br />
y<br />
x<br />
{x 0 , y 0 , 0}<br />
Figura 71. Sist<strong>em</strong>a de coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s.<br />
112
Nesse ponto, economizamos pági<strong>na</strong>s de álgebra <strong>em</strong> relação ao artigo de<br />
Gouesbet e seu grupo [38, 39, 40] fazendo<br />
i<br />
t = e ϕ → <strong>na</strong> função geratriz para as funções<br />
modifica<strong>da</strong>s de Bessel,<br />
para reencontrar a fórmula<br />
dependência azimutal diretamente como:<br />
1 1<br />
zt ( + )<br />
t m<br />
m<br />
∞<br />
zcosϕ<br />
imϕ<br />
e e I m ( z)<br />
m=−∞<br />
e2 = ∑ t I ( z)<br />
(3. 176)<br />
= ∑ que nos permite explicitar a<br />
2 2 2 2<br />
ρ+ρ0 2ρρ0 cos( ϕ−ϕ0)<br />
ρ+ρ0<br />
− − ∞<br />
2 2 2<br />
ω ω ω im( ϕ−ϕ ) ⎛2ρρ<br />
⎞<br />
0 0 0 0<br />
e e = e e I 0<br />
∑ m<br />
2<br />
(3. 177)<br />
⎜ ⎟<br />
m=−∞<br />
⎝ ω0<br />
⎠<br />
Para o campo elétrico falta incluir um cosϕ e para o magnético um senϕ.<br />
Incluindo o cosϕ obt<strong>em</strong>os:<br />
2 2 2 2<br />
ρ+ρ 2ρρcos( ϕ−ϕ)<br />
ρ+ρ<br />
0 0 0 0<br />
− − ∞ iϕ −iϕ<br />
2 2 2<br />
ω ω ω −imϕ 2<br />
0 0 0 0<br />
imϕ<br />
e + e ⎛ ρρ ⎞<br />
cos ϕ e e = e e e I 0<br />
∑<br />
m<br />
=<br />
2 ⎜ 2<br />
⎟<br />
m=−∞<br />
⎝ ω0<br />
⎠<br />
2 2<br />
ρ+ρ0<br />
− ∞<br />
ω<br />
2<br />
0 − im ϕ<br />
0<br />
im ( 1) im ( 1) 2 0<br />
(<br />
+ ϕ − ϕ<br />
⎛ ρρ<br />
) m ⎜ 2<br />
m=−∞<br />
ω0<br />
1<br />
⎞<br />
= e ∑ e e + e I ⎜ 2<br />
⎟<br />
(3. 178)<br />
⎝ ⎠<br />
Como nosso objetivo é obter um campo do tipo E (,) r θ e redefinimos os m´s<br />
<strong>da</strong>s somatórias para expressar ψ 0 <strong>na</strong> forma:<br />
m<br />
r<br />
imϕ<br />
⎧<br />
⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤<br />
= e ⎨ e e I ⎜ ⎟<br />
+ e I<br />
⎜ ⎟ ⎥<br />
⎪ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦<br />
2 2<br />
ρ+ρ0<br />
− ∞<br />
ω<br />
2<br />
⎪1<br />
0<br />
im ϕ<br />
⎡ − im ( + 1) ϕ 2ρρ<br />
0 0 − im ( − 1) ϕ 2ρρ<br />
0<br />
0<br />
∑ ⎢<br />
m+ 1 2 m−1<br />
2<br />
2<br />
m=−∞<br />
⎢<br />
ω0 ω0<br />
⎪⎩ m≠0<br />
1 2<br />
(<br />
iϕ0 −iϕ<br />
⎛ ρρ ⎞<br />
0 )<br />
0 ⎪<br />
e e I1 ⎜ 2 ⎟⎥⎬<br />
0<br />
⎡ ⎤⎫<br />
+ ⎢ + =<br />
2<br />
⎜ ω ⎟<br />
⎣⎢<br />
⎝ ⎠⎥⎦⎭<br />
⎪<br />
2 2<br />
ρ+ρ<br />
⎧⎡<br />
⎤<br />
⎫<br />
0<br />
− ∞<br />
2 1<br />
0<br />
im im<br />
0<br />
i 2<br />
0 0 i 2<br />
0<br />
0 2 0<br />
e ω ⎪<br />
⎢<br />
e ϕ<br />
e − ϕ<br />
⎡<br />
e − ϕ<br />
⎛ ρρ ⎞<br />
Im<br />
1 e ϕ<br />
⎛ ρρ ⎞⎤⎥<br />
⎛ ρρ ⎞⎪<br />
= ⎨⎢<br />
∑ ⎢ + I<br />
2 m−1 cos<br />
2 0I1<br />
2<br />
2<br />
⎜ ⎟<br />
+ ⎜ ⎟⎥⎥+ ϕ ⎜ ⎟⎬=<br />
⎪⎢<br />
m=−∞<br />
⎣⎢<br />
⎝ ω0 ⎠ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦⎥<br />
⎝ ω0<br />
⎠⎪<br />
⎪⎩⎢⎣<br />
m≠0<br />
⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
2 2<br />
ρ+ρ<br />
⎧⎡<br />
⎤<br />
⎫<br />
0<br />
− ∞<br />
2 1<br />
0<br />
im im ( 1) 2<br />
0 0 2i<br />
2<br />
0<br />
0 2 0<br />
e ω ⎪<br />
⎢<br />
e ϕ<br />
e − − ϕ<br />
⎡ ⎛ ρρ ⎞<br />
Im<br />
1 e − ϕ<br />
⎛ ρρ ⎞⎤⎥<br />
⎛ ρρ ⎞<br />
⎪<br />
= ⎨⎢<br />
∑ ⎢ − I<br />
2 + m+<br />
1 cos<br />
2 ⎥⎥+ ϕ0I1<br />
2<br />
⎬ (3. 179)<br />
2<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎪⎢<br />
m=−∞<br />
⎢⎣<br />
⎝ ω0 ⎠ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦⎥<br />
⎝ ω0<br />
⎠⎪<br />
⎪⎩⎢⎣<br />
m≠0<br />
⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
113
Já a inclusão do senϕ leva a:<br />
ρ+ρ 2ρρcos( ϕ−ϕ)<br />
ρ+ρ<br />
−<br />
ω ω ω − ϕ imϕ<br />
2 2 2 2<br />
0 0 0 0<br />
− ∞<br />
2 2 2<br />
0 0 0<br />
im<br />
0<br />
e − e ⎛2ρρ<br />
⎞<br />
0<br />
sen ϕ e e = e ∑ e e Im<br />
2<br />
=<br />
m=−∞<br />
2i<br />
⎜ ω ⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
iϕ<br />
−iϕ<br />
2 2<br />
ρ+ρ0<br />
− ∞<br />
ω<br />
2<br />
0 − im ϕ<br />
0<br />
im ( 1) im ( 1) 2 0<br />
(<br />
+ ϕ − ϕ<br />
⎛ ρρ<br />
∑<br />
) m<br />
⎜ 2<br />
m=−∞<br />
ω0<br />
1<br />
⎞<br />
= e e e − e I<br />
=<br />
2i<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎧<br />
⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
= e ⎨ e e I ⎜ ⎟<br />
− e I<br />
⎜ ⎟⎥<br />
+<br />
⎪ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦<br />
2 2<br />
ρ+ρ0<br />
− ∞<br />
ω<br />
2<br />
⎪ 1<br />
0<br />
im ϕ<br />
⎡ − im ( + 1) ϕ 2ρρ<br />
0 0 − im ( − 1) ϕ 2ρρ<br />
0<br />
0<br />
∑ ⎢<br />
m+ 1 2 m−1<br />
2<br />
2i<br />
m=−∞<br />
⎢<br />
ω0 ω0<br />
⎪⎩ m≠0<br />
⎛2ρρ<br />
⎞⎤<br />
0<br />
e − e I1 ⎜ =<br />
2 ⎟⎥<br />
0<br />
⎡ 1 (<br />
iϕ0 −iϕ0<br />
⎢<br />
)<br />
2i<br />
⎜ ω ⎟<br />
⎢⎣<br />
⎝ ⎠⎥⎦<br />
2 2<br />
ρ+ρ<br />
⎧⎡<br />
⎤<br />
⎫<br />
0<br />
− ∞<br />
2 1<br />
0<br />
im im<br />
0<br />
i 2<br />
0 0 i 2<br />
0<br />
0 2 0<br />
e ω ⎪<br />
⎢<br />
e ϕ<br />
e − ϕ<br />
⎡<br />
e − ϕ<br />
⎛ ρρ ⎞<br />
Im<br />
1 e ϕ<br />
⎛ ρρ ⎞⎤⎥<br />
⎛ ρρ ⎞<br />
⎪<br />
= ⎨⎢<br />
∑ ⎢ + I<br />
2 m−1 sin<br />
2 0I1<br />
2<br />
2i<br />
⎜ ⎟<br />
− ⎜ ⎟⎥⎥+ ϕ ⎜ ⎟⎬=<br />
⎪<br />
m=−∞<br />
⎢⎣<br />
⎝ ω0 ⎠ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦<br />
⎝ ω0<br />
⎠⎪<br />
⎪⎩⎢⎣<br />
m≠0<br />
⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
2 2<br />
ρ+ρ<br />
⎧⎡<br />
⎤<br />
⎫<br />
0<br />
− ∞<br />
2 1<br />
0<br />
im im ( 1) 2<br />
0 0 2i<br />
2<br />
0<br />
0 2 0<br />
e ω ⎪⎢<br />
e ϕ<br />
e − − ϕ<br />
⎡ ⎛ ρρ ⎞<br />
Im<br />
1 e − ϕ<br />
⎛ ρρ ⎞⎤⎥<br />
⎛ ρρ ⎞<br />
⎪<br />
= ⎨⎢<br />
∑ ⎢ − I<br />
2 − m+<br />
1 sin<br />
2 ⎥⎥+ ϕ0I1<br />
2<br />
⎬ (3. 180)<br />
2i<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎪<br />
m=−∞<br />
⎢⎣<br />
⎝ ω0 ⎠ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦<br />
⎝ ω0<br />
⎠⎪<br />
⎪⎩⎢⎣<br />
m≠0<br />
⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
Com isso, os campos radiais elétrico e magnético ficam <strong>da</strong>dos por:<br />
2 2<br />
ρ+ρ0<br />
∞ −<br />
2<br />
m ikz 1<br />
0<br />
( 1) 2<br />
0 0 2 2<br />
0<br />
0<br />
0 sin ω ⎪ im ϕ − im − ϕ ρρ − i ϕ ρρ<br />
r = ∑ θ ⎢ m− 1 +<br />
2 m+<br />
1 2<br />
m=−∞<br />
⎩<br />
2<br />
⎢ ω0 ω0<br />
m≠0<br />
⎧ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
E E e e ⎨ e e I ⎜ ⎟<br />
e I<br />
⎜ ⎟⎥<br />
⎪ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦<br />
⎛ ⎞⎫<br />
+ cosϕ → = θ<br />
∞<br />
2ρρ0<br />
⎪ m ikz imϕ<br />
m<br />
0I1 ⎜ 2 ⎟⎬⎟<br />
Er<br />
∑ E0e sin e Fr<br />
⎝ ω0<br />
⎠⎭⎪<br />
m=−∞<br />
m≠0<br />
(3. 181)<br />
2 2<br />
ρ+ρ0<br />
∞ −<br />
2<br />
m ikz 1<br />
0<br />
( 1) 2<br />
0 0 2 2<br />
0<br />
0<br />
0 sin ω ⎪ im ϕ − im − ϕ ρρ − i ϕ ρρ<br />
r = ∑ θ ⎢ m− 1 −<br />
2 m+<br />
1 2<br />
m=−∞<br />
2i<br />
⎩<br />
⎢ ω0 ω0<br />
m≠0<br />
⎧ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
H H e e ⎨ e e I ⎜ ⎟<br />
e I<br />
⎜ ⎟⎥<br />
⎪ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦<br />
(3. 182).<br />
⎛ ⎞⎫<br />
+ sin ϕ → = θ<br />
∞<br />
2ρρ0<br />
⎪ m ikz imϕ<br />
m<br />
0I1 ⎜ 2 ⎟⎬⎟<br />
Hr<br />
∑ H0e sin e Ir<br />
⎝ ω0<br />
⎠⎭⎪<br />
m=−∞<br />
m≠0<br />
Agora pod<strong>em</strong>os usar uma relação <strong>em</strong> m <strong>da</strong>s funções modifica<strong>da</strong>s de Bessel<br />
I− m( x) = Im( x)<br />
para limitar os somatórios de m = 0 até infinito, isolando o termo com<br />
m = 0 , reescrevendo as expressões acima como:<br />
114
k ρ+ k ρ<br />
2 2 2 2<br />
0<br />
−<br />
∞<br />
2 2<br />
m k ω ⎪<br />
⎧⎡<br />
i( m−1)<br />
ϕ<br />
⎡ ⎛2kρρ ⎞<br />
0 0<br />
0 2iϕ<br />
⎛2kρρ ⎞⎤⎤<br />
⎛<br />
0<br />
0 2kρρ<br />
⎞<br />
0 ⎪<br />
⎫<br />
Er = e ⎨⎢∑ e ∓ ⎢Im− 1 ⎜<br />
e I<br />
2 + m+<br />
1<br />
cos<br />
2<br />
⎥⎥+ ϕ0I1<br />
2<br />
m=<br />
1<br />
k ⎟ ∓ ⎬ (3. 183)<br />
⎢<br />
ω ⎜<br />
0 kω ⎟ ⎜<br />
0 ⎥<br />
kω<br />
⎟<br />
⎪⎩⎣<br />
⎢⎣<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦⎦<br />
⎝ 0 ⎠⎪⎭<br />
k ρ+ k ρ<br />
2 2 2 2<br />
0<br />
−<br />
∞<br />
2 2<br />
m k ω ⎪<br />
⎧⎡1<br />
i<br />
0<br />
( m−1)<br />
ϕ<br />
⎡ ⎛2kρρ ⎞<br />
0<br />
0 2iϕ<br />
⎛2kρρ ⎞⎤⎤<br />
⎛<br />
0<br />
0 2kρρ<br />
⎞<br />
0 ⎪<br />
⎫<br />
Hr = e ⎨⎢<br />
∑ e ∓ ⎢Im− 1 e I<br />
2 m+<br />
1<br />
sen<br />
2 0I1<br />
2<br />
i ⎜ − ⎥⎥+ ϕ<br />
m=<br />
1<br />
k ⎟ ∓ ⎬ (3. 184)<br />
⎢<br />
ω ⎜<br />
0 kω ⎟ ⎜<br />
0 ⎥<br />
kω<br />
⎟<br />
⎪⎩⎣<br />
⎢⎣<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦⎦<br />
⎝ 0 ⎠⎪⎭<br />
Nesse ponto já cumprimos com os passos 1 e 2 <strong>da</strong> receita. Os passos 3 e 4 são<br />
<strong>da</strong>dos pela aplicação do operador localização e multiplicação pelo fator de<br />
normalização:<br />
g<br />
= Z GE ˆ =<br />
m m m<br />
nTM n r<br />
2 2 2<br />
( n+ 1/2)<br />
+ k ρ0<br />
∞ ∞ −<br />
2 2 ⎧<br />
m k ω ⎪ ∓i 0<br />
( m−1)<br />
ϕ<br />
⎡ ⎛ 2( n+ 1/ 2) ρ ⎞<br />
0<br />
0 2i<br />
2( n 1/ 2) ⎤<br />
∓ ϕ<br />
⎛ + ρ ⎞<br />
0<br />
0<br />
= Zn e e Im− 1 + e I<br />
(3. 185)<br />
∑∑<br />
⎨ ⎢<br />
⎜ 2 m+<br />
1<br />
2<br />
n= 1m=<br />
1<br />
k ⎟ ⎜ ⎥<br />
0 k ⎟<br />
⎩⎪ ⎢⎣ ⎝ ω ⎠ ⎝ ω0<br />
⎠⎥⎦<br />
⎛ 2( n + 1/ 2) ρ ⎞⎫<br />
0 ⎪<br />
+ cosϕ0I1 ⎜ 2 ⎟⎬<br />
kω<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠⎭⎪<br />
m m ˆ m<br />
g = Z GH =<br />
nTE n r<br />
2 2 2<br />
( n+ 1/2) + k ρ0<br />
∞ ∞ −<br />
( 1)<br />
2 2<br />
⎧ ∓ i m − ϕ0<br />
m k ω ⎪ e ⎡ ⎛ 2( n+ 1/ 2) ρ ⎞<br />
0 0 2i<br />
2( n 1/ 2) ⎤<br />
∓ ϕ<br />
⎛ + ρ ⎞<br />
0<br />
0 (3. 186)<br />
= ∑∑Zn e ⎨ ⎢I m − 1 e I<br />
2 m + 1<br />
2<br />
n= 1m=<br />
1<br />
i ⎜ k ⎟<br />
−<br />
⎜ ⎥<br />
0 k ⎟<br />
⎩⎪ ⎢⎣ ⎝ ω ⎠ ⎝ ω0<br />
⎠⎥⎦<br />
⎛ 2( n + 1/ 2) ρ ⎞⎫<br />
0 ⎪<br />
+ senϕ0 I1 ⎜ 2 ⎟⎬<br />
kω<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠⎭⎪<br />
definindo,<br />
m −1<br />
1<br />
ρ<br />
s = , 0<br />
Q= 2( s n+<br />
1/2) e m nn ( + 1) i ⎡ −i<br />
⎤<br />
Zn = δ m,0 + (1 −δm,0)<br />
k ω ω n+ 1/2 ⎢n+<br />
1/2⎥<br />
⎣ ⎦<br />
0<br />
0<br />
(3. 187)<br />
ficamos com,<br />
2<br />
⎛ρ<br />
2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ − s ( n 1/2)<br />
2<br />
0 nn ( 1) i<br />
⎜ + + ⎟<br />
⎛ + ⎞<br />
ω0<br />
gnTM<br />
= ∑ cos 0e ⎝<br />
⎠<br />
⎜<br />
ϕ<br />
I1( Q)<br />
n=<br />
1<br />
n + 1/2<br />
⎟<br />
(3. 188)<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
m 1 ⎛ρ<br />
2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ i<br />
−<br />
0<br />
s ( n 1/2)<br />
2<br />
m<br />
⎛<br />
∓ ϕ − + +<br />
−ie<br />
⎞ ⎜ ⎟<br />
0 2i<br />
0<br />
gnTM e<br />
⎝ω<br />
⎠⎡<br />
∓ ϕ<br />
= ∑<br />
Im− 1( Q) + e Im+<br />
1( Q)<br />
⎤ (3. 189)<br />
⎜<br />
nm , = 1<br />
n + 1/2⎟ ⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠<br />
115
2<br />
⎛ρ<br />
2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ − s ( n 1/2)<br />
2<br />
0 nn ( 1) i<br />
⎜ + + ⎟<br />
⎛ + ⎞<br />
ω0<br />
gnTE<br />
= ∑ sen 0e ⎝<br />
⎠<br />
⎜<br />
ϕ<br />
I1( Q)<br />
n=<br />
1<br />
n + 1/2<br />
⎟<br />
(3. 190)<br />
⎝ ⎠<br />
os<br />
2<br />
m 1 ⎛ρ<br />
2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ i<br />
−<br />
0<br />
s ( n 1/2)<br />
2<br />
m 1⎛<br />
∓ ϕ − + +<br />
± −ie<br />
⎞ ⎜ ⎟<br />
0 2i<br />
0<br />
gnTE e<br />
⎝ω<br />
⎠⎡<br />
∓ ϕ<br />
= ∑<br />
Im− 1( Q) −e Im+<br />
1( Q)<br />
⎤ (3. 191)<br />
nm , = 1<br />
i ⎜n+<br />
1/2⎟ ⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠<br />
No caso particular <strong>em</strong> que o foco se desloca ape<strong>na</strong>s <strong>na</strong> direção x,<br />
0 0<br />
m<br />
g n ’s são <strong>da</strong>dos por:<br />
2<br />
⎛ρ<br />
2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ − s ( n 1/2)<br />
2<br />
0 nn ( 1) i<br />
⎜ + + ⎟<br />
⎛ + ⎞ ω0<br />
gnTM<br />
= ∑ e ⎝<br />
⎠<br />
⎜ I1<br />
( Q)<br />
n=<br />
1<br />
n + 1/2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
(3. 192)<br />
ϕ = e ρ 0 = x0,<br />
2<br />
m 1 ⎛ρ<br />
2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ i<br />
−<br />
0<br />
s ( n 1/2)<br />
2<br />
m<br />
⎛<br />
∓ ϕ − + +<br />
−ie<br />
⎞ ⎜ ⎟<br />
ω0<br />
gnTM = e<br />
⎝<br />
⎠<br />
∑<br />
⎡Im− 1( Q) Im+<br />
1( Q)<br />
⎤<br />
⎜ +<br />
nm , = 1<br />
n + 1/2⎟ ⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠<br />
(3. 193)<br />
0<br />
nTE<br />
g = 0 (3. 194)<br />
2<br />
m 1 ⎛ρ<br />
2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ i<br />
−<br />
0<br />
s ( n 1/2)<br />
2<br />
m 1⎛<br />
∓ ϕ − + +<br />
± −ie<br />
⎞ ⎜ ⎟<br />
ω0<br />
gnTE = e<br />
⎝<br />
⎠<br />
∑<br />
⎡Im− 1( Q) −Im+<br />
1( Q)<br />
⎤<br />
nm , = 1<br />
i ⎜n+<br />
1/2⎟ ⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠<br />
(3. 195)<br />
Já para deslocamentos ao longo do eixo y, ϕ π<br />
0 = e<br />
2<br />
ρ 0 = y0:<br />
0<br />
nTM<br />
g = 0 (3. 196)<br />
2<br />
m 1 ⎛ρ<br />
2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ i<br />
−<br />
0<br />
s ( n 1/2)<br />
2<br />
m<br />
⎛<br />
∓ ϕ − + +<br />
−ie<br />
⎞ ⎜ ⎟<br />
ω0<br />
gnTM = e<br />
⎝<br />
⎠<br />
∑<br />
⎡Im− 1( Q) Im+<br />
1( Q)<br />
⎤<br />
⎜ −<br />
nm , = 1<br />
n + 1/2⎟ ⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠<br />
(3. 197)”<br />
2<br />
⎛ ρ 2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ − s ( n 1/2)<br />
2<br />
0 nn ( 1) i<br />
⎜ + + ⎟<br />
⎛ + ⎞ ω0<br />
gnTE<br />
= ∑ e ⎝<br />
⎠<br />
⎜ I1<br />
( Q)<br />
n=<br />
1<br />
n + 1/2<br />
⎟<br />
(3. 198)<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
m 1 ⎛ρ<br />
2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
∞ i<br />
−<br />
0<br />
s ( n 1/2)<br />
2<br />
m 1⎛<br />
∓ ϕ − + +<br />
± −ie<br />
⎞ ⎜ ⎟<br />
ω0<br />
gnTE = e<br />
⎝<br />
⎠<br />
∑<br />
⎡Im− 1( Q) + Im+<br />
1( Q)<br />
⎤<br />
nm , = 1<br />
i ⎜n+<br />
1/2⎟ ⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠<br />
(3. 199)<br />
Com os coeficientes g’s t<strong>em</strong>os a expansão dos campos elétrico e magnético <strong>em</strong><br />
on<strong>da</strong>s parciais:<br />
<br />
E ( g M ig N )<br />
∞<br />
n 1 n 1<br />
i = ∑ mTE omn − mTM <strong>em</strong>n<br />
nm ,<br />
<br />
( ) (3. 200)<br />
∞<br />
k<br />
e<br />
n 1 n 1<br />
Hi =− ∑ gmTMM<strong>em</strong>n + igmTENomn<br />
µω<br />
nm ,<br />
116
A expansão dos campos espalhados é obti<strong>da</strong> multiplicando os fatores de forma<br />
m<br />
g n pelos coeficientes de Mie,<br />
n<br />
m<br />
nTM<br />
ag e<br />
n<br />
m<br />
nTE<br />
bg .<br />
3.2.4. Seções de Choque<br />
m<br />
n<br />
Com os fatores de forma g ´ s do feixe pod<strong>em</strong>os calcular as seções de choque e<br />
eficiências para as forças de pressão de radiação exerci<strong>da</strong>s por pinças ópticas <strong>em</strong><br />
partículas esféricas. Entretanto, se o cálculo <strong>da</strong> eficiência para a on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>, s<strong>em</strong> a<br />
inclusão dos m´s, exigiu algumas pági<strong>na</strong>s de álgebra, um feixe geral vai requerer muito<br />
mais. Pod<strong>em</strong>os obter de forma geral as diferentes seções de choque e eficiências <strong>em</strong><br />
termos dos fatores de forma e para tanto será necessário utilizar inúmeras relações de<br />
recorrência e integrais. Felizmente todo esse desenvolvimento já foi feito por diferentes<br />
autores e está disponível <strong>na</strong> literatura [45, 46, 41]. Comparamos as fórmulas dos<br />
diferentes trabalhos para detectar algum erro que tenha passado desapercebido, mas<br />
todos eles chegaram ao mesmo resultado. As expressões para as seções de choque para<br />
as componentes x, y e z <strong>da</strong> força de captura <strong>da</strong> pinça óptica são <strong>da</strong><strong>da</strong>s por:<br />
( n p )<br />
( n−<br />
p ) !<br />
2 ∞ n<br />
λ ⎛ 1 + 1 + !<br />
* * p p*<br />
Cpr, z = ∑∑<br />
× Re[( a<br />
2<br />
n + an+ 1 −2 a<strong>na</strong>n+ 1 ) gnTM ,<br />
gn+<br />
1, TM<br />
π ⎜<br />
n= 1 p=−n⎝<br />
( n + 1)<br />
(3.201)<br />
* * p p*<br />
2n<br />
+ 1 ( n+<br />
p ) !<br />
⎞<br />
* * p p<br />
+ ( bn + bn+ 1 − 2 bnbn+ 1 ) gnTE ,<br />
gn+<br />
1, TE] + p × Re[ i(2 a )<br />
2 2<br />
nbn −an −bn<br />
gnTM ,<br />
gnTE<br />
,<br />
] ⎟<br />
n ( n+<br />
1) ( n−<br />
p ) !<br />
⎠<br />
para a componente z, e<br />
2<br />
∞ ∞ ∞<br />
λ ( n+<br />
p)! p−1 −p p−1<br />
−p<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
C = ∑∑ ∑ × [( Smn , + Snm , −2Umn , − 2 Unm , ) × ⎜ δ<br />
2 mn , + 1 − δ<br />
2 nm , + 1⎟+<br />
2 π<br />
p= 1n= p m= p−1≠0( n− p)!<br />
⎝ m n ⎠ (3. 202)<br />
2n<br />
+ 1<br />
p−1 −p p−1<br />
−p<br />
×δ<br />
2 2 nm , ( Tmn , −Tnm , − 2Vmn , + 2 Vnm<br />
, )]<br />
n ( n+<br />
1)<br />
onde, C , = Re[ C]<br />
é a seção de choque para a componente x e C , = Im[ C]<br />
para a<br />
pr x<br />
componente y, com as seguintes definições:<br />
p * p p+ 1* * p p+<br />
1*<br />
nm , = n m nTM , mTM ,<br />
+ n m nTE , mTE ,<br />
U a a g g b b g g<br />
pr y<br />
p * p p+ 1* * p p+<br />
1*<br />
nm , = n m nTE , mTM ,<br />
− n m nTM , mTE ,<br />
V ib a g g ia b g g<br />
117
p<br />
* p p+ 1* * p p+<br />
1*<br />
nm , = ( n+ m) nTM , mTM ,<br />
+ ( n+<br />
m)<br />
nTE , mTE ,<br />
S a a g g b b g g<br />
p<br />
* p p+ 1* * p p+<br />
1*<br />
nm , ( n m) nTE , mTM ,<br />
( n m)<br />
nTM , mTE ,<br />
T = i b + a g g − i a + b g g (3. 203)<br />
Utilizando os fatores de forma obtidos para os feixes gaussianos, os coeficientes<br />
de Mie e as seções de choque acima pod<strong>em</strong>os comparar nossos resultados<br />
experimentais com os cálculos teóricos.<br />
3.2.5 Resultados<br />
3.2.5.1 Espectroscopia de Força para Feixes Focalizados<br />
Nessa experiência a orig<strong>em</strong>, o centro <strong>da</strong> microesfera, é defini<strong>da</strong> pela posição do<br />
foco do laser de Nd:YAG. A força que estamos estu<strong>da</strong>ndo é gera<strong>da</strong> pelo laser de<br />
Ti:Safira cw focalizado <strong>na</strong> bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> microesfera mas com a mesma posição vertical do<br />
Nd:YAG. Dessa forma asseguramos experimentalmente a condição z 0 = 0 utiliza<strong>da</strong> nos<br />
cálculos acima. Em relação aos modelos teóricos, nossos resultados experimentais<br />
fornec<strong>em</strong> um valor proporcio<strong>na</strong>l à seção de choque para força óptica <strong>em</strong> função do<br />
comprimento de on<strong>da</strong> de um feixe polarizado <strong>na</strong> direção x focalizado <strong>em</strong> três posições<br />
diferentes ( R , 0,<br />
0)<br />
, ( 0, , 0)<br />
R e (( RR , ,0)/ 2)<br />
Capítulo 2 apresentamos detalhes do procedimento experimental.<br />
118<br />
, onde R é o raio <strong>da</strong> partícula. No<br />
É importante salientar que os nossos resultados para o feixe focalizado <strong>na</strong>s 3<br />
posições <strong>da</strong> bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> microesfera foram todos obtidos com a mesma microesfera. Isso<br />
foi possível porque nossa pinça é capaz de manter a partícula aprisio<strong>na</strong><strong>da</strong> por horas,<br />
uma vez que ca<strong>da</strong> espectro d<strong>em</strong>an<strong>da</strong>va mais de 30 minutos. Mesmo assim, foi<br />
necessário repetir o experimento algumas vezes, pois quando ocorria uma colisão com<br />
outras microesferas <strong>em</strong> volta, ou a partícula inicialmente presa escapava ou as duas<br />
microesferas ficavam presas conjuntamente. Isso chegou a ocorrer nos últimos minutos<br />
<strong>da</strong> última medi<strong>da</strong> invali<strong>da</strong>ndo 2 horas de medi<strong>da</strong>s já adquiri<strong>da</strong>s. Resolv<strong>em</strong>os esse<br />
probl<strong>em</strong>a diminuindo bastante a concentração <strong>da</strong>s microesferas e, com isso, a
probabili<strong>da</strong>de de colisão. Além disso, um outro ponto fun<strong>da</strong>mental nessa medi<strong>da</strong> é o<br />
acoplamento <strong>da</strong>s ressonâncias, não basta colocar o laser <strong>na</strong> bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> partícula para<br />
observarmos os “MDR modes”. Existe uma posição ótima para a qual eles são<br />
excitados. O procedimento para encontrar essa posição foi: 1. focalizar o feixe <strong>na</strong> bor<strong>da</strong><br />
<strong>da</strong> partícula e fazer um espectro ape<strong>na</strong>s <strong>na</strong> região de um pico; 2. mu<strong>da</strong>r lev<strong>em</strong>ente a<br />
posição do laser e obter outro espectro. 3. repetir esses passos até maximizar a<br />
intensi<strong>da</strong>de do picos 4. refazer o mesmo procedimento para to<strong>da</strong>s as situações<br />
estu<strong>da</strong><strong>da</strong>s. O t<strong>em</strong>po total <strong>da</strong>s medi<strong>da</strong>s <strong>em</strong> uma mesma microesfera foi de quase 4 horas.<br />
Esses são os resultados apresentados nessa Tese.<br />
Com o programa de on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> encontramos o raio <strong>da</strong> microesfera utiliza<strong>da</strong><br />
através <strong>da</strong> comparação entre os picos teóricos e experimentais, assim como foi feito <strong>na</strong><br />
seção 3.1.8. Usando, novamente, as relações de dispersão <strong>da</strong> água e do poliestireno de<br />
Bat<strong>em</strong>an chegamos ao raio de 4.66 µm.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u)<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u)<br />
710 720 730 740 750<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
710 720 730 740 750<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
a. b.<br />
Figura 72. Espectro obtido com o feixe focalizado <strong>na</strong> posição a. ( R, 0, 0)<br />
e b. ( 0, R, 0)<br />
.<br />
Esse será portanto o valor do raio <strong>da</strong> microesfera utilizado no cálculo <strong>da</strong>s forças<br />
com feixe localizado <strong>na</strong>s bor<strong>da</strong>s, no formalismo do feixe gaussiano focalizado <strong>da</strong>s<br />
seções 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.5 para as três posições do foco do Ti:Safira. Para calcular a força<br />
no caso do feixe focalizado escrev<strong>em</strong>os o programa no Math<strong>em</strong>atica (apêndice 2). Como<br />
se pode ver, o programa é quase todo escrito <strong>na</strong> forma algébrica, o que permite<br />
entender facilmente sua estrutura. Entretanto, foi necessário usar um pequeno truque<br />
119
para evitar que o programa voltasse a calcular os mesmos coeficientes de Mie a ca<strong>da</strong><br />
passo, o que o tor<strong>na</strong>va d<strong>em</strong>asia<strong>da</strong>mente lento. Para isso incluímos comandos do tipo<br />
an[n_, λ_]:= (an[n, λ] = an[n, mn[λ], xa[λ]]); Table [an[n, λ], {n, 0, 100}, {λ, 0.71, 0.760}]. As<br />
Figura 72 a e b apresentam os resultados experimentais comparados aos resultados<br />
teóricos para o feixe focalizado <strong>em</strong> ( R, 0,<br />
0)<br />
e( 0, , 0)<br />
120<br />
R .<br />
Percebe‐se claramente como os resultados experimentais desses gráficos são<br />
diferentes dos resultados obtidos para on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> <strong>da</strong> Figura 67 <strong>em</strong> que os picos<br />
aparec<strong>em</strong> <strong>em</strong> duplas. Ficou claro que para o feixe focalizado estamos excitando<br />
seletivamente os modos TE e TM, <strong>em</strong> ca<strong>da</strong> um dos casos, e os picos de ca<strong>da</strong> um desses<br />
modos aparec<strong>em</strong> isola<strong>da</strong>mente. A idéia intuitiva sobre essas situações é mostra<strong>da</strong> <strong>na</strong><br />
Figura 73. Com o foco <strong>na</strong> posição ( , 0,<br />
0)<br />
e ape<strong>na</strong>s os modos TM são excitados. Já <strong>na</strong> posição ( 0, , 0)<br />
R só o campo elétrico t<strong>em</strong> componente radial<br />
R só o campo magnético t<strong>em</strong><br />
componente radial e só os modos TE são excitados. Quando se excita com uma on<strong>da</strong><br />
pla<strong>na</strong> que incide sobre to<strong>da</strong> a partícula haverá excitação dos modos TM devido aos<br />
raios incidentes ao longo de x e dos modos TE devido aos raios incidentes <strong>na</strong> direção y,<br />
exibindo a estrutura característica de picos duplos observa<strong>da</strong>.<br />
H H <br />
H E H <br />
E H <br />
a E b c<br />
H <br />
E E E <br />
Figura 73. Campos elétrico e magnético para o feixe é focalizado <strong>na</strong> posição a. ( R, 0, 0)<br />
e b.<br />
( 0, R, 0)<br />
. c. on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>.<br />
Essa mesma idéia é d<strong>em</strong>onstra<strong>da</strong> no caso <strong>em</strong> que o feixe é focalizado <strong>na</strong> posição<br />
(( RR , ,0)/ 2)<br />
, conforme representado <strong>na</strong> Figura 74.<br />
Figura 74. Campos elétrico e magnético quando o feixe é focalizado <strong>na</strong> posição (( RR , ,0)/ 2)<br />
.<br />
H <br />
E
Neste caso, tanto o campo elétrico quanto o magnético possu<strong>em</strong> componentes<br />
radiais, logo ambos os modos, TE e TM, serão excitados. Isso é confirmado pelos nossos<br />
resultados tanto experimentais quanto teóricos apresentados <strong>na</strong> Figura 75.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
712 722 732 742 752<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 75. Espectro obtido com o feixe focalizado <strong>na</strong> posição (( RR , ,0)/ 2)<br />
.<br />
A Figura 76 faz uma sín<strong>tese</strong> de todos esses resultados mostrando os quatro<br />
espectros, teórico de on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>, e focalizados ( R , 0,<br />
0)<br />
, ( 0, , 0)<br />
mesmo gráfico.<br />
R e (( , ,0)/ 2)<br />
RR no<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
710 725 740 755<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 76. Sín<strong>tese</strong> dos resultados. Na seqüência de cima para baixo: on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>, focalizado <strong>em</strong><br />
( R, 0, 0)<br />
e ( 0 R 0)<br />
, , , focalizado <strong>em</strong> (( , ,0)/ 2)<br />
RR .<br />
Os <strong>da</strong>dos teóricos se ajustaram muito b<strong>em</strong> aos experimentais para um total de 16<br />
picos observados <strong>na</strong> mesma microesfera. Os respectivos coeficientes<br />
a<br />
n<br />
e<br />
b<br />
n<br />
responsáveis pelos modos vão de a<br />
56<br />
e b<br />
56<br />
até a<br />
59<br />
e b<br />
59<br />
. Os coeficientes<br />
a<br />
n<br />
são<br />
referentes ao modo TM e os<br />
b<br />
n<br />
ao modo TE. Esses resultados d<strong>em</strong>onstram o papel<br />
121
fun<strong>da</strong>mental <strong>da</strong> polarização para as ressonâncias de Mie e comprovam as previsões do<br />
modelo teórico do feixe gaussiano. Acreditamos que essa concordância d<strong>em</strong>onstra tanto<br />
a quali<strong>da</strong>de do modelo teórico quanto do experimento <strong>em</strong> si. Essa comparação seria<br />
impossível se ca<strong>da</strong> espectro tivesse sido obtido com partículas diferentes. Menos ain<strong>da</strong><br />
se nossa pinça óptica fosse incapaz de segurar uma partícula por horas segui<strong>da</strong>s, s<strong>em</strong><br />
mencio<strong>na</strong>r a idéia de utilizar a própria ultrasensibili<strong>da</strong>de <strong>da</strong> pinça para medir forças<br />
ópticas ultrapeque<strong>na</strong>s.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u)<br />
1 8 15 22 29<br />
valor de p<br />
Figura 77. Gráfico de F x <strong>em</strong> função de p.<br />
Na comparação modelo teórico versus resultados experimentais observamos<br />
alguns fatos. A idéia intuitiva de um raio passando pela bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> partícula, conforme<br />
mostra a Figura 24 do capítulo 2, indica que a força terá componentes tanto <strong>na</strong> direção<br />
horizontal, x e/ou y, quanto <strong>na</strong> vertical z. Por isso nosso programa somou <strong>em</strong><br />
quadratura<br />
+ + as diferentes seções choque. Para o caso ( , 0,<br />
0)<br />
F F F<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
R só F x e F z ,<br />
para o caso ( 0, , 0)<br />
R só F y e F z e as três para o ângulo de 45º. Notamos que as forças<br />
<strong>em</strong> z <strong>na</strong> bor<strong>da</strong> têm a mesma ord<strong>em</strong> <strong>da</strong>s forças no plano. Para decidir o limite para os<br />
valores de p utilizados no cálculo <strong>da</strong> força horizontal, fixamos o comprimento e o raio<br />
<strong>na</strong>s condições de ressonância e calculamos a força <strong>em</strong> função de p, assim como<br />
pod<strong>em</strong>os ver <strong>na</strong> Figura 77. Perceb<strong>em</strong>os então que a força converge até p <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de<br />
15. Observamos que espectros com p = 15 e p = 30 não difer<strong>em</strong>.<br />
Outro aspecto que merece discussão é o papel do “spot size” <strong>em</strong> relação ao raio<br />
<strong>da</strong> partícula para a excitação seletiva dos modos TE e TM. Conforme mostra a Figura 78<br />
122
para o caso de um feixe focalizado no eixo x, à medi<strong>da</strong> que o spot size <strong>em</strong> relação ao<br />
tamanho <strong>da</strong> partícula aumenta, aumenta a excitação do modo TE, pois diferentes<br />
regiões do feixe terão componentes de H <strong>na</strong> direção radial. Ape<strong>na</strong>s no limite <strong>em</strong> que o<br />
“spot size” vai a zero é possível suprimir <strong>completa</strong>mente um dos modos. É difícil medir<br />
o “spot size” do laser, que, no nosso caso, foi ajustado para os melhores resultados, com<br />
valor de ω 0 <strong>em</strong> torno de 0.4 – 0.5 µm (ou seja <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> do comprimento de on<strong>da</strong>),<br />
muito bom do ponto de vista experimental.<br />
H <br />
E <br />
H <br />
E <br />
Figura 78. O tamanho do “spot size” e os modos de ressonância.<br />
Chegamos a tentar observar as ressonâncias largas de Fabry‐Perot existentes<br />
quando o foco incide b<strong>em</strong> no centro <strong>da</strong> partícula devido à interferência entre as<br />
múltiplas reflexões previstas <strong>na</strong> Tese de Mazzolli [27] e já observados por Ashkin no<br />
experimento de levitação. Entretanto, essas ressonâncias são muito mais largas do que<br />
as ressonâncias de Mie aqui observa<strong>da</strong>s, e sua profundi<strong>da</strong>de de modulação depende<br />
fort<strong>em</strong>ente do coeficiente de reflexão. Para incidência normal a reflexão é <strong>da</strong><strong>da</strong> por<br />
R =<br />
n<br />
− n<br />
1 2 2<br />
[ ]<br />
n1+<br />
n2<br />
, e cai muito com a diferença entre os dois índices de refração. Ashkin<br />
usava microesferas de óleo com n = 1, 6 <strong>em</strong>bebi<strong>da</strong>s no ar, com n = 1, enquanto nós<br />
usamos microesferas de poliestireno n = 1, 6 <strong>em</strong>bebi<strong>da</strong> <strong>em</strong> água com n = 1, 3 , com uma<br />
refletivi<strong>da</strong>de muito menor. Por isso nossa medi<strong>da</strong> ficou dentro do ruído. Sequer t<strong>em</strong>os a<br />
opção de aumentar d<strong>em</strong>ais a diferença de índices de refração pois perderíamos a pinça<br />
óptica. A única chance de fazer essa observação seria utilizar um material com baixo<br />
índice de refração para o laser <strong>da</strong> pinça <strong>em</strong> 1064 nm mas muito alto para o laser de<br />
123
Ti:Safira. Materiais s<strong>em</strong>icondutores pod<strong>em</strong> apresentar esse comportamento, pois o<br />
índice de refração cresce muito para comprimentos de on<strong>da</strong> abaixo do gap óptico.<br />
Faltou entretanto a microesfera dos mesmos. Um material ideal seria o GaAs.<br />
3.2.5.2 Medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> Força Óptica <strong>em</strong> Função do Deslocamento Centro‐Foco e <strong>da</strong><br />
Polarização<br />
A montag<strong>em</strong> do experimento de Espectroscopia Ultrasensível de Força abriu a<br />
perspectiva de usá‐la <strong>em</strong> um experimento ultrasensível de medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> força <strong>da</strong> própria<br />
pinça óptica, usando outra pinça óptica. Experiências de medi<strong>da</strong> de força <strong>da</strong> pinça<br />
óptica e comparações com modelos teóricos tradicio<strong>na</strong>lmente envolveram calibrações<br />
através de modelos hidrodinâmicos ou uso de movimento Browniano. Como ver<strong>em</strong>os<br />
no capítulo 5, modelos hidrodinâmicos <strong>em</strong> baixos números de Reynolds <strong>na</strong> presença<br />
inevitável de paredes estão longe de total consenso, mesmo entre os especialistas <strong>na</strong><br />
matéria. Probl<strong>em</strong>as seculares nessa área estão sendo revisitados <strong>em</strong> publicações do<br />
século XXI. Isso significa que essas calibrações, no mínimo, representam testes de<br />
modelos contra modelos. Com esses resultados obtidos nessa seção é possível testar<br />
vários modelos e diferenciá‐los com base <strong>em</strong> detalhes tão pequenos que jamais seriam<br />
detectados com medi<strong>da</strong>s de ape<strong>na</strong>s valores numéricos. Um ex<strong>em</strong>plo disso são as<br />
oscilações que aparec<strong>em</strong> <strong>na</strong>s curvas que ir<strong>em</strong>os mostrar.<br />
As Figura 79 a e b e Figura 80 a e b apresentam os <strong>da</strong>dos experimentais. To<strong>da</strong>s<br />
elas foram realiza<strong>da</strong>s para o foco <strong>em</strong> z 0 = 0 , <strong>da</strong> mesma forma que <strong>na</strong>s medi<strong>da</strong>s de<br />
espectroscopia de força. A diferença nesse caso é que medimos a força <strong>em</strong> função <strong>da</strong><br />
posição do foco para um comprimento de on<strong>da</strong> fixo, 1064 nm do laser de Nd:YAG, que<br />
variou continuamente, com passos de 0.1 µm, de zero até cerca de 8 µm. Conforme<br />
descrito no capítulo 2, as potências do feixe para as polarizações horizontais e verticais<br />
foram calibra<strong>da</strong>s para ser<strong>em</strong> iguais após a objetiva, de modo a permitir comparações<br />
entre as forças medi<strong>da</strong>s para movimentos paralelos e perpendiculares à polarização.<br />
Nas medi<strong>da</strong>s <strong>da</strong>s Figura 79 a e Figura 80 a, o movimento <strong>da</strong> partícula foi perpendicular<br />
124
à polarização do laser, enquanto <strong>na</strong>s Figura 79 b e Figura 80 b foi paralelo à polarização<br />
do laser.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
deslocamento (µm)<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
deslocamento (µm)<br />
Figura 79. Dados experimentais para partículas de raio de 4.5 µm a. movimento perpendicular a<br />
polarização b. movimento paralelo a polarização.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
deslocamento (µm)<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
deslocamento (µm)<br />
Figura 80. Dados experimentais para partículas de raio de 4.5 µm a. movimento perpendicular a<br />
polarização b. movimento paralelo a polarização.<br />
Para obter as curvas teóricas só foi necessário inverter o programa escrito para a<br />
espectroscopia de força fixando o comprimento de on<strong>da</strong> e variando a posição do foco<br />
do laser, mas utilizando as mesmas expressões para as forças <strong>na</strong>s direções horizontal e<br />
vertical. Também aqui somamos vetorialmente a força <strong>na</strong> direção z. Vale a pe<strong>na</strong><br />
ressaltar que nossas medi<strong>da</strong>s são sensíveis às variações de posição <strong>da</strong> microesfera,<br />
independent<strong>em</strong>ente <strong>da</strong> direção desse movimento, de modo que n<strong>em</strong> a medi<strong>da</strong> n<strong>em</strong> o<br />
modelo estão diferenciando se o movimento é para cima ou para baixo, ou para fora do<br />
centro ou <strong>na</strong> direção do centro <strong>da</strong> partícula. Isso significa que oscilações que passariam<br />
de valores positivos para negativos aparecerão como lóbulos positivos ape<strong>na</strong>s. As<br />
Figura 81 a e b mostram os gráficos teóricos <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> força <strong>em</strong> função do<br />
deslocamento. Na Figura 81 a o deslocamento do foco é perpendicular à polarização e<br />
125
<strong>na</strong> Figura 81 b é paralelo à polarização. Comparando to<strong>da</strong>s as imagens, notamos que as<br />
medi<strong>da</strong>s <strong>da</strong>s Figura 79 a, Figura 80 a estão de acordo a Figura 81 a e as <strong>da</strong>s Figura 79 b e<br />
Figura 80 b estão de acordo com a Figura 81 b.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
deslocamento (µm)<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
deslocamento (µm)<br />
Figura 81. Dados teóricos a. movimento perpendicular a polarização<br />
b. movimento paralelo a polarização.<br />
Tanto os resultados experimentais quanto os teóricos nos levam à conclusão de<br />
que a força óptica t<strong>em</strong> uma anisotropia azimutal que depende <strong>da</strong> direção do<br />
movimento <strong>da</strong> partícula <strong>em</strong> relação à polarização do feixe. Essa assimetria se tor<strong>na</strong> mais<br />
pronuncia<strong>da</strong> quando o foco do laser se aproxima <strong>da</strong> bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> microesfera, ou seja, <strong>em</strong><br />
situações de forças grandes e no limiar de escape <strong>da</strong> partícula. Na Figura 82, pod<strong>em</strong>os<br />
observar que a força óptica <strong>na</strong> partícula que se movimenta paralelamente à polarização<br />
do laser é consideravelmente maior do que a força <strong>da</strong> partícula que se movimenta <strong>na</strong><br />
direção perpendicular. Esse fato faz sentido considerando que a reflexão para a<br />
polarização s é s<strong>em</strong>pre maior do que a reflexão para a polarização p. Também notamos<br />
que o valor máximo <strong>da</strong> força ocorre <strong>em</strong> torno de r ~ 4 µm para uma partícula de raio R ~<br />
4.5 µm, ou seja, o pico <strong>da</strong> força não acontece exatamente <strong>na</strong> bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> partícula. Também<br />
faz sentido do ponto de vista intuitivo se consideramos que a largura do feixe era <strong>da</strong><br />
ord<strong>em</strong> de 0,5 µm. Isso significa que ao chegar à essa distância <strong>da</strong> bor<strong>da</strong> parte do feixe<br />
incidirá fora <strong>da</strong> partícula, não sendo desvia<strong>da</strong>.<br />
126
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
perpendicular<br />
paralela<br />
4.5<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
deslocamento (µm)<br />
Figura 82. Dados teóricos, preto: movimento perpendicular a polarização, vermelho:<br />
movimento paralelo a polarização.<br />
Simulamos esses resultados também com o modelo de óptica geométrica descrito<br />
no capítulo 5 , conforme pod<strong>em</strong>os ver <strong>na</strong> Figura 83. Nesse caso não foi possível calcular<br />
a força para distâncias do foco maiores do que o raio <strong>da</strong> partícula, como obtidos<br />
experimentalmente e simulados nos cálculos eletromagnéticos. Uma forma usual de<br />
medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> força <strong>da</strong> pinça óptica é a medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> força de escape <strong>da</strong> armadilha óptica.<br />
Nossos resultados indicam que esses são exatamente os casos mais perigosos do ponto<br />
de vista dos modelos. Primeiro porque é exatamente para deslocamentos próximo <strong>da</strong><br />
bor<strong>da</strong> onde ocorr<strong>em</strong> as maiores divergências entre os modelos de óptica geométrica e o<br />
cálculo eletrodinâmico completo. Segundo porque as anisotropias são maiores também<br />
nessa situação. No caso do movimento de um microorganismo modelado como uma<br />
esfera seria necessário observar se o escape se deu <strong>na</strong> direção paralela ou perpendicular<br />
à polarização do laser, s<strong>em</strong> falar <strong>da</strong> direção vertical. Terceiro porque essas medi<strong>da</strong>s<br />
assum<strong>em</strong> que a posição do foco no escape é igual ao raio <strong>da</strong> partícula, o que não é<br />
ver<strong>da</strong>de e pode representar um erro de mais de 10%. Em último porque é exatamente<br />
para o feixe focalizado <strong>na</strong>s bor<strong>da</strong>s que se excitam as ressonâncias de Mie, de forma<br />
anisotrópica, caso o comprimento de on<strong>da</strong> do laser coinci<strong>da</strong> com uma delas. Conforme<br />
pod<strong>em</strong>os ver através <strong>da</strong> Figura 72 isto pode levar a um aumento <strong>da</strong> força de até 50%.<br />
127
Entretanto, o acoplamento <strong>na</strong> ressonância pode ser facilmente destruído pois é bastante<br />
sensível à posição e às oscilações <strong>da</strong> partícula.<br />
0.35<br />
0.3<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
0.25<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
polarização paralela<br />
polarização perpendicular<br />
1 2 3 4 5<br />
posição (µm)<br />
Figura 83. Dados teóricos obtidos através <strong>da</strong> óptica geométrica.<br />
Um aspecto que nos pareceu muito interessante, e para o qual devotamos grande<br />
esforço nos assegurando que não se tratava de qualquer artefato <strong>na</strong>s medi<strong>da</strong>s<br />
experimentais, foram as várias oscilações que aparec<strong>em</strong> quando o foco se aproxima e<br />
ultrapassa a bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> partícula. São b<strong>em</strong> mais intensas para a polarização<br />
perpendicular ao movimento e a Figura 80 (experimental) exibe pelo menos três dessas<br />
oscilações b<strong>em</strong> distintas após o foco do laser ultrapassar a bor<strong>da</strong> <strong>da</strong> partícula. Além<br />
disso percebe‐se que essas oscilações se iniciam antes de atingir a bor<strong>da</strong>. A princípio<br />
acreditávamos que as simulações com feixe puramente gaussiano não seriam capazes<br />
de mostrar essas oscilações, mas os resultados <strong>da</strong> Figura 81 comprovam que isso não é<br />
ver<strong>da</strong>de. Entretanto, essas oscilações n<strong>em</strong> são tão pronuncia<strong>da</strong>s e n<strong>em</strong> tantas quanto as<br />
<strong>da</strong> curva experimental. Nesse ponto acreditamos que é necessário considerar os efeitos<br />
<strong>da</strong> abertura <strong>da</strong> objetiva <strong>na</strong> difração do feixe incidente. Dois casos limites nos chamam a<br />
atenção: (1) o feixe gaussiano do laser não preenche <strong>completa</strong>mente a abertura <strong>da</strong><br />
entra<strong>da</strong> <strong>da</strong> objetiva e será um feixe gaussiano puro <strong>na</strong> região <strong>da</strong> imag<strong>em</strong>; (2) o feixe<br />
gaussiano preenche <strong>completa</strong>mente essa abertura com intensi<strong>da</strong>de constante <strong>em</strong> to<strong>da</strong><br />
sua área. Nesse caso forma‐se o padrão típico de difração de Airy no foco do laser,<br />
128
J1(kr)/kr, com um máximo central seguido dos anéis à sua volta. Nesse caso<br />
observaríamos uma oscilação ca<strong>da</strong> vez que um dos anéis extrapolasse a bor<strong>da</strong> <strong>da</strong><br />
partícula. Experimentalmente sab<strong>em</strong>os que estamos entre esses dois casos, pois toma‐se<br />
o cui<strong>da</strong>do de preencher <strong>completa</strong>mente a objetiva para garantir sua alta abertura<br />
numérica, com a contraparti<strong>da</strong> de uma per<strong>da</strong> parcial de potência. Entretanto, evitamos<br />
o limite <strong>em</strong> que o feixe do laser t<strong>em</strong> uma área muito maior do que a abertura para não<br />
perder tanta potência. Isso significa que haverá efeitos <strong>da</strong> difração mas a potência do<br />
laser incidente não é uniforme <strong>em</strong> to<strong>da</strong> a abertura de entra<strong>da</strong> <strong>da</strong> objetiva. Essa situação<br />
só pode ser simula<strong>da</strong> adotando a representação de Richards & Wolf [42] e resolvendo<br />
diretamente as integrais que ela contém.<br />
Uma <strong>da</strong>s últimas correções que poderiam ser introduzi<strong>da</strong>s no modelo seria a <strong>da</strong>s<br />
aberrações. Entretanto, não acreditamos que a estratégia de utilizar o modelo mais<br />
simples capaz de explicar nossos resultados experimentais tenha atingido esse limite.<br />
Sab<strong>em</strong>os que as correções <strong>da</strong>s aberrações esféricas <strong>da</strong>s objetivas dos microscópios são<br />
necessariamente muito boas para garantir uma boa imag<strong>em</strong>. Entretanto, essas correções<br />
são feitas para a região do visível e não do infravermelho. Portanto, não seria<br />
surpreendente se essas correções foss<strong>em</strong> necessárias.<br />
129
130
Capítulo 4<br />
Aplicações de Pinça Óptica com Espectroscopias<br />
Confocais<br />
4.1 Motivação<br />
Desde 1999 perceb<strong>em</strong>os quanto valor poderia ser agregado ao nosso sist<strong>em</strong>a de<br />
pinça óptica com a incorporação de técnicas espectroscópicas ou de microanálise. A<br />
idéia s<strong>em</strong>pre foi a de construir um sist<strong>em</strong>a integrando a habili<strong>da</strong>de de manipulação <strong>da</strong><br />
pinça óptica com a de caracterização <strong>da</strong>s diferentes técnicas espectroscópicas. O objetivo<br />
fi<strong>na</strong>l foi o de adquirir a possibili<strong>da</strong>de de acompanhar <strong>em</strong> t<strong>em</strong>po real, processos físicoquímicos<br />
mantendo a capaci<strong>da</strong>de de manipulá‐los. Agregando microanálise à pinça<br />
poderíamos a<strong>na</strong>lisar a composição e metabolismo de uma única célula, inclusive de<br />
células vivas <strong>em</strong> movimento. Poderíamos aproximar e afastar partículas umas <strong>da</strong>s<br />
outras, exercer tensões e forças sobre as mesmas e a<strong>na</strong>lisar as conseqüências e causas<br />
dessas manipulações.<br />
131
Um ex<strong>em</strong>plo de investigação que muito se beneficiará <strong>da</strong> capaci<strong>da</strong>de de<br />
microanálise que instalamos é o estudo de quimiotaxia de microorganismos. Esse<br />
projeto, objetivo <strong>da</strong> Tese de Mestrado de uma estu<strong>da</strong>nte do nosso grupo, vai <strong>da</strong>r<br />
continui<strong>da</strong>de aos estudos sobre o protozoário Leishmania amazonensis descrito no<br />
capítulo 5. A quimiotaxia é a resposta de organismos unicelulares frente a gradientes de<br />
concentração de substâncias atratoras ou repulsoras. Ela t<strong>em</strong> sido extensivamente<br />
estu<strong>da</strong><strong>da</strong> de dois pontos de vista: 1. como uma caixa preta <strong>na</strong> qual se observa uma<br />
resposta a um estímulo, (determi<strong>na</strong>ndo a função resposta) e 2. com modelos de<br />
funcio<strong>na</strong>mento interno <strong>da</strong> caixa preta. Nesses estudos os estímulos são a presença de<br />
gradientes de concentração <strong>da</strong>s substâncias e a resposta é a direcio<strong>na</strong>li<strong>da</strong>de no t<strong>em</strong>po<br />
dos microorganismos. Para estudos do ponto de vista <strong>da</strong> caixa preta a simples<br />
manipulação com a pinça óptica é suficiente, pois pod<strong>em</strong>os movimentar o parasita ao<br />
longo do gradiente de concentração ao mesmo t<strong>em</strong>po <strong>em</strong> que medimos a sua resposta,<br />
basicamente a intensi<strong>da</strong>de e direção <strong>da</strong>s forças com que ele responde aos estímulos<br />
externos. Exist<strong>em</strong> modelos e controvérsias sobre como todo esse processo acontece<br />
bioquimicamente [47]. O modelo padrão afirma que quando um atrator se liga ao seu<br />
receptor induz a ligação de uma proteí<strong>na</strong> a<strong>da</strong>ptadora CheW, a qual controla a ativi<strong>da</strong>de<br />
de outra proteí<strong>na</strong> CheA. Essa proteí<strong>na</strong>, por sua vez, abastece as proteí<strong>na</strong>s CheY com<br />
radicais fosfatos que se ligam ao motor flagelar induzindo uma rotação anti‐horária. O<br />
processo termi<strong>na</strong> com a desfosforilação do CheY para CheZ. A metilação <strong>da</strong>s proteí<strong>na</strong>s<br />
intracelulares é o mecanismo inibidor. Para ter acesso a informações dentro <strong>da</strong> caixa<br />
preta in vivo seria necessário acompanhar a formação dos grupos protéicos por alguma<br />
técnica de microanálise.<br />
Desejamos, portanto, incorporar à pinça óptica, técnicas de espectroscopia com<br />
resolução micrométrica para individualizar o objeto de estudo e resolução espectral<br />
para diferenciar compostos químicos diferentes. Vale a pe<strong>na</strong> notar que <strong>em</strong> uma reação<br />
química as moléculas se modificam, mas os átomos são os mesmos. Isso significa que<br />
132
espectroscopias que detectam os níveis atômicos mais internos, como fluorescência de<br />
raios‐X, não forneceriam a informação relevante para o nosso probl<strong>em</strong>a.<br />
A absorção no infravermelho t<strong>em</strong> a alta especifici<strong>da</strong>de molecular deseja<strong>da</strong>, pois é<br />
sensível aos modos vibracio<strong>na</strong>is e constantes de forças entre átomos. Entretanto, como<br />
as energias vibracio<strong>na</strong>is estão <strong>em</strong> regiões de comprimento de on<strong>da</strong> muito longo, sua<br />
resolução espacial é pobre. S<strong>em</strong> mencio<strong>na</strong>r as dificul<strong>da</strong>des com janelas, lentes, fontes de<br />
luz intensas e detectores para região acima de 3 µm. A espectroscopia Raman, no<br />
entanto, é capaz de trazer a informação dos modos vibracio<strong>na</strong>is do infravermelho para<br />
a região do visível, com resolução espacial de até 200 nm e para a qual exist<strong>em</strong><br />
fotomultiplicadoras, CCDs e fotodiodos de avalanche (APDs) supersensíveis. Outra<br />
possibili<strong>da</strong>de de extrair informações com especifici<strong>da</strong>de química é através <strong>da</strong><br />
luminescência, tanto endóge<strong>na</strong>, dos próprios componentes químicos presentes no<br />
microorganismo, quanto exóge<strong>na</strong>, através de marcadores fluorescentes que se ligam a<br />
proteí<strong>na</strong>s ou moléculas específicas.<br />
Além <strong>da</strong> capaci<strong>da</strong>de de acompanhar a bioquímica no nível microscópico também<br />
desejamos ter a capaci<strong>da</strong>de de microscopia com seletivi<strong>da</strong>de química, isto é, obter uma<br />
imag<strong>em</strong> <strong>em</strong> 2 e/ou 3 dimensões <strong>da</strong>s regiões <strong>em</strong> que determi<strong>na</strong><strong>da</strong> substância está<br />
presente. Também desejaríamos obter essas imagens <strong>em</strong> t<strong>em</strong>po real, ou seja, ser capazes<br />
de acompanhar processos bioquímicos no t<strong>em</strong>po e no espaço.<br />
Nesse aspecto houve uma grande avanço <strong>na</strong>s duas últimas déca<strong>da</strong>s com o<br />
desenvolvimento <strong>da</strong>s microscopias confocais de varredura a laser, <strong>na</strong>s quais se<br />
reconstrói uma imag<strong>em</strong> através <strong>da</strong> fluorescência de um fluoróforo <strong>em</strong> função <strong>da</strong><br />
posição do foco do laser. O advento de lasers de pulsos ultracurtos comerciais de fácil<br />
manuseio <strong>na</strong> déca<strong>da</strong> de 90, principalmente Ti:Safira, abriu a oportuni<strong>da</strong>de para técnicas<br />
de óptica não linear, ou processos de mais de um fóton, como a microscopia multifóton<br />
133
e microscopia SHG (“Second Harmonic Generation”) 4 . Perceb<strong>em</strong>os, portanto, uma<br />
dupla utili<strong>da</strong>de <strong>na</strong> incorporação de espectroscopias a pinça óptica: 1. a capaci<strong>da</strong>de de<br />
acompanhar no t<strong>em</strong>po uma informação espectroscópica <strong>em</strong> uma posição fixa no espaço;<br />
2. a capaci<strong>da</strong>de de extrair imagens com alguma seletivi<strong>da</strong>de química.<br />
4.1.1 Oportuni<strong>da</strong>de de Incorporação de Técnicas de Microanálise à Pinça Óptica<br />
Nosso grupo trabalhava <strong>em</strong> duas áreas de pesquisas com objetivos e infraestruturas<br />
experimentais com pouca superposição além do envolvimento <strong>da</strong>s mesmas<br />
pessoas. Para as pesquisas de novos materiais fotônicos de resposta ultra‐rápi<strong>da</strong><br />
tínhamos um sist<strong>em</strong>a de lasers de pulsos ultracurtos sintonizável de 750 nm até quase<br />
3000 nm, enquanto a infra‐estrutura do laboratório de pinças ópticas incluía o laser de<br />
Nd:YAG e a microscopia, <strong>em</strong> espaços físicos distintos. Entretanto, os lasers pulsados e<br />
cw são as ferramentas básicas que permit<strong>em</strong> a incorporação <strong>da</strong>s técnicas<br />
espectroscópicas lineares e não lineares à pinça óptica. Dessa forma ficou claro que um<br />
investimento ordens de grandeza abaixo do necessário para a aquisição do sist<strong>em</strong>a de<br />
lasers de pulsos ultracurtos 5 era suficiente para a incorporação <strong>da</strong> microanálise à pinça<br />
óptica. Para tanto foi necessário fundir os dois espaços físicos <strong>em</strong> um só e 4 mesas<br />
ópticas <strong>em</strong> um conjunto único para evitar desalinhamento de lasers causado pelo<br />
movimento de qualquer umas <strong>da</strong>s mesmas.<br />
4<br />
Essa microscopia é denomi<strong>na</strong><strong>da</strong> hoje por microscopia SHG porque veio <strong>da</strong> comuni<strong>da</strong>de de óptica não linear.<br />
Entretanto, o processo SHG é específico para feixes de laser e seu segundo harmônico se propagando <strong>em</strong> direções b<strong>em</strong><br />
defini<strong>da</strong>s com regras de seleção restritas. Na microscopia SHG detecta‐se, <strong>na</strong> reali<strong>da</strong>de, o espalhamento no segundo<br />
harmônico, processo conhecido como espalhamento Hiper Rayleigh. Nesse caso a denomi<strong>na</strong>ção mais adequa<strong>da</strong> seria<br />
microscopia Hiper Rayleigh.<br />
5<br />
Trata‐se de 3 lasers com preços <strong>em</strong> torno de US$ 100.000: 1 Laser de Argônio + 1 laser de Ti:Safira pulsado + 1<br />
oscilador paramétrico. Adicio<strong>na</strong>ndo US$ 40.000 para o laser de Ti:safira cw chega‐se ao custo total de US$ 340.000.<br />
134
4.1.2 Objetivos e Desafios do Trabalho Descrito nesse Capítulo<br />
Em vista do exposto, percebe‐se que nosso objetivo ao desenvolver o trabalho<br />
descrito nesse capítulo não foi o de estu<strong>da</strong>r com profundi<strong>da</strong>de as proprie<strong>da</strong>des<br />
espectroscópicas, como Raman, ou de óptica não linear, como Hiper Rayleigh ou Hiper<br />
Raman, de qualquer <strong>da</strong>s amostras com as quais obtiv<strong>em</strong>os os resultados apresentados,<br />
mas o de incorporar à pinça óptica o máximo <strong>da</strong>s técnicas de microanálise possível para<br />
d<strong>em</strong>onstrar sua viabili<strong>da</strong>de e caracterizar as performances obti<strong>da</strong>s. Os materiais foram<br />
escolhidos para caracterizar nossa instrumentação e não o inverso. Obviamente que os<br />
trabalhos futuros só farão sentido no caso inverso, usar a instrumentação para<br />
caracterizar os materiais. Portanto, no nosso caso, o desafio foi a impl<strong>em</strong>entação do<br />
sist<strong>em</strong>a experimental.<br />
Mesmo que desejáss<strong>em</strong>os e obtivéss<strong>em</strong>os todo o fi<strong>na</strong>nciamento necessário, não<br />
seria possível adquirir no mercado equipamentos comerciais com as especificações do<br />
nosso sist<strong>em</strong>a, simplesmente porque eles ain<strong>da</strong> não exist<strong>em</strong>. Exist<strong>em</strong> microscópios<br />
multifóton isolados e equipamentos de micro‐Raman isolados, mas não existe um<br />
equipamento que integre to<strong>da</strong>s essas técnicas junto com a pinça óptica <strong>em</strong> um sist<strong>em</strong>a<br />
único. Isso significa que foi necessário desenvolver do início, partindo de blocos<br />
preexistentes, um sist<strong>em</strong>a “hom<strong>em</strong>ade”. O enorme trabalho para a montag<strong>em</strong> dessa<br />
instrumentação, entretanto, foi compensado pelo fato de que estaríamos mais<br />
capacitados para a realização de medi<strong>da</strong>s diversifica<strong>da</strong>s do que os próprios especialistas<br />
<strong>em</strong> ca<strong>da</strong> área de espectroscopia no Brasil hoje.<br />
Gostaria de chamar a atenção para o fato de que para desenvolver uma<br />
instrumentação de sist<strong>em</strong>as de espectroscopia é necessário diagnosticar e encontrar<br />
uma solução para ca<strong>da</strong> artefato que surge, e não são poucos, principalmente quando<br />
adicio<strong>na</strong>dos aos artefatos <strong>da</strong> microscopia. É fácil perder a noção de quantas pessoas e<br />
horas de trabalho especializado foram necessários para sa<strong>na</strong>r ca<strong>da</strong> um dos probl<strong>em</strong>as<br />
de instrumentação quando simplesmente adquirimos um equipamento comercial.<br />
135
4.1.3 Estrutura do Capítulo<br />
Dentro do cenário exposto acima estruturamos esse capítulo através do seguinte<br />
critério: primeiro descrev<strong>em</strong>os o nosso trabalho com espectroscopias envolvendo 1<br />
fóton de excitação, no nosso caso, basicamente Raman; e <strong>em</strong> segundo tratamos <strong>da</strong>s<br />
espectroscopias que envolveram excitação por dois fótons, ou seja, luminescência<br />
excita<strong>da</strong> por absorção de dois fótons, espalhamentos Hiper Rayleigh e Hiper Raman. A<br />
descrição de ca<strong>da</strong> uma dessas espectroscopias foi a mais simples, isto é, utilizamos a<br />
representação mais intuitiva, seja ela clássica ou quântica, direcio<strong>na</strong><strong>da</strong> para os nossos<br />
objetivos que são as proprie<strong>da</strong>des deseja<strong>da</strong>s forneci<strong>da</strong>s pela técnica.<br />
4.2 Espectroscopia Raman<br />
Chandrasekhara Venkata Raman descobridor do efeito Raman <strong>na</strong>sceu <strong>na</strong> Índia<br />
<strong>em</strong> 1888 e morreu <strong>em</strong> 1970. Um dos seus mais importantes trabalhos foi sobre as cores<br />
dos oceanos, quando começou a estu<strong>da</strong>r o espalhamento <strong>da</strong> luz que resultou <strong>na</strong><br />
descoberta do efeito Raman <strong>em</strong> 1928, pelo qual recebeu o prêmio Nobel.<br />
Quando a luz incide sobre um material, ela pode ser absorvi<strong>da</strong> ou espalha<strong>da</strong>. A<br />
maior parte <strong>da</strong> luz espalha<strong>da</strong> t<strong>em</strong> a mesma freqüência <strong>da</strong> luz incidente, nesse caso<br />
t<strong>em</strong>os os chamados espalhamentos elásticos, tais como o espalhamento Rayleigh, que<br />
ocorre quando a luz é espalha<strong>da</strong> por partículas menores do que o comprimento de<br />
on<strong>da</strong>, e o espalhamento Mie, que ocorre quando a luz é difundi<strong>da</strong> por partículas iguais<br />
ou maiores que o comprimento de on<strong>da</strong>, conforme estu<strong>da</strong>mos exaustivamente no<br />
capítulo 3. To<strong>da</strong>via uma peque<strong>na</strong> fração <strong>da</strong> luz espalha<strong>da</strong> ‐ 1 entre 10 7 fótons, sofre<br />
troca de freqüência e, nesse caso, t<strong>em</strong>os a ocorrência do espalhamento inelástico. Como<br />
a energia <strong>da</strong> luz é proporcio<strong>na</strong>l à sua freqüência, a variação de freqüência <strong>da</strong> luz<br />
espalha<strong>da</strong> deve ser igual às diferenças de freqüências vibracio<strong>na</strong>is ou rotacio<strong>na</strong>is <strong>da</strong>s<br />
moléculas do material. Quando esse processo de troca de energia entre o material e a<br />
luz incidente envolve fônons ópticos, o efeito é chamado de Raman; e quando envolv<strong>em</strong><br />
fônons acústicos, de Brillouin. De um ponto de vista quântico esses efeitos pod<strong>em</strong> ser<br />
136
vistos como transições entre níveis de energia vibracio<strong>na</strong>is do estado eletrônico<br />
fun<strong>da</strong>mental de uma molécula por um processo envolvendo um fóton e um fônon,<br />
conforme representado <strong>na</strong> Figura 84. No espalhamento Stokes um fóton de energia mais<br />
alta é absorvido com a simultânea <strong>em</strong>issão de um fóton de energia mais baixa e um<br />
fônon. Já no anti‐Stokes ocorre à absorção de um fóton de energia mais baixa e de um<br />
fônon com a <strong>em</strong>issão simultânea de um fóton de energia mais alta. No efeito Raman não<br />
estimulado só são absorvidos fônons térmicos pré‐existentes, cuja população varia com<br />
a t<strong>em</strong>peratura, de modo que a intensi<strong>da</strong>de do pico Stokes é s<strong>em</strong>pre mais alta do que a<br />
do anti‐Stokes. No caso do espalhamento Stokes e anti‐Stokes, as diferenças de n o de<br />
on<strong>da</strong> entre os níveis vibracio<strong>na</strong>is, também chama<strong>da</strong> Raman Shift, são <strong>da</strong><strong>da</strong>s<br />
respectivamente por ν 1 1<br />
s =<br />
λ<br />
−<br />
λ e ν 1 1<br />
as =<br />
λ<br />
+<br />
λ , onde λ i e λ e são os comprimentos<br />
i<br />
e<br />
de on<strong>da</strong> do fóton incidente e do fóton espalhado. A intensi<strong>da</strong>de do Raman anti‐Stokes<br />
decresce exponencialmente com o aumento do Raman Shift.<br />
i<br />
estados virtuais<br />
e<br />
ω fônon<br />
níveis vibracio<strong>na</strong>is<br />
Stokes<br />
Anti Stokes<br />
Figura 84. Raman Stokes e anti‐Stokes.<br />
Já <strong>em</strong> um quadro clássico pod<strong>em</strong>os pensar o efeito Raman como a modulação de<br />
um dipolo. Para tanto consideramos uma molécula <strong>em</strong> que os núcleos estão presos <strong>em</strong><br />
uma determi<strong>na</strong><strong>da</strong> posição de equilíbrio <strong>em</strong> torno <strong>da</strong> qual vibram com freqüências<br />
baixas devido as suas grandes massas, enquanto os elétrons vibram com freqüências<br />
muito mais altas por causa <strong>da</strong>s massas 1000 vezes menor. Na situação típica de<br />
espectroscopia Raman de materiais transparentes, a freqüência <strong>da</strong> luz incidente é muito<br />
menor do que a <strong>da</strong>s ressonâncias dos elétrons e muito superior a <strong>da</strong>s vibrações dos<br />
núcleos. A resposta de um oscilador harmônico amortecido forçado com freqüências<br />
muito superiores às freqüências de ressonância cai com 1/ω 2 , mas para freqüências<br />
137
inferiores às <strong>da</strong> ressonância ele responde como se fosse o caso estático,<br />
F = K x , <strong>na</strong><br />
mesma freqüência <strong>da</strong> luz incidente. Isso significa que a freqüência <strong>da</strong> luz incidente é<br />
alta d<strong>em</strong>ais para forçar as vibrações dos núcleos mas é capaz de colocar os elétrons <strong>em</strong><br />
oscilação, conforme representado <strong>na</strong> Figura 85. Entretanto é a oscilação do dipolo<br />
núcleo + elétron que irradia on<strong>da</strong>s eletromagnéticas e a vibração <strong>na</strong>tural do núcleo<br />
modula a um dipolo que, com o núcleo parado, vibraria <strong>na</strong> freqüência do elétron, igual<br />
à do fóton incidente.<br />
Amplitude de oscilação<br />
ω núcleo<br />
ω laser<br />
ω elétron<br />
Freqüência<br />
Figura 85. Freqüências de ressonância do núcleo e elétron relacio<strong>na</strong><strong>da</strong> à freqüência de <strong>em</strong>issão<br />
do laser.<br />
A polarização do dipolo é função <strong>da</strong>s coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s nucleares, que não<br />
respond<strong>em</strong> ao campo elétrico incidente, mas vibram <strong>na</strong>turalmente com a freqüência do<br />
fônon, x = x + δ x cos( ω t)<br />
, e <strong>da</strong> eletrônica, que acompanha o campo incidente,<br />
n<br />
no<br />
n<br />
fônon<br />
x<br />
e<br />
= x + δx<br />
( E)<br />
cos( ωt)<br />
. Expandindo a polarização <strong>em</strong> série de Taylor até termos<br />
eo<br />
e<br />
cruzados de segun<strong>da</strong> ord<strong>em</strong> <strong>em</strong> x<br />
n<br />
e x<br />
e<br />
, obt<strong>em</strong>os:<br />
∂P<br />
∂P<br />
Px ( e , xn) = Px ( eo , xno) + δxe( E)cos( ω t) + δxn cos( ω fônon t)<br />
+<br />
∂xe<br />
∂xn<br />
2<br />
(4. 1)<br />
∂ P<br />
δxe( E) δxncos( ωfônont)cos( ωt)<br />
∂x<br />
∂x<br />
e<br />
n<br />
Se o material não é ferroelétrico, o primeiro termo, uma polarização<br />
permanente, é nulo. O segundo termo, que irradia <strong>na</strong> mesma freqüência do fóton<br />
incidente, é o espalhamento elástico de Rayleigh. O terceiro, <strong>da</strong> vibração do núcleo,<br />
138
<strong>em</strong>ite fótons no infravermelho. O quarto termo, fi<strong>na</strong>lmente, vai <strong>da</strong>r orig<strong>em</strong> ao Raman,<br />
= 1 2<br />
t<strong>em</strong>os:<br />
pois como cos A cos B { cos( A + B)<br />
+ cos( A − B)<br />
}<br />
cos( ω<br />
fônon<br />
t)cos(<br />
ω t)<br />
=<br />
1<br />
2<br />
cos[( ω − ω<br />
fônon<br />
) t]<br />
−<br />
1<br />
2<br />
cos[( ω + ω<br />
fônon<br />
) t]<br />
(4. 2)<br />
e então haverá fótons <strong>em</strong>itidos com<br />
ω − ω<br />
fônon<br />
, Stokes, e ω + ω<br />
fônon<br />
, anti‐Stokes. Neste<br />
quadro é fácil perceber a possibili<strong>da</strong>de de “overtones” e combi<strong>na</strong>ções de fônons<br />
considerando termos de ord<strong>em</strong> mais alta envolvendo ape<strong>na</strong>s uma deriva<strong>da</strong> <strong>em</strong> relação<br />
à<br />
x<br />
e<br />
. Por ex<strong>em</strong>plo, o termo com<br />
3<br />
∂ P<br />
∂x ∂x ∂x<br />
e n1 n2<br />
δ x ( E) δx δx cos( ω t)cos( ω t)cos( ωt)<br />
,<br />
e n1 n2 f1 f2<br />
que vai <strong>em</strong>itir fótons com as freqüências ω − ω1 − ω2<br />
, ω − ω1 + ω2<br />
, ω + ω1 − ω2<br />
e<br />
ω + ω1 + ω 2<br />
. Se<br />
1<br />
= ω2<br />
ω pod<strong>em</strong>os observar os vários harmônicos de um fônon.<br />
Normalmente a eficiência <strong>da</strong>s combi<strong>na</strong>ções de modos e “overtones” cai muito<br />
rapi<strong>da</strong>mente com as linhas mais intensas correspondendo a um fônon de ca<strong>da</strong> modo<br />
normal de vibração <strong>da</strong> molécula permitido pelas regras de seleção. Fabricantes de<br />
micro‐Raman têm d<strong>em</strong>onstrado a quali<strong>da</strong>de e sensibili<strong>da</strong>de de seus equipamentos com<br />
espectros que mostram até a quarta harmônica do fônon LO <strong>em</strong> torno de 500 cm ‐1 do<br />
silício.<br />
O Raman resso<strong>na</strong>nte, com uma eficiência maior que o Raman convencio<strong>na</strong>l,<br />
acontece quando a luz incidente t<strong>em</strong> energia idêntica à de uma transição eletrônica real.<br />
Usando lasers no visível ou infravermelho próximo, ape<strong>na</strong>s materiais coloridos<br />
apresentam Raman resso<strong>na</strong>nte. Por outro lado, praticamente todos os materiais<br />
possu<strong>em</strong> algum nível eletrônico <strong>na</strong> região do ultravioleta, exceto materiais especiais<br />
normalmente usados <strong>em</strong> janelas e objetivas, mas que são geralmente raros e caros.<br />
O efeito Raman, <strong>na</strong> linguag<strong>em</strong> de um engenheiro de comunicações, ocorre<br />
quando as vibrações dos núcleos dos átomos modulam diretamente a polarização<br />
núcleo‐elétrons, r<strong>em</strong>itindo, como se fosse uma ante<strong>na</strong>, um si<strong>na</strong>l modulado <strong>na</strong>s<br />
freqüências<br />
ω<br />
luz<br />
± ω<br />
núcleo<br />
. Dessa forma, o Raman traz a informação sobre as vibrações dos<br />
núcleos do infravermelho para o visível ou infravermelho próximo, de forma análoga a<br />
139
uma rádio FM que transporta a informação de voz <strong>na</strong> faixa de 20 Hz – 10 kHz por uma<br />
portadora <strong>na</strong> faixa de 100 MHz.<br />
Conforme discutido no capítulo 2, o grande probl<strong>em</strong>a do Raman é sua baixa<br />
intensi<strong>da</strong>de, que pode chegar a 10 ‐10 dos fótons incidentes, várias ordens de grandeza<br />
inferior ao espalhamento Rayleigh. Por isso a necessi<strong>da</strong>de de uso monocromadores<br />
duplos de 1 m ou de mais de um filtro NOTCH com taxas de rejeição <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 10 6 .<br />
A desvantag<strong>em</strong> do uso dos filtros NOTCH é que não são sintonizáveis. Com isso<br />
perd<strong>em</strong>os a capaci<strong>da</strong>de de sintonia do laser, obrigando‐nos a operar <strong>na</strong> região defini<strong>da</strong><br />
pelo filtro. Outra desvantag<strong>em</strong> é o fato de que os melhores desses filtros têm largura de<br />
350 cm ‐1 não permitindo observar linhas abaixo de 100 cm ‐1 . Novos sist<strong>em</strong>as Raman<br />
praticamente consist<strong>em</strong> de uma primeira passag<strong>em</strong> por um filtro NOTCH sintonizável<br />
segui<strong>da</strong> pela passag<strong>em</strong> por um monocromador ape<strong>na</strong>s. Nesse caso seria possível<br />
utilizar o laser de bombeio <strong>em</strong> todo seu intervalo de sintonia e ain<strong>da</strong> chegar tão<br />
próximo <strong>da</strong> linha do laser quanto 10 cm ‐1 <strong>na</strong> configuração normal e mesmo até 1 a 3 cm ‐1<br />
<strong>em</strong> configurações especiais. Trata‐se, no entanto, de equipamentos caros, grandes, n<strong>em</strong><br />
um pouco amigáveis para qu<strong>em</strong> deseja modificar sua configuração para incluir seu<br />
próprio microscópio, pinça óptica e software de controle.<br />
Quando decidimos incorporar espectroscopia à pinça óptica procuramos <strong>na</strong><br />
literatura qu<strong>em</strong> já havia utilizado as duas técnicas conjuntamente. O trabalho que nos<br />
pareceu mais interessante foi do Dr. Katsuhiro Ajito do NT&T Basic Science Laboratory<br />
do Japão. Entramos <strong>em</strong> contato com ele por e‐mail e acabamos convi<strong>da</strong>ndo‐o para uma<br />
visita de um mês ao Brasil. Interessante foi o fato de que nossas culturas e trajetórias<br />
estavam inverti<strong>da</strong>s. O Dr. Katsuhiro era Engenheiro Químico com doutorado <strong>em</strong><br />
Raman que evoluiu <strong>da</strong> espectroscopia para a pinça óptica. Ele adquiriu um sist<strong>em</strong>a<br />
compacto <strong>da</strong> Renishaw fabricado sob encomen<strong>da</strong> para operar <strong>na</strong> região do Ti:Safira cuja<br />
montag<strong>em</strong> confocal praticamente garantia as condições de operação <strong>da</strong> pinça óptica.<br />
Nós, por outro lado, evoluímos <strong>da</strong> pinça óptica para a espectroscopia e tiv<strong>em</strong>os que<br />
a<strong>da</strong>ptar o sist<strong>em</strong>a existente para medi<strong>da</strong> de Raman, usando ape<strong>na</strong>s componentes<br />
140
ásicos de óptica, monocromador e CCD. Por isso a colaboração com o Dr. Ajito não nos<br />
livrou do sofrimento de montar nosso instrumento quase do zero. Entretanto, jamais<br />
teríamos tido sucesso s<strong>em</strong> os filtros NOTCH, objetivas especiais e materiais que ele<br />
trouxe consigo, s<strong>em</strong> falar do compromisso de obter um espectro Raman no período de 3<br />
s<strong>em</strong>a<strong>na</strong>s <strong>em</strong> que nos visitou. Por outro lado, nossa comparação de performance<br />
automática foi com o sist<strong>em</strong>a do Dr. Ajito. Uma vantag<strong>em</strong> inicial de nosso sist<strong>em</strong>a<br />
comparado ao dele foi o fato de que usamos o Ti:Safira cw ape<strong>na</strong>s para excitação do<br />
Raman deixando o Nd:YAG com o papel de pinça óptica. Com isso pod<strong>em</strong>os usar um<br />
sist<strong>em</strong>a de varredura do Ti:Safira para obtenção de imagens. Outra vantag<strong>em</strong> foi a<br />
possibili<strong>da</strong>de de uso do laser de Ti:Safira pulsado, que abre perspectivas para processos<br />
não lineares. Uma vez resolvidos os maiores detalhes experimentais passamos a obter<br />
espectros com os mesmos materiais que o Dr. Ajito havia caracterizado. Dessa forma<br />
sabíamos que ain<strong>da</strong> poderíamos melhorar o des<strong>em</strong>penho do nosso sist<strong>em</strong>a. Paramos<br />
essa otimização quando obtiv<strong>em</strong>os os mesmos espectros obtidos por ele com menores<br />
ou iguais t<strong>em</strong>pos de aquisição.<br />
4.3 Resultados de Raman com Pinça Óptica<br />
A Figura 86 ilustra como a imag<strong>em</strong> do Raman do silício aparece <strong>na</strong> CCD. Nossa<br />
CCD t<strong>em</strong> 1200 pixels <strong>na</strong> horizontal e 100 pixels <strong>na</strong> vertical. O si<strong>na</strong>l extraído do software<br />
corresponde à soma <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de dos pixels verticais para sua respectiva posição<br />
horizontal. Entretanto, para melhorar a relação si<strong>na</strong>l/ruído delimitamos a janela vertical<br />
somando ape<strong>na</strong>s as intensi<strong>da</strong>des dos pixels <strong>da</strong> região ilumi<strong>na</strong><strong>da</strong>, evitando adicio<strong>na</strong>r<br />
ape<strong>na</strong>s o ruído <strong>da</strong>s regiões escuras.<br />
400 600<br />
Raman shift (cm –1 )<br />
Figura 86. Imag<strong>em</strong> do Raman Stokes do Silício <strong>na</strong> CCD.<br />
141
Na Figura 87 mostramos espectros de Raman Stokes e anti‐Stokes do silício,<br />
partículas de a<strong>na</strong>tase <strong>na</strong> forma de pó sobre uma lâmi<strong>na</strong> e TiO2. A quali<strong>da</strong>de do sist<strong>em</strong>a<br />
foi avalia<strong>da</strong> comparando os nossos espectros com os obtidos pelo micro‐Raman do Dr.<br />
Ajito e por outros artigos [13, 48], tomando como base a relação si<strong>na</strong>l/ruído e o t<strong>em</strong>po<br />
de aquisição dos <strong>da</strong>dos. As informações sobre potência e t<strong>em</strong>po de exposição são<br />
apresenta<strong>da</strong>s <strong>na</strong>s legen<strong>da</strong>s.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
480 510 540 570<br />
raman shift (cm -1 )<br />
-800 -400 0 400 800<br />
raman shift (cm -1 )<br />
a. b.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
250 450 650<br />
raman shift (cm -1 )<br />
250 450 650<br />
raman shift (cm -1 )<br />
c. d.<br />
Figura 87. Espectros de Raman. a. Silício Stokes, 20 mW‐1 s. b. Silício Stokes/anti‐Stokes, 20<br />
mW‐1 s. c. A<strong>na</strong>tase‐Stokes, 20 mW‐1 s. d. TiO2, 20 mW‐1 s.<br />
As Figura 88 a e b exib<strong>em</strong> os espectros de uma microesfera de 6 µm e de uma<br />
h<strong>em</strong>ácia captura<strong>da</strong>s pela pinça óptica. Enquanto uma boa relação si<strong>na</strong>l/ruído é obti<strong>da</strong><br />
com ape<strong>na</strong>s 2 segundos para a microesfera de poliestireno foi necessário usar 2 minutos<br />
para observar o Raman <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia. Tipicamente, materiais biológicos apresentam<br />
espectros Raman repletos de picos. A h<strong>em</strong>ácia utiliza<strong>da</strong> nessa medi<strong>da</strong> foi obti<strong>da</strong><br />
simplesmente furando o dedo com uma agulha esteriliza<strong>da</strong> e pingando uma gota de<br />
sangue <strong>em</strong> soro fisiológico, s<strong>em</strong> qualquer outro cui<strong>da</strong>do, tanto para evitar contato com<br />
142
oxigênio, que ativa as plaquetas para iniciar o processo de coagulação, n<strong>em</strong> para a<br />
utilização de conservantes comumente <strong>em</strong>pregados <strong>em</strong> h<strong>em</strong>atologia tais como o CPDA1<br />
(citrato, fósforo, dextrose, adeni<strong>na</strong>). Os três picos destacados <strong>na</strong> Figura 88 b são<br />
idênticos aos obtidos por Xie e seu grupo para uma preparação similar <strong>da</strong> célula. As<br />
condições para se obter o espectro de Raman <strong>da</strong> microesfera e a sua quali<strong>da</strong>de foram as<br />
mesmas dos artigos do Dr. Ajito e Xie [13, 48]. Já o espectro do Raman <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia nos<br />
custou mais t<strong>em</strong>po. Enquanto Xie obteve um espectro com 5s, nós levamos cerca de 2<br />
min. Entretanto, fomos capazes de obtê‐lo <strong>em</strong> um bom intervalo de t<strong>em</strong>po apesar de<br />
não termos, assim como ele, um equipamento otimizado para o infravermelho.<br />
Microesfera<br />
H<strong>em</strong>ácia<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
622<br />
1001<br />
1030<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
667<br />
751 995<br />
600 700 800 900 1000<br />
raman shift (cm -1 )<br />
600 700 800 900 1000<br />
raman shift (cm -1 )<br />
a. b.<br />
Figura 88. Espectros de Raman de uma microesfera e uma h<strong>em</strong>ácia captura<strong>da</strong>s pela pinça<br />
óptica. a. microesfera, 20 mW‐2 s. b. h<strong>em</strong>ácia, 20 mW‐2 min.<br />
Esses resultados d<strong>em</strong>onstram o quão eficiente e sensível é o nosso equipamento<br />
e, principalmente, que com ele tiv<strong>em</strong>os sucesso <strong>em</strong> observar espectros quimicamente<br />
seletivos como Raman de partículas captura<strong>da</strong>s. Para melhorar a eficiência do nosso<br />
sist<strong>em</strong>a necessitaríamos de objetivas com “coating” anti‐refletor para a região do<br />
Ti:Safira. Não tanto por causa <strong>da</strong> per<strong>da</strong> de intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> luz incidente, que pode ser<br />
compensa<strong>da</strong> com o aumento <strong>da</strong> potência do laser, mas devido ao aumento <strong>da</strong> eficiência<br />
de coleta do Raman. Aumentar d<strong>em</strong>ais a potência do laser incidente pode <strong>da</strong>nificar a<br />
amostra, principalmente as biológicas. Nossa objetiva transmitia aproxima<strong>da</strong>mente 20%<br />
<strong>na</strong> região de 785 nm, mas hoje já exist<strong>em</strong> objetivas com transmissão <strong>em</strong> torno de 80%.<br />
Poderíamos aumentar a eficiência por um fator 4 com a óptica correta. Outro ponto de<br />
143
otimização viria de grades de difração com blaze para a região do infravermelho e o uso<br />
de uma grade de 600 linhas/mm. Nosso monocromador só tinha duas grades de<br />
difração, de 1200 linhas/mm que abre d<strong>em</strong>ais o espectro e de 300 linhas/mm que fecha<br />
d<strong>em</strong>ais, perdendo resolução. Em muitos casos a grade de 600 seria ideal, a mesma foi<br />
utiliza<strong>da</strong> por Xie para observar Raman de h<strong>em</strong>ácias. To<strong>da</strong>s essas otimizações,<br />
entretanto, envolveriam a compra de material importado que seria muito d<strong>em</strong>ora<strong>da</strong><br />
para nos ser útil nesse estágio.<br />
4.4 Processos Ópticos Envolvendo Dois Fótons<br />
O laser de Ti:Safira pulsado abriu a possibili<strong>da</strong>de de realização de<br />
espectroscopias não lineares por processos de dois fótons que não era permiti<strong>da</strong> pelo<br />
laser de cw Ti:Safira. O laser cw permite melhor resolução para Raman devido à sua<br />
largura de linha muito fi<strong>na</strong>, impossível de ser obti<strong>da</strong> pelo laser de pulso curto devido ao<br />
limite imposto pela transforma<strong>da</strong> de Fourier. Espectros Raman lineares também pod<strong>em</strong><br />
ser obtidos com laser pulsado mas com resolução b<strong>em</strong> menor, ou seja, espectros b<strong>em</strong><br />
mais largos, como mostra a Figura 89 abaixo. Para tanto não usamos o filtro ban<strong>da</strong>, mas<br />
o espectro do pulso, mais largo do que 350 cm ‐1 , é estreitado pelo próprio filtro NOTCH<br />
de tal forma que até pod<strong>em</strong>os observar um “vazamento” do mesmo no espectro obtido<br />
(um pulso espectralmente menor implica <strong>em</strong> duração t<strong>em</strong>poral de pulso maior). A<br />
situação ideal seria ter a largura espectral dos pulsos do laser <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> <strong>da</strong> largura de<br />
linha dos picos Raman, mas isso geralmente significa pulsos de picosegundos e não<br />
f<strong>em</strong>tosegundos. É possível controlar a largura espectral e a duração t<strong>em</strong>poral dos<br />
pulsos de laser com janelas espectrais intracavi<strong>da</strong>de, mas isso envolve um completo<br />
realinhamento do mesmo. A menos que exista uma vantag<strong>em</strong> específica para obter<br />
Raman linear com laser pulsado, todo esse trabalho não parece compensar. Talvez<br />
compense para qu<strong>em</strong> deseja obter Raman resolvido no t<strong>em</strong>po <strong>em</strong> picosegundos.<br />
144
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
450 500 550 600<br />
raman shift (cm -1 )<br />
Figura 89. Raman do silício obtido com o laser pulsado de f<strong>em</strong>tosegundos.<br />
Por outro lado o laser de f<strong>em</strong>tosegundos se tor<strong>na</strong> vantajoso <strong>na</strong> obtenção de<br />
processos multifotônicos. Nós o utilizamos <strong>em</strong> três desses processos, para excitar<br />
luminescência por absorção de dois fótons, para gerar espalhamento no segundo<br />
harmônico (o Hiper Rayleigh) e para excitar Hiper Raman, conforme descrev<strong>em</strong>os a<br />
seguir.<br />
4.5 Processos de Absorção Multifotônica<br />
Os processos multifótons são aqueles que necessitam de mais de um fóton para<br />
ocorrer, sendo, portanto, proporcio<strong>na</strong>is à intensi<strong>da</strong>de do feixe incidente eleva<strong>da</strong> pelo<br />
número de fótons envolvidos no processo. No fundo são s<strong>em</strong>elhantes à uma reação<br />
química <strong>em</strong> que A + A+ + A→B, para a qual a veloci<strong>da</strong>de de reação depende <strong>da</strong><br />
concentração de A eleva<strong>da</strong> à enésima potência, i.e., V = c[ A] n . Nessa a<strong>na</strong>logia, [A] é a<br />
concentração de fótons que é proporcio<strong>na</strong>l à intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> luz. Esses processos<br />
depend<strong>em</strong> <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong>de de encontrar mais de um fóton <strong>na</strong> mesma posição ao<br />
mesmo t<strong>em</strong>po. Por isso são facilmente observados com lasers pulsados, onde todos os<br />
fótons se superpõ<strong>em</strong> automaticamente no t<strong>em</strong>po, aumentando a chance de se encontrar<br />
mais de um fóton <strong>em</strong> um mesmo momento. Por outro lado a superposição espacial<br />
ocorre no foco do laser, onde os fótons estão mais concentrados. Como a probabili<strong>da</strong>de<br />
de ocorrer processos não‐lineares aumenta com<br />
n<br />
I , os mesmos só são significativos <strong>em</strong><br />
145
um pequeno volume <strong>em</strong> torno do foco do laser, onde está o ponto de maior intensi<strong>da</strong>de<br />
do feixe de excitação, garantindo assim uma alta resolução espacial.<br />
Processos de absorção por 2 ou mais fótons foram previstos por Marie Göppert‐<br />
Mayer <strong>em</strong> 1931, porém observações de processos multifotônicos só foram possíveis<br />
depois <strong>da</strong> invenção do laser pulsado de Rubi <strong>em</strong> 1960. A primeira observação de<br />
absorção de 2 fótons foi feita por Kaiser e Garret <strong>em</strong> 1961 e a de 3 fótons por Singh e<br />
Bradley <strong>em</strong> 1964 [49]. Após isso, a excitação por absorção de múltiplos fótons t<strong>em</strong> sido<br />
usa<strong>da</strong> <strong>em</strong> estudos espectroscópicos de diversos materiais. Já a aplicação dessa técnica<br />
<strong>na</strong> Biologia começou muito recent<strong>em</strong>ente, somente <strong>em</strong> 1990 com a invenção de Denk,<br />
Strickler e Webb do microscópio de fluorescência de varredura por absorção de 2 fótons<br />
[50].<br />
S<strong>em</strong> entrar <strong>em</strong> maiores detalhes, s<strong>em</strong> preocupações com as constantes<br />
multiplicativas e a densi<strong>da</strong>de de estados, pod<strong>em</strong>os extrair informações relevantes sobre<br />
esses processos através <strong>da</strong> teoria de perturbação dependente do t<strong>em</strong>po. Nessa teoria o<br />
Hamiltoniano é <strong>da</strong>do por H = H0 +λ H′<br />
() t , onde H 0 é o Hamiltoniano não perturbado<br />
i t<br />
cujas autofunções u n , tal que Hu 0 n = Eu n n, formam uma base. O termo H′ () t = V e − ω , é<br />
a perturbação e λ é o parâmetro que a liga e desliga. Expandindo a função de on<strong>da</strong> que<br />
satisfaz a equação de Schroendinger<br />
∂Ψ i =− HΨ<br />
∂t<br />
<br />
i t<br />
<strong>na</strong> forma Ψ=∑ a () t u e − (4. 3),<br />
n<br />
n<br />
n<br />
E n<br />
aplicando a deriva<strong>da</strong> t<strong>em</strong>poral, o Hamiltoniano e extraindo o produto interno com<br />
k<br />
i<br />
E k<br />
t<br />
ue − de ambos os lados chegamos a<br />
i<br />
kn<br />
a<br />
k() t =− ∑λan() t uk V un<br />
e ω −ω<br />
<br />
n<br />
i( ) t<br />
sendo<br />
E<br />
ω =<br />
kn<br />
k<br />
− E<br />
<br />
n<br />
. Usando a expansão dos coeficientes <strong>em</strong> ordens de λ <strong>na</strong> forma<br />
a<br />
k<br />
s () s<br />
∑ ak<br />
e coletando termos de mesma ord<strong>em</strong> obt<strong>em</strong>os o sist<strong>em</strong>a de equações<br />
s<br />
= λ<br />
146
diferenciais<br />
( 0)<br />
k<br />
a = 0 ,<br />
i<br />
a<br />
t =− ∑ a t V e ω −ω<br />
() s ( s 1)<br />
i( kn<br />
) t<br />
() n<br />
−<br />
k<br />
() kn<br />
<br />
n<br />
, com Vkn = uk V un<br />
. A<br />
estratégia é resolver o sist<strong>em</strong>a para a ord<strong>em</strong> mais baixa e usá‐la para encontrar as<br />
soluções <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> seguinte e assim sucessivamente. A suposição que se faz é que <strong>em</strong><br />
t = 0 o sist<strong>em</strong>a se encontrava no estado inicial i, logo<br />
equação diferencial para os coeficientes de primeira ord<strong>em</strong><br />
pode ser integra<strong>da</strong> facilmente fornecendo<br />
a <br />
( 0)<br />
k<br />
= δ<br />
ki<br />
. Com isso encontramos a<br />
i<br />
a<br />
t V e ω −ω<br />
<br />
() 1<br />
i( ki<br />
) t<br />
k<br />
() =− ki<br />
que<br />
()<br />
i( ω<br />
fi<br />
−ω)<br />
t<br />
1 i e − 1<br />
f<br />
() =− fi<br />
i( ω fi −ω)<br />
a t V<br />
(4. 4).<br />
Agora usamos esse resultado para achar a equação diferencial para os termos de<br />
segun<strong>da</strong> ord<strong>em</strong>, dos quais poder<strong>em</strong>os extrair os coeficientes de absorção de dois fótons.<br />
Nesse caso,<br />
i( ω −ω)<br />
t<br />
( 2 ) ni<br />
1 e −1<br />
a<br />
f<br />
() t =−<br />
2 ∑Vni<br />
Vfn<br />
e<br />
i( ω −ω)<br />
n<br />
ni<br />
i( ω −ω)<br />
t<br />
fn<br />
. Só estamos interessados no termo<br />
que envolve a multiplicação <strong>da</strong>s duas exponenciais, o único que contém 2ω, portanto<br />
quer<strong>em</strong>os<br />
( 2 fótons)<br />
f<br />
1 V<br />
t<br />
fn Vni i( ω<br />
ni<br />
+ωfn−2ω)<br />
t′<br />
2 ∑<br />
n<br />
i( ωni<br />
−ω)<br />
∫<br />
0<br />
a =−<br />
e dt′<br />
<br />
(4. 5).<br />
Mas<br />
E − E + E −E<br />
ω +ω = =ω<br />
<br />
n i f n<br />
ni fn fi<br />
, de modo que:<br />
a<br />
( 2 fótons)<br />
f<br />
i( ω −2ω)<br />
t<br />
1 V<br />
fi<br />
fn Vni<br />
e − 1<br />
=−<br />
2 ∑<br />
i( ω −ω) i( ω −2ω)<br />
n<br />
ni<br />
fi<br />
(4. 6).<br />
Como<br />
ixt ixt / 2 −ixt<br />
/ 2<br />
−1<br />
ixt 2 −<br />
ixt 2 xt 2<br />
e / e e<br />
/ sen( / )<br />
= e<br />
= e<br />
e<br />
ix 2i( x / 2) ( x / 2)<br />
Lim<br />
t→∞<br />
2<br />
sen [ xt / 2]<br />
= 2 πtδ ( x)<br />
, t<strong>em</strong>os:<br />
2<br />
( x / 2)<br />
() 1 2 2π<br />
2<br />
| af<br />
( t)| = t| V | ( )<br />
2 fi δωfi<br />
−ω<br />
<br />
(4. 7)<br />
e<br />
147
2π<br />
V V<br />
| a ( t)| = t| | δ( E −E<br />
−2ω)<br />
(4. 8).<br />
∑<br />
( 2 fótons)<br />
2 fn ni 2<br />
f<br />
<br />
n<br />
En − ( Ef + Ei)/<br />
2<br />
Usando um potencial de perturbação de dipolo V<br />
f<br />
i<br />
<br />
= −qr⋅eE<br />
, onde e é o vetor<br />
unitário <strong>da</strong> polarização do campo elétrico e o fato do coeficiente de absorção ser<br />
o<br />
proporcio<strong>na</strong>l a<br />
<strong>da</strong>f<br />
2<br />
/<br />
dt, v<strong>em</strong>os que a absorção por 1 fóton só ocorre se a energia do<br />
fóton for igual a diferença de energia entre os estados inicial i e fi<strong>na</strong>l f e que a força de<br />
<br />
oscilação vai ser proporcio<strong>na</strong>l à | ie⋅r f| 2 E<br />
2 0 . Isso significa que a absorção de 1 fóton<br />
é proporcio<strong>na</strong>l à I e que só existe transição entre estados de diferentes pari<strong>da</strong>des, pois<br />
<br />
e⋅r<br />
é um operador ímpar. Por outro lado, a transição por absorção de dois fótons só<br />
ocorre quando a energia de dois fótons é igual a <strong>da</strong> transição e que a força do oscilador<br />
é proporcio<strong>na</strong>l a<br />
<br />
i e⋅r n n e⋅r f<br />
| ∑<br />
|<br />
E − ( E + E )/ 2<br />
n<br />
n f i<br />
2 4<br />
E 0<br />
(4. 9).<br />
Logo será proporcio<strong>na</strong>l ao quadrado <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de e só ocorre entre estados de<br />
mesma pari<strong>da</strong>de, pois n precisa ter pari<strong>da</strong>de oposta a i e a f. O processo de absorção por<br />
3 fótons seguirá uma regra do tipo<br />
<br />
i e⋅r n n e⋅r n′ n′<br />
e⋅r f<br />
| ∑∑<br />
| 2 E<br />
6 0<br />
∆<br />
n′<br />
n<br />
(4. 10),<br />
sendo proporcio<strong>na</strong>l à intensi<strong>da</strong>de ao cubo e ocorrendo entre estados de diferentes<br />
pari<strong>da</strong>des. Apesar <strong>da</strong>s diferenças <strong>da</strong>s regras de seleção os espectros de absorção de 1 e 2<br />
fótons têm mostrado ape<strong>na</strong>s peque<strong>na</strong>s diferenças para uma boa varie<strong>da</strong>de de corantes<br />
sugerindo que estados fluorescentes geralmente degenerados são alcançados tanto com<br />
uma excitação linear como não liner [51]. Além disso, campos eletromagnéticos <strong>em</strong><br />
volta <strong>da</strong> molécula quebram a simetria local e a pari<strong>da</strong>de dos estados, permitindo to<strong>da</strong>s<br />
as transições. Nenhuma diferença foi observa<strong>da</strong> nos espectros de <strong>em</strong>issão, como era de<br />
se esperar.<br />
148
choque<br />
Processos multifótons são geralmente caracterizados através <strong>da</strong>s seções de<br />
σ k defini<strong>da</strong>s através <strong>da</strong> taxa de absorção de fótons <strong>da</strong> forma,<br />
∆n<br />
( k)<br />
fótons<br />
∆t<br />
=σ<br />
k<br />
I<br />
( )<br />
hν<br />
k<br />
(4. 11).<br />
Números típicos para seções de choque para absorção de 1 fóton são <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de<br />
σ 1 = 10<br />
−16<br />
cm<br />
2<br />
, de 2 e 3 fótons são respectivamente <strong>da</strong> ord<strong>em</strong><br />
−49<br />
σ 2 = 10 cm .s e<br />
4<br />
−82 6 2<br />
σ 3 = 10 cm .s [51]. Isso significa que uma taxa de absorção de aproxima<strong>da</strong>mente<br />
7<br />
5× 10 fótons/segundo, próximo <strong>da</strong> saturação para o estado fun<strong>da</strong>mental, requer uma<br />
potência <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 140 mW no foco <strong>em</strong> um processo de um fóton. Já para se atingir<br />
essa mesma taxa de absorção com um processo de dois fótons, usando a mesma óptica e<br />
comprimento de on<strong>da</strong> <strong>em</strong> torno de 870 nm, seria necessário intensi<strong>da</strong>des de 5,4<br />
GW/cm 2 , que correspond<strong>em</strong> a uma potência média de 12 W no foco do laser [52].<br />
No caso dos lasers pulsados, com uma duração do pulso<br />
τ p <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de<br />
cente<strong>na</strong>s de f<strong>em</strong>tosegundos e t<strong>em</strong>po de repetição<br />
τ rep <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de deze<strong>na</strong>s de<br />
<strong>na</strong>nosegundos, os detectores são sensíveis ao valor médio do número de fótons por<br />
uni<strong>da</strong>de de t<strong>em</strong>po, i.e.,<br />
∆n<br />
( k)<br />
fótons<br />
∆t<br />
rep<br />
σk<br />
1 k<br />
=<br />
I () t dt<br />
k<br />
( hν)<br />
τ<br />
∫ (4. 12).<br />
rep<br />
τ<br />
0<br />
Supondo um pulso quadrado com<br />
I<br />
= Ipico<br />
no intervalo de duração do pulso p<br />
τ ,<br />
∆n<br />
( k)<br />
fótons Ipico τ<br />
k p<br />
=σk( )<br />
∆t<br />
hν τrep<br />
, que leva a<br />
I<br />
pico<br />
τrep<br />
∆n<br />
( 1/ k)<br />
= hν[ ] .<br />
στ ∆ t<br />
k p<br />
Como<br />
I<br />
pico<br />
τrep<br />
τ<br />
= I =<br />
τ τ<br />
p<br />
rep<br />
p<br />
P<br />
A<br />
(4. 13),<br />
a potência média requeri<strong>da</strong> para se obter uma determi<strong>na</strong><strong>da</strong> taxa de absorção será:<br />
τp ( k−1)/ k hc 1 ∆n<br />
( 1/ k)<br />
P= [ ] A [ ] (4. 14).<br />
τ λ σ ∆ t<br />
rep<br />
k<br />
149
Supondo um feixe gaussiano com<br />
wo<br />
abertura numérica <strong>da</strong> objetiva t<strong>em</strong>os,<br />
λ<br />
= , tal que<br />
π NA<br />
τ hcλ 1 ∆n<br />
P = [ ] [ ] (4. 15)<br />
τ π σ ∆<br />
p ( k−1)/ k ( 1/ k)<br />
2<br />
rep NA k t<br />
2<br />
2 λ<br />
A=π w o = e onde NA é a<br />
π<br />
2<br />
NA<br />
que pode chegar a ser tão peque<strong>na</strong> quanto 45 mW para processos de dois fótons com<br />
pulsos de 100 fs e taxa de repetição de 80 MHz típicas de um laser de Ti:Safira pulsado<br />
de f<strong>em</strong>tosegundos, cuja potência média pode chegar a 2 W [52]. Isso indica quão<br />
facilmente se obtém excitação por processos de dois fótons com lasers desse tipo. Não é<br />
somente o fato de poder usar pequenos valores de potência que faz do Ti:Safira um dos<br />
escolhidos, a duração e a taxa de repetição do seu pulso também possibilitam se fazer<br />
espectroscopia resolvi<strong>da</strong> no t<strong>em</strong>po [53].<br />
4.6 Luminescência Excita<strong>da</strong> por Absorção Multifotônica<br />
No processo de fluorescência, esqu<strong>em</strong>atizado <strong>na</strong> Figura 90 abaixo, um elétron de<br />
uma molécula sofre uma transição para um estado com nível de energia mais alto<br />
através <strong>da</strong> absorção de um fóton. Usualmente a molécula sofre uma mu<strong>da</strong>nça<br />
conformacio<strong>na</strong>l após a excitação, pois as forças químicas entre os átomos depend<strong>em</strong> do<br />
estado <strong>em</strong> que está o elétron, levando o elétron excitado para um nível de energia<br />
menor do que o inicial. Desse estado o elétron pode retor<strong>na</strong>r ao estado fun<strong>da</strong>mental<br />
pela <strong>em</strong>issão de um fóton. Se o decaimento for rápido, chama‐se o processo de<br />
fluorescência, se lento de fosforescência, e os dois casos são englobados pela palavra<br />
luminescência. Exist<strong>em</strong>, entretanto, outras possibili<strong>da</strong>des para o retorno do elétron ao<br />
estado fun<strong>da</strong>mental além <strong>da</strong> fluorescência. Por ex<strong>em</strong>plo, 1. ele pode ser transferido para<br />
moléculas vizinhas, processo conhecido como transferência de carga, 2. ape<strong>na</strong>s a sua<br />
energia pode ser transferi<strong>da</strong>, processo chamado de transferência de energia ou ain<strong>da</strong> 3.<br />
ele pode ficar aprisio<strong>na</strong>do <strong>em</strong> armadilhas profun<strong>da</strong>s, tal como “<strong>da</strong>ngling bonds”. Esses<br />
processos pod<strong>em</strong> levar a um esmaecimento <strong>da</strong> fluorescência ou “photobleaching”.<br />
150
Dependendo do grau desses processos de decaimento, a fluorescência pode ser muito<br />
pouco intensa. Por isso é comum a utilização de marcadores fluorescentes exógenos às<br />
amostras a<strong>na</strong>lisa<strong>da</strong>s, geralmente corantes orgânicos, envoltos <strong>em</strong> substâncias químicas<br />
para evitar o “photobleaching” ou o “quenching” <strong>da</strong> fluorescência. A desvantag<strong>em</strong> dos<br />
marcadores exógenos é que pod<strong>em</strong> ser citotóxicos. O “photobleaching” t<strong>em</strong> sido um<br />
dos grandes probl<strong>em</strong>as <strong>da</strong> microscopia confocal de fluorescência, <strong>em</strong> muitos casos<br />
fornecendo ao pesquisador ape<strong>na</strong>s um intervalo de minutos para obtenção de suas<br />
imagens.<br />
Excitação<br />
Emissão Excitação<br />
Emissão<br />
Figura 90. Esqu<strong>em</strong>a de absorção de um e múltiplos fótons.<br />
A diferença fun<strong>da</strong>mental entre processos de 1 fóton e multifóton v<strong>em</strong> <strong>da</strong><br />
quanti<strong>da</strong>de de fótons absorvidos <strong>em</strong> um determi<strong>na</strong>do volume. No caso <strong>da</strong> absorção de<br />
1 fóton esse número só depende <strong>da</strong> espessura do volume e não <strong>da</strong> área do feixe, pois o<br />
coeficiente de absorção α é independente <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de. Suponha dois feixes paralelos<br />
com a mesma potência, mas diferentes intensi<strong>da</strong>des, como mostra a Figura 91. As<br />
quanti<strong>da</strong>des de fótons absorvidos por uni<strong>da</strong>de de t<strong>em</strong>po nessas duas situações, são<br />
<strong>da</strong><strong>da</strong>s por<br />
∆n<br />
∆t<br />
I A − e<br />
=<br />
(1 1 1<br />
hν<br />
−α L<br />
1<br />
)<br />
e<br />
−α<br />
∆n<br />
I A − e<br />
=<br />
(1 L 2 2 2<br />
)<br />
(4. 16),<br />
∆t<br />
hν<br />
e são iguais com a suposição de mesma potência, isto é, I<br />
1A1<br />
= I<br />
2<br />
A2<br />
. A única diferença<br />
entre esses dois casos é a densi<strong>da</strong>de superficial do número de fótons absorvidos. Já <strong>na</strong><br />
absorção de dois fótons, onde o coeficiente de absorção depende <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de<br />
incidente <strong>da</strong> forma<br />
α = α 2<br />
I<br />
feixe mais intenso. Tal que,<br />
, a quanti<strong>da</strong>de de fótons absorvidos será muito maior para o<br />
151
∆n<br />
∆t<br />
α2P<br />
− L<br />
A1<br />
1 1( )<br />
<<br />
I1A<br />
=<br />
1 − e<br />
hν<br />
α2P<br />
− L<br />
A2<br />
∆n2 I2A2( 1−<br />
e )<br />
=<br />
(4. 17),<br />
∆t<br />
hν<br />
devido ao fator exponencial. Foi essa característica que levou o grupo de W. W. Webb<br />
de Cornell à proposta <strong>da</strong> microscopia confocal multifóton. A Figura 92 mostra que,<br />
enquanto uma quanti<strong>da</strong>de uniforme de fótons de luminescência são gerados <strong>em</strong> todo o<br />
cone de luz incidente, ela é concentra<strong>da</strong> no foco do laser no processo multifóton.<br />
L<br />
Figura 91. Fótons absorvidos no processo linear.<br />
1 fóton 2 fótons<br />
Figura 92. Geração de fluorescência por um e dois fótons.<br />
A microscopia confocal convencio<strong>na</strong>l foi introduzi<strong>da</strong>, basicamente, para<br />
possibilitar a obtenção de imagens de fluorescência <strong>em</strong> 3 dimensões. O seu grande<br />
probl<strong>em</strong>a é a profundi<strong>da</strong>de e a resolução vertical <strong>em</strong> z, pois há a necessi<strong>da</strong>de de rejeitar<br />
a fluorescência gera<strong>da</strong> fora do foco do cone de luz incidente. Isso é feito através de uma<br />
abertura coloca<strong>da</strong> <strong>em</strong> frente ao detector, conforme ilustra a Figura 93, que selecio<strong>na</strong> o<br />
152
si<strong>na</strong>l coletado pela mesma objetiva responsável por focalizar o laser de excitação.<br />
Chama‐se esse processo de “descanning”.<br />
abertura<br />
Figura 93. Ilustração de funcio<strong>na</strong>mento de um microscópio confocal.<br />
Quanto menor a abertura, maior a resolução <strong>em</strong> z e menor a relação si<strong>na</strong>l ruído,<br />
pois a mesma bloqueia parte <strong>da</strong> luz advin<strong>da</strong> <strong>da</strong> amostra, principalmente se esta for<br />
espalha<strong>da</strong> durante percurso até a abertura, como mostra a Figura 94. Para aumentar a<br />
relação si<strong>na</strong>l/ruído é necessário aumentar a intensi<strong>da</strong>de do laser aumentando a chance<br />
de ocorrer<strong>em</strong> <strong>da</strong>nos térmicos e “photobleaching”. Já <strong>na</strong> microscopia confocal mutifóton<br />
só há <strong>em</strong>issão de luz no foco do laser, tor<strong>na</strong>ndo a abertura desnecessária. Além disso,<br />
no caso multifóton, ape<strong>na</strong>s o volume do foco está sendo excitado, o que evita o<br />
“photobleaching” de outras porções <strong>da</strong> amostra dentro do cone de incidência do laser.<br />
Figura 94. Microscópio Confocal e Multifóton.<br />
A denomi<strong>na</strong>ção confocal é utiliza<strong>da</strong> para sist<strong>em</strong>as <strong>em</strong> que tanto a ilumi<strong>na</strong>ção<br />
quanto a coleta <strong>da</strong> luz transmiti<strong>da</strong>, ou <strong>em</strong>iti<strong>da</strong>, pela amostra passam pela mesma óptica.<br />
Nesse caso, a resolução espacial aumenta, pois a figura de difração de Airy fica eleva<strong>da</strong><br />
ao quadrado, conforme mostra a Figura 95. Nos processos de dois fótons a própria<br />
excitação já depende <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> luz ao quadrado, não dependendo do sist<strong>em</strong>a<br />
153
de coleta do si<strong>na</strong>l óptico. Trata‐se, portanto, de um processo intrinsecamente confocal.<br />
Essa é a característica que tor<strong>na</strong> os processos multifótons bastante atrativos para<br />
microscopia.<br />
a. b.<br />
Figura 95. a. Gráfico 3D do padrão de difração de Airy b. padrão de difração elevado ao<br />
quadrado onde se nota um pico central mais estreito e os anéis ao seu redor muito menos<br />
intensos.<br />
Além <strong>da</strong> resolução espacial lateral exist<strong>em</strong> outras vantagens <strong>na</strong> microscopia<br />
confocal multifóton. O fato de que a fluorescência só é gera<strong>da</strong> no foco do laser elimi<strong>na</strong> a<br />
necessi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> abertura e uma maior quanti<strong>da</strong>de de luz pode ser coleta<strong>da</strong> melhorando<br />
a razão si<strong>na</strong>l/ruído. A excitação se dá no dobro do comprimento de on<strong>da</strong> de excitação<br />
por um fóton, significando 16 vezes menos espalhamento, o qual depende de λ com<br />
1/λ 4 . Com isso a profundi<strong>da</strong>de de observação, principalmente <strong>em</strong> meios túrbidos, é 16<br />
vezes maior do que <strong>na</strong> convencio<strong>na</strong>l, permitindo a obtenção de imagens de cama<strong>da</strong>s <strong>da</strong><br />
amostra que estão <strong>em</strong> profundi<strong>da</strong>des <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de cente<strong>na</strong>s de micrômetros [54, 55].<br />
A grande maioria dos fluoróforos biológicos endógenos que são intrínsecos à<br />
célula ou exógenos ‐ tais como corantes ‐ absorv<strong>em</strong> no ultravioleta próximo, <strong>em</strong> torno<br />
de 350 nm, e no visível quando estamos falando <strong>da</strong> espectroscopia convencio<strong>na</strong>l de 1<br />
fóton. Assim, uma fonte de luz de excitação com <strong>em</strong>issão entre 690 – 1050 nm permite<br />
excitação dos mesmos por absorção multifotônica. Essa região, de 690 – 1050 nm, é,<br />
muitas vezes, chama<strong>da</strong> de “janela biológica <strong>da</strong> célula” [51]. Em primeiro lugar porque<br />
nessa região do espectro, há pouca ou nenhuma absorção de um fóton pelos tecidos e<br />
pigmentos celulares evitando geração de calor e <strong>da</strong>nos térmicos significativos, e <strong>em</strong><br />
segundo possibilita a aquisição de imagens de microorganismos vivos.<br />
154
4.7 Aplicações e Resultados de Luminescência por Absorção de 2 Fótons<br />
Algumas <strong>da</strong>s imagens <strong>da</strong>s fluorescências excita<strong>da</strong>s por absorção de dois fótons<br />
<strong>em</strong> microesferas fluorescentes <strong>da</strong> Polysciences de 9 µm de diâmetro presas <strong>na</strong> lâmi<strong>na</strong> e<br />
microesferas fluorescentes <strong>da</strong> Molecular Probes com 6 µm de diâmetro captura<strong>da</strong>s <strong>na</strong><br />
pinça óptica são vistas <strong>na</strong> Figura 96. Já a Figura 97 mostra a imagens <strong>da</strong> fluorescência de<br />
uma amostra de ZnSe, <strong>na</strong> qual se percebe que chegamos a saturar a câmera de vídeo do<br />
microscópio.<br />
a. b. c.<br />
Figura 96. Imagens de Fluorescência obti<strong>da</strong> por absorção de 2 fótons. a. Microesfera presa <strong>na</strong><br />
lâmi<strong>na</strong> com laser Tsu<strong>na</strong>mi incidindo com alta potência. b. Mesma microesfera com laser<br />
Tsu<strong>na</strong>mi incidindo com baixa potência. c. Microesfera captura<strong>da</strong> fluorescendo.<br />
Figura 97. Imagens do ZnSe <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de micrometros no microscópio.<br />
A Figura 98 apresenta os espectros de fluorescência obtidos com as microesferas<br />
cora<strong>da</strong>s com materiais similares a fluoresceí<strong>na</strong> e ro<strong>da</strong>mi<strong>na</strong> respectivamente (os nomes<br />
dos corantes origi<strong>na</strong>is não são fornecidos pelos fabricantes), as quais chamar<strong>em</strong>os de<br />
microesferas verdes (fluoresceí<strong>na</strong>) e laranja (ro<strong>da</strong>mi<strong>na</strong>), por causa <strong>da</strong> cor de suas<br />
<strong>em</strong>issões. Na mesma figura também t<strong>em</strong>os o espectro <strong>da</strong> fluorescência de uma amostra<br />
de ZnSe. As medi<strong>da</strong>s foram obti<strong>da</strong>s com microesferas de 2.5 e 6 µm de diâmetro, após<br />
atenuar a potência do Tsu<strong>na</strong>mi com filtros de densi<strong>da</strong>de neutra. Potências mais altas<br />
<strong>da</strong>nificavam chegando a ponto de evaporá‐las. O espectro que apresentou os picos de<br />
ressonância de Mie descrito no capítulo 3 está repetido <strong>na</strong> Figura 99.<br />
155
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
500 550 600<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
500 550 600 650<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
a. b.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
450 500 550 600<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
460 470 480 490<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
c. d.<br />
Figura 98. Espectros de fluorescência por absorção de 2 fótons. a. Ro<strong>da</strong>mi<strong>na</strong> – 1 s. b. Microesfera<br />
verde – 30 s. c. Microesfera laranja – 5 s. d. Luminescência do ZnSe.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
438 458 478 498<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 99. Espectros de fluorescência por absorção de 2 fótons – 60 s , curva verde – microesfera<br />
de 2.5 µm, curva vermelha – microesfera de 6 µm e modos MDR.<br />
Esses resultados d<strong>em</strong>onstram a possibili<strong>da</strong>de de obtenção de imagens por<br />
microscopia confocal multifóton no nosso sist<strong>em</strong>a experimental. Para tanto precisamos<br />
adquirir a intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> fluorescência <strong>em</strong> função <strong>da</strong> posição x, y e z do foco do laser, o<br />
que exigiria todo um investimento de software de comando. Nosso sist<strong>em</strong>a de<br />
156
varredura, entretanto, seria b<strong>em</strong> lento pois o estágio de translação <strong>da</strong> Prior é bastante<br />
pesado, requerendo t<strong>em</strong>po para movimentá‐lo. Isso inviabilizaria a obtenção de<br />
imagens <strong>em</strong> t<strong>em</strong>po real, mas não de amostras inorgânicas. Entretanto, a microscopia<br />
confocal multifóton hoje se trata de um equipamento comercial, não compensando<br />
esforço para simples reprodução de imagens com quali<strong>da</strong>de inferior aos mesmos. Juntálo<br />
à pinça óptica é novi<strong>da</strong>de e agrega valor, mas nesse caso o que mais desejamos é<br />
acompanhar processos di<strong>na</strong>micamente, ou seja, por varredura rápi<strong>da</strong>. Um dos motivos<br />
pelo qual deixamos de investir mais t<strong>em</strong>po <strong>na</strong> continui<strong>da</strong>de desse trabalho foi a<br />
aprovação <strong>da</strong> compra de um microscópio confocal multifóton comercial <strong>na</strong> FAPESP, no<br />
qual a varredura é feita com o laser e não <strong>na</strong> posição <strong>da</strong> amostra e portanto muito mais<br />
rápi<strong>da</strong>. Com isso poderíamos capturar um microorganismo e obter sua imag<strong>em</strong> <strong>em</strong> 3<br />
dimensões ao mesmo <strong>em</strong> que o manipulamos. Infelizmente as importações <strong>da</strong> FAPESP<br />
estão paralisa<strong>da</strong>s e ficamos s<strong>em</strong> esse equipamento.<br />
4.8 Processos Hiper Rayleigh e Hiper Raman<br />
Outros dois processos excitados por dois fótons que d<strong>em</strong>onstramos foram as<br />
medi<strong>da</strong>s do espalhamento Hiper Rayleigh e Hiper Raman. A Figura 100 ilustra esses<br />
processos, essencialmente s<strong>em</strong>elhantes ao Rayleigh e Raman, mas excitados com dois<br />
fótons no lugar de ape<strong>na</strong>s um. Por isso depend<strong>em</strong> <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de com I 2 , e se tratam de<br />
processos não lineares. De forma análoga à <strong>da</strong> fluorescência excita<strong>da</strong> por absorção<br />
multifotônica, apresentam as mesmas vantagens do ponto de vista de microscopia de<br />
alta resolução e <strong>em</strong> 3 dimensões [56]. Entretanto existe uma distinção clara nesses dois<br />
casos: a absorção multifotônica envolve uma transição entre estados reais <strong>em</strong><br />
ressonância com energia nhν, que não é necessário n<strong>em</strong> para o espalhamento Hiper<br />
Rayleigh n<strong>em</strong> para o Hiper Raman. Os estados tracejados são virtuais e o processo<br />
ocorre fora <strong>da</strong> ressonância pela interação entre o campo elétrico <strong>da</strong> radiação incidente a<br />
as moléculas do material.<br />
157
Energia<br />
Fóton<br />
Incidente<br />
λi<br />
Stokes<br />
λe<br />
fi<strong>na</strong>l<br />
Hyper<br />
Rayleigh<br />
fi<strong>na</strong>l<br />
a)<br />
inicial<br />
b)<br />
inicial<br />
Fóton<br />
estados vibracio<strong>na</strong>is<br />
Incidente<br />
Anti-Stokes<br />
λi<br />
λe<br />
inicial<br />
níveis vibracio<strong>na</strong>is<br />
fi<strong>na</strong>l<br />
c)<br />
Figura 100. a. Hiper Raman Stokes b. Hiper Rayleigh c. Hiper Raman anti‐Stokes.<br />
Em relação à expansão <strong>da</strong> polarização <strong>em</strong> série de Taylor, o Hiper Rayleigh<br />
aparece do termo<br />
2<br />
∂ P 2 2<br />
δ x e ( E )cos ( ω t )<br />
∂x<br />
2<br />
e<br />
(4. 18).<br />
Como<br />
2<br />
cos ( ω t) = ( 1+ cos 2ω t)/<br />
2, essa parcela <strong>da</strong> polarização vai <strong>da</strong>r orig<strong>em</strong> a uma<br />
componente contínua, chama<strong>da</strong> de retificação óptica, e outra no dobro <strong>da</strong> freqüência do<br />
campo incidente, ou segun<strong>da</strong> harmônica. Comparado com o termo do espalhamento<br />
Rayleigh ( ∂P/ ∂x ) δx ( E)cos( ω t)<br />
, pod<strong>em</strong>os perceber que os tensores envolvidos,<br />
2 2<br />
e<br />
e<br />
( ∂ P/ ∂ x e ) para o Hiper Rayleigh, e ( ∂P/ ∂ x e ) para o Rayleigh, possu<strong>em</strong> pari<strong>da</strong>des<br />
diferentes, com uma deriva<strong>da</strong> a mais no Hiper Rayleigh. Em moléculas ou cristais com<br />
simetria de in<strong>versão</strong> não se nota diferença <strong>em</strong> qualquer proprie<strong>da</strong>de com a troca de r <br />
por<br />
−r<br />
. O tensor do Hiper Rayleigh t<strong>em</strong> a mesma pari<strong>da</strong>de <strong>da</strong> polarização P, ou seja<br />
ímpar, enquanto o tensor do Rayleigh é par. Isso significa que o espalhamento Hiper<br />
Rayleigh <strong>em</strong> moléculas com simetria de in<strong>versão</strong> é proibido. Entretanto, essas simetrias<br />
tend<strong>em</strong> a ser quebra<strong>da</strong>s <strong>na</strong>s interfaces. Por esse motivo o espalhamento Hiper Rayleigh<br />
é aplicado no estudo <strong>da</strong>s mesmas. Pelos mesmos motivos, a microscopia através do<br />
Hiper Rayleigh, conheci<strong>da</strong> também como Microscopia SHG, é especialmente boa para<br />
158
d<strong>em</strong>arcar os contornos. Por outro lado a intensi<strong>da</strong>de de um si<strong>na</strong>l de interfaces tende a<br />
ser b<strong>em</strong> menor do que a de si<strong>na</strong>is de volume.<br />
O termo <strong>da</strong> série de Taylor que dá orig<strong>em</strong> ao Hiper Raman envolve uma<br />
deriva<strong>da</strong> <strong>em</strong> relação às coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s nucleares e duas <strong>em</strong> relação às eletrônicas, <strong>da</strong><br />
forma<br />
3<br />
∂ P<br />
∂x<br />
∂x<br />
n<br />
2 2<br />
δx ( )cos ( )cos( )<br />
2 nδxe E ω t ωfônont<br />
e<br />
(4. 19).<br />
Combi<strong>na</strong>ndo os cosenos <strong>da</strong> forma<br />
2<br />
cos ( t) cos(<br />
fônon<br />
t) [ cos( t)]cos( fônon<br />
t)/<br />
ω ω = 1+ 2ω ω 2,<br />
obt<strong>em</strong>os as diferentes componentes:<br />
⎡cos( fônon<br />
t)/ 2 ⎡cos ( 2<br />
fônon) t / 4⎤<br />
⎣<br />
ω ⎤<br />
⎦<br />
+ ⎡<br />
⎣<br />
ω−ω ⎤<br />
⎦<br />
−⎡ ⎣<br />
cos[( 2ω+ωfônon<br />
) t]/<br />
4⎤<br />
⎣<br />
⎦<br />
⎦<br />
(4. 20),<br />
que correspond<strong>em</strong> a si<strong>na</strong>is gerados <strong>na</strong>s freqüências 2ω −ω para o Hiper Raman Stokes,<br />
e 2ω+ω para o Hiper Raman anti‐Stokes. Comparado ao Raman, cujo tensor é <strong>da</strong>do<br />
n<br />
por ( ∂ 2 P/<br />
∂xn∂x e)<br />
; o Hiper Raman, com o tensor ( ∂ 3 / ∂ 2<br />
n∂<br />
e )<br />
n<br />
P x x , t<strong>em</strong> uma deriva<strong>da</strong> à<br />
mais e, portanto, pari<strong>da</strong>de troca<strong>da</strong>. Isso significa que as regras de seleção<br />
espectroscópicas do Hiper Raman são diferentes <strong>da</strong>s regras de seleção do Raman.<br />
Especialmente, para amostras com simetrias de in<strong>versão</strong> e portanto uma técnica<br />
compl<strong>em</strong>enta a outra, vendo os modos que a outra deixa de observar. Em outras<br />
palavras o Hiper Raman contém informações espectroscópicas diferentes <strong>da</strong>s do<br />
Raman. O Hiper Raman nos fornece a mesma informação que a espectroscopia por<br />
absorção de infravermelho e mais os chamados “modos silenciosos”. Todos os modos<br />
ativos <strong>na</strong> espectroscopia por absorção de infravermelho são também ativos no Hiper<br />
Raman mas n<strong>em</strong> todos os modos ativos no Hiper Raman o são <strong>na</strong> espectroscopia por<br />
absorção de infravermelho.<br />
No vocabulário de óptica não linear a expansão <strong>da</strong> polarização é feita <strong>em</strong> termos<br />
<br />
(1) (2) (3)<br />
do campo elétrico <strong>na</strong> forma: P = P1 + P2 + P3 + ... = χ E + χ : EE + χ : EEE + ... <strong>em</strong><br />
que χʹs são as susceptibili<strong>da</strong>des. Essa é a linguag<strong>em</strong> preferi<strong>da</strong> <strong>da</strong>s pessoas que<br />
trabalham com óptica não linear <strong>em</strong> sólidos e superfícies, feixes de lasers b<strong>em</strong><br />
159
direcio<strong>na</strong>dos, com regras de seleção e condições de “phase matching” b<strong>em</strong> defini<strong>da</strong>s.<br />
Termos que envolv<strong>em</strong> dois campos elétricos pod<strong>em</strong> gerar segundos harmônicos, ou<br />
freqüências soma e diferença, já termos com 3 campos elétricos pod<strong>em</strong> gerar terceiros<br />
harmônicos e misturas de 4 on<strong>da</strong>s. Normalmente os mesmos utilizam termos como<br />
geração de segundo harmônico, SHG, terceiro harmônico, THG, mistura de duas e<br />
quatro on<strong>da</strong>s, efeito Kerr, etc. Já a comuni<strong>da</strong>de de química, que trabalha mais com<br />
moléculas livres <strong>em</strong> soluções, prefere a notação <strong>em</strong> termos <strong>da</strong>s polarizabili<strong>da</strong>des e<br />
Hiperpolarizabili<strong>da</strong>des <strong>da</strong> forma:<br />
<br />
P = P 1 1<br />
1 + P2 + P3<br />
+ ... = α E+ 2<br />
β : EE+ 6<br />
γ : EEE+<br />
... ,<br />
onde α é a polarizibili<strong>da</strong>de (tensor de rank 2), β é a Hiperpolarizibili<strong>da</strong>de (tensor de<br />
rank 3) e γ é a segun<strong>da</strong> Hiperpolarizibili<strong>da</strong>de (tensor de rank 4). Comumente utilizam a<br />
palavra espalhamento pouco utiliza<strong>da</strong> pela comuni<strong>da</strong>de de óptica não linear. Nesse<br />
caso se refer<strong>em</strong> a espalhamentos Hiper Rayleigh <strong>em</strong> lugar de SHG, Hiper Raman <strong>em</strong><br />
lugar de mistura de quatro on<strong>da</strong>s, etc. Comparando com a expansão de Taylor anterior<br />
perceb<strong>em</strong>os que P 1<br />
está relacio<strong>na</strong>do aos espalhamentos Rayleigh e Raman, P <br />
2<br />
está<br />
relacio<strong>na</strong>do aos efeitos Hiper Rayleigh e Hiper Raman e P <br />
3<br />
aos segundos Hiper<br />
Rayleigh e Hiper Raman.<br />
É necessário ter clara a distinção entre o espalhamento Hiper Raman <strong>na</strong>s<br />
freqüências 2ω±ω e o espalhamento Raman do segundo harmônico <strong>na</strong> mesma<br />
fônon<br />
freqüência. Os si<strong>na</strong>is do espalhamento Hiper Raman são gerados diretamente através<br />
de dois fótons <strong>na</strong> freqüência ω e um fônon, s<strong>em</strong> necessi<strong>da</strong>de sequer <strong>da</strong> geração do<br />
segundo harmônico. Em linguag<strong>em</strong> química poderíamos simbolizá‐lo como uma reação<br />
ape<strong>na</strong>s do tipo 1 fóton( ω+ ) 1 fóton( ω+ ) 1 fônon( ω) ⇒1 fóton( 2ω±ω ). Já o espalhamento<br />
Raman do segundo harmônico usa dois processos <strong>em</strong> cascata que pod<strong>em</strong>os simbolizar<br />
como 1 fóton ( ω+ ) 1 fóton( ω⇒ ) 1 fóton ( 2ω ) para o primeiro processo, e para o segundo<br />
1 fóton( 2ω+ ) 1 fônon( ω) ⇒1 fóton( 2ω±ω ). Ape<strong>na</strong>s <strong>em</strong> materiais nos quais a geração de<br />
f<br />
f<br />
f<br />
f<br />
160
segundo harmônico é muito intensa, o Raman do segundo harmônico pode ser tão<br />
intenso quanto o Hiper Raman.<br />
Outro aspecto relevante <strong>na</strong>s comparações entre Rayleigh & Raman versus Hiper<br />
Rayleigh & Hiper Raman, v<strong>em</strong> <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de relativa entre os espalhamentos Rayleigh<br />
e Raman. Em ambos os casos o Raman envolve um tensor de ord<strong>em</strong> mais alta do que o<br />
Rayleigh, entretanto, enquanto o espalhamento Raman é várias ordens de grandeza<br />
menos intenso do que o espalhamento Rayleigh, isso não é ver<strong>da</strong>de para os<br />
espalhamentos Hiper Raman e Hiper Rayleigh, que pod<strong>em</strong> ter intensi<strong>da</strong>des <strong>da</strong> mesma<br />
ord<strong>em</strong> de grandeza. Isso porque o Hiper Rayleigh tende a ser proibido e é um efeito de<br />
superfície enquanto o Hiper Raman é de volume. Na prática isso significa que para<br />
observar o espalhamento Raman é necessário rejeitar o Rayleigh, mas os espalhamentos<br />
Hiper Rayleigh e Hiper Raman pod<strong>em</strong> ser observados simultaneamente no mesmo<br />
espectro. Isso traz uma grande vantag<strong>em</strong> para o Hiper Raman <strong>em</strong> relação ao Raman. No<br />
caso do Raman, não foi possível utilizar a grande janela de sintonia do laser de a<br />
Ti:Safira para procurar espalhamentos Raman resso<strong>na</strong>ntes por que os filtros NOTCH<br />
não são sintonizáveis. No espalhamento Hiper Raman, entretanto, não sendo necessário<br />
rejeitar o Hiper Rayleigh, pod<strong>em</strong>os sintonizar o laser continuamente. Além disso, os<br />
Hiper Raman entram <strong>em</strong> ressonância quando 2<br />
ω = Ef −Ei, que, para o segundo<br />
harmônico do laser de Ti:Safira, representa o intervalo de comprimento de on<strong>da</strong> de 350<br />
‐500 nm, já no limiar do ultravioleta, região <strong>em</strong> que a maioria <strong>da</strong>s amostras apresentam<br />
níveis eletrônicos.<br />
Após essa apresentação de tantas vantagens do Hiper Raman alguém poderia se<br />
perguntar porque essa técnica é tão pouco utiliza<strong>da</strong> comparativamente ao Raman<br />
<strong>em</strong>bora tenha sido d<strong>em</strong>onstra<strong>da</strong> ain<strong>da</strong> <strong>na</strong> déca<strong>da</strong> de 1960. O grande probl<strong>em</strong>a é sua<br />
baixa eficiência e a necessi<strong>da</strong>de de uso de lasers de potências de pico muito intensas,<br />
como qualquer processo de dois fótons. Os relatos de obtenção de espectros Hiper<br />
Raman mostram espectros, comumente de curvas ponto a ponto, que d<strong>em</strong>oravam horas<br />
161
para ser<strong>em</strong> obtidos. O laser de escolha era o Nd:YAG Q‐switch/mode‐locked com um<br />
tr<strong>em</strong> de pulsos de duração <strong>em</strong> torno de 100 picosegundos separados por 10 ns e taxa de<br />
repetição <strong>em</strong> torno de 10 Hz. Entretanto, lasers de f<strong>em</strong>tosegundos e taxas de repetição<br />
de 80 MHz mu<strong>da</strong>m <strong>completa</strong>mente esse quadro. Primeiro porque a potência de pico de<br />
pulsos de 100 fs tende a ser mil vezes maior do que a de pulsos de 100 ps. Entretanto<br />
esse ganho <strong>na</strong> potência de pico pode ser limitado pelos limiares de <strong>da</strong>nos. Os<br />
mecanismos de limiares de <strong>da</strong>nos para efeitos térmicos e cumulativos, que depend<strong>em</strong><br />
<strong>da</strong> energia deposita<strong>da</strong> no material <strong>em</strong> t<strong>em</strong>pos longos são <strong>completa</strong>mente diferentes dos<br />
limiares de <strong>da</strong>nos para pulsos muito curtos. Nesse caso, campos elétricos muito<br />
intensos pod<strong>em</strong> gerar “optical breakdown” e ionização. Esse limiar é definido <strong>em</strong><br />
termos <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de, geralmente <strong>na</strong> faixa de TW/cm 2 , mesmo nos casos <strong>em</strong> que a<br />
energia por pulso é muito peque<strong>na</strong>. O outro limiar de <strong>da</strong>nos térmicos de lasers com<br />
repetição de 80 MHz é <strong>da</strong>do por sua potência média, como se fosse um laser cw. Como<br />
a absorção linear no infravermelho é baixa esse limiar tende a ser mais alto do que o de<br />
lasers cw no visível.<br />
Entretanto, mesmo considerando o caso <strong>em</strong> que as intensi<strong>da</strong>des de pico são<br />
iguais entre os lasers de Ti:Safira atuais e os lasers de Nd:YAG utilizados no passado, a<br />
taxa de repetição de 80 MHz compara<strong>da</strong> à de 10 Hz permite um ganho <strong>na</strong> relação<br />
si<strong>na</strong>l/ruído de quase 10 7 . Nesse aspecto 3 horas de t<strong>em</strong>po de acumulação com um laser<br />
de 10 Hz teria o mesmo número de pulsos contidos <strong>em</strong> 1 ms de um laser com 100 MHz.<br />
Por isso fomos capazes de observar espectros Hiper Raman <strong>em</strong> até 1 minuto, t<strong>em</strong>pos de<br />
acumulação <strong>da</strong> mesma ord<strong>em</strong> de grandeza do Raman, mesmo s<strong>em</strong> a coleta óptica<br />
otimiza<strong>da</strong> para o Hiper Raman. Com espelhos dicróicos adequados pod<strong>em</strong>os aumentar<br />
nossa eficiência de excitação e coleta por um fator 2 pelo menos. Essa é uma vantag<strong>em</strong><br />
muito importante para a microscopia, pois viabiliza a obtenção de imagens com<br />
resolução por Hiper Raman <strong>em</strong> questão de deze<strong>na</strong>s de minutos. O Hiper Raman para<br />
microscopia traz duas vantagens fun<strong>da</strong>mentais: (1) é quimicamente específico como o<br />
Raman e (2) sendo um processo de 2 fótons é intrinsecamente confocal com as mesmas<br />
162
vantagens para reconstrução de imagens <strong>em</strong> 3 D de alta resolução <strong>da</strong> microscopia<br />
confocal multifóton.<br />
4.9 Resultados de Hiper Raman e Hiper Rayleigh<br />
A Figura 101, mostra os espectros de Hiper Rayleigh e Hiper Raman do Tita<strong>na</strong>to<br />
de Estrôncio – SrTiO3, que serv<strong>em</strong> para caracterizar nossa instrumentação pois seus<br />
picos Hiper Raman são b<strong>em</strong> conhecidos e documentados [57, 58]. Notamos que<br />
pod<strong>em</strong>os ver o pico do Hiper Raman <strong>na</strong> mesma escala que o Hiper Rayleigh. As<br />
legen<strong>da</strong>s <strong>da</strong>s figuras apresentam as informações sobre potências e t<strong>em</strong>pos de exposição<br />
utiliza<strong>da</strong>s. Apesar do pico do Hiper Rayleigh conter pouca informação do ponto de<br />
vista espectroscópico ele é excelente do ponto de vista do alinhamento e otimização <strong>da</strong><br />
medi<strong>da</strong>. Como ele é mais intenso e mais fácil de observar, nós otimizamos o sist<strong>em</strong>a<br />
através dele para só depois adquirir o Hiper Raman. Nessas medi<strong>da</strong>s usamos uma<br />
pastilha como amostra <strong>em</strong> lugar de um cristal para evitar probl<strong>em</strong>as com as regras de<br />
seleção e a orientação cristali<strong>na</strong>. Ambos os espectros, Hiper Rayleigh e Hiper Raman<br />
são, no mínimo, tão largos quanto o segundo harmônico do espectro do pulso utilizado,<br />
ou seja, <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 250 cm ‐1 . Por isso alguns picos citados <strong>na</strong> literatura, geralmente<br />
obtidos com pulsos de picosegundos, foram encobertos pela linha do Hiper Rayleigh no<br />
nosso caso.<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a. u.)<br />
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
390 395 400 405 410 415<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
500 600 700 800 900 1000<br />
raman shift (cm-1)<br />
Figura 101. Hiper Rayleigh e Hiper Raman do TiSrO3 – 60 s.<br />
Também medimos o Hiper Rayleigh de uma microesfera de sílica captura<strong>da</strong>, assim<br />
como mostra a Figura 102.<br />
163
Intensi<strong>da</strong>de (a.u.)<br />
380 390 400 410<br />
comprimento de on<strong>da</strong> (nm)<br />
Figura 102. Hiper Rayleigh de uma microesfera de vidro captura<strong>da</strong> ‐ 60 s.<br />
4.10 Integrando as Espectroscopias<br />
As figuras apresenta<strong>da</strong>s ao longo desse capítulo dão uma boa idéia do conjunto<br />
de possibili<strong>da</strong>des de espectroscopias e microscopias que abrimos com esse trabalho.<br />
Raman <strong>na</strong> região de 800 nm com laser de Ti:Safira cw, fluorescência <strong>na</strong> região de 500‐<br />
600 nm excita<strong>da</strong>s por absorção de dois fótons e Hiper Rayleigh & Hiper Raman <strong>na</strong><br />
região de 400 nm. Com isso d<strong>em</strong>onstramos que to<strong>da</strong>s espectroscopias pod<strong>em</strong> ser<br />
acopla<strong>da</strong>s <strong>em</strong> uma mesma e única montag<strong>em</strong>, agrega<strong>da</strong>s à pinça óptica, utilizando um<br />
microscópio comercial, conforme foi apresentado no capítulo 2. Todos os espectros<br />
foram obtidos com poucos segundos. Desse modo, com o micro‐Raman, o micro Hiper<br />
Raman, a pinça óptica e mais as luminescências que somos capazes obter através <strong>da</strong><br />
absorção de 2 fótons t<strong>em</strong>os agora uma ferramenta <strong>completa</strong> para estu<strong>da</strong>r células vivas e<br />
uma grande varie<strong>da</strong>de de amostras <strong>em</strong> um mesmo sist<strong>em</strong>a experimental. Pod<strong>em</strong>os<br />
fazer medi<strong>da</strong>s de uma única célula <strong>em</strong> movimento ou não pois t<strong>em</strong>os a possibili<strong>da</strong>de<br />
capturá‐la. Também somos capazes de realizar aplicações <strong>em</strong> t<strong>em</strong>po real se assim for<br />
desejável, com direito a observar alterações gera<strong>da</strong>s por qualquer modificação <strong>na</strong><br />
ativi<strong>da</strong>de celular, sendo a mesma causa<strong>da</strong> ou não por uma substância acresci<strong>da</strong> ao meio<br />
onde a partícula biológica está através do monitoramento <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong><br />
fluorescência ou <strong>da</strong> observação de picos de Raman. Os espectros de Hiper Raman foram<br />
obtidos com 60 s, t<strong>em</strong>po que só pode ser obtido quando se usa um laser de<br />
f<strong>em</strong>tosegundos com 80 megahertz de repetição. As espectroscopias de Hiper Raman e<br />
164
Hiper Rayleigh, por também ser<strong>em</strong> um efeito não linear, além de ter<strong>em</strong> as mesmas<br />
vantagens que a espectroscopia de multifóton e também poder<strong>em</strong> ser usa<strong>da</strong>s para se<br />
fazer imagens de alta resolução, se for<strong>em</strong> aplica<strong>da</strong>s <strong>na</strong> biologia ain<strong>da</strong> t<strong>em</strong> a vantag<strong>em</strong><br />
adicio<strong>na</strong>l de não causar <strong>da</strong>no algum para a célula. A espectroscopia multifotônica pode<br />
causar alguns <strong>da</strong>nos a célula pois exige o uso de corantes que geralmente são bastante<br />
tóxicos. Apesar <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de para esses espalhamentos ser<strong>em</strong> b<strong>em</strong> menos intensa, já<br />
exist<strong>em</strong> relatos do uso de Hiper Rayleigh <strong>na</strong> área biomédica [59]. T<strong>em</strong>os então no fi<strong>na</strong>l<br />
um sist<strong>em</strong>a de microespectroscopia bastante eficiente para diversos tipos estudos que<br />
pode envolver desde materiais biológicos até amostra de estado sólido.<br />
165
166
Capítulo 5<br />
Óptica geométrica, Hidrodinâmica e Aplicações <strong>da</strong><br />
Pinça Óptica<br />
Na minha dissertação de Mestrado [60] nós desenvolv<strong>em</strong>os um modelo de óptica<br />
geométrica para calcular a força óptica <strong>em</strong> uma esfera e usamos um método de<br />
calibração comparando‐a com a força de arraste hidrodinâmica entre dois planos<br />
infinitos, o fundo <strong>da</strong> lâmi<strong>na</strong> e a superfície <strong>da</strong> lamínula <strong>em</strong> uma câmara de Neubauer de<br />
100 µm de profundi<strong>da</strong>de, cuja solução é conheci<strong>da</strong> [61]. Os resultados dessa calibração<br />
foram bastante razoáveis, mesmo s<strong>em</strong> tomar maiores cui<strong>da</strong>dos com a medi<strong>da</strong> <strong>da</strong><br />
potência do laser, como discutido no capítulo 2. Ao longo do trabalho de doutorado<br />
perceb<strong>em</strong>os a importância do uso <strong>da</strong> esfera integradora e reobtiv<strong>em</strong>os as medi<strong>da</strong>s <strong>da</strong><br />
potência do laser após a objetiva. Dessa forma, a primeira aplicação <strong>da</strong> pinça óptica<br />
discuti<strong>da</strong> nesse capítulo trata de uma reanálise dos nossos <strong>da</strong>dos de calibração <strong>da</strong> pinça<br />
óptica com as novas medi<strong>da</strong>s de potência. Assim, só reapresentar<strong>em</strong>os de forma<br />
167
esumi<strong>da</strong> os desenvolvimentos <strong>da</strong> Tese de Mestrado que são necessários para a<br />
obtenção desses novos resultados.<br />
Apesar do modelo eletromagnético fornecer uma descrição mais <strong>completa</strong> e<br />
correta sobre a pinça óptica, o modelo de óptica geométrica para x>> a λ >> 1 (a é o<br />
raio <strong>da</strong> partícula e λ é o comprimento de on<strong>da</strong>) é suficient<strong>em</strong>ente preciso para pequenos<br />
deslocamentos <strong>em</strong> torno <strong>da</strong> posição de equilíbrio e pode ser utilizado <strong>em</strong> medi<strong>da</strong>s de<br />
força, principalmente quando b<strong>em</strong> calibrado. Para tanto, nós s<strong>em</strong>pre evitamos, desde o<br />
Mestrado, medi<strong>da</strong>s que envolv<strong>em</strong> a veloci<strong>da</strong>de <strong>na</strong> qual a microesfera se solta <strong>da</strong> pinça<br />
óptica. S<strong>em</strong>pre preferimos medir pequenos deslocamentos <strong>da</strong> partícula causados pela<br />
força de arraste <strong>em</strong> um fluido com veloci<strong>da</strong>des controla<strong>da</strong>s. Com isso, garantimos<br />
maior compatibili<strong>da</strong>de entre os modelos <strong>da</strong> óptica geométrica e eletromagnética. O<br />
aspecto <strong>da</strong> calibração é recorrente nos trabalhos de muitos autores <strong>na</strong> área de pinças<br />
ópticas devido a sua importância estratégica para o uso <strong>da</strong>s mesmas como técnica de<br />
medi<strong>da</strong>s quantitativas de proprie<strong>da</strong>des mecânicas no mundo microscópico.<br />
Essa calibração, por ex<strong>em</strong>plo, nos permitiu quantificar a força de um protozoário<br />
importante <strong>na</strong> área <strong>da</strong> saúde como a Leishmania amazonensis, <strong>na</strong> sua forma<br />
promastigotas, que causa a Leishmaniose, uma doença endêmica no Brasil. O objetivo<br />
fi<strong>na</strong>l foi o de <strong>da</strong>r um primeiro passo para entender o seu comportamento <strong>na</strong>s<br />
proximi<strong>da</strong>des <strong>da</strong> célula alvo, o macrófago, por ela infecta<strong>da</strong>. Desde então perceb<strong>em</strong>os a<br />
importância de estu<strong>da</strong>r a quimiotaxia de microorganismos, para a qual a medi<strong>da</strong> <strong>da</strong><br />
força e sua direcio<strong>na</strong>li<strong>da</strong>de são fun<strong>da</strong>mentais.<br />
Também no Mestrado desenvolv<strong>em</strong>os um modelo simples para medi<strong>da</strong> <strong>da</strong><br />
elastici<strong>da</strong>de <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias que nos permitiu obter resultados quantitativos. Isso<br />
representou um grande avanço <strong>na</strong> época uma vez que era comum a apresentação de<br />
resultados ape<strong>na</strong>s através <strong>da</strong> quanti<strong>da</strong>de de si<strong>na</strong>is <strong>em</strong> forma cruzes, ou seja,<br />
qualitativos. Esse trabalho teve continui<strong>da</strong>de do ponto de vista médico e a mesma<br />
técnica foi utiliza<strong>da</strong> <strong>em</strong> diversas condições h<strong>em</strong>atológicas. Mesmo considerando que a<br />
simplici<strong>da</strong>de do modelo não permitiria a obtenção de resultados numéricos absolutos, o<br />
168
fato é que, mantendo as mesmas condições pod<strong>em</strong>os obter resultados comparativos<br />
com muito mais sensibili<strong>da</strong>de dos que os métodos qualitativos utilizados até então. Do<br />
ponto de vista experimental procuramos vali<strong>da</strong>r o método estu<strong>da</strong>ndo seu<br />
comportamento contra as previsões do modelo simples, nos certificando que quaisquer<br />
diferenças entre valores reais e valores obtidos estivess<strong>em</strong> <strong>em</strong> uma constante<br />
multiplicativa. Para garantir a comparabili<strong>da</strong>de, as medi<strong>da</strong>s obti<strong>da</strong>s para essas<br />
aplicações foram realiza<strong>da</strong>s s<strong>em</strong>pre dentro do mesmo procedimento. Nesse capítulo<br />
apresentamos, de forma sintetiza<strong>da</strong>, os resultados desse trabalho realizado <strong>em</strong><br />
colaboração com o H<strong>em</strong>ocentro <strong>da</strong> UNICAMP. Mostramos que vantagens essa técnica<br />
pode oferecer <strong>em</strong> termos de sensibili<strong>da</strong>de e individuali<strong>da</strong>de do método de medi<strong>da</strong>, nos<br />
permitindo caracterizar e diferenciar h<strong>em</strong>ácias <strong>em</strong> diversas condições, tais como, células<br />
estoca<strong>da</strong>s, irradia<strong>da</strong>s e de pacientes com an<strong>em</strong>ia falciforme.<br />
Ao mesmo t<strong>em</strong>po, do ponto de vista <strong>da</strong> física envolvi<strong>da</strong>, procuramos <strong>da</strong>r maior<br />
suporte teórico ao modelo simples, para justificá‐lo ou substituí‐lo por modelos com<br />
medi<strong>da</strong>s de valores absolutos. O aspecto que levantou as maiores discussões parece<br />
estar concentrado no modelo de escoamento de Couette que utilizamos para<br />
hidrodinâmica <strong>em</strong> baixos números de Reynolds. Dessa forma decidimos estu<strong>da</strong>r a<br />
hidrodinâmica mais a fundo, a princípio procurando por soluções já prontas para o<br />
arraste de um corpo com uma geometria pla<strong>na</strong> entre duas paredes. Para nossa surpresa<br />
não conseguimos encontrar <strong>em</strong> to<strong>da</strong> a literatura uma solução para o probl<strong>em</strong>a de um<br />
disco ou uma placa se movendo com veloci<strong>da</strong>de uniforme nessas condições. Também<br />
perceb<strong>em</strong>os que só <strong>na</strong> última déca<strong>da</strong> os probl<strong>em</strong>as de hidrodinâmica <strong>em</strong> baixos<br />
números de Reynolds se tor<strong>na</strong>ram suficient<strong>em</strong>ente importantes para merecer<strong>em</strong> a<br />
atenção dos pesquisadores. Encontramos trabalhos tão recentes quanto 2002 e 2003<br />
nessa área. Isso porque, <strong>em</strong>bora pareçam simples e análogos a probl<strong>em</strong>as de<br />
eletrostática, os probl<strong>em</strong>as hidrodinâmicos são muito mais complicados. Nesse capítulo,<br />
portanto, relatamos os resultados dos nossos estudos <strong>da</strong> hidrodinâmica <strong>em</strong> baixos<br />
números de Reynolds incluindo alguns teor<strong>em</strong>as que justificam nossas aproximações<br />
169
geométricas para a h<strong>em</strong>ácia. O universo habitado pelos microorganismos, de baixos<br />
números de Reynolds, é um universo pré‐Galileano, s<strong>em</strong> inércia, no qual os corpos só se<br />
movimentam <strong>na</strong> presença de uma força e param instantaneamente <strong>na</strong> ausência <strong>da</strong>s<br />
mesmas, e onde as forças de arraste vêm acompanha<strong>da</strong>s, inevitavelmente, por variações<br />
de pressão. Essas forças hidrodinâmicas provavelmente são muito mais relevantes para<br />
esses seres, com densi<strong>da</strong>de igual à <strong>da</strong> água, do que as advin<strong>da</strong>s do campo gravitacio<strong>na</strong>l,<br />
ao contrário do mundo <strong>em</strong> que nós habitamos.<br />
5.1 Calibração <strong>da</strong> Pinça Óptica<br />
5.1.1 Teoria Óptica Geométrica<br />
O primeiro passo para calcular a força óptica <strong>na</strong> aproximação geométrica foi<br />
calcular a força que um único pincel de luz exerce sobre um uma esfera considerando<br />
to<strong>da</strong>s as suas refrações e reflexões, Figura 103 [1, 62, 63].<br />
Figura 103. Reflexões e refrações de um pincel de luz dentro de uma esfera. Orig<strong>em</strong> <strong>da</strong>s<br />
coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s no centro <strong>da</strong> esfera e o eixo z’ está <strong>na</strong> direção do pincel de luz incidente.<br />
e y’ são:<br />
Desse modo, as força de um único pincel de luz sobre a esfera <strong>na</strong>s coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s z’<br />
n1<br />
P ⎡<br />
Fy<br />
ʹ = −R sin π+ σ + T R sin α + nβ<br />
c ⎢⎣<br />
∑ ∞<br />
n=<br />
0<br />
⎥<br />
(5. 1)<br />
2 n<br />
( 2 ) ( )<br />
n ⎡<br />
⎤<br />
= ⎢ − ( π + σ) + ∑ ∞<br />
1<br />
P<br />
2 n<br />
Fzʹ 1 R cos 2 T R cos( α + nβ) c<br />
⎥⎦ (5. 2)<br />
⎣<br />
n=0<br />
⎤<br />
⎦<br />
170
Para realizar os somatórios, escrev<strong>em</strong>os as forças no plano complexo através <strong>da</strong><br />
transformação<br />
F<br />
c<br />
Fz′ + iFy′<br />
= e assim as somas se tor<strong>na</strong>m séries geométricas e t<strong>em</strong>os:<br />
n ⎛<br />
⎡<br />
1<br />
P<br />
⎜<br />
2<br />
F c<br />
= 1 + R exp ( 2σi)<br />
− T exp( iα<br />
)<br />
⎢<br />
c ⎝<br />
⎣1<br />
−<br />
1<br />
R exp(<br />
⎤ ⎞<br />
⎥<br />
⎟<br />
iβ)<br />
⎦ ⎠<br />
(5. 3)<br />
Onde α = 2(σ ‐ x), β = (π ‐ 2 x) e sin x = n sinσ. A variável σ é o ângulo de<br />
incidência, n = n1/n2 é o índice de refração relativo sendo n1 o índice de refração referente<br />
ao fluido e n2 a esfera., c é a veloci<strong>da</strong>de <strong>da</strong> luz e P é a potência do laser. As variáveis<br />
( tan ( ) tan ( )) 2<br />
R= σ−x σ+ x e T = 1 − R são, respectivamente, a refletância e a<br />
transmitância para um pincel linearmente polarizado. Dentre outros parâmetros, a força<br />
F<br />
c<br />
depende do índice de refração relativo e do ângulo de incidência.<br />
O ângulo de incidência varia para ca<strong>da</strong> pincel, então é necessário trocar a orig<strong>em</strong><br />
e o sist<strong>em</strong>a de coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s para uma posição fixa que escolh<strong>em</strong>os ser o foco do feixe de<br />
laser, Figura 104. Escrevendo o ângulo de incidência σ <strong>em</strong> função dos vetores δ e r <br />
t<strong>em</strong>os que a expressão fi<strong>na</strong>l de força dependerá somente do deslocamento r vetor<br />
(variável que conecta o foco do feixe ao centro <strong>da</strong> esfera), o ângulo de convergência do<br />
feixe (abertura numérica), o raio <strong>da</strong> esfera, a potência do laser (que consideramos ser<br />
igual para ca<strong>da</strong> pincel) e o índice de refração relativo, todos parâmetros conhecidos.<br />
Usando a lei dos cossenos t<strong>em</strong>os que,<br />
<br />
onde d = δ , δ− r = a<br />
( ) 2<br />
2<br />
σ= arccos ⎡ 1+ d − r a 2d⎤<br />
(5. 4),<br />
⎣ ⎦<br />
→<br />
e o deslocamento r = ( r sin γ , 0, r cos γ ) .<br />
Figura 104. Troca do sist<strong>em</strong>a de coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s e definição de ângulos e vetores.<br />
171
A força de todo o feixe cônico do laser é obtido pela integração<br />
∫ →<br />
∫<br />
F = F dA dA .<br />
Na Tese de Mestrado obtiv<strong>em</strong>os o diferencial de integração através de r = f tgθ, de<br />
modo que<br />
2 2<br />
rdrdϕ= f sec θtgθdθdϕ conforme Ashkin havia proposto. Aqui corrigimos<br />
isso usando a condição seno de Abbe para a qual<br />
r = f senθ e<br />
rdrdϕ = f 2 senθcosθdθdϕ.<br />
A Figura 105 mostra a geometria de integração do feixe de laser incidente. A expressão<br />
<strong>da</strong> força óptica e seus valores foram obtidos usando Math<strong>em</strong>atica.<br />
z<br />
θ<br />
d<br />
y<br />
x<br />
Figura 105. Geometria de integração do feixe de laser incidente.<br />
5.1.2 Teoria Hidrodinâmica<br />
A força hidrodinâmica de arraste <strong>em</strong> uma esfera <strong>em</strong> veloci<strong>da</strong>de constante <strong>na</strong><br />
presença de duas paredes é um dos poucos probl<strong>em</strong>as hidrodinâmicos <strong>em</strong> baixos<br />
números de Reynolds suficient<strong>em</strong>ente estu<strong>da</strong>do. A presença <strong>da</strong>s paredes não permite<br />
que se utilize simplesmente a força de Stokes. O desenvolvimento desse trabalho foi<br />
abor<strong>da</strong>do <strong>na</strong> minha Tese de Mestrado seguindo os passos de Faxen descritos no livro de<br />
Brenner.<br />
As equações diferenciais <strong>em</strong> baixos números de Reynolds,<br />
2<br />
<br />
µ∇ v=∇p e ∇ ⋅ v=<br />
0,<br />
onde v é a veloci<strong>da</strong>de, p a pressão e µ a viscosi<strong>da</strong>de do fluido, são conheci<strong>da</strong>s como<br />
equações de “creeping motion”, serão deduzi<strong>da</strong>s <strong>na</strong> seção de hidrodinâmica desse<br />
capítulo. As equações do regime de “creeping motion”, ao contrário do regime oposto<br />
com altos números de Reynolds, são lineares, garantindo o princípio <strong>da</strong> superposição<br />
de soluções. Para incluir a correção <strong>da</strong>s paredes é necessário resolver essas equações<br />
<br />
com as condições de contorno de “non slip”, i.e., v = u para o fluido adjacente à<br />
172
partícula e v = 0<br />
para o fluido <strong>na</strong>s paredes. Para garantir as condições de contorno <strong>na</strong>s<br />
paredes é preciso incluir imagens, mais complica<strong>da</strong>s do que as imagens <strong>da</strong> eletrostática,<br />
e imagens <strong>da</strong>s imagens, sucessivamente. A veloci<strong>da</strong>de é escrita como uma superposição<br />
1 2 3<br />
1<br />
de veloci<strong>da</strong>des v = v + v + v + ... , onde v é a solução para a partícula livre <strong>em</strong> um<br />
líquido não delimitado e a influência <strong>da</strong>s paredes é incorpora<strong>da</strong> através <strong>da</strong>s sucessivas<br />
correções. A Figura 106 mostra a geometria do probl<strong>em</strong>a, com uma esfera de raio a<br />
separa<strong>da</strong> de uma <strong>da</strong>s paredes pela distância l e <strong>da</strong> outra b, de forma que a distância<br />
entre as mesmas é l + b, e com a orig<strong>em</strong> <strong>da</strong>s coorde<strong>na</strong><strong>da</strong>s no centro <strong>da</strong> esfera, para<br />
facilitar a aplicação <strong>da</strong>s condições de contorno <strong>na</strong> mesma. A veloci<strong>da</strong>de v <strong>da</strong> partícula é<br />
paralela às paredes.<br />
Figura 106. Esqu<strong>em</strong>a do modelo hidrodinâmico.<br />
O resultado fi<strong>na</strong>l para a força de arraste, até ord<strong>em</strong> de (a/l) 3 , é <strong>da</strong>do por:<br />
6πµ<br />
av<br />
F =<br />
a a<br />
1− A<br />
⎛ ⎞<br />
B<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟+<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠<br />
3<br />
(5. 5)<br />
onde A e B são os coeficientes integrais <strong>da</strong>dos por:<br />
+∞<br />
− h<br />
23 32 22⎡ 2 2 ⎤<br />
0<br />
x<br />
{ ( ) ⎡( ) ⎤ ( ) ⎡( ) ⎤ ( )<br />
( − )<br />
31 ( )<br />
A= s t 1 h 1 h x 1 s t 1 h 1 h x 1 4s t 2 1 h x 2x<br />
1<br />
4<br />
∫<br />
− − − + + + − + − − +<br />
N st 1<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
( ) ( ) ( ) ⎡⎣( )<br />
2 2 2 2 2 2<br />
+ 2st ⎡( 3 h ) x h⎤<br />
2s t ⎡ 3 h h⎤ 4st ⎡2 1 h x 2x 1⎤<br />
⎣<br />
− −<br />
⎦<br />
+ − + − − + + + s 1−h 1− h x + 1⎤<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
⎦<br />
91 ( − h)<br />
s+ t−2<br />
+ t( 1+ h) ⎡⎣( 1+ h) x+ 1⎤⎦dx}<br />
+<br />
dx<br />
8<br />
∫<br />
st −1<br />
(5. 6)<br />
+∞<br />
0<br />
173
( − )( − )<br />
8( h−<br />
2)<br />
2 +∞ 2<br />
0<br />
{<br />
2 h 1 1 h x 2 2<br />
2<br />
B= st 21 ( h) x 1 s t 21 ( h) x 1 st⎡( 4x 1) 1⎤<br />
∫ ⎡ − − ⎤+ ⎡ + − ⎤+ − + + t⎡21 ( + h)<br />
x+<br />
1⎤<br />
N<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
3 +∞ 3<br />
[ ] } ( 1−<br />
h ) x 2 3 3 2 2 2 2<br />
21 ( ) 1d<br />
{ ( 1 ) ( 1 ) ( 8 4)<br />
( 8 2 )<br />
4<br />
∫<br />
N( st−1)<br />
+ s − h x+ x + s t − h + s t + h + s t x− −st x−<br />
h<br />
0<br />
3 +∞<br />
2 2<br />
1 h s+ t−2<br />
− st x+ h + st x+ dx−s −h − t + hdx − x d x,<br />
8<br />
∫<br />
st −1<br />
(5. 7)<br />
( ) ( ) ( ) ( ) } ( −<br />
8 2 8 4 1 1<br />
)<br />
2x(1−h)<br />
2x(1+<br />
h)<br />
N = st x st s = e , t e ,<br />
2 2<br />
com ( − 1) − 16 ,<br />
= l ( 1 − h) L e<br />
0<br />
= b = ( 1 + h)L<br />
.<br />
Na nossa calibração desprezamos os termos de ord<strong>em</strong> maior que (a/l) 3 .<br />
As<br />
constantes A e B foram obti<strong>da</strong>s com integração utilizando o Math<strong>em</strong>atica.<br />
5.1.3 Métodos e Resultados<br />
Nós conferimos experimentalmente nossos modelos teóricos usando<br />
microesferas de 9 µm de diâmetro <strong>da</strong> Polysciences. A montag<strong>em</strong> experimental usa<strong>da</strong><br />
está descrita no capítulo 2. A posição de equilíbrio é medi<strong>da</strong> no repouso, <strong>na</strong> ausência de<br />
forças óptica e hidrodinâmica, quando o foco do laser coincide com o centro <strong>da</strong> esfera<br />
<strong>na</strong> horizontal. Na vertical existe um pequeno deslocamento devido às reflexões.<br />
Quando a esfera se movimenta com veloci<strong>da</strong>de constante, a força óptica será<br />
equilibra<strong>da</strong> pela força hidrodinâmica através <strong>da</strong> mu<strong>da</strong>nça do centro <strong>da</strong> microesfera.<br />
Esse deslocamento do foco <strong>em</strong> relação ao centro pode ser facilmente determi<strong>na</strong>do<br />
superpondo imagens <strong>da</strong> esfera <strong>em</strong> repouso e <strong>em</strong> movimento e medindo a distância<br />
entre seus centros, assim como ilustra Figura 107. O movimento <strong>da</strong>s partículas foi<br />
gravado <strong>em</strong> fitas de vídeo e digitalizado usando uma placa de captura. O deslocamento<br />
foi medido usando o software Image‐Pro Plus <strong>da</strong> Media Cybernetics. Assumimos o<br />
ângulo γ do modelo óptico como 90 o pelo fato do movimento ser feito <strong>na</strong> direção x.<br />
Variamos a profundi<strong>da</strong>de l usando o micrômetro do microscópio e b é obtido pela<br />
diferença entre a profundi<strong>da</strong>de total de 100 µm <strong>da</strong> Neubauer e l.<br />
174
A potência do laser foi medi<strong>da</strong> com a esfera integradora após a objetiva do<br />
microscópio, usando o procedimento descrito no capítulo 2. Variamos tanto os índices<br />
de refração quanto a viscosi<strong>da</strong>de do fluido usando soluções de água e açúcar <strong>na</strong>s<br />
concentrações de 14%, 20% e 28%. Verificamos os valores <strong>da</strong> solução, tabelados no<br />
Handbook de Física e Química, usando um viscosímetro de Ostwald e um refratômetro<br />
de Abbe. As veloci<strong>da</strong>des de arraste foram controla<strong>da</strong>s pelo computador variando de<br />
150 µm/s até 350 µm/s <strong>em</strong> passos de 50 µm/s. Também variamos as profundi<strong>da</strong>des l <strong>na</strong>s<br />
distâncias de 15 µm, 25 µm, 50 µm, 75 µm e 85 µm. Isso significa que nossas medi<strong>da</strong>s<br />
experimentais varreram tanto os parâmetros do modelo hidrodinâmico quanto os do<br />
modelo óptico, ou seja, para uma mesma potência do laser, variamos: veloci<strong>da</strong>de de<br />
arraste, profundi<strong>da</strong>de l, viscosi<strong>da</strong>de η e índice de refração relativo n, e usamos os<br />
valores dos mesmos nos cálculos <strong>da</strong>s forças óptica e hidrodinâmica. Dessa forma foi<br />
possível comparar os resultados obtidos.<br />
Figura 107. Deslocamento <strong>da</strong> microesfera <strong>em</strong> repouso <strong>em</strong> relação à <strong>em</strong> movimento.<br />
A Figura 108 mostra o gráfico dos valores calculados <strong>da</strong> força óptica vs. força<br />
hidrodinâmica para mais de 30 pontos. O coeficiente angular <strong>da</strong> reta é 47 o , muito<br />
próximo do valor de 45 o esperado, com R 2 <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 0,9. Antes do uso <strong>da</strong> esfera<br />
integradora e <strong>da</strong> condição seno de Abbe, nós estávamos obtendo uma incli<strong>na</strong>ção de 40 o<br />
entre as duas forças. Esse foi o principal resultado para nos <strong>da</strong>r confiança no uso <strong>da</strong><br />
técnica para medi<strong>da</strong> de forças. Vale notar, entretanto, que só estamos calibrando forças<br />
horizontais, pois só medimos deslocamentos horizontais. O método de medi<strong>da</strong> do<br />
deslocamento vertical do capítulo 3 é relativo ape<strong>na</strong>s, não permitindo comparações<br />
quantitativas. Teríamos que desenvolver métodos de calibração para torná‐lo<br />
quantitativo.<br />
175
100<br />
Força Óptica (pN)<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0 20 40 60 80 100<br />
Força Hidrodinâmica (pN)<br />
Figura 108. Gráfico <strong>da</strong> força óptica versus força hidrodinâmica.<br />
Além de o gráfico d<strong>em</strong>onstrar as possibili<strong>da</strong>des de calibração <strong>da</strong> técnica também<br />
fornece uma boa idéia do intervalo de forças <strong>da</strong>s nossas medi<strong>da</strong>s, chegando a quase 100<br />
pN, o que d<strong>em</strong>onstra a quali<strong>da</strong>de <strong>da</strong> nossa pinça óptica. Poucas pinças ópticas chegam<br />
a esse limite.<br />
Dado a quali<strong>da</strong>de dos <strong>da</strong>dos decidimos testar o nosso sist<strong>em</strong>a como um medidor<br />
de viscosi<strong>da</strong>de. Agora nós medimos os deslocamentos e usamos os valores calculados<br />
para força óptica a fim de determi<strong>na</strong>r a força hidrodinâmica,<br />
F = F , através <strong>da</strong> qual<br />
opt<br />
hidro<br />
calculamos as viscosi<strong>da</strong>des. Para tanto movimentamos uma microesfera <strong>em</strong> duas<br />
diferentes soluções de 20% e 32% de glicerol <strong>em</strong> água com veloci<strong>da</strong>des varia<strong>da</strong>s. A<br />
Tabela 1 apresenta os valores que obtiv<strong>em</strong>os e os valores tabelados no Handbook de<br />
Química e Física. Embora nosso objetivo jamais tenha sido o de desenvolver um<br />
viscosímetro à pinça óptica, a pergunta sobre <strong>em</strong> que situações ele poderia ser útil<br />
comparado aos convencio<strong>na</strong>is acabou ocorrendo. Perceb<strong>em</strong>os então que a vantag<strong>em</strong><br />
dessa técnica ocorreria <strong>em</strong> situações <strong>em</strong> que há pouco ou nenhum acesso ao fluido,<br />
como <strong>em</strong> microfluídica, por ex<strong>em</strong>plo. Viscosímetros convencio<strong>na</strong>is utilizam,<br />
comumente, deze<strong>na</strong>s de mililitros do fluido. A pinça óptica poderia operar <strong>na</strong> faixa de<br />
microlitros até submicrolitros. Isso abre a oportuni<strong>da</strong>de de medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> viscosi<strong>da</strong>de local,<br />
dentro de células intactas, por ex<strong>em</strong>plo. Experimentos desse tipo serão ca<strong>da</strong> vez mais<br />
176
importantes à medi<strong>da</strong> que nossa capaci<strong>da</strong>de de manipulação do mundo microscópico<br />
aumenta.<br />
20% 32%<br />
Handbook 1.73cP 2.63cP<br />
Pinça Óptica 1.83cP ±6% 2.76cP±5%<br />
Tabela 1. Viscosi<strong>da</strong>des tabela<strong>da</strong>s no Handbook de Química e Física<br />
e medi<strong>da</strong>s pela pinça óptica.<br />
5.2 Medi<strong>da</strong>s de Forças do Protozoário <strong>da</strong> Leishmaniose, o Parasita Leishmania<br />
amazonensis<br />
5.2.1 Motivação<br />
Os resultados obtidos no estudo <strong>da</strong> calibração <strong>da</strong> força óptica nos mostrou que<br />
era possível medir quantitativamente a força de cílios e flagelos de microorganismos.<br />
Uma medi<strong>da</strong> comparativa s<strong>em</strong>pre pode ser facilmente realiza<strong>da</strong> pelo fato <strong>da</strong> força<br />
óptica ser diretamente proporcio<strong>na</strong>l à potência do laser. Nesse caso seria possível, por<br />
ex<strong>em</strong>plo, determi<strong>na</strong>r a motili<strong>da</strong>de de espermatozóides medindo a potência do laser no<br />
limite <strong>em</strong> que o mesmo consegue escapar <strong>da</strong> armadilha óptica. Quanto maior a<br />
motili<strong>da</strong>de maior essa potência. Entretanto, não se trata de uma medi<strong>da</strong> quantitativa.<br />
Para realização de medi<strong>da</strong>s quantitativas é necessário capturar partículas com<br />
geometrias b<strong>em</strong> defini<strong>da</strong>s <strong>na</strong>s quais seja possível quantificar ou a força óptica ou a<br />
hidrodinâmica. Por isso a calibração e o cálculo <strong>da</strong>s forças <strong>em</strong> microesferas é crucial.<br />
Assim, para a medi<strong>da</strong> de forças <strong>em</strong> microobjetos vivos ou não, deve‐se capturar uma<br />
microesfera de um material que se ligue ao microorganismo, e não diretamente o objeto<br />
de estudo. Nos regimes de escoamentos <strong>em</strong> baixos números de Reynolds, s<strong>em</strong> energia<br />
cinética, estamos s<strong>em</strong>pre <strong>em</strong> uma condição de equilíbrio, conforme discussão <strong>da</strong> seção<br />
5.4, e a força <strong>na</strong> microesfera será igual à força do flagelo ou cílio. No fundo o<br />
deslocamento <strong>da</strong> microesfera é o nosso transdutor de força.<br />
As forças obti<strong>da</strong>s com as pinças ópticas, de Pico a F<strong>em</strong>toNewtons ‐<br />
12<br />
10 − a 10<br />
‐15<br />
N ‐ são <strong>da</strong> mesma ord<strong>em</strong> de grandeza <strong>da</strong>s forças de motores celulares<br />
como cílios e flagelos, ou forças de adesão entre as superfícies de<br />
177
microorganismos/microorganelas. Por essa razão a pinça óptica é uma ferramenta ideal<br />
para o estudo de proprie<strong>da</strong>des mecânicas, como forças e elastici<strong>da</strong>des, de<br />
microorganismos in vivo, com a vantag<strong>em</strong> adicio<strong>na</strong>l de permitir a aproximação e<br />
afastamento de superfícies ou microorganismos aderentes de forma controla<strong>da</strong> e<br />
documenta<strong>da</strong> <strong>em</strong> vídeo. Usando essa técnica com promastigotas de Leishmania<br />
amazonensis, um protozoário parasita, pod<strong>em</strong>os entender melhor os fenômenos<br />
relacio<strong>na</strong>dos a sua mobili<strong>da</strong>de flagelar, adesão, dissociação e sensibili<strong>da</strong>de a estímulos<br />
do microambiente. O objetivo fi<strong>na</strong>l dessa aplicação é estu<strong>da</strong>r a maneira como o<br />
protozoário <strong>da</strong> Leishmaniose infecta os macrófagos do hospedeiro humano e como se<br />
comporta com a proximi<strong>da</strong>de dos mesmos. Entretanto, essa pesquisa deve se iniciar<br />
pela caracterização do comportamento do protozoário <strong>em</strong> uma situação padrão, ou seja,<br />
<strong>na</strong> ausência dos macrófagos. A medi<strong>da</strong> mais importante dessa caracterização é a <strong>da</strong><br />
força do flagelo <strong>em</strong> meio de cultura, que será compara<strong>da</strong>, posteriormente, às forças do<br />
flagelo <strong>na</strong> presença do macrófago. O objeto desse trabalho, portanto, foi d<strong>em</strong>onstrar<br />
essa técnica e estabelecer sua sensibili<strong>da</strong>de e limites para determi<strong>na</strong>ção de forças de<br />
flagelos.<br />
5.2.2. O Parasita<br />
A leishmania é um protozoário <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> Kinetoplasti<strong>da</strong> e <strong>da</strong> família<br />
Trypanossomati<strong>da</strong>e. Esses parasitas, assim como Trypanossoma cruzi e Trypanossoma<br />
brucei, são responsáveis por parasitoses com altos índices de incidência <strong>em</strong> várias<br />
regiões do mundo. Doença de Chagas, leishmaniose e tripanossomíase africa<strong>na</strong> afetam<br />
cerca de trinta milhões de pessoas [64].<br />
O ciclo evolutivo <strong>da</strong> leishmania está esqu<strong>em</strong>atizado <strong>na</strong> Figura 109 a. A forma<br />
promastigota é flagelar, móvel, t<strong>em</strong> cerca de 20 µm de extensão e vive no tubo digestivo<br />
do inseto flebótomo, ligado às microvilosi<strong>da</strong>des, onde prolifera. Essa forma pode ser<br />
cultiva<strong>da</strong> in vitro. Os mecanismos moleculares de ligação dos promastigotas ao intestino<br />
do inseto não são b<strong>em</strong> conhecidos. O inseto vetor inocula os promastigotas <strong>na</strong> pele do<br />
178
hospedeiro através <strong>da</strong> saliva. Os protozoários penetram <strong>na</strong>s células dos macrófagos,<br />
dentro <strong>da</strong>s quais mu<strong>da</strong>m para a forma amastigota. Os detalhes sobre essa<br />
transformação <strong>da</strong> forma promastigota para amastigota não são b<strong>em</strong> conhecidos, <strong>em</strong>bora<br />
existam evidências que promastigotas são sensíveis às mu<strong>da</strong>nças ambientais. As<br />
mu<strong>da</strong>nças microambientais sofri<strong>da</strong>s pelos promastigotas são drásticas, no tubo<br />
digestivo do flebotomineo a t<strong>em</strong>peratura é <strong>em</strong> torno de 26 o C e pH 7.2 e no ambiente<br />
intracelular dos macrófagos de mamíferos de 35 ‐ 37 o C e pH 5. Os amastigotas são<br />
menores <strong>em</strong> tamanho (cerca de 5 µm de diâmetro), ovóides, imóveis e com flagelo<br />
muito pequeno e intracelular. Dependendo <strong>da</strong> espécie de leishmania, observa‐se<br />
tropismo por macrófagos de diferentes tecidos, ocasio<strong>na</strong>ndo diferentes patologias,<br />
Figura 109. Não há vaci<strong>na</strong>s e a quimioterapia, utiliza<strong>da</strong> há mais de quarenta anos para<br />
todos os tipos <strong>da</strong> doença, não é totalmente efetiva, apresenta efeitos colaterais sérios e<br />
casos de resistência [65, 66]. A Leishmania amazonensis, provoca lesões cutâneas simples,<br />
e <strong>em</strong> baixa porcentag<strong>em</strong> de indivíduos infectados há evolução para a leishmaniose<br />
cutânea difusa, Figura 109 c.<br />
Embora exista uma extensa literatura sobre as moléculas e os antígenos do<br />
parasita que contribu<strong>em</strong> para a infecção celular, os aspectos relacio<strong>na</strong>dos à cinética de<br />
entra<strong>da</strong> e adesão dos promastigotas, mobili<strong>da</strong>de e sensibili<strong>da</strong>de a estímulos externos,<br />
são pouco estu<strong>da</strong>dos. Entre os raros trabalhos de cinética por filmagens, realizados com<br />
leishmania, estão os do grupo de Rabinovitch [67]. O estudo foi feito com células<br />
infecta<strong>da</strong>s com a forma amastigota e não tinha como objetivo avaliar a aderência ou o<br />
processo de infecção. Para avaliar o papel do corpo axial <strong>na</strong> mobili<strong>da</strong>de de<br />
promastigotas de Leishmania mexica<strong>na</strong> o grupo de LeBowitz [68] a<strong>na</strong>lisou a mobili<strong>da</strong>de<br />
de mutantes PFR2 ‐ , que não possu<strong>em</strong> essa estrutura. Os estudos, realizados <strong>em</strong><br />
microscopia estroboscópica <strong>em</strong> campo escuro se limitaram a medição <strong>da</strong> freqüência <strong>da</strong>s<br />
“bati<strong>da</strong>s” flagelares. Nenhum outro parâmetro, como por ex<strong>em</strong>plo, amplitude, força,<br />
elastici<strong>da</strong>de ou deformabili<strong>da</strong>de foi a<strong>na</strong>lisado.<br />
179
. Lesão cutânea simples<br />
a. Ciclo evolutivo <strong>da</strong> leishmania<br />
c. Lesão cutânea difusa<br />
e. Leishmaniose mucosa<br />
d. Leishmaniose visceral<br />
Figura 109. Ciclo evolutivo e diferentes formas <strong>da</strong> leishmaniose.<br />
Em outros microorganismos ciliados e flagelados os parâmetros citados acima<br />
são mais b<strong>em</strong> estu<strong>da</strong>dos e medi<strong>da</strong>s mais precisas são obti<strong>da</strong>s devido ao uso <strong>da</strong> pinça<br />
óptica. Por ex<strong>em</strong>plo, <strong>em</strong> Escherichia coli liga<strong>da</strong>s a microesferas, o uso <strong>da</strong> pinça óptica<br />
possibilitou a análise de deze<strong>na</strong>s de bactérias individuais, os cálculos de veloci<strong>da</strong>de e<br />
t<strong>em</strong>po de rotação, de força e de torque. Medi<strong>da</strong>s <strong>da</strong>s forças envolvi<strong>da</strong>s <strong>na</strong> adesão <strong>da</strong><br />
bactéria a superfícies com manose também foram possíveis usando a pinça óptica para<br />
manipulação. Os autores quantificaram e avaliaram as forças necessárias para a adesão<br />
e o desligamento <strong>da</strong> bactéria <strong>da</strong> superfície [69, 70].<br />
5.2.3. Metodologia, Resultados e Conclusões<br />
No laboratório <strong>da</strong> Dra. Selma Giorgio no Depto. de Parasitologia do Instituto de<br />
Biologia <strong>da</strong> UNICAMP, o cultivo do parasita e de várias linhagens de macrófagos e as<br />
180
infecções <strong>em</strong> modelos in vitro e in vivo são realizados rotineiramente com a seguinte<br />
metodologia:<br />
Parasitas: As formas promastigotas de Leishmania amazonensis ‐ MHOM/BR/73/M2269 ‐<br />
são cultiva<strong>da</strong>s <strong>em</strong> meio de cultura RPMI <strong>da</strong> Sigma compl<strong>em</strong>entado com antibióticos,<br />
glutami<strong>na</strong> e soro fetal bovino 10% <strong>da</strong> Cultilab <strong>em</strong> t<strong>em</strong>peratura de 26 o C <strong>em</strong> estufa após o<br />
cultivo do material de lesões cutâneas de camundongos de linhag<strong>em</strong> susceptível ‐<br />
BALB/c. A proliferação e a curva de crescimento <strong>da</strong>s culturas de promastigotas são<br />
segui<strong>da</strong>s pelas contagens <strong>em</strong> câmara de Neubauer.<br />
Medi<strong>da</strong>s com a Pinça Óptica: Cerca de um milhão de promastigotas foram diluídos <strong>em</strong><br />
meio RPMI com 10% de soro fetal bovino <strong>na</strong> presença de esferas de poliestireno e<br />
aplicados <strong>em</strong> câmara de Neubauer para podermos capturar uma única leishmania s<strong>em</strong><br />
interferência <strong>da</strong>s outras. Eles pod<strong>em</strong> se capturados diretamente com a pinça óptica,<br />
conforme mostra a Figura 110. Ao fazer isso já foi possível perceber uma mu<strong>da</strong>nça <strong>em</strong><br />
seu comportamento, tentando claramente escapar <strong>da</strong> pinça óptica, que não havia sido<br />
observa<strong>da</strong> <strong>na</strong> captura de espermatozóides. Parasitas livres passavam <strong>em</strong> volta com<br />
veloci<strong>da</strong>de constante, enquanto o capturado se debatia e usava a estratégia de encolher<br />
seu flagelo liberando‐o repenti<strong>na</strong>mente <strong>na</strong> tentativa de escapar <strong>da</strong> pinça óptica. Isso<br />
abre a perspectiva de observar seu comportamento capturado, mas sobre condições de<br />
um escoamento. Estamos supondo que esse parasita tenha mecanismo sensorial de<br />
movimento e não algum capaz de perceber a radiação eletromagnética do laser, talvez<br />
no máximo um sensor de calor por ela gerado.<br />
a. b. c.<br />
Figura 110. Promastigota de Leishmania amazonensis capturado <strong>na</strong> pinça óptica tentando escapar<br />
e dobrando seu flagelo (a e b) e c. expulsando‐o repenti<strong>na</strong>mente.<br />
181
Figura 111. Leishmania presa a uma esfera que está captura<strong>da</strong> pela pinça óptica.<br />
Para a medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> força capturamos uma esfera e colocamos <strong>em</strong> contato com uma<br />
promastigota até ocorrer uma adesão. A Figura 111 mostra o parasita preso <strong>na</strong><br />
microesfera. Essas medi<strong>da</strong>s são realiza<strong>da</strong>s individualmente. Com altas potências do<br />
laser perceb<strong>em</strong>os claramente que o movimento mais comum acontece <strong>na</strong> direção<br />
vertical, z, <strong>na</strong> qual a força óptica é menor. No vídeo notamos a microesfera entrando e<br />
saindo do foco com os anéis <strong>da</strong>s figuras de difração se modificando. Entretanto, como<br />
to<strong>da</strong> a nossa calibração foi feita para movimentos horizontais, foi necessário diminuir a<br />
potência do laser até perceber o parasita movendo a esfera lateralmente. Após vários<br />
testes com diferentes tamanhos de esferas optamos pelas microesferas com diâmetros<br />
de 4.5 µm e 6 µm, devido ao compromisso entre a capaci<strong>da</strong>de do parasita de<br />
movimentar a partícula e a nossa de visualizar e quantificar esses deslocamentos.<br />
Conhecendo, então, a potência do laser, o índice de refração <strong>da</strong> esfera, a viscosi<strong>da</strong>de, o<br />
índice de refração do meio de cultura, o tamanho <strong>da</strong> esfera e o deslocamento causado<br />
pelo parasita, nós fomos capazes de calcular a força de uma Leishmania amazonensis<br />
padrão e verificamos que essa está entre 0.19 (190 fN) ‐ 3.6 pN, onde a força média é<br />
1.49 pN. Medimos a força de aproxima<strong>da</strong>mente 30 protozoários, representa<strong>da</strong>s no<br />
gráfico Figura 112. Para ca<strong>da</strong> um deles utilizamos uma média dos deslocamentos<br />
realizados no cálculo <strong>da</strong> força.<br />
Esses resultados indicaram que valia a pe<strong>na</strong> investir um maior esforço para<br />
melhorar o entendimento do fenômeno <strong>da</strong> mobili<strong>da</strong>de flagelar <strong>da</strong> forma promastigota<br />
<strong>da</strong> leishmania e dos mecanismos de infecção desse parasita. Notamos que os parasitas<br />
livres tend<strong>em</strong> a se movimentar com seu flagelo para frente, <strong>em</strong>bora eles possam se<br />
182
movimentar <strong>da</strong>s duas formas. A leishmania captura<strong>da</strong> tende a inverter a direção do<br />
movimento, com o flagelo para trás. Mas também vimos leishmanias captura<strong>da</strong>s<br />
movendo o flagelo para frente. Exist<strong>em</strong> observações de que a maioria <strong>da</strong>s vezes <strong>em</strong> que<br />
a leishmania infecta uma célula o contato se inicia com o flagelo, o que sugere que o<br />
flagelo possa ter algum papel mais relevante no mecanismo de infecção celular. Esses<br />
resultados mostram que essa técnica é útil para responder a várias questões a nível<br />
celular sobre quais são os sensores do microorganismo e sua quimiotaxia <strong>na</strong> presença<br />
de um gradiente artificial <strong>da</strong>s substâncias atratoras ou repulsoras. Os resultados<br />
pareceram tão promissores que o estudo de leishmanias se tornou o projeto de<br />
mestrado de uma nova estu<strong>da</strong>nte.<br />
Freqüência<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
Distribuição <strong>da</strong> Intensi<strong>da</strong>de<br />
<strong>da</strong> Força<br />
0,5 - 1,0<br />
1,0 - 1,5<br />
1,5 - 2,0<br />
2,0 - 2,5<br />
2,5 - 3,0<br />
3,0 - 3,5<br />
3,5 - 4,0<br />
Força (pN)<br />
Figura 112. Distribuição <strong>da</strong>s intensi<strong>da</strong>des de forças medi<strong>da</strong>s.<br />
Para melhor entender nossas limitações <strong>na</strong>s medi<strong>da</strong>s de forças muito peque<strong>na</strong>s,<br />
como os valores de 190 fN medidos para as leishmanias, decidimos estimar as forças de<br />
movimento browniano gerado a partir <strong>da</strong>s flutuações térmicas para quantificar sua<br />
influência no movimento e <strong>na</strong> força do parasita capturado. Experimentalmente foi fácil<br />
comparar o estado de movimento <strong>da</strong> microesfera com o parasita aderido com as<br />
microesferas à sua volta para<strong>da</strong>s e perceber que estávamos b<strong>em</strong> acima do limite<br />
imposto pelo movimento Browniano. Para estimar esse limite consideramos a pinça<br />
óptica como um oscilador harmônico <strong>em</strong> equilíbrio térmico para o qual:<br />
2<br />
Kx δ kT B kT B<br />
= , δ x = (5. 8)<br />
2 2 K<br />
183
e a força devido às flutuações é<br />
F<br />
= K δ x Kk T , onde K é a constante <strong>da</strong> mola, T é a<br />
flut<br />
=<br />
B<br />
t<strong>em</strong>peratura, kB é a constante de Boltzmann e δx é o deslocamento causado pelo<br />
movimento browniano. Para saber Fflut é necessário saber o valor de K e para estimá‐lo<br />
consideramos o maior valor de deslocamento obtido com a calibração usando<br />
microesferas de poliestireno, ou seja δ x = 3 µm , F = 54 pN t<strong>em</strong>os<br />
−6<br />
K = 18× 10 N/m e<br />
F flut = 027 . pN. Como F ∝ P , diminuindo a potência P por um fator de 100 para termos<br />
forças <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 0.54 pN, i. e., <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> <strong>da</strong>s forças encontra<strong>da</strong>s para o parasita,<br />
t<strong>em</strong>os F flut = 0.<br />
027 pN . Isso significa que a menor força medi<strong>da</strong> 0. 19 pN ≈ 10× Fflut<br />
ain<strong>da</strong> é<br />
<strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 10 vezes maior do que o limite do movimento Browniano.<br />
5.3 Medi<strong>da</strong>s de Elastici<strong>da</strong>de de H<strong>em</strong>ácias Normais e Altera<strong>da</strong>s<br />
5.3.1. Motivação<br />
O glóbulo vermelho normal é uma célula altamente deformável que, no estado<br />
de repouso, assume a forma de um disco bicôncavo ou discócito, com um diâmetro<br />
médio de 8 µm, como mostra a Figura 113. Essas células dev<strong>em</strong> transpor capilares e<br />
sinusóides do baço com diâmetro de 3 a 4 µm, muito menores do que as mesmas. A<br />
h<strong>em</strong>ácia normal pode se alongar <strong>em</strong> até 230% <strong>da</strong> sua dimensão origi<strong>na</strong>l e, <strong>na</strong> sua função<br />
de captar o oxigênio dos pulmões através <strong>da</strong> h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> e levá‐lo para to<strong>da</strong>s as<br />
células do corpo, atravessa os vasos sangüíneos por aproxima<strong>da</strong>mente 500.000 vezes<br />
percorrendo uma distância de aproxima<strong>da</strong>mente 250 km durante a sua vi<strong>da</strong> média de<br />
120 dias.<br />
Figura 113. H<strong>em</strong>ácias e suas características: forma bicôncava; tamanho de 7 – 9 µm; vi<strong>da</strong> média<br />
de 120 dias; flexibili<strong>da</strong>de para transpor capilares e sinusóides do baço com 3 – 4 µm; o<br />
envelhecimento aumenta sua rigidez e ela é retira<strong>da</strong> <strong>da</strong> circulação.<br />
184
Tanto a forma bicôncava quanto a deformabili<strong>da</strong>de <strong>da</strong> célula são determi<strong>na</strong><strong>da</strong>s<br />
pela <strong>na</strong>tureza e composição <strong>da</strong> bicama<strong>da</strong> lipídica, pelo citoesqueleto, pela geometria<br />
celular, pela concentração e tipo de h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> intracelular e pela manutenção <strong>da</strong><br />
relação superfície/volume celular. A geometria celular, incluindo a razão<br />
superfície/volume celular, é um dos mais importantes componentes que regulam a<br />
deformabili<strong>da</strong>de celular de h<strong>em</strong>ácias. A forma discóide bicôncava <strong>da</strong>s células normais<br />
cria uma vantag<strong>em</strong> <strong>da</strong> área de superfície <strong>em</strong> relação ao volume, permitindo que o<br />
eritrócito normal sofra uma deformação enquanto mantém constante a área de<br />
superfície. Tais fenômenos, só são possíveis se o glóbulo vermelho mantiver a<br />
integri<strong>da</strong>de de suas principais proprie<strong>da</strong>des: durabili<strong>da</strong>de e deformabili<strong>da</strong>de celular.<br />
Em conseqüência <strong>da</strong> deformabili<strong>da</strong>de, a h<strong>em</strong>ácia se comporta mais como uma<br />
gota líqui<strong>da</strong> do que propriamente como uma partícula sóli<strong>da</strong>, <strong>na</strong> ocasião <strong>em</strong> que o<br />
sangue flui através de pequenos vasos sangüíneos. Isso explica a notável baixa<br />
viscosi<strong>da</strong>de do fluxo, a despeito <strong>da</strong> eleva<strong>da</strong> proporção de h<strong>em</strong>ácias presentes (valores<br />
normais <strong>em</strong> torno de<br />
corrente sangüínea [71].<br />
6 3<br />
511 . 10 / mm<br />
× <strong>em</strong> homens e<br />
6 3<br />
45 . 10 / mm<br />
× <strong>em</strong> mulheres) <strong>na</strong><br />
A per<strong>da</strong> ou diminuição dessa capaci<strong>da</strong>de de deformação, leva a uma retira<strong>da</strong><br />
pr<strong>em</strong>atura <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias <strong>da</strong> circulação e, conseqüent<strong>em</strong>ente, à diminuição <strong>da</strong> oferta de<br />
oxigênio aos tecidos. Esta situação patológica é encontra<strong>da</strong> <strong>em</strong> algumas an<strong>em</strong>ias<br />
hereditárias como, por ex<strong>em</strong>plo, <strong>na</strong> esferocitose, an<strong>em</strong>ia falciforme e eliptocitose.<br />
No projeto <strong>em</strong> colaboração entre o Instituto de Física e o H<strong>em</strong>ocentro <strong>da</strong><br />
Unicamp, no qual estou envolvi<strong>da</strong> desde a iniciação científica, ficou claro que essa era<br />
uma caracterização que muito interessava aos médicos. As primeiras idéias para a<br />
quantificação dessa proprie<strong>da</strong>de foram: 1. usar duas pinças ópticas para medir a<br />
deformação <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia frente a uma força conheci<strong>da</strong> 2. usando ape<strong>na</strong>s uma pinça<br />
óptica, medir sua deformação devido a uma força de arraste hidrodinâmica e,<br />
fi<strong>na</strong>lmente, 3. deformá‐la e medir o t<strong>em</strong>po de retorno. A pinça dupla só foi monta<strong>da</strong><br />
muito t<strong>em</strong>po depois. Rapi<strong>da</strong>mente também perceb<strong>em</strong>os que o t<strong>em</strong>po de retorno,<br />
185
<strong>em</strong>bora pudesse ser medido, estava no limite de nossa resolução de 1/30 segundos entre<br />
dois quadros sucessivos de uma câmera comum de vídeo. Além disso, notamos que<br />
essa medi<strong>da</strong> traz muito mais informações sobre a viscosi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia<br />
do que sobre sua elastici<strong>da</strong>de. De modo que optamos por iniciar esses estudos com a<br />
força de arraste hidrodinâmica. Primeiro nós observamos a sensibili<strong>da</strong>de <strong>da</strong>s<br />
deformações frente a movimentos grosseiros, realizados com a mão mesmo. Percebendo<br />
que a resposta era boa investimos <strong>na</strong> montag<strong>em</strong> de um sist<strong>em</strong>a que permitisse<br />
controlar, e quantificar a veloci<strong>da</strong>de, <strong>na</strong> faixa de 20 a 500 µm/s. Primeiro utilizamos um<br />
motor de passo, mas o movimento <strong>em</strong> veloci<strong>da</strong>des abaixo de 70 µm/s era feito aos<br />
saltos, prejudicando a medi<strong>da</strong>. Por isso optamos pela aquisição do estágio de translação<br />
com motor de corrente contínua, mais preocupados com a precisão <strong>da</strong> veloci<strong>da</strong>de do<br />
que com a resolução espacial e capaci<strong>da</strong>de de retor<strong>na</strong>r ao mesmo ponto. Fi<strong>na</strong>lmente<br />
chegamos ao seguinte procedimento de medi<strong>da</strong>: captura‐se uma h<strong>em</strong>ácia colocando‐a<br />
<strong>em</strong> movimento contra o fluido à sua volta com uma veloci<strong>da</strong>de constante e controla<strong>da</strong>.<br />
Esse movimento deforma a h<strong>em</strong>ácia devido às forças de viscosi<strong>da</strong>de. A medi<strong>da</strong> dessa<br />
deformação fornece a elastici<strong>da</strong>de µ <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia através de um modelo simplificado.<br />
Como as observações clínicas que se seguiram mantiveram esse padrão, vamos<br />
apresentar esses resultados nesse capítulo seguindo a ord<strong>em</strong> histórica. Primeiro a<br />
descrição do modelo simplificado, as justificativas para sua vali<strong>da</strong>de, os testes<br />
experimentais que fiz<strong>em</strong>os e depois os resultados clínicos obtidos. No fi<strong>na</strong>l ape<strong>na</strong>s<br />
entrar<strong>em</strong>os <strong>na</strong> discussão dos novos estudos de hidrodinâmica que realizamos para<br />
entender melhor a vali<strong>da</strong>de do modelo.<br />
5.3.2. Modelo Simplificado<br />
Modelo hidrodinâmico<br />
No modelo simplificado assumimos que a h<strong>em</strong>ácia, <strong>na</strong> sua forma bicôncava <strong>da</strong><br />
Figura 113 acima, pode ser aproxima<strong>da</strong> por um paralelepípedo de comprimento L,<br />
largura W e espessura ε desprezível. A h<strong>em</strong>ácia está localiza<strong>da</strong> a uma profundi<strong>da</strong>de Z 1<br />
186
do fundo <strong>da</strong> câmara de Neubauer, cuja profundi<strong>da</strong>de total é de H = 100 µm, e<br />
Z2 = Z1− H <strong>da</strong> lamínula. Essa h<strong>em</strong>ácia é arrasta<strong>da</strong> com a pinça óptica no fluido do<br />
plasma sangüíneo, cuja viscosi<strong>da</strong>de é µ, com uma veloci<strong>da</strong>de constante V, conforme<br />
mostra a Figura 114.<br />
Lamínula<br />
W<br />
Z2<br />
Z1<br />
L<br />
L<br />
u<br />
ε<br />
Fundo <strong>da</strong> lâmi<strong>na</strong><br />
Figura 114. Modelo geométrico <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia <strong>na</strong> câmara de Neubauer. Z1 e Z2 representam,<br />
respectivamente, a distância <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia ao fundo <strong>da</strong> lâmi<strong>na</strong> e ao topo <strong>da</strong> lamínula <strong>na</strong> câmara<br />
de Neubauer. L, W e ε indicam o comprimento, a largura e a espessura <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia e u é a<br />
veloci<strong>da</strong>de de arraste.<br />
Para o cálculo <strong>da</strong> força hidrodinâmica fiz<strong>em</strong>os a suposição de que esse<br />
paralelepípedo se move de acordo com o escoamento de Couette, onde há um gradiente<br />
linear de veloci<strong>da</strong>de entre duas placas conforme mostra a Figura 115 e a força de arraste<br />
é <strong>da</strong><strong>da</strong> pela expressão:<br />
F<br />
couette<br />
WL<br />
=µ u (5. 9)<br />
Z<br />
Figura 115. Gradiente de veloci<strong>da</strong>des <strong>em</strong> um escoamento de Couette.<br />
Como no nosso probl<strong>em</strong>a exist<strong>em</strong> quatro superfícies envolvi<strong>da</strong>s: duas <strong>da</strong><br />
h<strong>em</strong>ácia, uma <strong>da</strong> lâmi<strong>na</strong> e outra <strong>da</strong> lamínula, simplesmente nós decidimos adicioná‐las<br />
como dois escoamentos de Couette. Nesse caso a força total <strong>na</strong>s duas superfícies <strong>da</strong><br />
h<strong>em</strong>ácia será <strong>da</strong><strong>da</strong> por:<br />
1 1 WL<br />
Fhidro<br />
=µ W L( + ) u =µ u (5. 10),<br />
Z Z Z<br />
1 2<br />
eq<br />
187
onde 1 Z<br />
eq<br />
= 1 Z1 + 1 Z<br />
2<br />
e W e L são os valores de largura e do comprimento <strong>da</strong> célula.<br />
Nossa justificativa para o uso do escoamento de Couette seguiu o seguinte<br />
raciocínio. Se a distância entre as placas se tor<strong>na</strong> muito grande não faz mais sentido se<br />
falar <strong>em</strong> um gradiente linear <strong>da</strong> veloci<strong>da</strong>de entre a superfície <strong>da</strong> partícula e a parede.<br />
Entretanto, mesmo nesse caso, a força de arraste ain<strong>da</strong> estará presente, mas seria melhor<br />
descrita com um escoamento de Stokes do que com o de Couette. Na ausência <strong>da</strong>s<br />
paredes o gradiente de veloci<strong>da</strong>de deixa de ser linear e se desenvolve uma cama<strong>da</strong><br />
limite após a qual a veloci<strong>da</strong>de do fluido não mu<strong>da</strong> mais. Assim decidimos estimar a<br />
dimensão dessa cama<strong>da</strong> limite e compará‐la com a distância H entre paredes <strong>da</strong> câmara<br />
de Neubauer para decidir sobre que regime de escoamento utilizar. Para tanto<br />
utilizamos a expressão para a formação <strong>da</strong> cama<strong>da</strong> limite <strong>em</strong> uma placa s<strong>em</strong>i‐ infinita<br />
<strong>em</strong> função <strong>da</strong> distância à sua bor<strong>da</strong>, <strong>da</strong><strong>da</strong> por<br />
δ = 5 L<br />
R , onde R é o número de<br />
Reynolds. Essa cama<strong>da</strong> limite está representa<strong>da</strong> <strong>na</strong> Figura 116.<br />
V = u<br />
Z<br />
V = 0<br />
δ (L)<br />
L<br />
Figura 116. Desenvolvimento <strong>da</strong> cama<strong>da</strong> limite δ.<br />
Pod<strong>em</strong>os notar que L também entra <strong>na</strong> definição do número de Reynolds, de<br />
modo que a envoltória <strong>da</strong> cama<strong>da</strong> limite cresce com<br />
L e não L. No nosso caso L é o<br />
tamanho <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia de 10 µm e para veloci<strong>da</strong>des de 100 µm/s então δ≈ 1000 μm=<br />
1mm,<br />
cerca de dez vezes superior aos 100 µm de profundi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> câmara de Neubauer. Isso<br />
mostra que assumir o gradiente de veloci<strong>da</strong>de <strong>na</strong> condição de “non slip”, entre a<br />
h<strong>em</strong>ácia e as paredes, por um gradiente linear deve ser uma boa aproximação e que os<br />
cálculos não dev<strong>em</strong> diferir muito de modelos hidrodinâmicos mais completos.<br />
188
Nesse ponto vale a pe<strong>na</strong> ressaltar uma diferença entre o nosso modelo e outros<br />
comumente utilizados <strong>na</strong> hidrodinâmica. Usualmente os autores utilizam soluções <strong>da</strong>s<br />
equações de “creeping motion” com todo o esforço para garantir as condições de<br />
contorno de “non slip” <strong>na</strong>s superfícies envolvi<strong>da</strong>s. É comum utilizar<strong>em</strong> uma adição<br />
dessas funções como aproximação mesmo sabendo que ela não satisfaz as condições de<br />
contorno. Como diferentes formas de abor<strong>da</strong>g<strong>em</strong> teórica pod<strong>em</strong> levar a resultados<br />
numéricos s<strong>em</strong>elhantes, no nosso modelo garantimos as condições de contorno s<strong>em</strong> a<br />
preocupação para que o campo de veloci<strong>da</strong>des fosse uma solução <strong>da</strong>s equações de<br />
“creeping motion”. Simplesmente adotamos uma aproximação para o campo de<br />
veloci<strong>da</strong>des como sendo uma reta. Funções que variam pouco s<strong>em</strong>pre pod<strong>em</strong> ser<br />
aproxima<strong>da</strong>s por retas. Seria necessário um gradiente muito concentrado <strong>na</strong> h<strong>em</strong>ácia<br />
para nossa aproximação se tor<strong>na</strong>r muito pobre. Mas se esse fosse o caso as paredes<br />
teriam pouca influência no arraste, o que está longe <strong>da</strong> reali<strong>da</strong>de. O fato de a cama<strong>da</strong><br />
limite ser muito maior do que as separações entre as superfícies, indica que esse<br />
gradiente não deve ser assim tão concentrado <strong>na</strong> h<strong>em</strong>ácia.<br />
Modelo elástico<br />
A célula deforma‐se sobre a ação <strong>da</strong> força hidrodinâmica criando uma força<br />
elástica igual e <strong>em</strong> direção oposta. A idéia então foi medir a constante dessa mola. Esse<br />
trabalho se iniciou com a necessi<strong>da</strong>de dos médicos de caracterizar<strong>em</strong> uma proprie<strong>da</strong>de<br />
<strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias que eles chamavam de deformabili<strong>da</strong>de, avalia<strong>da</strong> de forma qualitativa e<br />
subjetiva <strong>na</strong> maioria dos trabalhos publicados, e para a qual não existe a definição de<br />
uma grandeza física que pudéss<strong>em</strong>os utilizar. Mesmo pensando intuitivamente <strong>em</strong><br />
termos de constantes elásticas de molas, estava claro que essa é uma característica não<br />
ape<strong>na</strong>s do material, mas <strong>da</strong> sua geometria. Assim h<strong>em</strong>ácias de tamanhos diferentes<br />
pod<strong>em</strong> ter constantes de molas diferentes ape<strong>na</strong>s devido às suas dimensões. Para se<br />
determi<strong>na</strong>r um parâmetro intrínseco <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia, que independe de seu tamanho e sua<br />
forma, é melhor usar o conceito de elastici<strong>da</strong>de <strong>em</strong> lugar <strong>da</strong> constante elástica.<br />
189
A explicação intuitiva apresenta<strong>da</strong> aos pesquisadores de área médica para<br />
definir esse conceito partiu <strong>da</strong> idéia de associação de molas <strong>em</strong> série e <strong>em</strong> paralelo,<br />
equivalentes às associações de resistências <strong>em</strong> paralelo e <strong>em</strong> série respectivamente.<br />
Portanto, dois corpos idênticos tracio<strong>na</strong>dos ao longo de seu comprimento, um ao lado<br />
do outro, apresentarão uma constante de mola dobra<strong>da</strong>, ou seja, a constante <strong>da</strong> mola<br />
deve ser multiplica<strong>da</strong> pela largura W do corpo. Da mesma forma, um corpo sobre o<br />
outro apresentarão uma constante de mola dobra<strong>da</strong> linear proporcio<strong>na</strong>l a espessura δ.<br />
Por outro lado, dois corpos um ao longo do outro, <strong>na</strong> direção <strong>da</strong> tração, apresentarão<br />
uma constante de mola que é metade de ca<strong>da</strong> um deles. Isso então significa que a<br />
constante <strong>da</strong> mola será proporcio<strong>na</strong>l à área <strong>da</strong> seção reta do corpo e inversamente<br />
proporcio<strong>na</strong>l ao seu comprimento,<br />
K<br />
Wδ<br />
k<br />
L<br />
= (5. 11),<br />
onde k, a elastici<strong>da</strong>de, é uma proprie<strong>da</strong>de ape<strong>na</strong>s do material com que a mola é<br />
fabrica<strong>da</strong>. Quando esse material t<strong>em</strong> uma espessura constante, pod<strong>em</strong>os definir a<br />
elastici<strong>da</strong>de η = kδ, e a constante a mola é <strong>da</strong><strong>da</strong> por<br />
K<br />
W<br />
η<br />
L<br />
= (5. 12).<br />
No caso <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias, assumimos que a resposta elástica é <strong>da</strong><strong>da</strong> pela m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> de<br />
cama<strong>da</strong> bilipídica de espessura constante. Dessa forma assumimos a seguinte expressão<br />
para a força elástica:<br />
onde<br />
F elástica<br />
W<br />
= K∆L<br />
= η ∆L<br />
(5. 13)<br />
L<br />
∆ L = (L − L ) L é a deformação sofri<strong>da</strong> pela célula.<br />
L 0<br />
Modelo hidro‐elástico<br />
No equilíbrio, as forças elástica e hidrodinâmica são iguais, logo vale a relação:<br />
190
que pode ser escrita como<br />
W WL µ L<br />
η ∆ L = µ v ⇒ ∆L<br />
= v (5. 14) ,<br />
L Z<br />
η<br />
eq Z eq<br />
µ L0<br />
L = L0<br />
+ v (5. 15),<br />
η Z eq<br />
2 2<br />
assumindo que L ≈ L . Dessa forma, determi<strong>na</strong>mos o método de medi<strong>da</strong>: medir a<br />
0<br />
elongação L <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia <strong>em</strong> função <strong>da</strong> veloci<strong>da</strong>de. Pelas previsões do modelo simples<br />
deve ser uma reta com o coeficiente angular<br />
α<br />
2<br />
2<br />
µ L0<br />
= (5. 16).<br />
η Z eq<br />
Medindo esse coeficiente e conhecendo L 0 ,<br />
elastici<strong>da</strong>de η.<br />
2<br />
Z eq e µ do fluido determi<strong>na</strong>mos a<br />
5.3.3 Vali<strong>da</strong>ção Experimental do Modelo Hidro‐elástico<br />
Antes de mais <strong>na</strong><strong>da</strong>, decidimos testar experimentalmente se as h<strong>em</strong>ácias se<br />
comportavam de acordo com as previsões desse modelo simples hidro‐elástico. As<br />
variáveis, ou parâmetros, sobre nosso total controle são a veloci<strong>da</strong>de e a profundi<strong>da</strong>de<br />
<strong>na</strong> câmara de Neubauer, Z. O modelo prevê o comportamento de uma reta <strong>em</strong> função<br />
<strong>da</strong> veloci<strong>da</strong>de, e que a incli<strong>na</strong>ção<br />
dessa reta depende de Z, <strong>na</strong> forma<br />
1Z = 1Z+ 1( d‐ Z)<br />
.<br />
eq<br />
Para validá‐lo experimentalmente realizamos um experimento com uma mesma<br />
h<strong>em</strong>ácia capturando‐a com a pinça óptica e movimentando‐a com diferentes<br />
veloci<strong>da</strong>des <strong>em</strong> várias profundi<strong>da</strong>des Z. A Figura 117 abaixo mostra a deformação de<br />
uma h<strong>em</strong>ácia <strong>em</strong> diferentes veloci<strong>da</strong>des.<br />
Figura 117. H<strong>em</strong>ácia <strong>em</strong> deformação para veloci<strong>da</strong>des entre 120‐300 µm/s.<br />
191
Nessas medi<strong>da</strong>s utilizamos h<strong>em</strong>ácias coleta<strong>da</strong>s no H<strong>em</strong>ocentro <strong>da</strong> Unicamp de<br />
indivíduos normais doa<strong>da</strong>s no mesmo dia do experimento. A forma de coleta e o meio<br />
de preservação <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias são fun<strong>da</strong>mentais para a repetibili<strong>da</strong>de do experimento.<br />
Antes de tudo o sangue não deve entrar <strong>em</strong> contato com oxigênio para não disparar o<br />
processo de coagulação através <strong>da</strong>s plaquetas, como observamos nos nossos primeiros<br />
experimentos simplesmente com sangue coletado de um furo no dedo. As h<strong>em</strong>ácias<br />
rapi<strong>da</strong>mente se aderiam umas às outras e <strong>na</strong>s paredes <strong>da</strong> câmara. Também pingamos<br />
gotas de sangue diretamente <strong>em</strong> água e observamos h<strong>em</strong>ácias com formatos muito<br />
estranhos <strong>completa</strong>mente diferente <strong>da</strong> forma bicôncava <strong>da</strong> Figura 113. Isso porque o<br />
equilíbrio iônico entre os meios interno e externo <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia é fun<strong>da</strong>mental <strong>na</strong><br />
manutenção de suas proprie<strong>da</strong>des. Para tanto ela deve estar <strong>em</strong> um meio isotônico.<br />
Todos esses cui<strong>da</strong>dos são garantidos no protocolo de coleta de sangue para doação, e só<br />
após o uso de sangue coletado dessa forma passamos a obter resultados repetitivos. A<br />
solução preservativa e anticoagulante <strong>na</strong> bolsa foi o CPDA1 (citrato, fósforo, dextrose,<br />
adeni<strong>na</strong>) e, para a medi<strong>da</strong>, diluímos 1 µl de concentrado de h<strong>em</strong>ácias <strong>em</strong> 1000 µl de<br />
plasma AB. A viscosi<strong>da</strong>de do plasma foi medi<strong>da</strong> com um viscosímetro de Ostwald,<br />
obtendo o valor µ = 2.19 cP.<br />
12<br />
Comprimento L (µm)<br />
11.4<br />
10.8<br />
10.2<br />
9.6<br />
9<br />
100 150 200 250 300<br />
Veloci<strong>da</strong>de (µm/s)<br />
Figura 118. Deformação <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia <strong>em</strong> função <strong>da</strong> veloci<strong>da</strong>de de arraste v.<br />
Para a medi<strong>da</strong> de deformação <strong>em</strong> função <strong>da</strong> veloci<strong>da</strong>de mov<strong>em</strong>os cerca de 30<br />
h<strong>em</strong>ácias com veloci<strong>da</strong>des de 100, 110, 120,..., 260 e 280 µm/s , conforme descrição do<br />
capítulo 2, e as elongações foram quantifica<strong>da</strong>s com o software de análise de imagens<br />
192
Image Pro‐Plus. Mantiv<strong>em</strong>os a h<strong>em</strong>ácia no centro <strong>da</strong> câmara de Neubauer, <strong>na</strong><br />
profundi<strong>da</strong>de de 50 µm, e obtiv<strong>em</strong>os o gráfico <strong>da</strong> Figura 118, que mostra o<br />
comportamento linear previsto no modelo simples.<br />
Já para a medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> deformação <strong>em</strong> função <strong>da</strong> profundi<strong>da</strong>de <strong>na</strong> câmara de<br />
Neubauer, repetimos o procedimento para uma única h<strong>em</strong>ácia se movendo com<br />
veloci<strong>da</strong>des de 170, 200, 230, 260 e 290 µm/s <strong>na</strong>s profundi<strong>da</strong>des de 10, 13, 20, 30, 40, 50,<br />
60, 70, 80 e 85 µm. A Figura 119 mostra o gráfico do comportamento do coeficiente<br />
angular <strong>em</strong> função de Z, ajustado com uma curva do tipo<br />
1 1<br />
fZ ( ) = A ⎛ ⎞<br />
⎜ + ⎟ (5. 17).<br />
⎝ Z H − Z ⎠<br />
Consideramos essa vali<strong>da</strong>ção experimental a mais importante, pois a curva f(Z)<br />
t<strong>em</strong> um comportamento diferente, b<strong>em</strong> específico, inclusive divergindo para Z = 0 e Z =<br />
H.<br />
0.015<br />
Coeficiente Angular<br />
0.01<br />
0.005<br />
0<br />
0 20 40 60 80 100<br />
Z 1 (µm)<br />
Figura 119. Coeficiente angular <strong>da</strong> deformação <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia <strong>em</strong> função de Z1.<br />
O modelo acima se aplica ao caso estacionário. Porém tanto nos estágios iniciais,<br />
antes de <strong>completa</strong>r‐se a deformação, quanto nos fi<strong>na</strong>is, antes de retor<strong>na</strong>r à morfologia<br />
inicial, t<strong>em</strong>os uma situação não estacionária <strong>em</strong> que a força elástica <strong>na</strong> h<strong>em</strong>ácia está<br />
mu<strong>da</strong>ndo. Essa mu<strong>da</strong>nça conformacio<strong>na</strong>l <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia dispara processos de dissipação<br />
de energia tanto através <strong>da</strong> viscosi<strong>da</strong>de inter<strong>na</strong> do citoplasma, e exter<strong>na</strong> do plasma<br />
sangüíneo, como pela viscosi<strong>da</strong>de de m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia. Nesse caso o movimento é<br />
equivalente a um sist<strong>em</strong>a massa‐mola superamortecido, no qual <strong>em</strong> lugar de oscilar, a<br />
193
mola retor<strong>na</strong> à situação de equilíbrio segundo uma exponencial decrescente do t<strong>em</strong>po<br />
<strong>da</strong> forma: L = L0 Exp ( −t<br />
τ ). Hochmuth et al [72] mostraram que as viscosi<strong>da</strong>des do<br />
citoplasma e do plasma são desprezíveis compara<strong>da</strong>s com a viscoelastici<strong>da</strong>de <strong>da</strong><br />
m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> para efeitos rápidos, <strong>na</strong> escala de cente<strong>na</strong>s de milisegundos. Eles mostraram<br />
que o t<strong>em</strong>po de retorno é <strong>da</strong>do por τ =µ m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> / η onde µ m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> é a viscosi<strong>da</strong>de<br />
inter<strong>na</strong> <strong>da</strong> m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> e η a sua elastici<strong>da</strong>de.<br />
Um dos últimos testes de vali<strong>da</strong>ção dos nossos resultados foi então parar o<br />
estágio de translação repenti<strong>na</strong>mente <strong>na</strong> última veloci<strong>da</strong>de, <strong>na</strong> máxima elongação,<br />
portanto, e observar o retorno <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia <strong>em</strong> função do t<strong>em</strong>po, a<strong>na</strong>lisando a seqüência<br />
de imagens que começa com a máxima deformação <strong>da</strong> célula e termi<strong>na</strong> com a<br />
recuperação de sua morfologia inicial. Para tanto capturamos e digitalizamos imagens<br />
quadro a quadro desse movimento usando o controle r<strong>em</strong>oto de um vídeo de 8 cabeças.<br />
A câmera grava <strong>na</strong> taxa de 30 quadros/s, de modo que o intervalo de t<strong>em</strong>po entre um<br />
quadro e outro é de 33 ms. O gráfico <strong>da</strong> Figura 120 mostra o resultado obtido do qual<br />
extraímos um t<strong>em</strong>po de retorno de 76.7 ms.<br />
12<br />
Comprimento L (µm)<br />
11<br />
10<br />
9<br />
0 100 200 300 400<br />
T<strong>em</strong>po (ms)<br />
Figura 120. Deformação <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia <strong>em</strong> função do t<strong>em</strong>po.<br />
Esse t<strong>em</strong>po de retorno τ é uma proprie<strong>da</strong>de intrínseca <strong>da</strong> m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong>.<br />
Concluímos então, que a pinça óptica permite que as medi<strong>da</strong>s de<br />
194<br />
µ m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> e η sejam<br />
ambas realiza<strong>da</strong>s sobre uma mesma h<strong>em</strong>ácia simultaneamente. Do gráfico <strong>da</strong> Figura<br />
118 extraímos a elastici<strong>da</strong>de η, cujo valor obtido foi de η = (4 ± 0.1) × 10 dyn / cm .<br />
−4
Usando o t<strong>em</strong>po de retorno medido e esse valor <strong>da</strong> elastici<strong>da</strong>de encontramos<br />
−5<br />
µ = 3× 10 poise.<br />
cm para a viscosi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong>.<br />
m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong><br />
Grande parte desse trabalho já estava pronta <strong>na</strong> época <strong>da</strong> defesa de minha Tese<br />
de Mestrado. Até aquele momento a motivação do trabalho foi de quantificar de<br />
alguma forma uma proprie<strong>da</strong>de relacio<strong>na</strong><strong>da</strong> à “deformabili<strong>da</strong>de” <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias. O fato<br />
de que obtiv<strong>em</strong>os resultados repetitivos e sensíveis levou ao seu uso <strong>em</strong> aplicações<br />
clínicas, após o período do meu Mestrado. O protocolo de medi<strong>da</strong> foi aperfeiçoado e<br />
mantido o mesmo para permitir comparações, e detalhes b<strong>em</strong> mais específicos sobre os<br />
mesmos pod<strong>em</strong> ser encontrados <strong>na</strong> Tese de Doutorado do Marcelo Brandão defendi<strong>da</strong><br />
pela Facul<strong>da</strong>de de Ciências Médicas [73]. Nesse momento nos perguntamos sobre até<br />
onde deveríamos considerar válido o modelo simples visto que os resultados <strong>da</strong><br />
vali<strong>da</strong>ção experimental foram surpreendent<strong>em</strong>ente bons, mesmo considerando a<br />
h<strong>em</strong>ácia com a forma de um paralelepípedo. Ao longo <strong>da</strong>s medi<strong>da</strong>s clínicas também<br />
perceb<strong>em</strong>os que essa técnica era mais sensível <strong>na</strong> detecção de efeitos externos do que as<br />
outras técnicas comumente utiliza<strong>da</strong>s.<br />
A grandeza que medimos com essa técnica deve ser denomi<strong>na</strong><strong>da</strong> por elastici<strong>da</strong>de<br />
aparente, ou elastici<strong>da</strong>de total, <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia <strong>em</strong> lugar de elastici<strong>da</strong>de <strong>da</strong> m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> que é<br />
uma grandeza b<strong>em</strong> defini<strong>da</strong>. Isso porque nossa técnica a<strong>na</strong>lisa a estrutura <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia<br />
como um todo e não ape<strong>na</strong>s a elastici<strong>da</strong>de intrínseca de sua m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong>. Um ex<strong>em</strong>plo<br />
que mostra a diferença entre os dois casos pode ser visualizado através <strong>da</strong>s Figura 121 a<br />
e b. Considere duas folhas de papel idênticas, uma dobra<strong>da</strong> e outra não, cujo<br />
comprimento <strong>em</strong> função <strong>da</strong> força F aplica<strong>da</strong> é observado de cima, de onde se percebe<br />
ape<strong>na</strong>s sua projeção vertical. A deformação do papel dobrado será muito maior do que<br />
a do papel não dobrado, <strong>em</strong>bora os dois sejam feitos do mesmo material. A elastici<strong>da</strong>de<br />
intrínseca do papel seria medi<strong>da</strong> no papel não dobrado, enquanto no dobrado se mede<br />
uma elastici<strong>da</strong>de muito menor do que a intrínseca. A elastici<strong>da</strong>de intrínseca pode ser<br />
medi<strong>da</strong> usando o método <strong>da</strong> pipeta no qual suga‐se com uma diferença de pressão<br />
195
conheci<strong>da</strong> ape<strong>na</strong>s a m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia para dentro de um capilar observando o<br />
comprimento de sua deformação. A nossa medi<strong>da</strong> para a elastici<strong>da</strong>de total <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia<br />
−4<br />
foi de η= ( 4± 0. 1) × 10 dyn / cm enquanto valores típicos para elastici<strong>da</strong>de <strong>da</strong> m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong><br />
−3<br />
obtidos pelo método <strong>da</strong> pipeta são de η = ( 6± 01 . ) × 10 dyn / cm [74, 75].<br />
p<br />
a<br />
F<br />
F<br />
b<br />
F<br />
F<br />
Figura 121. Folhas de papel, dobra<strong>da</strong> e não dobra<strong>da</strong>, submeti<strong>da</strong>s a uma tração F. A deformação<br />
no comprimento <strong>da</strong> folha dobra<strong>da</strong> será <strong>da</strong><strong>da</strong> pela elastici<strong>da</strong>de total e é muito menor que a<br />
elastici<strong>da</strong>de intrínseca <strong>da</strong> folha de papel medi<strong>da</strong> com a folha não dobra<strong>da</strong>.<br />
Entretanto, <strong>na</strong> corrente sanguínea é a elastici<strong>da</strong>de total <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia o fator que<br />
interessa, pois é ela que mede a habili<strong>da</strong>de <strong>da</strong> célula se deformar dobrando‐se sobre si<br />
mesma e transpor vasos com dimensões menores do que ela mesma. Além disso, a<br />
elastici<strong>da</strong>de total é muito mais sensível à influência de fatores externos como pressão<br />
osmótica e presença de drogas do que a elastici<strong>da</strong>de de sua m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong>. No limite <strong>em</strong><br />
que a h<strong>em</strong>ácia for fort<strong>em</strong>ente tracio<strong>na</strong><strong>da</strong>, correspondendo à situação <strong>em</strong> que a folha<br />
dobra<strong>da</strong> se desdobrou <strong>completa</strong>mente, as duas medi<strong>da</strong>s de elastici<strong>da</strong>de dev<strong>em</strong><br />
coincidir. Isso sugere que a técnica de medi<strong>da</strong> com pinça óptica é mais adequa<strong>da</strong> para<br />
caracterizar patologias h<strong>em</strong>atológicas do que outras técnicas.<br />
Outra vantag<strong>em</strong> dessa técnica, além de sua sensibili<strong>da</strong>de, é sua individuali<strong>da</strong>de,<br />
medindo h<strong>em</strong>ácia por h<strong>em</strong>ácia. Se to<strong>da</strong>s as h<strong>em</strong>ácias de um paciente com determi<strong>na</strong><strong>da</strong><br />
doença tivess<strong>em</strong> suas proprie<strong>da</strong>des elásticas modifica<strong>da</strong>s o paciente, provavelmente,<br />
estaria morto. Assim espera‐se que a maioria de suas h<strong>em</strong>ácias ain<strong>da</strong> mantenha o<br />
comportamento normal. Medi<strong>da</strong>s que detectam ape<strong>na</strong>s valores médios teriam pouca<br />
sensibili<strong>da</strong>de, pois a parcela normal <strong>da</strong> população de h<strong>em</strong>ácias tende a trazer os valores<br />
médios dessas proprie<strong>da</strong>des para dentro <strong>da</strong> faixa de normali<strong>da</strong>de. Técnicas como<br />
medi<strong>da</strong>s de tamanho médio ou fração de h<strong>em</strong>ácias destruí<strong>da</strong>s após passag<strong>em</strong> por<br />
196
parede porosa ca<strong>em</strong> nessa categoria. A característica <strong>da</strong> doença pode ser a presença de<br />
h<strong>em</strong>ácias <strong>completa</strong>mente fora <strong>da</strong> região de normali<strong>da</strong>de que deixaria de ser percebi<strong>da</strong><br />
pelas técnicas não individuais. Esse fato já foi salientado por Narla Mohan<strong>da</strong>s & Robert<br />
Hebbel [76] <strong>em</strong> “Erythrocyte deformability, fragility and rheology” quando afirmam:<br />
“As técnicas provaram ser úteis <strong>em</strong> delinear o comportamento mecânico de populações celulares.<br />
Por não medir<strong>em</strong> individualmente as células, estes métodos não apresentam uma definição<br />
<strong>completa</strong> <strong>da</strong>s conseqüências fisiológicas do comportamento reológico alterado.”<br />
Por outro lado, as medi<strong>da</strong>s individualiza<strong>da</strong>s dev<strong>em</strong> ser feitas <strong>em</strong> grande número<br />
de h<strong>em</strong>ácias para diminuir a probabili<strong>da</strong>de de deixar de observar aquelas fora do<br />
padrão de normali<strong>da</strong>de. Para a realização de tantas medi<strong>da</strong>s precisamos aumentar a<br />
veloci<strong>da</strong>de <strong>da</strong>s mesmas e esse trabalho foi feito através de uma <strong>completa</strong> automatização<br />
do sist<strong>em</strong>a de medi<strong>da</strong>, incluindo desligar o laser, mover a plati<strong>na</strong> do microscópio para<br />
uma posição aleatória assegurando uma boa amostrag<strong>em</strong>, ligar o laser, prender a<br />
h<strong>em</strong>ácia, levantá‐la até a altura deseja<strong>da</strong> e movimentá‐la com diferentes veloci<strong>da</strong>des. A<br />
seguir descrev<strong>em</strong>os de forma resumi<strong>da</strong> os resultados clínicos obtidos com esse trabalho.<br />
5.3.4 Aplicações às Medi<strong>da</strong>s de Elastici<strong>da</strong>de de H<strong>em</strong>ácias de Pacientes com An<strong>em</strong>ia e<br />
Traço Falciforme<br />
A molécula <strong>da</strong> h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> é forma<strong>da</strong> por quatro subuni<strong>da</strong>des, ca<strong>da</strong> uma<br />
contendo um grupo h<strong>em</strong>e (derivado porfirínico contendo um radical ferro) ligado a um<br />
polipeptídeo. Uma alteração hereditária <strong>na</strong> formação dessas cadeias causa a an<strong>em</strong>ia<br />
falciforme. A H<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> falcêmica foi a primeira h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> anormal a ser<br />
identifica<strong>da</strong> e é de grande importância clínica. A alteração de um único nucleotídeo (A<br />
→ T), no DNA do gene para a cadeia beta <strong>da</strong> h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong>, forma‐se então a<br />
h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> variante S ou HbS onde há uma substituição de uma Vali<strong>na</strong> por um Ácido<br />
Glutâmico <strong>na</strong> posição 6 (6GLU‐VAL). Quando desoxige<strong>na</strong><strong>da</strong> nos capilares, a HbS se<br />
polimeriza e forma agregados que dão ao eritrócito uma forma diferente, l<strong>em</strong>brando<br />
uma foice. A homozigose para esta mutação causa a an<strong>em</strong>ia falciforme, uma doença<br />
grave relativamente comum <strong>em</strong> algumas partes do mundo, sendo predomi<strong>na</strong>nte <strong>em</strong><br />
197
negros. Os heterozigotos possu<strong>em</strong> traço falcêmico, são normais clinicamente, porém<br />
suas h<strong>em</strong>ácias sofr<strong>em</strong> afoiçamento quando submeti<strong>da</strong>s à pressão baixa de oxigênio.<br />
A célula falciza<strong>da</strong> não t<strong>em</strong> flexibili<strong>da</strong>de, t<strong>em</strong> vi<strong>da</strong> curta e há um aumento <strong>da</strong><br />
viscosi<strong>da</strong>de sangüínea <strong>em</strong> relação aos portadores de eritrócitos normais. Em<br />
conseqüência deste aumento <strong>da</strong> viscosi<strong>da</strong>de, o fluxo sangüíneo nos capilares é<br />
retar<strong>da</strong>do e pode até mesmo parar, levando os tecidos a uma deficiência <strong>em</strong> oxigênio.<br />
Pode ocorrer lesão <strong>da</strong> parede dos capilares e coagulação sangüínea.<br />
Embora o defeito primário <strong>da</strong> an<strong>em</strong>ia falciforme seja uma alteração <strong>na</strong><br />
constituição <strong>da</strong> h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong>, alterações secundárias no metabolismo, <strong>na</strong> estrutura <strong>da</strong><br />
m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong> e <strong>na</strong> função também ocorr<strong>em</strong>. Pacientes homozigotos para essa mutação<br />
(HbSS) apresentam an<strong>em</strong>ia h<strong>em</strong>olítica e crises vaso‐oclusivas que levam a <strong>da</strong>nos <strong>na</strong><br />
maioria de seus tecidos. Por outro lado os pacientes heterozigotos, ou traço falciforme<br />
(HbAS), são assintomáticos. A Hidroxiuréia (HU) t<strong>em</strong> sido usa<strong>da</strong> com sucesso no<br />
tratamento dessa doença porque ela melhora a produção fetal de h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> e a<br />
deformabili<strong>da</strong>de <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia como um todo. Usamos a an<strong>em</strong>ia falciforme como um<br />
modelo clínico para mostrar que o método <strong>da</strong> pinça óptica é bastante sensível.<br />
Estu<strong>da</strong>mos a deformabili<strong>da</strong>de de 25 pacientes com h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> S com i<strong>da</strong>des<br />
variando entre 23 e 51 anos (15 homozigotos para HbS incluindo 5 pacientes medicados<br />
com Hidroxiuréia por pelo menos 6 meses, e 10 pacientes traço falciformes) e 35<br />
controles normais. Com respeito aos haplotipos β‐globi<strong>na</strong>, 8 pacientes eram<br />
Benin/Bantu, 4 Benin/Benin e 3 Bantu/Bantu. A α‐Talass<strong>em</strong>ia estava ausente <strong>em</strong> 8 HbSS<br />
pacientes. O Comitê de Ética <strong>da</strong> UNICAMP aprovou esse estudo. Para fazer o<br />
experimento, 0.5 µl de concentrado de eritrócitos foi diluído <strong>em</strong> 1000 µl de plasma AB<br />
com viscosi<strong>da</strong>de conheci<strong>da</strong> e medi<strong>da</strong> no viscosímetro de Ostwald η = 1.85 cP. Pelo<br />
menos 17 células de ca<strong>da</strong> paciente foi submeti<strong>da</strong> a 6 diferentes veloci<strong>da</strong>des (150 a 250<br />
µm/s, com variação de 20 µm/s). A análise dos <strong>da</strong>dos foi feita segundo o modelo e o<br />
procedimento descrito anteriormente.<br />
198
Nossos resultados mostraram que as h<strong>em</strong>ácias dos pacientes HbS eram mais<br />
rígi<strong>da</strong>s que a dos indivíduos normais ( ( )<br />
−3<br />
controle →η= 089 . ± 06 . × 10 dyn/cm ;<br />
−3<br />
−3<br />
HbSS →η= ( 170 . ± 20 . ) × 10 dyn/cm ; HbAS →η= ( 180 . ± 08 . ) × 10 dyn/cm ), exceto para<br />
−3<br />
aqueles que estavam tomando Hidroxiuréia ( HbSS/HU →η= ( 096 . ± 10 . ) × 10 dyn/cm ).<br />
Mesmo <strong>em</strong> pacientes com traço falciforme foi possível detectar h<strong>em</strong>ácias bastante<br />
rígi<strong>da</strong>s. Para os pacientes homozigotos tratados com Hidroxiuréia a rigidez <strong>da</strong>s<br />
h<strong>em</strong>ácias se aproximou <strong>da</strong> distribuição dos pacientes normais do controle. A Figura 122<br />
mostra esses resultados. Não houve correlação entre a elastici<strong>da</strong>de <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia e os<br />
haplotipos de β‐globi<strong>na</strong> ou a α‐talass<strong>em</strong>ia.<br />
15<br />
Elastici<strong>da</strong>de (dyn/cm×10 -3 )<br />
12<br />
9<br />
6<br />
3<br />
0<br />
controle HbSS HbSS/HU HbAS<br />
Figura 122. Elastici<strong>da</strong>de total <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia medi<strong>da</strong> pela pinça óptica <strong>em</strong> pacientes com an<strong>em</strong>ia<br />
falciforme (SS), homozigotos HbS tomando HU (SS/HU), heterozigotos (AS) e controles<br />
normais.<br />
Neste estudo nós mostramos através do uso <strong>da</strong> pinça óptica que foi possível<br />
detectar diferenças <strong>na</strong> elastici<strong>da</strong>de de h<strong>em</strong>ácias de portadores de HbS (HbSS e HbAS)<br />
comparados com h<strong>em</strong>ácias normais e que o uso <strong>da</strong> Hidroxiuréia levou a uma<br />
“normalização” de deformabili<strong>da</strong>de dos eritrócitos. O fato <strong>da</strong> técnica com pinças ópticas<br />
ter detectado diferenças entre indivíduos com traço falciforme e controle d<strong>em</strong>onstra sua<br />
sensibili<strong>da</strong>de, pois esses indivíduos são assintomáticos. Dessa maneira t<strong>em</strong>os que a<br />
deformabili<strong>da</strong>de dos glóbulos vermelhos é ape<strong>na</strong>s um dos aspectos clínicos <strong>da</strong> an<strong>em</strong>ia<br />
falciforme.<br />
199
O gráfico <strong>da</strong> Figura 122 ex<strong>em</strong>plifica b<strong>em</strong> a necessi<strong>da</strong>de de técnicas de medi<strong>da</strong>s<br />
individualiza<strong>da</strong>s discuti<strong>da</strong> acima. Nela perceb<strong>em</strong>os uma população de h<strong>em</strong>ácias com<br />
elastici<strong>da</strong>des muito acima <strong>da</strong> região de normali<strong>da</strong>de, com valores acima de 5 vezes o<br />
valor médio, <strong>em</strong>bora o valor médio não seja tão diferente <strong>da</strong> distribuição do controle.<br />
Esse trabalho foi publicado <strong>na</strong> revista European Jour<strong>na</strong>l of Ha<strong>em</strong>atology [77].<br />
5.3.5. Aplicações às Medi<strong>da</strong>s de Elastici<strong>da</strong>de de H<strong>em</strong>ácias Irradia<strong>da</strong>s <strong>em</strong> Função do<br />
T<strong>em</strong>po de Estocag<strong>em</strong><br />
A Doença enxerto‐hospedeiro associa<strong>da</strong> à transfusão “Transfusion associated<br />
graft‐versus‐host disease (TA‐GVHD)” é uma complicação usualmente fatal <strong>da</strong><br />
transfusão de sangue <strong>em</strong> pacientes imunosuprimidos. Nessa reação os glóbulos brancos<br />
do sangue do doador reconhec<strong>em</strong> materiais exógenos do hospedeiro disparando o<br />
processo de fagocitose. Para evitar esse fato é preciso destruir os glóbulos brancos do<br />
sangue do doador, submetendo‐o a uma irradiação com raios gama. Em princípio essa<br />
irradiação mata células nuclea<strong>da</strong>s (glóbulos brancos) s<strong>em</strong> destruir as h<strong>em</strong>ácias<br />
(anuclea<strong>da</strong>s). Entretanto, a pergunta sobre o que acontece a seguir com as h<strong>em</strong>ácias<br />
ficou s<strong>em</strong> uma boa resposta. Sabe‐se que irradiação resulta <strong>na</strong> produção de espécies de<br />
oxigênio tais como radicais hidroxilas capazes de iniciar ou amplificar o processo de<br />
peroxi<strong>da</strong>ção de lipídios comprometendo a integri<strong>da</strong>de <strong>da</strong> m<strong>em</strong>bra<strong>na</strong>. Além disso, a<br />
irradiação acelera o extravazamento de íons potássio <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia, resultando <strong>em</strong><br />
aumento <strong>da</strong> viscosi<strong>da</strong>de inter<strong>na</strong> e prejudicando a deformabili<strong>da</strong>de celular.<br />
Bancos de sangue s<strong>em</strong> acesso imediato a irradiador de sangue usam o<br />
procedimento regular de armaze<strong>na</strong>r uni<strong>da</strong>des de sangue irradiados. Entretanto,<br />
enquanto bolsas de sangue coleta<strong>da</strong>s <strong>em</strong> CPDA1 pod<strong>em</strong> ser estoca<strong>da</strong>s por 35 dias, os<br />
padrões <strong>da</strong> AABB recomen<strong>da</strong>m que o t<strong>em</strong>po de estocag<strong>em</strong> de h<strong>em</strong>ácias irradia<strong>da</strong>s seja<br />
limitado a 28 dias após a irradiação. O objetivo desse estudo foi a<strong>na</strong>lisar as<br />
proprie<strong>da</strong>des mecânicas de uni<strong>da</strong>des de sangue irradia<strong>da</strong>s <strong>em</strong> função do t<strong>em</strong>po de<br />
estocag<strong>em</strong>.<br />
200
Para tanto coletamos 5 bolsas de doadores de sangue sadios <strong>em</strong> CPDA1, sendo<br />
que ca<strong>da</strong> uma foi dividi<strong>da</strong> de maneira estéril <strong>em</strong> 2 bolsas. Uma <strong>da</strong>s uni<strong>da</strong>des<br />
resultantes <strong>da</strong> divisão recebeu radiação gama <strong>na</strong> dose de 25 Gy no mesmo dia e a outra<br />
foi manti<strong>da</strong> como controle e não recebeu radiação. To<strong>da</strong>s elas foram estoca<strong>da</strong>s a 4°C e<br />
amostras <strong>da</strong>s mesmas foram a<strong>na</strong>lisa<strong>da</strong>s nos dias 1, 14 , 21 e 28 de estocag<strong>em</strong>. Dez<br />
h<strong>em</strong>ácias de ca<strong>da</strong> bolsa eram submeti<strong>da</strong>s a 6 diferentes veloci<strong>da</strong>des (150, 170, 190, 210,<br />
230 e 250 µm/s) e a<strong>na</strong>lisa<strong>da</strong>s no computador conforme o modelo anteriormente descrito.<br />
A diluição concentrado de eritrócitos/plasma foi também 0.5 µl/1000 µl e a viscosi<strong>da</strong>de<br />
do plasma η = 1.504 cP.<br />
A Figura 123 mostra os resultados obtidos para 28 dias de estocag<strong>em</strong>. Eritrócitos<br />
<strong>da</strong>s uni<strong>da</strong>des irradia<strong>da</strong>s e estoca<strong>da</strong>s por 21 e 28 dias mostram um valor para a<br />
−3<br />
elastici<strong>da</strong>de significativamente mais alto ( 21 dias = ( 3. 54 ± 1. 3)<br />
× 10 dyn/cm e<br />
−3<br />
−3<br />
28 dias = ( 14± 3. 2)<br />
× 10 dyn/cm ) comparados ao controle ( 21 dias = ( 0. 37 ± 0.<br />
03)<br />
× 10 dyn/cm e<br />
−3<br />
28 dias = ( 0. 5 ± 0. 09)<br />
× 10 dyn/cm;). A elastici<strong>da</strong>de <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias estoca<strong>da</strong>s irradia<strong>da</strong>s<br />
−3<br />
estoca<strong>da</strong>s por 14 dias (( 043 . ± 0038 . ) × 10 dyn/cm) foi s<strong>em</strong>elhante as <strong>da</strong> não irradia<strong>da</strong>s<br />
−3<br />
( ( 0. 34 ± 0. 02)<br />
× 10 dyn/cm).<br />
Elastici<strong>da</strong>de (dyn/cm×10-3)<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
14 dias 21 dias 28 dias<br />
Figura 123. H<strong>em</strong>ácias armaze<strong>na</strong><strong>da</strong>s e irradia<strong>da</strong>s compara<strong>da</strong>s ao controle.<br />
201
Já houve relatos de efeitos bioquímicos e morfológicos <strong>da</strong> irradiação de h<strong>em</strong>ácias<br />
usando doses terapêuticas (15 ‐ 30 Gy) e que esses efeitos pod<strong>em</strong> ser acentuados com o<br />
t<strong>em</strong>po de estocag<strong>em</strong> [78]. Estudos <strong>da</strong> deformabili<strong>da</strong>de de h<strong>em</strong>ácias irradia<strong>da</strong>s até 50 Gy<br />
com reoscópio d<strong>em</strong>onstrou que o índice de deformação entre as h<strong>em</strong>ácias irradia<strong>da</strong>s e<br />
controle não foi estatisticamente diferente [79]. Entretanto o índice de deformação <strong>da</strong>s<br />
h<strong>em</strong>ácias diminuiu ligeiramente durante a estocag<strong>em</strong>. Cicha et al, [80] mostrou que a<br />
radiação gama <strong>em</strong> 35 Gy estoca<strong>da</strong>s <strong>em</strong> manitol‐adeni<strong>na</strong>‐fosfato reduziu a<br />
deformabili<strong>da</strong>de de h<strong>em</strong>ácias e o número de células não deformáveis aumentou<br />
durante a estocag<strong>em</strong>. Ele observou a deformabili<strong>da</strong>de <strong>da</strong>s células <strong>em</strong> fluxo constante e<br />
esta era principalmente induzi<strong>da</strong> por vazamentos de íons K + <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias. Os<br />
resultados do nosso estudo estão <strong>em</strong> acordo com os achados prévios sugerindo que a<br />
deformabili<strong>da</strong>de de h<strong>em</strong>ácias irradia<strong>da</strong>s diminui durante a estocag<strong>em</strong>. Entretanto a alta<br />
sensibili<strong>da</strong>de <strong>da</strong> técnica com pinça óptica nos permite concluir que não há diferença<br />
significativa até 14 dias para h<strong>em</strong>ácias estoca<strong>da</strong>s <strong>em</strong> CPDA1 porém há uma diferença<br />
bastante significativa para células estoca<strong>da</strong>s até 21 dias. Dessa forma nossos resultados<br />
suger<strong>em</strong> que as uni<strong>da</strong>des irradia<strong>da</strong>s estoca<strong>da</strong>s por 21 dias estejam comprometi<strong>da</strong>s e que<br />
a transfusão seria mais eficiente e segura se o t<strong>em</strong>po de estocag<strong>em</strong> fosse limitado a 14<br />
dias. Este trabalho foi publicado <strong>na</strong> revista Transfusion [81].<br />
5.3.6. Aplicações às Medi<strong>da</strong>s de Elastici<strong>da</strong>de de H<strong>em</strong>ácias Estoca<strong>da</strong>s de Pacientes com<br />
Traço Falciforme<br />
Indivíduos com traço falciforme AS são considerados doadores de sangue e suas<br />
h<strong>em</strong>ácias são considera<strong>da</strong>s seguras para transfusão. As células desses indivíduos são<br />
estoca<strong>da</strong>s e transfundi<strong>da</strong>s por 35 dias. Desse modo, o objetivo desse estudo foi a<strong>na</strong>lisar<br />
a deformabili<strong>da</strong>de de h<strong>em</strong>ácias de doadores AS. Para isso, 14 bolsas foram estu<strong>da</strong><strong>da</strong>s,<br />
sendo 7 de indivíduos normais (controle‐AA) e 7 de indivíduos com traço falciforme<br />
(AS). As amostras foram estu<strong>da</strong><strong>da</strong>s com 1, 14, 21, 28 e 35 dias de estocag<strong>em</strong>. A diluição<br />
do concentrado de h<strong>em</strong>ácias/plasma foi a mesma dos experimentos anteriores e a<br />
202
viscosi<strong>da</strong>de do plasma era 1.61 cP, pelo menos 25 células de ca<strong>da</strong> bolsa foram<br />
a<strong>na</strong>lisa<strong>da</strong>s. Os resultados encontrados estão representados no gráfico <strong>da</strong> Figura 124.<br />
Elastici<strong>da</strong>de (dyn/cm×10-3)<br />
6.0<br />
4.5<br />
3.0<br />
1.5<br />
0<br />
T<strong>em</strong>po de estocag<strong>em</strong> (dias)<br />
Figura 124. Gráfico comparando a distribuição <strong>da</strong> elastici<strong>da</strong>de de h<strong>em</strong>ácias AS e controle (AA)<br />
durante o período de estocag<strong>em</strong>.<br />
As h<strong>em</strong>ácias AS estoca<strong>da</strong>s por 1, 14 e 21 ( 1 dia = 0. 84× 10 dyn/cm ,<br />
−3<br />
−3<br />
14 dias = 0. 81× 10 dyn/cm ,<br />
−3<br />
21 dias = 1. 48× 10 dyn/cm ) são significativamente menos<br />
deformáveis que as h<strong>em</strong>ácias AA‐controle para os mesmos respectivos dias<br />
−3<br />
( 1 dia = 0. 58× 10 dyn/cm ,<br />
−3<br />
14 dias = 065 . × 10 dyn/cm ,<br />
−3<br />
21 dias = 0. 66× 10 dyn/cm ). A<br />
maioria <strong>da</strong>s h<strong>em</strong>ácias de traço falciforme com 28 e 35 dias era tão rígi<strong>da</strong> que escapava<br />
<strong>da</strong> pinça, aproxima<strong>da</strong>mente 30% dela não permanecia captura<strong>da</strong> conforme crescia o<br />
valor <strong>da</strong> veloci<strong>da</strong>de. Dessa forma, a precisão dos valores de elastici<strong>da</strong>de para h<strong>em</strong>ácias<br />
AS de 28 e 35 dias foi prejudica<strong>da</strong>. Os valores de elastici<strong>da</strong>de para h<strong>em</strong>ácias controle<br />
para 28 e 35 dias são respectivamente ( 28 dias = 0. 77× 10 dyn/cm ,<br />
−3<br />
35 dias = 0. 92× 10 dyn/cm ). Esse nosso estudo confirma resultados prévios que<br />
mostraram que células AS são menos filtra<strong>da</strong>s que células normais. Nossos resultados<br />
suger<strong>em</strong> que muitas <strong>da</strong>s células AS tor<strong>na</strong>m‐se rígi<strong>da</strong>s com a estocag<strong>em</strong> e que mesmo<br />
uma peque<strong>na</strong> concentração de h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> S (pacientes com traço falciforme possu<strong>em</strong><br />
35% <strong>da</strong> h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> total sendo h<strong>em</strong>oglobi<strong>na</strong> S) pode comprometer a elastici<strong>da</strong>de<br />
−3<br />
203
celular. Essa diminuição <strong>da</strong> deformabili<strong>da</strong>de <strong>da</strong>s células com traço falciforme pode<br />
interferir no seu comportamento <strong>na</strong> circulação. H<strong>em</strong>ácias AS com 28 dias ou mais de<br />
estocag<strong>em</strong> parec<strong>em</strong> estar prejudica<strong>da</strong>s e a transfusão dessas células com um menor<br />
período de estocag<strong>em</strong> pode ser mais eficiente. Este trabalho foi publicado <strong>na</strong> revista<br />
Vox Sanguinis [82].<br />
5.4 Teoria Hidrodinâmica<br />
5.4.1 Mundo Microscópico: Baixos Números de Reynolds.<br />
ρlv<br />
O número de Reynolds é definido como Re = , onde l é uma dimensão típica<br />
µ<br />
do corpo <strong>na</strong> presença de um fluido com veloci<strong>da</strong>de v. A viscosi<strong>da</strong>de cin<strong>em</strong>ática é<br />
defini<strong>da</strong> por ν = µ/ρ, de modo que<br />
lv<br />
Re = . Para a água ν = 10 ‐2 cm 2 /s. A<strong>na</strong>lisando a<br />
ν<br />
dimensão desse número perceb<strong>em</strong>os que<br />
2<br />
M LV Mv<br />
energia cinética<br />
[Re] = Lv<br />
= = (5. 18),<br />
3<br />
L F FL trabalho <strong>da</strong> viscos<br />
i<strong>da</strong>de<br />
significando que a energia cinética é desprezível <strong>em</strong> números de Reynolds muito<br />
pequenos. Notando que µ 2 /ρ t<strong>em</strong> dimensão de força e usando os números para água, ν =<br />
10 ‐2 cm 2 /s, ρ = 1 g/cm 3 v<strong>em</strong>os que o valor <strong>da</strong> força que aparece <strong>em</strong> um corpo com<br />
número de Reynolds igual a 1 será F = (µ 2 /ρ) =<br />
4<br />
10 − dy<strong>na</strong>s =<br />
9<br />
10 − N. Tratam‐se de força<br />
muito peque<strong>na</strong>s, <strong>em</strong>bora maiores do que as <strong>da</strong> pinça óptica, que só interessam para<br />
objetos muito pequenos. O número de Reynolds para um microorganismo com L = 10<br />
µm, v = 100 µm/s <strong>na</strong> água é de<br />
3<br />
10 − .<br />
Purcell [83] apresenta um ex<strong>em</strong>plo interessante sobre a <strong>completa</strong> não<br />
importância <strong>da</strong> energia cinética para um microorganismo com dimensões de micra se<br />
movendo <strong>na</strong> água com 30 µm/s. Para o movimento é necessário uma força constante.<br />
Daí ele se faz a pergunta: <strong>em</strong> quanto t<strong>em</strong>po e que distância esse corpo pára após<br />
desligar essa força Para estimar essa distância pod<strong>em</strong>os supor váli<strong>da</strong> a lei de Stokes<br />
204
para esferas F = 6πµ av<br />
, onde a é o raio <strong>da</strong> partícula. Nesse caso é fácil integrar a<br />
equação de Newton obtendo<br />
v v 0<br />
t /<br />
= e − τ<br />
com<br />
2<br />
2a ρcorpo<br />
τ= (5. 19),<br />
9 νρ<br />
H2O<br />
supondo a densi<strong>da</strong>de do microorganismo igual à <strong>da</strong> água e um raio de 10 µm, ele pára<br />
<strong>em</strong> 20 µs, e 0,2 µs para um raio de 1 µm. Integrando a veloci<strong>da</strong>de nesse intervalo de<br />
t<strong>em</strong>po t<strong>em</strong>os que ele percorre a distância de 6 Å para o raio de 10 µm e 0,06Å para o<br />
raio de 1 µm. Em outras palavras, pára instantaneamente. Não havia qualquer energia<br />
cinética armaze<strong>na</strong><strong>da</strong>. Para baixos números de Reynolds as forças estão s<strong>em</strong>pre <strong>em</strong><br />
equilíbrio, i.e.,<br />
F<br />
= F .<br />
exter<strong>na</strong> viscosa<br />
A aparente s<strong>em</strong>elhança dessas equações com as equações <strong>da</strong> eletrostática é<br />
enga<strong>na</strong>dora. Não aju<strong>da</strong> muito o fato <strong>da</strong> pressão ser uma função harmônica, para a qual<br />
já existe to<strong>da</strong> uma biblioteca de soluções, porque as condições de contorno dos<br />
probl<strong>em</strong>as de hidrodinâmica são impostas <strong>na</strong> veloci<strong>da</strong>de e não <strong>na</strong> pressão. A condição<br />
de contorno típica <strong>da</strong> hidrodinâmica é a condição de “NON SLIP”, ou seja, a veloci<strong>da</strong>de<br />
do fluido <strong>em</strong> contato com uma interface rígi<strong>da</strong> é a mesma <strong>da</strong> interface. Nossos<br />
probl<strong>em</strong>as envolv<strong>em</strong> um corpo rígido se movendo com veloci<strong>da</strong>de U <br />
0<br />
entre dois<br />
planos infinitos separados por uma distância d, que são o fundo <strong>da</strong> lâmi<strong>na</strong> <strong>na</strong> câmara<br />
<br />
de Neubauer e a lamínula. Neste caso as condições de contorno são que v = U<br />
<br />
0<br />
<strong>na</strong><br />
<br />
superfícies do corpo e v = 0 <strong>na</strong>s paredes, o que complica bastante o probl<strong>em</strong>a.<br />
Exist<strong>em</strong> soluções prontas para diversas formas geométricas <strong>em</strong> um meio infinito,<br />
mas é quase i<strong>na</strong>creditável quão poucas soluções exist<strong>em</strong> para probl<strong>em</strong>as centenários de<br />
hidrodinâmica <strong>em</strong> baixos números de Reynolds, após todo o desenvolvimento <strong>da</strong><br />
aviação, mísseis teleguiados etc. Aparent<strong>em</strong>ente, houve uma grande falta de interesse<br />
nesse tipo de probl<strong>em</strong>as, como afirma Purcell: “Now, I’m going to talk about a world which,<br />
as physicists, we almost never think about. The physicist hears about viscosity in high school<br />
205
when he’s repeating Millikan’s oil drop experiment 6 and he never hears about it again, at least<br />
not in what I teach. And Reynold’s number, of course, is something for the engineers. And the<br />
low Reynolds number regime most engineers aren’t even interested in – except possibly ch<strong>em</strong>ical<br />
engineers, in connection with fluidized beds, a fasci<strong>na</strong>nt topic I heard about from a ch<strong>em</strong>ical<br />
engineering friend at MIT. But I want to take you into the world of very low Reynolds number –<br />
a world which is inhabited by the overwhelming majority of the organisms in this room. This<br />
world is quite different from the one that we developed our intuitions in.”<br />
Esse quadro, entretanto, mudou drasticamente <strong>na</strong> última déca<strong>da</strong>, não ape<strong>na</strong>s<br />
porque a mundo biológico microscópico se tornou mais importante mas também<br />
porque a diminuição do tamanho dos dispositivos eletromecânicos leva <strong>na</strong>turalmente<br />
ao regime de baixos números de Reynolds. Prova disso é que a palavra microfluídica<br />
está se tor<strong>na</strong>ndo parte do vocabulário comum. No nosso caso, li<strong>da</strong>ndo com partículas<br />
captura<strong>da</strong>s pelas pinças ópticas <strong>em</strong> fluidos, tor<strong>na</strong>‐se impossível entender<br />
<strong>completa</strong>mente os probl<strong>em</strong>as s<strong>em</strong> o uso <strong>da</strong> hidrodinâmica <strong>em</strong> baixos números de<br />
Reynolds. Muito menos se pretend<strong>em</strong>os estu<strong>da</strong>r forças <strong>em</strong> microorganismos. Isso indica<br />
que mesmo físicos interessados nos aspectos ópticos <strong>da</strong> pinça óptica e não <strong>na</strong><br />
hidrodinâmica, serão obrigados a dedicar um esforço razoável para li<strong>da</strong>r com<br />
probl<strong>em</strong>as de hidrodinâmica <strong>em</strong> baixos números de Reynolds. Apesar do interesse<br />
renovado <strong>na</strong> área só encontramos solução pronta para o probl<strong>em</strong>a de uma esfera entre<br />
duas paredes [84], mas não de um disco ou de uma figura pla<strong>na</strong>. Da mesma forma<br />
chama a atenção o grande número de trabalhos publicados no século XXI contendo<br />
soluções de probl<strong>em</strong>as que imaginávamos estar<strong>em</strong> <strong>completa</strong>mente resolvidos no século<br />
XIX, no máximo início do século XX. A impressão é de que a história dessa área ficou<br />
dormente após Stokes.<br />
6<br />
Desconfio que o autor queria se referir à graduação e não high school. No ensino médio aqui no Brasil sequer se<br />
ensi<strong>na</strong> as equações de Bernoulli, e jamais se d<strong>em</strong>onstraria experiência de Millikan.<br />
206
5.4.2 Equações de Continui<strong>da</strong>de<br />
Para deduzir a equação de Navier‐Stokes é necessário usar as equações de<br />
continui<strong>da</strong>de <strong>da</strong> massa e do momento. A equação <strong>da</strong> continui<strong>da</strong>de de uma grandeza<br />
qualquer é <strong>da</strong> forma<br />
∂u<br />
∇⋅ J + = Fontes −Sumidouros<br />
∂t<br />
onde,<br />
quanti<strong>da</strong>de <strong>da</strong> grandeza<br />
J =<br />
área × t<strong>em</strong>po<br />
(5. 20)<br />
é o vetor fluxo <strong>na</strong> direção do escoamento v <br />
<strong>da</strong> grandeza, tal que J = uv<br />
,<br />
quanti<strong>da</strong>de <strong>da</strong> grandeza<br />
u = é a densi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> grandeza e as fontes e sumidouros são<br />
volume<br />
definidos por:<br />
quanti<strong>da</strong>de cria<strong>da</strong><br />
quanti<strong>da</strong>de destrui<strong>da</strong><br />
Fonte =<br />
e Sumidouro =<br />
(5. 21).<br />
volume × t<strong>em</strong>po<br />
volume × t<strong>em</strong>po<br />
5.4.3 Continui<strong>da</strong>de <strong>da</strong> Massa<br />
<br />
Para a continui<strong>da</strong>de <strong>da</strong> massa u = ρ , J = ρ v e não há fonte n<strong>em</strong> sumidouros de<br />
∂ρ<br />
massa, portanto a equação de continui<strong>da</strong>de <strong>da</strong> massa é <strong>da</strong><strong>da</strong> por ∇⋅ J + = 0 . Se o<br />
∂t<br />
∂ρ ∂ρ<br />
fluido é incompressível ρ é constante no t<strong>em</strong>po e no espaço, i.e., = 0 e = 0 ,<br />
∂t<br />
∂x i<br />
significando que ∇⋅ρ v <br />
=ρ∇⋅ v = 0 . Isso implica que a veloci<strong>da</strong>de é s<strong>em</strong>pre solenoi<strong>da</strong>l,<br />
i.e., ∇⋅ v<br />
= 0 .<br />
5.4.4 Continui<strong>da</strong>de do Momento<br />
Para a equação <strong>da</strong> continui<strong>da</strong>de do momento linear partimos <strong>da</strong>s equações de<br />
<br />
<br />
dP<br />
∆F<br />
∆P<br />
Newton F = , para criar a fonte de momento f = = . O tensor densi<strong>da</strong>de<br />
dt<br />
∆V ∆V ∆t<br />
<br />
∆P<br />
∆m<br />
v <br />
de momento é <strong>da</strong>do por u = = =ρ v e o tensor fluxo por J = ( ρ v) v , levando à<br />
∆V<br />
∆V<br />
<br />
∂ v<br />
equação <strong>da</strong> continui<strong>da</strong>de do momento ∇ ⋅ρ ( v v) +ρ = F−S.<br />
∂t<br />
5.4.5 Fontes e Sumidouros de Momento<br />
Procurando no dicionário inglês‐português percebe‐se que as palavras que<br />
utilizar<strong>em</strong>os nessa seção têm os seguintes significados: stress = pressão, tensão, carga;<br />
strain = deformação, distorção; stretch = esticamento, distenção e shear = esforço<br />
transverso, cisalhamento, ato de cortar com tesoura ou guilhoti<strong>na</strong>.<br />
207
Separamos as forças exter<strong>na</strong>s atuando <strong>em</strong> um el<strong>em</strong>ento de volume <strong>em</strong> dois tipos:<br />
volumétricas e de contato. Volumétricas são forças de ação à distância através de<br />
campos gravitacio<strong>na</strong>is ou eletromagnéticos. Neste caso as fontes de momento são <strong>da</strong><strong>da</strong>s<br />
por f . As forças de contato são transmiti<strong>da</strong>s através dos tensores <strong>da</strong>s tensões de<br />
superfície πij definidos através <strong>da</strong>s forças ∆ Fi = ∫ πijn<strong>da</strong><br />
j<br />
onde nj é normal à superfície <strong>na</strong><br />
direção j e do el<strong>em</strong>ento de área. Usando o teor<strong>em</strong>a <strong>da</strong> divergência <strong>em</strong> um el<strong>em</strong>ento de<br />
∫<br />
∆ F = π n <strong>da</strong> = ∂ π dV =∂ π ∆V<br />
v<strong>em</strong>os que a densi<strong>da</strong>de de força de contato<br />
volume<br />
i ij j j ij j ij<br />
∆V<br />
é <strong>da</strong><strong>da</strong> por ∆Fi ∆ V =∂jπij.<br />
∫<br />
Figura 125. El<strong>em</strong>ento de volume, as forças e<br />
o tensor <strong>da</strong>s tensões.<br />
π 12 π 22<br />
π 32 zerar. Da Figura 125 ao lado notamos as<br />
Para um el<strong>em</strong>ento de volume infinitesimal,<br />
as forças volumétricas são despreza<strong>da</strong>s e a<br />
somatória <strong>da</strong>s forças e torques de contato<br />
<strong>em</strong> um corpo de massa nula t<strong>em</strong> que se<br />
x 3 x 2<br />
x 1<br />
forças <strong>na</strong>s direções 1, 2 e 3 são <strong>da</strong><strong>da</strong>s por<br />
F 1 = π12∆x ∆<br />
1<br />
x3<br />
F 2 = π22∆x ∆<br />
1<br />
x e<br />
3<br />
F 3 =π32∆x ∆<br />
1<br />
x .<br />
3<br />
A força F 2 é normal à superfície enquanto as forças F 1 e F 3, paralelas, são forças<br />
de cisalhamento ou “shear forces”. Para uma tensão homogênea, as forças <strong>na</strong>s faces<br />
diferentes têm a mesma intensi<strong>da</strong>de e direções opostas devido às normais, como mostra<br />
a Figura 126. Isso significa que a força resultante é automaticamente nula. Para cancelar<br />
o torque, entretanto, é necessário exigir que:<br />
( ) ( )<br />
π dx dx dx = π dx dx dx (5. 22)<br />
12 1 3 2 21 2 3 1<br />
ou seja, que o tensor <strong>da</strong>s tensões seja simétrico, π ij =π ji .<br />
208
π 22 π 11 π 22<br />
π 12<br />
π 21<br />
π 21<br />
π 12<br />
π 11<br />
π 12<br />
π 21<br />
π 11<br />
Figura 126. Tensão homogênea e as forças.<br />
Figura 127. Deformação.<br />
Vamos considerar dois pontos de um corpo<br />
<br />
ur<br />
( )<br />
<br />
δ Y<br />
inicialmente <strong>em</strong> P 0 e Q 0 que se mov<strong>em</strong><br />
para os pontos P 1 e Q 1, como mostra a<br />
<br />
δ X<br />
Q o<br />
P 1 P o Q 1<br />
ur<br />
( <br />
+ δ<br />
X<br />
)<br />
Figura 127. Isso não significa que houve<br />
uma deformação pois o corpo pode ter<br />
simplesmente transla<strong>da</strong>do e girado s<strong>em</strong><br />
deformar.<br />
Para haver deformação, portanto, é necessária a existência de uma deformação.<br />
<br />
Se ur ( ) = ur ( +δ <br />
X)<br />
só ocorreu uma translação, logo só haverá deformação se<br />
<br />
δ u= u( r +δX) −u( r)<br />
≠0<br />
, <strong>em</strong>bora isso ain<strong>da</strong> não descarte a possibili<strong>da</strong>de de ter<br />
acontecido ape<strong>na</strong>s uma rotação. Expandindo δu <strong>em</strong> série de Taylor até primeira ord<strong>em</strong><br />
<br />
δ u= u( r) + ( δX⋅∇) u( r) − u( r) = ( δX⋅∇) u( r)<br />
, v<strong>em</strong>os que δ ui =δXk∂ kui<br />
onde ∂<br />
kui<br />
é um<br />
tensor de rank 2. Todo tensor de rank 2 pode ser decomposto <strong>em</strong> um tensor simétrico e<br />
um antisimétrico pois:<br />
portanto<br />
1 1<br />
Γ<br />
ij<br />
= ( Γ<br />
ij<br />
+Γ<br />
ji<br />
) + ( Γij −Γ<br />
ji<br />
) = Sij + Aij<br />
(5. 23),<br />
2 2<br />
1 1<br />
∂<br />
kui = ( ∂<br />
kui +∂<br />
iuk) + ( ∂kui −∂<br />
iuk)<br />
=η<br />
ik<br />
+ wik. A<strong>na</strong>lisando a parte antisimétrica<br />
2 2<br />
perceb<strong>em</strong>os que se trata de uma rotação ape<strong>na</strong>s, pois o tensor antisimétrico de<br />
dimensão 3 pode ser associado a um vetor dual <strong>na</strong> forma<br />
1 1<br />
w= ε<br />
ijkwjkei = ei εijk( ∂juk −∂kuj<br />
)<br />
2 2<br />
ijk j k ikj k j<br />
, onde ε<br />
ijk<br />
é o tensor de Levi‐Civita. Entretanto,<br />
ε ∂ u =ε ∂ u por simples troca de letras dos índices mudos j e k, mas<br />
209
εijk∂ juk =−εijk∂ kuj<br />
pela antisimetria do ε<br />
ijk<br />
, de modo que w= eiεijk∂ juk<br />
=∇× u . Isso<br />
<br />
significa que<br />
7<br />
w×δ X = ( ∇× u) ×δ X =−ew i ikδXk<br />
é ape<strong>na</strong>s uma rotação de um corpo rígido<br />
<br />
do tipo v<br />
<br />
=ω×<br />
<br />
r , pois nesse caso ∇× v<br />
= 2ω <br />
portanto, é <strong>da</strong><strong>da</strong> ape<strong>na</strong>s pela componente simétrica<br />
e<br />
1<br />
ω× r =<br />
2 ( ∇× v) <br />
×<br />
r . A deformação,<br />
1<br />
η<br />
2 ( )<br />
ij<br />
=η<br />
ji<br />
= ∂<br />
iuj +∂<br />
jui<br />
.<br />
5.4.6. Lei de Hooke Generaliza<strong>da</strong>.<br />
A lei de Hooke generaliza<strong>da</strong> estabelece uma relação linear entre os tensores <strong>da</strong>s<br />
tensões e deformação <strong>na</strong> forma π ij = Cjiklη kl , onde C jikl agora é um tensor de rank 4 com<br />
3 4 = 81 el<strong>em</strong>entos. As simetrias diminu<strong>em</strong> o número de el<strong>em</strong>entos distintos. Por<br />
ex<strong>em</strong>plo, π ij =π ji implica que Cjikl = Cjikl<br />
enquanto η kl = η lk implica <strong>em</strong> Cjikl = Cjilk<br />
.<br />
∂Energia<br />
∂E<br />
Existe mais uma simetria pelo fato de que Cijkl = = = Cklij<br />
. Essas<br />
∂η ∂η ∂η ∂η<br />
ij kl kl ij<br />
simetrias traz<strong>em</strong> o número de el<strong>em</strong>entos distintos para ape<strong>na</strong>s 21. Se o meio é isotrópico<br />
C<br />
ijkl<br />
pode ser decomposto nos 3 tensores isotrópicos A<br />
ijkl<br />
= δδ<br />
ij kl<br />
, B<br />
ijkl<br />
=δikδ jl<br />
+δilδ jk<br />
e<br />
D =δ δ −δ δ , de forma que C = aδ δ + b( δ δ +δ δ ) + c( δ δ −δ δ ). O tensor<br />
ijkl ik jl il jk<br />
ijkl ij kl ik jl il jk ik jl il jk<br />
<strong>da</strong>s tensões será <strong>da</strong>do por π = aδ δ η + b( δ δ +δ δ ) η + c( δ δ −δ δ ) η , mas como<br />
ij ij kl kl ik jl il jk kl ik jl il jk kl<br />
ηij é simétrico o terceiro termo se anula e π = aη δ + 2bη =−pδ + 2µη , onde p é a<br />
ij kk ij ij ij ij<br />
pressão e µ a “shear viscosity”. Até aqui t<strong>em</strong>os usado a notação para elastici<strong>da</strong>des. A<br />
notação <strong>da</strong> mecânica dos fluidos faz a troca de<br />
π ij por<br />
σ ij e<br />
η ij por<br />
D ij , <strong>na</strong> forma<br />
σ =−pδ + 2µ D e<br />
ij ij ij<br />
1<br />
D<br />
2 ( )<br />
ij<br />
= ∂<br />
iuj +∂<br />
jui<br />
.<br />
7<br />
1 1<br />
w×δ X= eiεijkwj δ Xk = eiεijkεjlmwlm δ Xk = ei( δlkδmi −δliδmk ) wlm δ Xk<br />
=<br />
2 2<br />
1 <br />
<br />
= ei( wki −wik)<br />
δ Xk =−ew i ikδXk<br />
2<br />
210
5.4.7. Equação de Navier‐Stokes<br />
Colocando então as fontes e sumidouros <strong>na</strong> equação <strong>da</strong> continui<strong>da</strong>de do momento<br />
obt<strong>em</strong>os a equação de Navier‐Stokes<br />
<br />
∂v<br />
.<br />
t<br />
i<br />
f i<br />
+∂ j<br />
σ ij<br />
=ρ(v ⋅∇ )vi<br />
+ρ ∂<br />
5.4.8. Equação de Stokes ou “Creeping Motion”<br />
∂vi<br />
Vamos voltar à equação de Navier‐Stokes, fi + 2µ∂jDij<br />
−ρv⋅∇ v=ρ ∂ t<br />
.<br />
Reescrevendo‐a <strong>na</strong> forma <strong>em</strong> função do número de Reynolds<br />
L v vi<br />
fL<br />
i<br />
2 [ L<br />
jD ρ <br />
∂<br />
+ µ ∂<br />
ij<br />
− ⋅∇ v] =ρL (5. 24),<br />
µ ∂ t<br />
v<strong>em</strong>os que o mesmo aparece no termo que contém o gradiente de v, tor<strong>na</strong>ndo‐o<br />
desprezível. Para baixos números de Reynolds, portanto, a equação de Navier‐Stokes se<br />
∂vi<br />
reduz a fi + 2µ∂ jDij<br />
=ρ . As equações de “creeping motion” para movimentos<br />
∂ t<br />
<br />
∂ v<br />
estacionários = 0 são <strong>da</strong><strong>da</strong>s por: ∂<br />
jσ ij<br />
=− fi<br />
pela continui<strong>da</strong>de do momento e ∂<br />
ivi<br />
= 0<br />
∂t<br />
pela continui<strong>da</strong>de <strong>da</strong> massa, com a definição σ<br />
ij<br />
=−pδ ij<br />
+µ ( ∂<br />
ivj +∂<br />
jv i<br />
). Entretanto:<br />
2 <br />
∂j[ −pδ ij<br />
+µ∂<br />
jvi +µ∂<br />
iv j] =−∂<br />
ip+µ∂j∂ jvi +µ∂∂<br />
i jv j<br />
= [ −∇ p+µ∇ v +µ∇( ∇⋅v)]<br />
i<br />
(5. 25)<br />
e como ∇⋅ v<br />
= 0 concluímos que as equações no regime viscoso são (“governing<br />
<br />
equations”): µ∇ 2 v =∇p− <br />
f junto com ∇ ⋅ v<br />
= 0 . Na ausência de forças exter<strong>na</strong>s dev<strong>em</strong>os<br />
resolver<br />
<br />
µ∇ 2 v = ∇p<br />
com ∇⋅ v<br />
= 0 . Como os operadores<br />
2<br />
∇ e ∇ ⋅ comutam entre si,<br />
aplicando o divergente <strong>na</strong> primeira equação e usando a segun<strong>da</strong> obt<strong>em</strong>os a equação<br />
escalar<br />
laplaciano<br />
p<br />
0<br />
2<br />
∇ = para p, que significa que p é uma função harmônica. Já, aplicando o<br />
<br />
v p p<br />
2 2 2 2<br />
µ∇ ∇ = ∇ ∇ = ∇∇ =<br />
de veloci<strong>da</strong>des é uma função biharmônica.<br />
0<br />
de modo que<br />
<br />
4<br />
∇ v =<br />
0, significando que o campo<br />
5.4.9. Teor<strong>em</strong>as Integrais <strong>em</strong> Escoamento de Stokes ou “Creeping Motion”<br />
5.4.9.A Teor<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Dissipação<br />
<br />
Vamos escrever as equações de Stokes <strong>na</strong> forma: ∂ σ = 0 , D =∇⋅ v = 0 . Vejamos<br />
quanto vale ∂j(v iσ ij)<br />
: ∂j(v iσ ij<br />
) = vi∂jσ ij<br />
+σij∂ jv i<br />
=σ<br />
ij( Dij + Wij ) =σ<br />
ijDij<br />
pois σ<br />
ijWij<br />
= 0<br />
211<br />
j<br />
ij<br />
ii
porque se trata <strong>da</strong> contração de um tensor simétrico com um antisimétrico. Vamos<br />
considerar duas superfícies, S2, para<strong>da</strong>, <strong>na</strong> qual V = 0, e S1, <strong>na</strong> qual V = U0<br />
, e o campo de<br />
veloci<strong>da</strong>des e tensões <strong>na</strong> região entre elas. Aplicando o teor<strong>em</strong>a <strong>da</strong> divergência para o<br />
produto que acabamos de encontrar<br />
∫ ∫ ∫<br />
∂ (v σ ) dV = v σ n <strong>da</strong> − v σ n <strong>da</strong><br />
j i ij i ij j i ij j<br />
V S S<br />
∫<br />
S<br />
1<br />
1 2<br />
v σ n <strong>da</strong>= σ D dV<br />
∫<br />
i ij j ij ij<br />
V<br />
(5. 26)<br />
pois a veloci<strong>da</strong>de <strong>em</strong> S2 é nula. Por outro lado<br />
σ D = [ −pδ + 2µ D]<br />
D =− pD + 2µ DD = 2µ DD que nos fornece o resultado:<br />
1<br />
ij ij ij ij ij ii ij ij ij ij<br />
∫ v i<br />
σ ij<br />
n j<br />
<strong>da</strong>= 2µ<br />
∫D ij<br />
D ij<br />
dV (5. 27)<br />
S<br />
1<br />
V<br />
A interpretação do teor<strong>em</strong>a é que a potência forneci<strong>da</strong> pela força exter<strong>na</strong><br />
∫ v v ext<br />
iσ ijnj <strong>da</strong>=−∫<br />
i<br />
fi<br />
<strong>da</strong> é igual à potência dissipa<strong>da</strong> pelo sist<strong>em</strong>a 2µ∫ DD<br />
ij ij<br />
dV, visto<br />
S<br />
V<br />
que não há acumulação de energia cinética.<br />
V<br />
5.4.9.B Teor<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Unici<strong>da</strong>de<br />
Suponha dois campos de veloci<strong>da</strong>de<br />
v i e<br />
v′<br />
i que satisfaz<strong>em</strong> as equações de<br />
“creeping motion” e as mesmas condições de contorno. Então pod<strong>em</strong>os dizer que as<br />
soluções desse probl<strong>em</strong>a são iguais. Para provar partimos de<br />
∫ ∫ (5. 28)<br />
I = ( D′ −D )( D′ − D ) dV = [ ∂ (v′ −v )]( D′<br />
−D ) dV<br />
V<br />
usando a técnica de integrais por partes,<br />
ij ij ij ij j i i ij ij<br />
V<br />
∂ [(v′ −v )( D′ − D )] =∂ [(v′ −v )]( D′ − D ) + (v′ −v ) ∂ ( D′<br />
− D ) (5. 29),<br />
j i i ij ij j i i ij ij i i j ij ij<br />
transformamos a integral no volume <strong>em</strong> integrais de superfície<br />
∫<br />
I = ∂ [(v′ −v )( D′ −D )] dV − (v′ −v ) ∂ ( D′<br />
− D ) dV =<br />
V<br />
∫<br />
j i i ij ij i i j ij ij<br />
V<br />
= (v′ −v)( D′ − D ) n <strong>da</strong>+ (v′ −v) ∂ ( D′<br />
−D ) dV<br />
S<br />
i i ij ij j i i j ij ij<br />
V<br />
∫<br />
∫<br />
(5. 30)<br />
Em S vi = v′<br />
i anulando a integral de superfície. Para o outro termo utilizamos as<br />
equações de “creeping motion”<br />
212
1<br />
∂σ<br />
j ij<br />
= 0⇒∂j[ −pδ ij<br />
+ 2µ Dij ] =−∂<br />
ip+ 2µ∂ jDij = 0⇒∂ jDij = ∂ip<br />
(5. 31)<br />
2µ<br />
1<br />
Assim, I =− (v′ i<br />
−v i) ∂i( p′<br />
−p)<br />
dV<br />
2µ ∫ . Usando a mesma técnica anterior:<br />
V<br />
∂ [(v′ −v )( p′ − p)] =∂ [(v′ −v )]( p′ − p) + (v′ −v ) ∂ ( p′<br />
− p)]<br />
.<br />
i i i i i i i i i<br />
Mas ∂ (v′ − v ) =∂ v′<br />
−∂ v = 0 logo<br />
i i i i i i i<br />
condições <strong>na</strong> superfície. Por outro lado:<br />
<br />
I = ( D′ −D )( D′ − D ) dV = 0 ⇒ D′<br />
= D ∀r∈V<br />
e provamos a unici<strong>da</strong>de.<br />
∫<br />
V<br />
ij ij ij ij ij ij<br />
1<br />
I = − (v′ i<br />
−v i)( p′<br />
− p)<br />
nj<strong>da</strong>=<br />
0<br />
2µ ∫ pelas<br />
S<br />
(5. 32)<br />
5.4.9.C Teor<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Dissipação Mínima<br />
Vamos supor agora dois campos de veloci<strong>da</strong>des<br />
v i e<br />
v′<br />
i <strong>em</strong> que v i satisfaz as<br />
equações de “creeping motion” mas<br />
v′<br />
i satisfaz ape<strong>na</strong>s a continui<strong>da</strong>de <strong>da</strong> massa, i.e.,<br />
∂ v = 0. Além disso, a região de interesse está delimita<strong>da</strong> pelas superfícies S1, <strong>na</strong> qual<br />
i i ′<br />
v = v′ , e por S2, <strong>na</strong> qual v = v′ = 0 . O teor<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Dissipação Mínima afirma que a<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
menor dissipação possível é para o escoamento que satisfaz as equações de “creeping<br />
motion”. A d<strong>em</strong>onstração é s<strong>em</strong>elhante à do teor<strong>em</strong>a <strong>da</strong> Unici<strong>da</strong>de. Vamos partir de:<br />
( ∂ v′ −∂ v ) D = [ D′ + W′ −D − W ] D = ( D′<br />
− D ) D (5. 33)<br />
j i j i ij ij ij ij ij ij ij ij ij<br />
usando a contração de tensores simétricos com antisimétricos novamente. Por outro<br />
lado, com os resultados anteriores, pod<strong>em</strong>os colocar esses termos <strong>na</strong> forma própria para<br />
usar o teor<strong>em</strong>a <strong>da</strong> divergência:<br />
Assim:<br />
1<br />
[ ∂ (v′ j i<br />
− v<br />
i)] Dij =∂ [(v′ j i<br />
−v i) Dij] − (v′<br />
i<br />
−v i)<br />
∂ip<br />
2µ<br />
∂ [(v′ − v ) p] = (v′<br />
−v ) ∂ p ∴<br />
i i i i i i<br />
1<br />
[ ∂ (v′ j i<br />
− v<br />
i)] Dij =∂ [(v′ j i<br />
−v i) Dij] − ∂i[(v′<br />
i<br />
−v i) p]<br />
2µ<br />
∫ ∫ ∫<br />
1 2<br />
1 1<br />
− (v′ i<br />
− v<br />
i) pni<strong>da</strong><br />
+ (v′<br />
i<br />
− v<br />
i)<br />
pni<strong>da</strong><br />
= 0<br />
2µ ∫<br />
2µ<br />
∫<br />
1 2<br />
213<br />
(5. 34)<br />
( D′ − D) D dV= (v′ −v ) Dn<strong>da</strong>− (v′<br />
−v ) Dn<strong>da</strong><br />
ij ij ij i i ij j i i ij j<br />
V S S<br />
S<br />
S<br />
(5. 35)
pois <strong>em</strong> S1 vi<br />
= v′<br />
i e <strong>em</strong> S2 ambos são nulos. Agora, a dissipação do escoamento vi’ vale:<br />
<br />
E(v ′) = 2µ D′ D′ dV = 2µ [ D′ D′ −( D′<br />
− D ) D ] dV =<br />
V<br />
∫<br />
ij ij ij ij ij ij ij<br />
V<br />
= 2µ D D dV + 2µ ( D′ −D )( D′<br />
−D ) dV<br />
V<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
ij ij ij ij ij ij<br />
V<br />
(5. 36)<br />
Isso significa que E(v ′) = E(v) + C e C ≥0<br />
∴E(v ′) ≥ E(v)<br />
. A menor dissipação é a<br />
do movimento de “creeping motion”.<br />
5.1.9.D Geometria Equivalente<br />
Vamos supor um escoamento de Stokes devido um corpo C1, limitado pela<br />
superfície S1, com veloci<strong>da</strong>de U, i.e. ( )<br />
v S = U, limitado pela superfície S <strong>na</strong> qual<br />
i<br />
1<br />
v i = 0 . Vamos tomar outro corpo C2 com a mesma veloci<strong>da</strong>de U, mas agora limitado<br />
por S2, de tal forma que o corpo C1 está contido <strong>em</strong> S2. A mesma superfície S limita os<br />
escoamentos nos dois casos. O campo de veloci<strong>da</strong>de v 1 satisfaz as equações de<br />
“creeping motion” entre S1 e S. Já para o campo v 2 vamos tomar uma veloci<strong>da</strong>de que<br />
satisfaz as equações de “creeping motion” entre S2 e S, mas é constante e igual à U entre<br />
S2 e S1. Isso significa que v 2 não satisfaz as equações de “creeping motion” <strong>em</strong> todo o<br />
espaço, mas é solenoi<strong>da</strong>l <strong>em</strong> todo ele. Logo as condições do teor<strong>em</strong>a de Dissipação<br />
<br />
mínima são váli<strong>da</strong>s e pod<strong>em</strong>os afirmar que E(v ′) ≥ E(v)<br />
. Por outro lado<br />
<br />
E(v ′) = 2µ D′ ijD′ ij<br />
dV + 2µ<br />
D′ ijD′<br />
ij<br />
dV<br />
∫<br />
> < <<br />
V S2 S1 V S2<br />
∫<br />
, mas D′<br />
ij<br />
= 0 no volume entre S1 e S2 porque a<br />
∫ ∫ ∫<br />
o que significa<br />
veloci<strong>da</strong>de é constante. Mas DijDij dV = Uiσ ijnj <strong>da</strong> = Ui σ<br />
ijnj <strong>da</strong> = UiFi<br />
que UF<br />
i i<br />
UF<br />
i i<br />
Fi Fi<br />
V S S<br />
′ ≥ ∴ ′ ≥ . A conclusão é que se um corpo contém outro e ambos se<br />
deslocam com a mesma veloci<strong>da</strong>de a força de arraste será maior para corpo que contém<br />
o outro.<br />
Daqui, pod<strong>em</strong>os perceber a geometria equivalente. Criamos um corpo com uma<br />
geometria G qualquer e um fator de escala λ que aumenta suas dimensões. A força de<br />
arraste será uma função contínua e crescente de λ, F(λ). Vamos considerar agora um<br />
corpo C de tal forma que C contém G(λ1) e G(λ2) contém C, conforme mostra a Figura<br />
214
128. Então, F(λ1) < F(C) < F(λ2) e existe λeq de tal forma que F(λeq) = F(C). Como a<br />
superfície exter<strong>na</strong> S <strong>na</strong> qual a veloci<strong>da</strong>de é nula não entrou no resultado para o cálculo<br />
<strong>da</strong> dissipação o λeq independe <strong>da</strong> mesma, o que nos fornece a seguinte estratégia para<br />
li<strong>da</strong>r com corpos de geometrias muito diferentes: 1. calcular a força de arraste para o<br />
corpo desejado <strong>em</strong> um escoamento infinito, s<strong>em</strong> paredes, b<strong>em</strong> mais fácil do que <strong>na</strong><br />
presença <strong>da</strong>s paredes. 2. Determi<strong>na</strong>r o λeq no fluido infinito <strong>em</strong> comparação com um<br />
corpo com uma geometria <strong>em</strong> que se conheça a solução <strong>na</strong> presença <strong>da</strong>s fronteiras S. 3.<br />
Usar esse mesmo λeq para o cálculo <strong>da</strong> força de arraste <strong>na</strong> presença <strong>da</strong> fronteira.<br />
G(λ 1 )<br />
C<br />
G(λ 2 )<br />
Figura 128. Geometria Equivalente.<br />
Uma forma de justificar mais detalha<strong>da</strong>mente a aproximação <strong>da</strong> h<strong>em</strong>ácia <strong>na</strong> sua<br />
forma bicôncava por um paralelepípedo de comprimento L, largura W e espessura ε<br />
desprezível, seria através do Teor<strong>em</strong>a de Mínima Dissipação e <strong>da</strong> geometria<br />
equivalente.<br />
5.4.9. E Teor<strong>em</strong>a Recíproco<br />
Vamos considerar agora dois escoamentos entre as superfícies S1 e S2 no qual<br />
ambos satisfaz<strong>em</strong> as equações de “creeping motion”, ambos são nulos <strong>em</strong> S2, mas que<br />
não satisfaz<strong>em</strong> as mesmas condições de contorno <strong>em</strong> S1. Então percebe‐se que<br />
σ ′ D = [ −p′ δ + 2µ D′ ] D =− pD ′ + 2µ DD ′ = 2µ DD ′ que será o mesmo trocando a linha<br />
ij ij ij ij ij ii ij ij ij ij<br />
de lugar, levando a σ ′<br />
ijDij =σ<br />
ijD′<br />
ij<br />
. Agora<br />
Logo,<br />
∂ ( σ ′ v ) = ( ∂ σ ′)v +σ′ ∂ v =σ ′( D + W ) =σ ′ D e também ∂ ( σ v ′)<br />
=σ D′<br />
.<br />
j ij i j ij i ij j i ij ij ij ij ij<br />
∫<br />
V<br />
∂ ( σ ′ v ) dV = ∂ ( σ v ′)<br />
dV<br />
j ij i j ij i<br />
V<br />
1 2 1 2<br />
j ij i ij ij<br />
(5. 37).<br />
v σ′ n <strong>da</strong>− v σ ′ n <strong>da</strong>= v′ σ n <strong>da</strong>− v′<br />
σ n <strong>da</strong><br />
∫ ∫ ∫ ∫<br />
i ij j i ij j i ij j i ij j<br />
S S S S<br />
∫<br />
215
Como v i e v′<br />
i são nulos <strong>em</strong> S2:<br />
∫<br />
v<br />
σ ′ n <strong>da</strong>= v′<br />
σ<br />
i ij j i ij j<br />
S1 S1<br />
∫<br />
v<br />
ou<br />
∫<br />
∫<br />
f ′ <strong>da</strong> = v′<br />
f <strong>da</strong><br />
i i i i<br />
S1 S1<br />
n <strong>da</strong><br />
(5. 38)<br />
5.4.10 Presença de Singulari<strong>da</strong>des ou Funções de Green<br />
Vamos considerar o probl<strong>em</strong>a do escoamento devido a uma força pontual <strong>em</strong><br />
um meio infinito, cujas equações são:<br />
<br />
∂σ =−f δ( r −r′<br />
)<br />
j ij i<br />
σ =−pδ + 2µ<br />
D<br />
ij ij ij<br />
∂ v = 0<br />
i<br />
i<br />
(5. 39)<br />
Pode‐se verificar que uma solução dessas equações, conheci<strong>da</strong> como Stokeslet, é<br />
<strong>da</strong><strong>da</strong> por:<br />
<br />
1 f ( f ⋅ R)<br />
R<br />
v(r, f) = [ + ]<br />
3<br />
8πµ<br />
R R<br />
<br />
1 f ⋅ R<br />
p(r,f)<br />
=<br />
3<br />
4 π R (5. 40)<br />
<br />
( f ⋅ R)<br />
RR<br />
i j<br />
σ<br />
ij(r,f)<br />
=−<br />
5<br />
R<br />
<br />
onde R= r − r′<br />
e R=<br />
|| R||<br />
<br />
<br />
<br />
Claro que v ( r‐ h, f) e p( r‐ h,<br />
f)<br />
também são soluções e, dessa forma, pod<strong>em</strong>os<br />
escrever ca<strong>da</strong> um dos termos <strong>da</strong> expansão <strong>em</strong> série de Taylor dessas funções <strong>em</strong> termos<br />
de h, ou seja,<br />
<br />
<br />
n<br />
n<br />
<br />
n ( h⋅∇) <br />
n ( h⋅∇)<br />
<br />
v( r − h, f) = ∑( −1) v( r, f) e p( r − h, f) = ∑( −1) p( r, f)<br />
n! n!<br />
n<br />
n<br />
(5. 41).<br />
O primeiro termo <strong>na</strong> expansão é chamado de Doublet e é <strong>da</strong>do por:<br />
<br />
1 ( f × h) × R ( f ⋅h) R 3( f ⋅R)( h⋅R)<br />
R<br />
v<br />
D( r, f, h) = { −[ −<br />
]}<br />
3 3 5<br />
8πµ<br />
R R R<br />
<br />
(5. 42)<br />
1 ( f ⋅h) 3( f ⋅R)( h⋅R)<br />
pD( r, f, h) =− [ −<br />
]}<br />
3 5<br />
4π<br />
R R<br />
216
de onde perceb<strong>em</strong>os que a veloci<strong>da</strong>de t<strong>em</strong> dois termos com simetrias diferentes, um<br />
antisimétrico por causa do produto vetorial e o outro simétrico, já a pressão é<br />
totalmente simétrica. Por isso se quebra o Doublet <strong>em</strong> duas contribuições, o Stresslet,<br />
simétrico, e o Rotlet, antisimétrico:<br />
<br />
1 ( f ⋅h) 3( f ⋅R)( h⋅R)<br />
<br />
v<br />
SS( r, f, h) =− [ −<br />
] R<br />
3 5<br />
8πµ<br />
R R<br />
(5. 43)<br />
1 ( f ⋅h) 3( f ⋅R)( h⋅R)<br />
pSS( r, f, h) =− [ −<br />
]}<br />
3 5<br />
4π<br />
R R<br />
e<br />
<br />
1 ( f × h)<br />
× R 1 Ω× R <br />
v<br />
SR( r, f, h) = = com Ω= f × h e p ( , , ) 0<br />
3 3<br />
SR<br />
r f h =<br />
8πµ R 8πµ<br />
R<br />
(5. 44)<br />
A Figura 129 a mostra uma representação pictorial entre o Doublet, o Stresslet e o<br />
Rotlet. Nela se percebe que no Stresslet não há torque n<strong>em</strong> força resultante, só tensão, já<br />
no rotlet não há força resultante, mas existe torque. Se os vetores h e f são paralelos, i.e.,<br />
<br />
h//<br />
f o rotlet será <strong>na</strong>turalmente nulo, <strong>na</strong> forma representa<strong>da</strong> <strong>na</strong> Figura 129 b. Os<br />
próximos termos <strong>na</strong> expansão dão orig<strong>em</strong> a quadrupólos e outras ordens superiores<br />
envolvendo expressão algébricas ca<strong>da</strong> vez mais complica<strong>da</strong>s. Existe, entretanto, ain<strong>da</strong><br />
um termo simples que pode ser extraído do Stokeslet, chamado de Source Doublet,<br />
Potential Doublet ou Double Layer Potential, obtido aplicando o laplaciano <strong>na</strong> solução<br />
do Stokeslet. Em lugar de aplicar diretamente o laplaciano <strong>na</strong> veloci<strong>da</strong>de entretanto é<br />
mais simples usar o fato de que<br />
2<br />
1<br />
∇ v = ∇p<br />
µ<br />
e aplicar o gradiente diretamente no p do<br />
Stokeslet para obter<br />
<br />
2 f 3( f ⋅ R)<br />
R<br />
v<br />
SD( r, f) = [ − ]<br />
3 5<br />
8πµ<br />
R R<br />
(5. 45).<br />
A s<strong>em</strong>elhança do Source Doublet com o Stokeslet, diferindo <strong>na</strong> potência do<br />
denomi<strong>na</strong>dor o tor<strong>na</strong> muito útil para geometrias esféricas. Por ex<strong>em</strong>plo, a lei de Stokes<br />
para uma esfera de raio a <strong>em</strong> um meio infinito sai facilmente se perceb<strong>em</strong>os que<br />
pod<strong>em</strong>os usar um Stokeslet e um Source Doublet centrados <strong>na</strong> orig<strong>em</strong> para satisfazer as<br />
217
condições de contorno de veloci<strong>da</strong>de constante <strong>na</strong> superfície <strong>da</strong> mesma. Neste caso<br />
quer<strong>em</strong>os encontrar duas constantes α e β que garantam<br />
<br />
<br />
Fi ( F⋅Rx )<br />
i<br />
Fi 3( F⋅Rx<br />
)<br />
i<br />
vi<br />
=α [ + ] +β− [ + ] (5. 46).<br />
3 3 5<br />
a a a a<br />
2<br />
a<br />
<br />
Percebe‐se que β=− α cancela os termos com F⋅<br />
R e fornece v<br />
3<br />
fato de que<br />
1<br />
<br />
α= chegamos a F = 6πµ<br />
av<br />
, a lei de Stokes [85].<br />
8 πµ<br />
i<br />
4Fi<br />
=α e usando o<br />
3a<br />
<br />
f<br />
Doublet Stresslet Rotlet<br />
. h <br />
≡<br />
1<br />
2<br />
+<br />
a<br />
. ≡ .<br />
1<br />
2<br />
b<br />
Figura 129. a.Ilustração de Doublet, Stresslet e Rotlet. b. h e f são paralelos.<br />
218
Capítulo 6<br />
Conclusão e Perspectivas<br />
O trabalho desenvolvido ao longo do Doutorado abriu diversas perspectivas<br />
para novas pesquisas. O fato de incorporarmos a capaci<strong>da</strong>de de espectroscopias lineares<br />
e não lineares nos forneceu um horizonte muito vasto, impossível de ser explorado <strong>em</strong><br />
uma única Tese. A observação <strong>da</strong>s ressonâncias de Mie <strong>em</strong> microesferas captura<strong>da</strong>s e a<br />
medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> força óptica <strong>em</strong> função <strong>da</strong> posição do centro <strong>da</strong> partícula ao<br />
foco do laser e <strong>da</strong> polarização nos fez pensar sobre os métodos de calibração e sobre a<br />
Teoria de pinça óptica. As oscilações vistas nos gráficos <strong>da</strong> seção 3.2.5.2 não são<br />
explica<strong>da</strong>s por nenhum modelo óptico, abrindo a possibili<strong>da</strong>de de aplicação de novos<br />
modelos de feixes incidentes incluindo, por ex<strong>em</strong>plo, efeitos de difração, já que<br />
experimentalmente o feixe do laser não é n<strong>em</strong> muito menor e n<strong>em</strong> tão maior que o<br />
diâmetro <strong>da</strong> objetiva. Esses resultados também nos levam a um estudo mais detalhado<br />
do papel <strong>da</strong> polarização <strong>em</strong> uma pinça óptica.<br />
Outro ponto importante seria realizar uma calibração anisotrópica <strong>da</strong> pinça<br />
óptica. Até o momento t<strong>em</strong>os uma calibração para a força óptica do plano e não para a<br />
força <strong>em</strong> z. A força que o laser exerce sobre uma partícula é menos intensa <strong>na</strong> direção de<br />
219
propagação z do que <strong>na</strong> direção perpendicular. Isso significa que quando aprisio<strong>na</strong>mos<br />
microorganismos flagelados eles tenderão a se deslocar mais <strong>na</strong> direção z, onde a força<br />
óptica é menor, do que <strong>na</strong>s outras. Para quantificar esse movimento precisamos de uma<br />
calibração <strong>da</strong> força nessa direção. O sist<strong>em</strong>a ideal seria capaz de quantificar o<br />
deslocamento <strong>na</strong>s 3 direções e medir a intensi<strong>da</strong>de, direção e sentido do vetor força.<br />
Essa calibração se tor<strong>na</strong> necessária para estudos quantitativos de movimentos de<br />
microorganismos aprisio<strong>na</strong>dos.<br />
O nosso sist<strong>em</strong>a de pinça óptica acoplado à espectroscopia d<strong>em</strong>onstrou a<br />
capaci<strong>da</strong>de de obter os mais variados espectros. Isso abriu a possibili<strong>da</strong>de de realizar<br />
microscopias com esse mesmo sist<strong>em</strong>a usando linhas espectroscópicas específicas. Para<br />
tanto, é necessário associar a intensi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> linha com a posição do laser de excitação.<br />
Nosso sist<strong>em</strong>a atual de varredura será lento, pois o estágio de translação t<strong>em</strong> massa<br />
grande, mas isso não seria o probl<strong>em</strong>a para amostras estáticas. Isso nos permitirá<br />
obtenção de imagens tanto através <strong>da</strong> luminescência excita<strong>da</strong> por dois fótons como por<br />
Hiper Rayleigh ou Hiper Raman. No caso do Hiper Raman, por ex<strong>em</strong>plo, o t<strong>em</strong>po de<br />
integração será maior do que o t<strong>em</strong>po de varredura, não importando muito a<br />
veloci<strong>da</strong>de <strong>da</strong> mesma. Imagens construí<strong>da</strong>s a partir do SHG estão começando a ser<br />
usa<strong>da</strong>s <strong>na</strong> Biomedici<strong>na</strong>. Uma forma de aumentar a veloci<strong>da</strong>de de imagens <strong>em</strong> linhas de<br />
Raman é o uso <strong>da</strong> técnica chama<strong>da</strong> CARS – “Coherent Anti‐Stokes Raman<br />
Spectroscopy” que amplifica consideravelmente a intensi<strong>da</strong>de do si<strong>na</strong>l, com a<br />
conseqüente diminuição do t<strong>em</strong>po de aquisição. O CARS é feito usando‐se 2 lasers que<br />
têm suas freqüências sintoniza<strong>da</strong>s de forma que a diferença entre elas seja igual à<br />
freqüência de um modo de vibração <strong>da</strong> molécula <strong>em</strong> questão.<br />
A pinça dupla nos mostrou que é possível utilizá‐la no estudo, de grande<br />
importância biológica, dos processos de adesão de eritrócitos. Até o momento não existe<br />
uma medi<strong>da</strong> absoluta desse fator. Quantificar essa adesão poderia aju<strong>da</strong>r a explicar a<br />
<strong>na</strong>tureza <strong>da</strong> ligação h<strong>em</strong>ácia‐h<strong>em</strong>ácia tanto no sentido biológico como químico e<br />
colaboraria para garantir a quali<strong>da</strong>de de transfusões, no estudo de doenças e <strong>na</strong><br />
220
vali<strong>da</strong>de dos modelos <strong>em</strong>pregados no dia a dia de um banco de sangue. Poderíamos<br />
quantificar essa adesão acoplando as h<strong>em</strong>ácias <strong>em</strong> microesferas cujo deslocamento nos<br />
permitiria calibrar o valor <strong>da</strong> força. Para isso, é necessário funcio<strong>na</strong>lizar as microesferas<br />
garantindo sua ligação com as h<strong>em</strong>ácias.<br />
A calibração <strong>da</strong> medi<strong>da</strong> de forças e de elastici<strong>da</strong>de nos levou ao estudo <strong>da</strong><br />
hidrodinâmica no regime conhecido como o “creeping motion”. Afi<strong>na</strong>l, os<br />
microorganismos viv<strong>em</strong> <strong>em</strong> um universo s<strong>em</strong> inércia de baixos números de Reynolds e<br />
qualquer aspecto de sua mecânica, como as técnicas ópticas se propõ<strong>em</strong> a fazer, só pode<br />
ser <strong>completa</strong>mente entendido com o conhecimento dessa hidrodinâmica. Apesar de<br />
mais de um século dos trabalhos de Stokes e outros grandes nomes <strong>da</strong> hidrodinâmica, o<br />
fato é que não encontramos desenvolvimentos teóricos prontos <strong>na</strong> literatura para as<br />
forças hidrodinâmicas <strong>na</strong> presença de duas paredes, a não ser no caso de esferas.<br />
Trabalhos de mat<strong>em</strong>áticos nessa área estão aparecendo <strong>em</strong> 2000 e 2001. Novos<br />
desenvolvimentos <strong>na</strong> microscopia e microbiologia, incluindo a pinça óptica, traz<strong>em</strong><br />
incentivos para a solução desses probl<strong>em</strong>as. A maior distância de uma partícula<br />
captura<strong>da</strong> pela pinça óptica a uma parede é a “working distance” <strong>da</strong>s objetivas de 100 X<br />
dos microscópios ópticos, que é <strong>da</strong> ord<strong>em</strong> de 200 µm. Muitas <strong>da</strong>s nossas medi<strong>da</strong>s são<br />
realiza<strong>da</strong>s <strong>em</strong> uma câmara de Neubauer. Para um bom aproveitamento <strong>da</strong> pinça óptica<br />
é fun<strong>da</strong>mental uma maior compreensão <strong>da</strong> hidrodinâmica envolvi<strong>da</strong>. Além do estudo<br />
teórico e do seu papel <strong>na</strong> medi<strong>da</strong> de forças e elastici<strong>da</strong>des, também pod<strong>em</strong>os usar a<br />
pinça óptica para compreender e vali<strong>da</strong>r modelos de dinâmica de fluidos, tais como<br />
interação entre micropartículas.<br />
Quanto mais estu<strong>da</strong>mos e compreend<strong>em</strong>os os fenômenos envolvidos, mais idéias<br />
e novas aplicações surg<strong>em</strong> para ser coloca<strong>da</strong>s <strong>em</strong> prática. Todo o trabalho dessa Tese<br />
nos ensinou que, no campo de pesquisa <strong>da</strong> pinça óptica, estamos ape<strong>na</strong>s no início. Ca<strong>da</strong><br />
novo desenvolvimento só amplia as possibili<strong>da</strong>des de sua utilização.<br />
221
222
Apêndice 1<br />
223
1. Prova de que os operadores ∇ , L e ∇ × L <br />
comutam com o<br />
Vamos mostrar que os operadores ∇ , L e<br />
224<br />
2<br />
∇ :<br />
∇ × L <br />
comutam com o<br />
2<br />
∇ , usando a<br />
notação tensorial de Einstein <strong>em</strong> que índices repetidos significa soma nos mesmos, os<br />
tensores de Levi‐Civita ε ijk = 1 para ijk = 123, 312 e 231; ε ijk =− 1 para ijk = 213, 321 e<br />
132; e ε ijk = 0 para quaisquer índices repetidos e o delta de Kronecker δ = 1 se i = j e<br />
δ = 0 se i ≠ j , obt<strong>em</strong>os:<br />
ij<br />
2 <br />
2<br />
a. ∇∇ = e ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ( e ∂ ) = ∇ ∇<br />
i i j j j j i i<br />
<br />
2<br />
<br />
b. L=− ir×∇=−ie ε x ∂ ⇒∇ L=∂ ∂ ( −ie ε x ∂ ⇒<br />
j jkl k l m m j jkl k l<br />
<br />
2 <br />
∇ L = −ie ε ∂ ∂ ( x ∂ ) = −ie ε [2 δ ∂ ∂ + x ∂ ∂ ∂ ].<br />
j jkl m m k l j jkl m,<br />
k m l k l m m<br />
Se o tensor Si,j é simétrico, i.e., Si,j = Sj,i , então ε ijkSij<br />
= 0 , pois ε ijkSij =ε jikSji<br />
por simples<br />
troca de letras e ε ijkSij =ε jikSji =−ε ijkSij<br />
pela antisimétria do ε e simetria de S, logo<br />
<br />
2 <br />
<br />
2<br />
2ε ijkSij<br />
= 0. Dessa forma εjkl∂k∂ l = 0 levando a ∇ L=−iejεjklxk∂∂ l m∂ m = L∇<br />
.<br />
<br />
c. ∇× L= ejεjkl∂ kLl = ejεjkl∂k[ −iεlmnxm∂ n] =−iej[ εljkεlmn] ∂k( xm∂n)<br />
. Aqui usamos a identi<strong>da</strong>de<br />
<br />
εljkε lmn =δjmδkn −δjnδ km obtendo ∇× L=−iej[ δjmδkn −δjnδkm] ∂k( xm∂n)<br />
que, <strong>na</strong> contração<br />
<br />
com as δ’s, se transforma <strong>em</strong> ∇× L =− ie ∂ ( x ∂ ) − ∂ ( x ∂ )]. Desenvolvendo, obt<strong>em</strong>os<br />
j[ k j k k k j<br />
<br />
∇× L=−ie [ x ∂∂ +δ ∂ −x ∂∂ −∂( ∂x<br />
)] que é transformado <strong>em</strong><br />
pois<br />
∇ ×<br />
j j k k kj k k k j j k k<br />
3 3<br />
∂xk<br />
k= 1∂xk<br />
k=<br />
1<br />
∂ x = = 1=<br />
3<br />
k<br />
k<br />
<br />
L = i[2∇ − r∇<br />
<br />
∇× L=−ie [ x ∂ ∂ +∂ −x<br />
∂ ∂ −3 ∂ ],<br />
j j k k j k k j j<br />
<br />
∑ ∑ . Portanto, ∇× L = i [2 e j∂j − e j x j∂k∂ k + x k∂k( e j∂j)]<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
+ ( r ⋅∇)<br />
∇]<br />
. Aplicando o Laplaciano ∇ ∇× L=∂ ∂ ∇× L<br />
m<br />
m<br />
ij<br />
, ou seja,<br />
obt<strong>em</strong>os<br />
<br />
2 <br />
∇∇× L= i[2( e ∂) ∂ ∂ −∂ ∂ ( e x )( ∂∂ ) +∂ ∂ ( x ∂)( e ∂)]<br />
. Agora é só separar os<br />
j j m m m m j j k k m m k k j j<br />
termos <strong>em</strong> que a deriva<strong>da</strong> ∂<br />
m<br />
se aplica <strong>em</strong> x dos outros para obter<br />
<br />
2 <br />
∇∇× L= i{[2 e ∂ −( e x ∂∂ ) + ( x ∂)( e ∂)] ∂ ∂ +∂ ( δ ∂)( e ∂) −∂ ( e δ )( ∂∂)}<br />
que<br />
vira<br />
j j j j k k k k j j m m m mk k j j m j mj k k<br />
<br />
<br />
∇∇× = ∂ − ∂∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =∇× ∇<br />
2 2<br />
L i[2 ej j ( ejxj k k) ( xj j)( ej j)] m m ( L)<br />
uma vez que
∂m( δmk∂k)( e j∂j) −∂m( e jδmj)( ∂∂ k k) = e j∂∂∂ j k k −e<br />
<br />
j∂∂∂ j k k = 0. Dessa forma, mostramos que<br />
os operadores ∇ , L e ∇ × L <br />
<br />
2<br />
comutam com o ∇ e as funções vetoriais A =∇φ, D= Lφ<br />
<br />
e F = ( ∇× L)<br />
φ satisfaz<strong>em</strong> a equação diferencial vetorial.<br />
2. Prova de que as funções ψ nm construí<strong>da</strong>s a partir dos harmônicos esféricos são<br />
ortogo<strong>na</strong>is entre si:<br />
π ( n+ m)! π ( n′ + m′<br />
)!<br />
ψ ψ = − Y + − Y Y + − Y<br />
2n+ 1( n− m)! 2n′ + 1( n′ −m′<br />
)!<br />
m+ m′ m m −m m′ m′ −m′<br />
enm en′ m′ ( 1) n ( 1) n n′ ( 1) n′<br />
π ( n+ m)! π ( n′ + m′<br />
)! 2 π ( n+<br />
m)!<br />
= ( −1) { δ δ + ( −1) δ δ } = δ δ<br />
2n+ 1( n− m)! 2l′ + 1( n′ − m′<br />
)! 2n+ 1( n−m)!<br />
m+ m′ m+<br />
m′<br />
nn′ mm′ nn′ mm′ nn′ mm′<br />
e o mesmo vale para a função par<br />
ψ onm . Também,<br />
π ( n+ m)! π ( n′ + m′<br />
)!<br />
ψ ψ = − − − + −<br />
2n+ 1( n− m)! 2n′ + 1( n′ −m′<br />
)!<br />
m+ m′ m m −m m′ m′ −m′<br />
onm en′ m′ i( 1) Yn ( 1) Yn Yn ′ ( 1) Yn<br />
′<br />
π ( l+ m)! π ( n′ + m′<br />
)!<br />
= i( −1) { δ δ −( −1) δ δ } = 0= ψ ψ<br />
2l+ 1( l− m)! 2n′ + 1( n′ −m′<br />
)!<br />
m+ m′ m+<br />
m′<br />
nn′ mm′ nn′ mm′ enm on′ m′<br />
3. Cálculo de M e N :<br />
ˆ<br />
T<strong>em</strong>os que<br />
eθ<br />
∂ ∂<br />
L = i[ −eˆ<br />
ϕ ]<br />
senθ∂ϕ<br />
∂θ<br />
e sendo<br />
1 <br />
M = Z ( kr)<br />
Lψ<br />
i<br />
nm n nm<br />
1 1 eˆ<br />
θ ∂ ∂ m<br />
M enm = Zn( ρ) Lψ enm = Zn( ρ) i[ − eˆ<br />
ϕ ] Pn<br />
(cos θ)cosmϕ<br />
i<br />
i senθ∂ϕ<br />
∂θ<br />
m<br />
m<br />
n n<br />
ˆθ<br />
n<br />
n<br />
−msen mϕ dP (cos θ)<br />
= { P (cos θ) Z ( ρ) e − cos mϕ Z ( ρ) eˆϕ<br />
}<br />
senθ<br />
dθ<br />
1 1 eˆ<br />
θ ∂ ∂ m<br />
Monm = Zn( ρ) Lψ onm = Zn( ρ) i[ − eˆ<br />
ϕ ] Pn<br />
(cos θ)senmϕ<br />
i<br />
i senθ∂ϕ<br />
∂θ<br />
L<strong>em</strong>brando que<br />
m<br />
m<br />
dP (cos θ)<br />
ˆ<br />
n<br />
n n θ<br />
n<br />
−mcos<br />
mϕ<br />
= { P (cos θ) Z ( ρ) e −sen m ϕ Z ( ρ) e ˆϕ<br />
}<br />
senθ<br />
dθ<br />
1 1 <br />
N = ∇× [ Z ( kr) Lψ ] = ∇× M<br />
ik<br />
k<br />
nm n nm nm<br />
225<br />
,
⎡<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
eˆr<br />
reˆθ<br />
rsen<br />
θ eˆϕ<br />
<br />
⎢<br />
⎥<br />
1 1<br />
∇× Menm<br />
= ⎢∂r<br />
∂θ ∂ϕ ⎥ =<br />
2<br />
k r senθ ⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
m<br />
msen m ϕ m<br />
dPn<br />
(cos θ ) ⎥<br />
⎢ 0 − Pn (cos θ) Zn( ρ) −cos mϕ Zn( ρ)<br />
⎥<br />
⎣ senθ<br />
dθ<br />
⎦<br />
1 1<br />
= {<br />
2<br />
k r senθ<br />
m m m<br />
d dPn r mcos mϕ Zn( ρ) Pn dP [ ( )]<br />
[ ( )cos [sen ] ] ˆ<br />
n d rZn<br />
ρ<br />
−rZn<br />
ρ mϕ θ + er<br />
+ r senθcos mϕ<br />
[ ] eˆ<br />
dθ dθ senθ dθ<br />
dr<br />
m sen mϕ<br />
P [ ( )] sen [<br />
n d rZn<br />
ρ<br />
−r<br />
θ ] e ˆ<br />
ϕ } =<br />
senθ<br />
dr<br />
m<br />
m 2 m<br />
n( ρ) 1 d<br />
n n<br />
m<br />
2 2<br />
rZ dP m P<br />
dP<br />
cos [ [sen ] ˆ<br />
n 1 d [ rZn( ρ)]<br />
= ϕ − θ + er<br />
+ cos mϕ<br />
[ ] eˆ<br />
kr<br />
senθ dθ dθ sen θ<br />
d θ kr dr<br />
m<br />
m sen mϕ<br />
Pn<br />
1 d [ rZn( ρ)]<br />
−<br />
[ ] eˆ<br />
senθ<br />
kr dr<br />
ϕ<br />
m<br />
θ<br />
θ<br />
usando a equação diferencial dos polinômios associados de Legendre,<br />
<br />
m<br />
m<br />
rZn( ρ) m<br />
dP 1 [ ( ρ)] sen ϕ 1 [ ( ρ)]<br />
= ϕ + ˆ<br />
n d rZn m m P<br />
cos ( 1) + cos ϕ [ ] ˆ<br />
n d rZn<br />
Nenm m n n P θ −<br />
[ ] ˆ<br />
2<br />
n er<br />
m e e<br />
kr<br />
dθ ρ dr senθ ρ dr<br />
A<strong>na</strong>logamente:<br />
ϕ<br />
m m<br />
rZn m dPn 1 d rZn m m Pn 1 d rZn<br />
onm = ϕ + + ϕ θ −<br />
2<br />
n r<br />
( ρ) [ ( ρ)] cos ϕ [ ( ρ)]<br />
N sen m n( n 1) P eˆ sen m [ ] eˆ [ ] eˆ<br />
kr<br />
dθ ρ dr senθ ρ dr<br />
<br />
4. Prova <strong>da</strong> relação i εω ik <br />
H = ∑− AnmMnm − BnmNnm<br />
:<br />
k<br />
µω<br />
<br />
Vamos escrever o campo elétrico como: E= ∑ AnmMnm + BnmNnm<br />
. No caso TE,<br />
<br />
i ik ∇× Mnm<br />
ik <br />
E= ∑ AnmMnm<br />
e H = ∑− A ∇× M = ∑− A = ∑−<br />
A N<br />
µω µω k µω<br />
nm nm nm nm nm<br />
.<br />
ϕ<br />
No caso TM,<br />
<br />
H = ∑CnmM<br />
nm<br />
e<br />
<br />
i ik ∇× M ik <br />
E= ∑ C ∇× M = ∑ C = ∑ C N<br />
εω εω k εω<br />
nm<br />
nm nm nm nm nm<br />
226
ik iεω<br />
<br />
H = ∑ − AnmNnm − BnmNnm<br />
mas,<br />
µω<br />
k<br />
ik i i<br />
E εω<br />
εω<br />
= ∑B N ⇒= B N = C N ⇒ C =− B ⇒ H = ∑−<br />
B N<br />
<br />
εω<br />
k<br />
k<br />
nm nm nm nm nm nm nm nm nm nm<br />
então:<br />
ik iεω<br />
<br />
H = ∑ − A N − B N<br />
µω<br />
k<br />
nm nm nm nm<br />
<br />
5. Cálculo de r ⋅ E<br />
<br />
e r ⋅ H<br />
<br />
:<br />
<br />
r⋅ E= A r⋅ M + B r⋅N<br />
∑<br />
nm nm nm nm<br />
<br />
mas r⋅ M = r⋅Lψ = 0<br />
nm<br />
nm<br />
<br />
então r⋅ E= Bnm r⋅Nnm<br />
−ik<br />
<br />
e r⋅ H = ∑ Anm r⋅Nnm<br />
,<br />
µω<br />
<br />
<br />
r r <br />
r⋅ Nnm = ∇× [ Zn( ρ) Lψ nm] = { ∇Zn( ρ ) × Lψ nm + Zn( ρ) ∇× Lψnm}<br />
ik<br />
ik<br />
<br />
r Z ( ρ)<br />
<br />
<br />
n<br />
= { r× Lψ nm + Zn( ρ) ∇× Lψnm<br />
}<br />
ik r<br />
<br />
<br />
r <br />
2 <br />
mas, r⋅ [ r× Lψ nm] = 0 então r⋅ Nnm = Zn( ρ)<br />
∇× Lψnm<br />
porém ∇× L= i[2 ∇−r∇ + ( r. ∇) ∇]<br />
e<br />
ik<br />
2 2<br />
<br />
r⋅∇× L= i{2( r⋅∇ ) + ( r⋅∇)( r⋅∇ ) + r ∇ } sendo que( r ⋅∇) ψ = 0 pois ψ nm não depende de r.<br />
Considerando que<br />
nm<br />
∑<br />
t<strong>em</strong>os<br />
2 2<br />
∇ = r<br />
∂<br />
∂r<br />
2<br />
L <br />
− ,<br />
2 2 2 L<br />
r ⋅∇× Lψ = −ir ∇ ψ = ir ψ = in( n + 1) ψ<br />
2<br />
r<br />
r<br />
2 2<br />
2 2<br />
nn ( + 1)<br />
r⋅ N = Z ( ρ)<br />
ψ<br />
k<br />
nm n nm<br />
e portanto<br />
nn ( + 1)<br />
r⋅ E= ∑ Z ( ρ)<br />
ψ B<br />
k<br />
n nm nm<br />
nm nm nm nm<br />
e<br />
− ik n( n + 1)<br />
r⋅ H = ∑i( ) Z ( ρ)<br />
ψ A<br />
µω k<br />
n nm nm<br />
6. Cálculo de integrais:<br />
A. Integrais de seno e cosseno:<br />
2π<br />
2π<br />
∫<br />
1<br />
cosϕcos mϕ dϕ = ∫ {cos( m −1) ϕ + cos( m + 1) ϕ}<br />
d ϕ =πδ<br />
2<br />
0 0<br />
m1<br />
227
2π<br />
2π<br />
∫<br />
1<br />
cosϕsen mϕ dϕ = ∫ {sen( m −1) ϕ+ sen( m+ 1) ϕ} d ϕ = 0<br />
2<br />
0 0<br />
2π<br />
2π<br />
∫<br />
1<br />
cos mϕcos m′ ϕ dϕ = ∫ {cos( m − m′ ) ϕ+ cos( m + m′<br />
) ϕ}<br />
dϕ = πδ + πδ δ<br />
2<br />
0 0<br />
A<strong>na</strong>logamente:<br />
= [1 + δ ] πδ<br />
m0<br />
mm′<br />
mm′ mm′<br />
m0<br />
2 π<br />
∫<br />
0<br />
senϕsen mϕ d ϕ = πδm<br />
,<br />
1<br />
2 π<br />
∫<br />
0<br />
senϕ cos mϕ d ϕ = 0 e<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
senmϕ sen m′<br />
ϕ d ϕ = [1 −δ ] πδ<br />
m0<br />
mm′<br />
B. Integrais por partes:<br />
1.<br />
π<br />
iE0π k(2n + 1) ( n −1)!<br />
1 d ikr cosθ<br />
n 1n n<br />
k ( n + 1)! 2 π n( n + 1)<br />
∫<br />
dθ<br />
0<br />
Z ( kr) B = sen θ P (cos θ)( e ) dθ<br />
π<br />
1 ikr cosθ π ikr cosθ<br />
1 1<br />
n 0 ∫<br />
n n<br />
0<br />
iE0π k(2n + 1) ( n −1)!<br />
d<br />
= {sen θ P (cos θ) e − e sen θ P (cos θ)[ sen θ P (cos θ)] dθ}<br />
k ( n + 1)! 2 π n( n + 1)<br />
dθ<br />
2.<br />
π<br />
iE0π k(2n + 1) ( n −1)!<br />
ikr cosθ<br />
d<br />
1<br />
n 1n n<br />
k ( n + 1)! 2 π n( n + 1)<br />
∫<br />
dθ<br />
0<br />
Z ( kr) B =− e [ sen θP (cos θ)]<br />
dθ<br />
π m m m m π m m π m m m<br />
dPn dPn′ Pn Pn′ dPn dPn′ Pn Pn′<br />
dPn<br />
∫ 2<br />
θ θ θ<br />
∫<br />
θ θ<br />
∫ 2<br />
d d sen<br />
d d sen θ<br />
dθ<br />
0 0 0<br />
{ + }sen θdθ= sen θd θ+ sen θd θ= sen θP<br />
m<br />
n′<br />
π<br />
0<br />
π m m π m m π<br />
m m<br />
d dPn dPn′ m Pn Pn′<br />
m 1 d dPn Pn<br />
∫ [ sen ] Pn′ d ′<br />
θ θ θ<br />
∫ sen d<br />
2<br />
θ<br />
∫Pn<br />
{ [sen ]<br />
2<br />
d d d sen<br />
senθ dθ dθ<br />
sen<br />
0 0 0<br />
− θ θ+ θ θ= − θ +<br />
}sen θ<br />
θ<br />
dθ<br />
π<br />
∫<br />
0<br />
2 nn ( + 1)( n+<br />
m)!<br />
= nn ( + 1) P P sen θ dθ= δ<br />
2n+ 1 ( n−m)!<br />
m m<br />
n′ n nn′<br />
3.<br />
π m m m m π m m π m π m<br />
dPn′ Pn dPn Pn′ dPn′<br />
m dPn m m m π dPn m dPn<br />
m<br />
∫ ′ ′ ′<br />
θ θ θ θ<br />
∫ n n n n 0<br />
sen sen<br />
θ θ<br />
∫ n<br />
θ<br />
∫ n<br />
d d d d d dθ<br />
0 0 0 0<br />
( + )sen θdθ= ( P + P ) dθ== P P − ( P ) dθ+ ( P ) dθ<br />
m m m m<br />
n′ n n′<br />
n<br />
= P ( −1) P ( −1) − P (1) P (1) = 0<br />
m<br />
n<br />
pois P ′ ( ± 1) = 0.<br />
228
7. Cálculo de Q pr<br />
Vamos agora calcular a seção de choque de pressão de radiação para on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong>.<br />
O tensor de stress de Maxwell e a força são <strong>da</strong>dos por:<br />
1 <br />
T = ED + H B − ( E⋅ D+ H⋅B)<br />
δ<br />
2<br />
ij i j i j ij<br />
F<br />
= ∫<br />
T n <strong>da</strong><br />
i ij j<br />
S<br />
onde S é qualquer superfície que engloba o objeto. Em particular pod<strong>em</strong>os usar a<br />
superfície <strong>em</strong><br />
r →∞. Como os campos pod<strong>em</strong> ser complexos mas a força t<strong>em</strong> que ser<br />
real, t<strong>em</strong>os que<br />
* * 1 * *<br />
Fi Re Tijnj<strong>da</strong> Re<br />
⎡<br />
<br />
= = ED i jnj + HiBjnj − ( E⋅ D + H⋅B ) n<br />
⎤<br />
∫<br />
∫ ⎢<br />
i <strong>da</strong><br />
⎣<br />
2<br />
⎥⎦<br />
com,<br />
<br />
n = e ˆ ,<br />
r<br />
<br />
D ⋅ n= D , B ⋅ n=<br />
B<br />
* * * *<br />
r<br />
r<br />
e<br />
<strong>da</strong> = r 2 senθθϕ,<br />
d d<br />
onde eˆ = senθcos ϕ eˆ + senθsen ϕ eˆ + cos θ eˆ<br />
r x y z<br />
t<strong>em</strong>os,<br />
∫<br />
* * 1 <br />
* *<br />
{ }<br />
2 2 i<br />
Fi = Re ε EE i r +µ HiHr<br />
− [ εE⋅ E +µ H⋅H ] n <strong>da</strong><br />
2<br />
Os componentes radiais dos campos, tanto incidente quanto espalhado, levam a<br />
função Z ( ) i<br />
n ρ e ±ρ<br />
ρ<br />
∼<br />
ρ<br />
2<br />
. O el<strong>em</strong>ento de área é proporcio<strong>na</strong>l a<br />
2<br />
r , logo qualquer produto<br />
3 4<br />
com uma <strong>da</strong>s componentes radiais vai com F F ~1/ ρ e F F ~1/ ρ , assim as relações<br />
2 2 2<br />
r t 1/ e r t 1/<br />
r t r t<br />
r F F ∼ r r F F ∼ r , se anulam para r →∞. Dessa forma, os dois primeiros<br />
termos <strong>na</strong> integral<br />
* *<br />
i r e i r<br />
EE<br />
<br />
EE ⋅ = EE+ EE+ EE = EE+<br />
EE<br />
* * * * * *<br />
r r θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ<br />
HH são nulos. Além disso, para r →∞:<br />
e<br />
<br />
H⋅ H = H H + H H + H H = H H + H H<br />
* * * * * *<br />
r r θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ<br />
E então,<br />
1<br />
∫ { ( ) ( ) }<br />
* * * *<br />
θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ i<br />
Fi<br />
= Re − [ ε E E + E E +µ H H + H H ] n <strong>da</strong><br />
2<br />
229
Como o campo elétrico é<br />
<br />
= +<br />
inc sca<br />
E E E<br />
,<br />
E E = ⎡⎣E + E ⎤⎡ ⎦⎣E + E ⎤⎦<br />
= E E + E E + E E + E E<br />
* inc sca inc* sca* inc inc* inc sca* sca inc* sca sca*<br />
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ<br />
Entretanto, o termo<br />
inc inc*<br />
Eθ Eθ só depende do campo incidente e portanto não está<br />
relacio<strong>na</strong>do à partícula, logo o mesmo não entra no cálculo <strong>da</strong> força. Antes de continuar<br />
o cálculo vamos definir as funções de θ :<br />
m<br />
m Pn<br />
m dPn<br />
π<br />
n<br />
= e τ<br />
n<br />
=<br />
senθ dθ m<br />
que são reais.<br />
L<strong>em</strong>brando que os campos elétricos e magnéticos são:<br />
n 2n<br />
1 1 1 1 1<br />
E +<br />
i<br />
= E0∑i [ M o1n − iN e1n ] = ∑En [ M o1n −iN<br />
<br />
e1n<br />
]<br />
nn ( + 1)<br />
k n 2n 1 1 1 k<br />
1 1<br />
H +<br />
i<br />
=− E0∑i [ M e1n + iN o1n ] =− ∑En [ M e1n + iN<br />
<br />
o1n<br />
]<br />
µω nn ( + 1)<br />
µω<br />
n 2n<br />
1 3 3 3 3<br />
E +<br />
s<br />
= E0∑i [ iaN n e1n − bM n o1n ] = ∑En [ iaN n e1n −bM<br />
<br />
n o1n<br />
]<br />
nn ( + 1)<br />
k n 2n 1 3 3 k<br />
3 3<br />
H +<br />
s<br />
= E0∑i [ ibnN o1n + anM e1n ] = ∑En [ ibnN o1n + anM<br />
<br />
e1n<br />
]<br />
µω nn ( + 1)<br />
µω<br />
E considerando as formas assintóticas <strong>da</strong>s funções de Bessel,<br />
iρ<br />
1 n+ ( ) ( ) 1 e 1 n+ , ( ) ( ) 1 iρ<br />
n+<br />
( )<br />
1 −ρ i<br />
hn<br />
ρ = −i jn<br />
ρ = ⎡ − i e + i e ⎤<br />
ρ 2ρ⎣ ⎦<br />
e<br />
iρ<br />
1<br />
⎡<br />
1<br />
n e 1 1 n iρ<br />
n −ρ i<br />
ρ hn( ρ ) ⎤ ′ = ( −i) , ⎡ jn( ) ′<br />
⎣ρ ρ ⎤⎦<br />
= ⎡( − i) e + ( i)<br />
e ⎤ ,<br />
ρ⎣ ⎦ ρ ρ 2ρ⎣ ⎦<br />
⎧ 1 1 1<br />
1<br />
cos ( ) n + i<br />
( ) n + i<br />
cos ( ) n i<br />
( )<br />
n i ⎫<br />
Ei En n<br />
i e ρ i e − ρ i<br />
n<br />
i e ρ i e<br />
− ρ<br />
θ<br />
= ∑ ⎨ ϕπ ⎡ − + ⎤− ϕτ ⎡ − + ⎤⎬=<br />
2ρ⎣ ⎦ 2ρ⎣ ⎦<br />
⎩<br />
⎭<br />
∑<br />
∑<br />
n+ { ( ) 1 iρ n+<br />
( ) 1 −iρ n iρ n −iρ<br />
⎡ ⎤ ⎡( ) ( ) ⎤}<br />
1<br />
Encosϕ πn − i e + i e −iτn<br />
− i e + i e =<br />
2ρ<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
cosϕ n 1 i n 1 i n 1 i n 1 i<br />
En ⎡<br />
+ ρ + − ρ + ρ + − ρ<br />
( −i) e π<br />
n<br />
+ ( i) e πn −( −i) e τn −( i)<br />
e τ<br />
n ⎤ =<br />
2ρ<br />
⎣<br />
⎦<br />
n+ {() 1 −iρ<br />
n+<br />
[ ] ( ) 1<br />
iρ<br />
π −τ + − [ π +τ ] }<br />
cosϕ<br />
∑ En i e<br />
n n<br />
i<br />
n n<br />
e<br />
2ρ 230
⎧ τn<br />
n+ 1 iρ n+<br />
1 −iρ n iρ n −iρ<br />
⎫<br />
Eiϕ<br />
= ∑ En⎨−senϕ ⎡ ( − i) e + ( i) e ⎤ + isenϕπn<br />
⎡ ( − i) e + ( i)<br />
e ⎤ ⎬=<br />
⎩ 2ρ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭<br />
senϕ<br />
∑<br />
n+ 1 iρ n+ 1 −iρ n+ 1 iρ n+<br />
1 −iρ<br />
E ⎡<br />
n<br />
−( −i) e τn −( i) e τn −( −i) e π<br />
n<br />
+ ( i)<br />
e π ⎤<br />
n<br />
=<br />
2ρ ⎣<br />
⎦<br />
n+ {() 1 −ρ i<br />
n+<br />
[ ] ( ) 1 iρ<br />
π −τ − − [ π +τ ]}<br />
senϕ<br />
∑ E i e i e<br />
2ρ n n n n n<br />
cosϕ<br />
n iρ<br />
n+<br />
1 iρ<br />
Es θ<br />
= ∑ En{ ianτn( −i) e −bn( −i)<br />
π<br />
ne<br />
} =<br />
ρ<br />
+<br />
{( ) 1 ρ<br />
[ ]}<br />
cosϕ<br />
n i<br />
= ∑ E −i e a τ + b π<br />
ρ<br />
n n n n n<br />
senϕ<br />
n iρ<br />
n+<br />
1 iρ<br />
Es ϕ<br />
= ∑ En{ −ianπn( − i) e + bn( −i)<br />
τ<br />
ne<br />
} =<br />
ρ<br />
+<br />
{( ) 1 ρ<br />
[ ]}<br />
senϕ<br />
n i<br />
= ∑ E −i e a π + b τ<br />
ρ<br />
n n n n n<br />
⎛cos<br />
2ρ<br />
assim, ficamos com as combi<strong>na</strong>ções:<br />
2<br />
⎛cos<br />
ϕ ⎞<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ 2ρ<br />
⎠<br />
ϕ ⎞<br />
n+ 1<br />
{() −ρ i<br />
n+<br />
1<br />
iρ<br />
[ ] ( ) [ ] }<br />
* ⎡cosϕ<br />
⎤<br />
EE<br />
iθ<br />
sθ<br />
= ⎢ ∑ En i e πn −τ<br />
n<br />
+ −i π<br />
n<br />
+τ<br />
n<br />
e ⎥×<br />
⎣ 2ρ<br />
⎦<br />
∑<br />
⎡cosϕ<br />
⎢<br />
⎣ ρ<br />
∑<br />
n′ { () −ρ i<br />
n′+<br />
1 −ρ i<br />
() }<br />
* * *<br />
⎤<br />
En′ −ian′ τn′ i e −bn′ τn′ i π<br />
n′<br />
e ⎥ =<br />
⎦<br />
n<br />
{ () + 1 n′ () + 1 − iρ n′<br />
[ ] () + 1 n<br />
() + 1 − iρ<br />
[ ]<br />
EE −a i i e τ π −τ −b i i e π π −τ −<br />
* * 2 * 2<br />
n n′ n′ n′ n n n′ n′<br />
n n<br />
n<br />
( ) + 1 * n′ ( ) + 1 n ′<br />
[ ] () + 1 * n<br />
( ) + 1<br />
i an′ i<br />
n′ n n<br />
i bn′ i<br />
n′<br />
[ n n]}<br />
− τ π +τ − − π π +τ =<br />
n+ 1 n′ + 1 − iρ<br />
n′<br />
+ 1 n+<br />
1<br />
{ −() () [ π −τ ] ⎡ τ + π ⎤−() ( − ) [ π +τ ] ⎡ τ + π ⎤}<br />
2<br />
⎜<br />
* 2 * * * *<br />
2 ⎟ EE<br />
n n′ i i e<br />
n n ⎣an′ n′ bn′ n′ ⎦ i i<br />
n n ⎣an′ n′ bn′ n′<br />
⎦<br />
∑ ⎝ ⎠<br />
* ⎡cosϕ<br />
n<br />
i<br />
( ) ρ<br />
( )<br />
+ 1 n+<br />
1 iρ<br />
{ }<br />
⎤<br />
Es θEiθ<br />
= ⎢ ∑ En − −i anτne −bn −i π<br />
ne<br />
⎥×<br />
⎣ ρ<br />
⎦<br />
⎡cosϕ<br />
⎢<br />
⎣ 2ρ<br />
∑<br />
n′ {( ) + 1 iρ<br />
n′<br />
[ ] () + 1<br />
−iρ<br />
[ ] }<br />
*<br />
⎤<br />
En′ −i e πn′ −τ<br />
n′ + i π<br />
n′ +τ<br />
n′<br />
e ⎥ =<br />
⎦<br />
231
cos<br />
2<br />
2<br />
ϕ<br />
2 ∑<br />
ρ<br />
n′ { ( ) + 1 n<br />
( )<br />
+ 1 iρ<br />
n′<br />
[ ] ( ) + 1 n<br />
( ) + 1 iρ<br />
[ ]<br />
2<br />
cos ϕ<br />
= ∑ EE − −i −i e aτ π −τ − −i −i e bπ π −τ<br />
2<br />
2ρ<br />
* 2 2<br />
n n′ n n n′ n′ n n n′ n′<br />
n′ () + 1 n<br />
( ) + 1 n′<br />
[ ] () + 1 n<br />
( ) + 1<br />
i i an n n′ n′ i i bn n[ n′ n′<br />
]}<br />
− − τ π +τ − − π π +τ =<br />
n′ + 1 n+ 1 iρ<br />
n′<br />
+ 1 n+<br />
1<br />
{ −( − ) ( − ) [ π −τ ][ τ + π ] −() ( − ) [ π +τ ][ τ + π ]}<br />
EE i i e a b i i a b<br />
* 2<br />
n n′ n′ n′ n n n n n′ n′<br />
n n n n<br />
n iρ<br />
cosϕ<br />
{ ( ) [ ]} ∑ ( )<br />
n′<br />
−iρ<br />
{ ⎡ ⎤}<br />
* ⎡cosϕ<br />
+ 1 ⎤ ⎡ * + 1 * * ⎤<br />
Es θEsθ<br />
= ⎢ ∑En − −i e anτ n<br />
+ bnπ n ⎥× ⎢ En′ − −i e ⎣an′ τ<br />
n′ + bn′ π<br />
n′<br />
⎦ ⎥=<br />
⎣ ρ<br />
⎦ ⎣ ρ<br />
⎦<br />
2<br />
cos ϕ<br />
* n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
* *<br />
EE ( ) ( )<br />
2 n n′ i i [ an n<br />
bn n]<br />
⎡an′ n′ bn′ n′<br />
= ∑ − τ + π ⎣ τ + π<br />
ρ<br />
⎤⎦<br />
n+ 1<br />
{() −ρ i<br />
n+<br />
1 iρ<br />
[ ] ( ) [ ]}<br />
⎡ senϕ<br />
E E = ⎢ ∑ E i e π −τ − −i e π +τ<br />
⎣ 2ρ<br />
*<br />
iϕ<br />
sϕ<br />
n n n n n<br />
n′+ 1 −ρ i<br />
{()<br />
⎡ ⎤}<br />
⎡ senϕ<br />
* * * ⎤<br />
× ⎢ ∑ En′ i e ⎣an′ π<br />
n′ + bn′ τ<br />
n′<br />
⎦ ⎥ =<br />
⎣ ρ<br />
⎦<br />
2<br />
sen ϕ<br />
* 2 * * * *<br />
= ∑ EE ′ π −τ ⎣ ′ π ′ − ′ τ ′ ⎦− − π +τ ⎣ ′ π ′ + ′ τ<br />
2 n n<br />
i i e<br />
n n<br />
an n<br />
bn n<br />
i i<br />
n n<br />
an n<br />
bn n′<br />
2ρ<br />
⎦<br />
n<br />
{() + 1 n<br />
() ′ + 1 − iρ<br />
n<br />
[ ]<br />
( ) + 1 n<br />
⎡ ⎤ ( ) ′ + 1<br />
[ ] ⎡ ⎤}<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
sen<br />
2ρ<br />
2<br />
2<br />
ϕ<br />
∑<br />
⎡ senϕ<br />
⎢<br />
⎣ 2ρ<br />
n+ 1 iρ<br />
{( ) [ ]}<br />
* ⎡ senϕ<br />
⎤<br />
Es ϕEiϕ<br />
= ⎢ ∑ En −i e anπ n<br />
+ bnτ n ⎥×<br />
⎣ ρ<br />
⎦<br />
∑<br />
n′ {( ) + 1 iρ<br />
n′<br />
[ ] () + 1 −iρ[ ]}<br />
*<br />
⎤<br />
En′ −i e πn′ −τn′ − i e π<br />
n′ +τ<br />
n′<br />
⎥ =<br />
⎦<br />
n<br />
{( ) + 1 n<br />
( ) ′ + 1 n<br />
[ ][ ] ( ) + 1 n<br />
− π + τ π −τ − − ( ) ′ + 1<br />
[ π + τ ][ π −τ ]}<br />
EE i i a b i i a b<br />
*<br />
n n′ n n n n n′ n′ n n n n n′ n′<br />
+ 1 ′ + 1<br />
{( ) ( ) [ ] ⎡ ⎤}<br />
sen ϕ<br />
n n<br />
E E ∑ E E i i a b ⎣a b<br />
ρ<br />
2<br />
* * * * * *<br />
sϕ<br />
sϕ<br />
=<br />
2<br />
n n′ −<br />
nπ n<br />
+<br />
nτn n′ π<br />
n′ +<br />
n′ τn′<br />
⎦<br />
Agora já pod<strong>em</strong>os fazer as integrais <strong>em</strong> ϕ :<br />
Para Fz<br />
→ e ˆ = cosθ→<br />
rz<br />
2π<br />
2π<br />
2 2<br />
∫ cos ϕ dϕ= ∫ sen ϕdϕ=π, e para<br />
0 0<br />
232
2π<br />
2π<br />
2 2<br />
F → e = senθcos ϕ e F → e = senθsenϕ⇒ cos ϕcos ϕ dϕ= cos ϕ sen ϕ d ϕ= 0 .<br />
x rx y ry<br />
∫<br />
0 0<br />
Portanto, só haverá força <strong>em</strong> z, como já sabíamos pela simetria do probl<strong>em</strong>a.<br />
∫<br />
2π<br />
Continuando o cálculo,<br />
{{ }<br />
* * * π<br />
n′+ 1 n+ 1 2iρ<br />
∫ ( EE θ θ EE ϕ ϕ) d ∑ EE n n′ 2<br />
( i) ( i) e [ n′ n′<br />
][ an n bn n an n bn n]<br />
0<br />
+ ϕ= − − − π −τ τ + π − π − τ −<br />
2ρ<br />
n<br />
{() + 1 n′<br />
() + 1 − 2 i ρ<br />
* * * *<br />
i i e [ n n]<br />
⎡an ′ n′ bn′ n′ an′ n′ bn′ n′<br />
⎤}<br />
π −τ<br />
⎣<br />
τ + π − π − τ<br />
⎦<br />
−<br />
n<br />
{( ) + 1 n′<br />
( ) + 1<br />
i i [ n′ n′<br />
][ an n bn n an n bn n]<br />
}<br />
− π +τ π + τ + τ + π −<br />
n<br />
() + 1 n′<br />
( ) + 1 * * * *<br />
{ i −i [ π n +τn]<br />
⎡an ′ π n′ + bn′ τ n′ + an′<br />
τn′ bn′ n′<br />
⎤}<br />
⎣<br />
+ π<br />
⎦<br />
+<br />
n<br />
{ ( ) + 1 n′<br />
( ) + 1 * * * *<br />
2 −i i {[ anτ n + bnπn]<br />
⎡<br />
′ τ ′ + ′ π ′<br />
⎤} + { ⎡<br />
′ π ′ + ′ τ ′<br />
⎤<br />
⎣<br />
an n bn n ⎦ ⎣<br />
an n bn n ⎦[ anπ n+ bnτn]<br />
}}<br />
Rearranjando os termos de<br />
EE<br />
+ EE e chamando o último de I<br />
1<br />
, t<strong>em</strong>os<br />
* *<br />
θ θ ϕ ϕ<br />
2 π n<br />
( ) + 1 n′<br />
( ) + 1 * * *<br />
I1 = ∫ dθsenθcos<br />
θ r ∑ −i i E ′ { ′[ τ τ ′ +π π ′] + ′[ π τ ′ +τ π ′]<br />
+<br />
2<br />
nEn bnbn n n n n anbn n n n n<br />
ρ<br />
[ ] aa [ ]}<br />
* *<br />
n n′ n n′ n n′ n n′ n n′ n n′<br />
ba<br />
τ π +π τ + π π +τ τ =<br />
2 π<br />
* * * *<br />
= ∫ dθsen θcos θr ∑ − i i E E b b + a a τ τ +π π + 2a b π τ +τ π<br />
2<br />
ρ<br />
⎣ ⎦<br />
n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
( ) ( ) n n′ { ⎡<br />
n n′ n n′ ⎤[ n n′ n n′ ] n n′ [ n n′ n n′<br />
]}<br />
Já os terceiro e quarto termos ficam como I<br />
2<br />
,<br />
π<br />
2 π *<br />
1 1<br />
2 ∫ sen cos ∑ 2 n n′ { n′ n′<br />
n n n n n n n n<br />
2ρ 0<br />
π<br />
2 π<br />
* n ′<br />
{ ( ) + 1 n<br />
= θ θ θ ( ) + 1<br />
∫ d r sen cos ∑ E ′ − − 2 Re[<br />
π π ′ + τ π ′ + π π<br />
2 nEn i i an n n an n n bn n n′<br />
2ρ<br />
0<br />
n+ n′<br />
+<br />
( ) ( ) 2Re[ ][ ]}<br />
I = dθ r θ θ E E − −i i π +τ a π + b τ + a τ + b π =<br />
π<br />
+ b τπ + a πτ + a ττ + b πτ + b ττ ] =<br />
n n n′ n n n′ n n n′ n n n′ n n n′<br />
{<br />
π<br />
= ∫ dθr θ θ ∑ E E − −i i ⎣a π π +τ τ + a τ π +π τ<br />
2ρ<br />
0<br />
n<br />
( ) + 1 n′<br />
( ) + 1<br />
2 Re ⎡ [ ] [ ]<br />
2 *<br />
sen cos<br />
2 n n′ n n n′ n n′ n n n′ n n′<br />
[ ′ ′] b [ ′ ′] ⎤}<br />
+ bn πnπ n +τnτ n + n τnπ n +πnτ n ⎦ =<br />
233<br />
}
π<br />
0<br />
2 π *<br />
1 1<br />
sen cos<br />
2 n n′ { n n n n′ n n′ n n n n′ n n′<br />
n+ n′<br />
+<br />
( ) ( ) 2Re ⎡[ ][ ] [ ][ ] ⎤}<br />
= ∫dθr θ θ ∑ E E −− i i a + b ππ +ττ + a + b τπ +πτ<br />
2ρ ⎣<br />
⎦<br />
Só falta agora, definir a integral I3<br />
que é referente aos primeiros e segundos,<br />
′+ 1 + 1 ρ<br />
{{ ( ) ( ) [ ][ ]}<br />
π<br />
2 π<br />
* n n 2i<br />
3 ∫ sen cos<br />
2 ∑ n n′ n′ n′<br />
n n n n n n n n<br />
ρ<br />
0<br />
2<br />
I = dθ r θ θ E E − −i −i e π −τ a τ + b π −a π −b<br />
τ −<br />
π<br />
0<br />
n ′<br />
{() () [ ]<br />
}}<br />
+ 1 n + 1 − 2 i ρ<br />
* * * *<br />
i i e n n<br />
⎡<br />
⎣<br />
an′ n′ bn′ n′ an′ n′ bn′ n′<br />
⎤<br />
⎦<br />
π −τ τ + π − π − τ =<br />
1 1<br />
{ 2 π<br />
sen cos<br />
* 2 Re<br />
2<br />
2 n n′ n′ n′<br />
n n n n n n n n<br />
n′+ n+ iρ<br />
{ ( ) ( ) [ ][ ]}<br />
= ∫ dθ r θ θ ∑ E E − −i −i e π −τ a τ + b π −a π −b<br />
τ =<br />
2ρ π<br />
π<br />
* n′+ 1 n+ 1 2iρ<br />
I3 = ∫ dθsenθcosθ ∑ E ′ 2Re −( − ) ( − ) ×<br />
2 nEn<br />
i i e<br />
2k<br />
0<br />
[ an n n′ bn n n′ an n n′ an n n′ an n n′ bn n n′ bn n n′ bn n n′<br />
]}<br />
× τ π + π π − π π − τ τ + π τ − τ π − π τ + τ τ<br />
{<br />
Usando as soluções dessas integrais <strong>em</strong> θ d<strong>em</strong>onstra<strong>da</strong>s por Gouesbet,<br />
( n + 1)<br />
( n )<br />
π<br />
2 !<br />
∫ [ πn′ τ n +πnτn′ ] senθcos<br />
θ dθ= δn,<br />
n′<br />
2n+ 1 −1<br />
!<br />
0<br />
e<br />
π<br />
∫[ n n′ n n′<br />
]<br />
0<br />
2 2 2 2<br />
2n ( n+ 1)( n+ 2) 2n( n+ 1) ( n−1)<br />
ππ +ττ senθcos θdθ= se n′ = n+ 1, se n′ = n−1, 0 se n′<br />
≠ n±<br />
1<br />
( 2n+ 1)( 2n+ 3) ( 2n+ 1)( 2n−1)<br />
t<strong>em</strong>os,<br />
( n + )<br />
( )<br />
π n+ 1 n+<br />
1 n n 2n+ 1 2n+<br />
1 2 1!<br />
*<br />
I1 = ∑ ( −i) ( i) ( i) ( − i)<br />
E0E0<br />
2Re⎡⎣a ⎤⎦+<br />
2<br />
nbn<br />
k n( n+ 1) n( n+ 1) 2n+ 1 n−1 !<br />
∑<br />
2 2<br />
π n+ 1 n+ 2 n n+<br />
1 2n+ 1 2n+ 3 2 n ( n+ 1)( n+<br />
2) * *<br />
( −i) () i ()( i − i)<br />
E0E0 ⎡⎣b + 1+ + 1⎤⎦+<br />
2<br />
nbn a<strong>na</strong>n<br />
k n( n+ 1) n+ 1 ( n+ 2) (2n+ 1)(2n+<br />
3)<br />
( )<br />
∑<br />
π n+ 1 n n n−1<br />
2n+ 1 2n−1<br />
2 nn ( + 1) ( n−1)<br />
( −i) ()()( i i −i)<br />
E<br />
2<br />
0E0<br />
k n( n+<br />
1) n− 1 n (2n+ 1)(2n−1)<br />
( )<br />
2 2<br />
⎡⎣bb<br />
+ aa<br />
* *<br />
n n−1 n n−1<br />
⎤⎦<br />
234
( 2n<br />
+ 1)<br />
∞<br />
∞<br />
4π 2 * 2 π 2 nn ( + 2) * *<br />
1<br />
= ∑<br />
+ ∑<br />
⎡<br />
+<br />
+<br />
2 0 n n 2 0 +<br />
= + = ( + )<br />
⎣ n n 1 n n 1<br />
k n 1 n( n 1) n 1 k n 1<br />
I E a b E b b a a<br />
⎤⎦<br />
∞<br />
2 π 2 ( n+ 1)( n−1)<br />
* *<br />
+ ∑ E0 ⎡⎣b −1+ −1⎤⎦<br />
=<br />
2<br />
nbn a<strong>na</strong>n<br />
k n<br />
n=<br />
1<br />
Na terceira somatória faz<strong>em</strong>os n− 1= n→ n= n+ 1, pois ela poderia começar de 2<br />
por causa do n − 1 e obt<strong>em</strong>os:<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
∞<br />
∞<br />
4π 2 * 2 π 2 nn ( + 2) * *<br />
1<br />
=<br />
0 ∑ Re + ∑<br />
+<br />
+<br />
2 n n 2 0 n n 1 n n+<br />
1<br />
k n= 1 n( n+ 1) n=<br />
1 k ( n+<br />
1)<br />
I E ⎡⎣ a b ⎤⎦ E ⎡⎣b b a a ⎤⎦<br />
∞<br />
2 π 2 ( n+<br />
2)( n)<br />
* *<br />
+ ∑ E0 ⎡⎣b + 1<br />
+<br />
+ 1<br />
⎤⎦<br />
=<br />
2<br />
n<br />
bn an an<br />
k<br />
n=<br />
1<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
( n+<br />
1)<br />
4π 4 π nn ( + 2)<br />
I E ⎡⎣ a b ⎤⎦ E ⎡⎣b b a a ⎤⎦<br />
∞<br />
∞<br />
2 * 2<br />
* *<br />
1<br />
=<br />
2 0 ∑ Re<br />
n n<br />
+<br />
2 0 ∑ Re<br />
n n+ 1+<br />
n n+<br />
1<br />
k n= 1 n( n+ 1) k n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
Agora para I 2 ,<br />
2<br />
⎧ ∞<br />
2 2<br />
π E0<br />
⎪ ⎧ n n+ 1 n+ 1 n+<br />
2 2n+ 1 2n+ 3 2 n ( n+ 1)( n+<br />
2)<br />
I2 =− ⎨2Re⎨∑( i) ( −i) ( − i) ( i)<br />
[ a<br />
+ 1+ + 1]<br />
+<br />
2<br />
n<br />
bn<br />
2 k ⎪⎩<br />
⎩ n=<br />
1<br />
n( n+ 1) ( n+ 1 )( n+ 2) (2n+ 1)(2n+<br />
3)<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
2 2<br />
n n n n 2n+ 1 2n− 1 2 n( n+ 1) ( n−1)<br />
i −i − i i a + b<br />
nn ( + 1) n− 1 n (2n+ 1)(2n−1)<br />
− 1 + 1<br />
()( ) ( ) ()<br />
( )<br />
2<br />
∞<br />
⎛ 2n<br />
+ 1 ⎞ 2 ( n + 1! )<br />
+ ∑<br />
⎫ ⎪⎪<br />
⎜ ⎟<br />
an<br />
+ bn<br />
⎬⎬ =<br />
n=<br />
1 ⎝nn<br />
( + 1) ⎠ 2n+<br />
1 n − 1 ! ⎪⎪ ⎭⎭<br />
( ) [ ] ⎫<br />
[ ]<br />
n−1 n−1<br />
2<br />
∞ ∞ ∞<br />
π E ⎧<br />
0 ⎪ ⎧ 2 nn ( + 2) 2( n+ 1)( n− 1) ⎛ 2n+<br />
1 ⎞ ⎫⎫ ⎪⎪<br />
=− 2Re<br />
2 ⎨ ⎨∑ [ an+ 1+ bn+ 1] + ∑ [ an−1+ bn−1] + ∑2⎜<br />
⎟[ an + bn]<br />
⎬⎬<br />
2 k ⎩⎪<br />
⎩n= 1 ( n+ 1) n= 1 n n=<br />
1 ⎝n( n+<br />
1) ⎠ ⎭⎭ ⎪⎪<br />
Fazendo <strong>na</strong> primeira somatória n+ 1= n→ n= n− 1 e <strong>na</strong> segun<strong>da</strong><br />
n− 1= n→ n= n + 1:<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
∞ ∞ ∞<br />
π E ⎪⎧<br />
⎧ nn ( + 2) ( n+ 1)( n− 1) 2n+<br />
1 ⎫⎪⎫<br />
I =− ⎨4Re⎨∑ [ an + bn] + ∑ [ an + bn] + ∑ [ an + bn]<br />
⎬⎬=<br />
2 k ⎪⎩<br />
⎩n= 1 ( n+ 1) n= 1 n n=<br />
1n( n+<br />
1) ⎭⎪⎭<br />
2<br />
∞<br />
π E ⎧<br />
0 ⎪ ⎡nn ( + 2) ( n+ 1)( n− 1) 2n+<br />
1 ⎤ ⎪⎫<br />
=− 4Re<br />
2 ⎨ ∑<br />
[ an<br />
bn]<br />
2 k<br />
⎢ + + + ⎬=<br />
n=<br />
1 ( n+ 1) n n( n+ 1)<br />
⎥<br />
⎪⎩<br />
⎣<br />
⎦ ⎪⎭<br />
235
2<br />
∞ 2 2<br />
π E ⎧<br />
0 ⎪ ⎡n ( n+ 2) + ( n+ 1)( n − 1) + 2n+<br />
1⎤<br />
⎪⎫<br />
=− 4Re<br />
2 ⎨ ∑<br />
[ an<br />
bn]<br />
2 k<br />
⎢<br />
+ ⎬=<br />
n=<br />
1<br />
n( n+ 1)<br />
⎥<br />
⎩⎪<br />
⎣<br />
⎦ ⎪⎭<br />
2<br />
∞ 3 2 3 2<br />
π E0<br />
⎪⎧<br />
⎡n + 2n + n − n+ n − 1+ 2n+<br />
1⎤<br />
⎪⎫<br />
=− 4Re<br />
2 ⎨ ∑ ⎢<br />
⎥[ an<br />
+ bn]<br />
⎬=<br />
2 k<br />
⎩⎪<br />
n=<br />
1 ⎣<br />
n( n+ 1)<br />
⎦ ⎪⎭<br />
2<br />
∞ 3 2<br />
π E ⎧<br />
0 ⎪ ⎡2n + 3n + n⎤<br />
⎪⎫<br />
=− 4Re<br />
2 ⎨ ∑<br />
[ a<br />
n b<br />
n]<br />
2 k<br />
⎢<br />
+ ⎬=<br />
n=<br />
1 n( n+ 1)<br />
⎥<br />
⎪⎩<br />
⎣<br />
⎦ ⎭⎪<br />
2<br />
∞<br />
π E ⎧<br />
0 ⎪ ⎡(2n+ 1)( n+<br />
1) ⎤ ⎪⎫<br />
=− 4Re<br />
2 ⎨ ∑<br />
[ an<br />
bn]<br />
2 k<br />
⎢<br />
+ ⎬=<br />
n=<br />
1 ( n+ 1)<br />
⎥<br />
⎪⎩<br />
⎣<br />
⎦ ⎭⎪<br />
2<br />
∞<br />
2π<br />
E0<br />
2 2 ∑<br />
k n=<br />
1<br />
{ [ ]}<br />
I =− Re (2n+ 1) an + bn<br />
Quanto a I 3 , vamos deixá‐la por enquanto <strong>na</strong> sua forma integral.<br />
e portanto:<br />
De maneira similar, t<strong>em</strong>os para o campo magnético H ,<br />
n+ {() 1 −iρ<br />
n+<br />
[ ] ( ) 1<br />
iρ<br />
[ ] }<br />
k senϕ<br />
Hiθ<br />
= ∑ En i e πn −τ n + −i π n +τn<br />
e<br />
µω 2ρ n+ {() 1 −ρ i<br />
n+<br />
[ ] ( ) 1 iρ[ ]}<br />
k cosϕ<br />
H ϕ =− ∑ E i e π −τ − −i e π +τ<br />
µω 2ρ i n n n n n<br />
+<br />
{( ) 1 ρ<br />
[ ]}<br />
k senϕ<br />
n i<br />
H θ = ∑ E −i e b τ + a π<br />
µω ρ<br />
s n n n n n<br />
+<br />
{( ) 1 ρ<br />
[ ]}<br />
k cosϕ<br />
n i<br />
H ϕ =− ∑ E −i e b π + a τ<br />
µω ρ<br />
s n n n n n<br />
{<br />
⎛ ⎞<br />
H H E E i i e b a<br />
( µω)<br />
⎝ 2ρ<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
* k sen ϕ<br />
* n ′<br />
() + 1 n<br />
() + 1<br />
′ − 2 i ρ<br />
* *<br />
iθ<br />
iθ<br />
= ⎜ ⎟∑<br />
− [ π −τ ] ⎡<br />
′ τ ′ + ′ π ′<br />
⎤<br />
2 2 n n n n ⎣ n n n n ⎦<br />
n′+ 1 n+<br />
1 * *<br />
() i ( i) [ n n] ⎡bn ′ n′ an′<br />
n′<br />
⎤}<br />
− − π +τ<br />
⎣<br />
τ + π<br />
⎦<br />
236
( µω)<br />
n′+ 1 n+ 1 iρ<br />
{ ( ) ( ) [ ][ ]<br />
2 2<br />
* k sen ϕ * 2<br />
sθ<br />
iθ<br />
= ′ − − − π ′ −τ ′ τ + π<br />
2 2 n n n n n n n n<br />
∑<br />
H H E E i i e b a<br />
2ρ<br />
n′+ 1 n+<br />
1<br />
() i ( i) [ n′ n′<br />
][ bn n an n]}<br />
− − π +τ τ + π<br />
2 2<br />
* ⎛ k ⎞ sen ϕ * n+ 1 n′<br />
+ 1<br />
* *<br />
sθ<br />
sθ<br />
=<br />
2 n n′ ( − ) ( ) [ nτ n + nπn]<br />
⎡<br />
n′ τ n′ + n′ πn′<br />
∑<br />
H H ⎜ ⎟ E E i i b a<br />
⎣<br />
b a ⎤<br />
µω ρ<br />
⎦<br />
⎝ ⎠<br />
2 2<br />
* k cos ϕ * n ′<br />
{( ) + 1 n<br />
() + 1<br />
′ − 2 i ρ<br />
* *<br />
iϕ<br />
sϕ<br />
= [ π −τ ] ⎡<br />
′ π ′ − ′ τ<br />
2 2 n n n n n n n n′<br />
H H E E i i e<br />
2ρ<br />
⎣<br />
b a<br />
( µω)<br />
∑<br />
n<br />
( ) + 1 n′<br />
( ) + 1 * *<br />
i i [ n n] ⎡bn ′ n′ an′ n′<br />
⎤}<br />
− − π +τ<br />
⎣<br />
π + τ<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎦<br />
( µω)<br />
n<br />
{( ) + 1 n′<br />
( ) + 1<br />
[ ][ ]<br />
2 2<br />
* k cos ϕ *<br />
sϕ<br />
iϕ<br />
= ′ − π + τ π ′ −τ<br />
2 2 n n n n n n n n′<br />
∑<br />
H H E E i i b a<br />
2ρ<br />
n<br />
( ) + 1 n′<br />
( ) + 1<br />
i i [ bn n an n][ n′ n′<br />
]}<br />
− − π + τ π −τ<br />
2 2<br />
* ⎛ k ⎞ cos ϕ * n n<br />
* * * *<br />
sϕ<br />
sϕ<br />
=<br />
2 n n′ − nπ n + nτn n′ π n′ + n′ τn′<br />
∑<br />
+ 1 ′ + 1<br />
{( ) ( ) [ ] ⎡<br />
⎤}<br />
H H ⎜ ⎟ E E i i b a<br />
⎣<br />
b a<br />
µω ρ<br />
⎦<br />
⎝ ⎠<br />
então dessa forma, ficamos com:<br />
n′+ 1 n+ 1 iρ<br />
{{ ( ) ( ) [ ][ ]}<br />
2π<br />
2<br />
* * * π k<br />
2<br />
∫ ( HH θ θ HH ϕ ϕ)<br />
d ∑ EE n n′ i i e<br />
2 2<br />
n′ n′<br />
bn n an n bn n an n<br />
2ρ 0<br />
( µω)<br />
+ ϕ= − − − π −τ τ + π − π − τ −<br />
n<br />
{() + 1 n′<br />
() + 1 − 2 i ρ<br />
* * * *<br />
i i e [ n n]<br />
⎡bn ′ n′ an′ n′ bn′ n′ an′ n′<br />
⎤}<br />
π −τ<br />
⎣<br />
τ + π − π − τ<br />
⎦<br />
−<br />
n<br />
{( ) + 1 n′<br />
( ) + 1<br />
i i [ n′ n′<br />
][ bn n an n bn n an n]<br />
}<br />
− π +τ π + τ + τ + π −<br />
n<br />
() + 1 n′<br />
( ) + 1 * * * *<br />
{ i −i [ π n +τn]<br />
⎡bn ′ π n′ + an′ τ n′<br />
+ bn′ n′ an′ n′<br />
⎤}<br />
⎣<br />
τ + π<br />
⎦<br />
+<br />
n<br />
{ ( ) + 1 n′<br />
( ) + 1 * * * *<br />
2 −i i {[ bnτ n+ anπn]<br />
⎡<br />
′ τ ′ + ′ π ′<br />
⎤} + { ⎡<br />
′ π ′ + ′ τ ′<br />
⎤<br />
⎣<br />
bn n an n ⎦ ⎣<br />
bn n an n ⎦[ bnπ n+ anτn]<br />
}}<br />
tal que as integrais ficam,<br />
237
( 2n<br />
+ 1)<br />
2 2<br />
∞<br />
∞<br />
⎛ k ⎞ 4π 2 * ⎛ k ⎞ 4 π 2 n( n+<br />
2)<br />
* *<br />
4 ⎜ ⎟ 2 0 ∑ Re<br />
n n ⎜ ⎟ 2 0 ∑ Re<br />
n n+ 1 n n+<br />
1<br />
µω k n= 1 n( n+ 1) µω k n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
I = E ⎡⎣ a b ⎤⎦+ E ⎡⎣b b + a a ⎤⎦⇒<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
4π 4 π nn ( + 2)<br />
I E ⎡⎣ a b ⎤⎦ E ⎡⎣b b a a ⎤⎦<br />
∞<br />
∞<br />
2 * 2<br />
* *<br />
4<br />
=<br />
2 2 0 ∑ Re<br />
n n<br />
+<br />
2 2 0 ∑ Re<br />
n n+ 1+<br />
n n+<br />
1<br />
µω n= 1 nn ( + 1) µω n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
π<br />
2<br />
2<br />
∞<br />
k 2π<br />
E0<br />
5 2 2 2 ∑<br />
µω k n=<br />
1<br />
{ [ ]}<br />
I =− Re (2n+ 1) an + bn<br />
⇒<br />
2<br />
∞<br />
2π<br />
E0<br />
∑<br />
5 2 2<br />
µω n=<br />
1<br />
{ [ ]}<br />
I =− Re (2n+ 1) an + bn<br />
2<br />
( µω)<br />
[ bn n n′ an n n′ bn n n′ bn n n′ bn n n′ an n n′ an n n′ an n n′<br />
]}<br />
e<br />
π k<br />
* n′+ 1 n+ 1 2iρ<br />
I6 = ∫ dθsenθcos<br />
θ ∑ E ′ 2 Re −( − ) ( − ) ×<br />
2 2 nEn<br />
i i e<br />
2k<br />
0<br />
× τπ + ππ − ππ − ττ + πτ − τπ − πτ + ττ ⇒<br />
π<br />
π<br />
* n′+ 1 n+ 1 2iρ<br />
I6 = ∫ dθsenθcos<br />
θ ∑ E ′ 2 Re −( − ) ( − ) ×<br />
2 nEn<br />
i i e<br />
2<br />
0<br />
( µω)<br />
[ bn n n′ an n n′ bn n n′ bn n n′ bn n n′ an n n′ an n n′ an n n′<br />
]}<br />
× τπ + ππ − ππ − ττ + πτ − τπ − πτ + ττ<br />
{<br />
{<br />
Combi<strong>na</strong>ndo I1 com I4 = I7, I2 com I5 = I8<br />
e I3 com I6 = I9, e de acordo com a<br />
1<br />
{ i}<br />
* * * *<br />
expressão de força<br />
i<br />
= ∫ − ε ( θ θ<br />
+<br />
ϕ ϕ) +µ ( θ θ<br />
+<br />
ϕ ϕ)<br />
F Re [ E E E E H H H H ] n <strong>da</strong>, ficamos com:<br />
2<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
∞<br />
∞<br />
⎛4π 2 4 π 2 ⎞⎛<br />
* nn ( + 2)<br />
* *<br />
⎞<br />
I7 = ⎜ E<br />
2 0<br />
ε+µ E<br />
2 2 0 ⎟⎜<br />
∑ Re ⎡anbn Re bnbn+ 1<br />
a<strong>na</strong>n+<br />
1<br />
k n= 1 n( n 1)<br />
⎣ ⎤⎦+ ∑ ⎡ + ⎤⎟<br />
µω + n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠<br />
<br />
2<br />
usando a relação k⋅ k =ω εµ :<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
∞<br />
∞<br />
8 π 2 ⎛<br />
* nn ( + 2)<br />
* *<br />
⎞<br />
I7 =<br />
⎛<br />
E<br />
⎞<br />
⎜ 2 0<br />
ε ⎟⎜<br />
∑ Re ⎡anbn Re bnbn+ 1<br />
a<strong>na</strong>n+<br />
1<br />
k n= 1 n( n 1)<br />
⎣ ⎤⎦+ ∑ ⎡ + ⎤⎟<br />
⎝ + n=<br />
1 ( n+<br />
1)<br />
⎣ ⎦<br />
⎠⎝ ⎠<br />
⎛ ε µ ⎞<br />
I =−2π E + Re (2n+ 1) an + bn<br />
=<br />
∞<br />
2<br />
8 0 ⎜ 2 2 2 ⎟ ∑<br />
⎝k<br />
µω ⎠ n=<br />
1<br />
{ [ ]}<br />
238
e agora por último,<br />
2<br />
E0<br />
2<br />
∞<br />
4π<br />
=− ε ∑ Re (2 + 1)<br />
n<br />
+<br />
n<br />
k<br />
π<br />
n=<br />
1<br />
{ n [ a b ]}<br />
⎛ πε πµ ⎞<br />
* n′+ 1 n+ 1 2iρ<br />
I3 + I6 = ⎜ + ⎟ θ θ θ∑<br />
′ −( − ) ( − ) ×<br />
2 2 2<br />
⎝ µω<br />
∫ d sen cos EnEn<br />
Re i i e<br />
k ⎠<br />
0<br />
[ a ′ b ′ a ′ a ′ a ′ b ′ b ′ b ′]<br />
τπ + ππ − ππ − ττ + πτ − τπ − πτ + ττ +<br />
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n<br />
[ bn n n′ an n n′ bn n n′ bn n n′ bn n n′ an n n′ an n n′ an n n′<br />
] }<br />
τπ + ππ − ππ − ττ + πτ − τπ − πτ + ττ ⇒0<br />
Dessa forma, no fi<strong>na</strong>l dos cálculos a força devido a pressão de radiação é:<br />
∞<br />
2π<br />
E0<br />
F = ε ∑Re {(2n+ 1) [ a + ]}<br />
−<br />
2<br />
n<br />
bn<br />
k<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
2<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
∞<br />
⎛4 π 2 ⎞⎛<br />
* nn ( + 2)<br />
* *<br />
⎞<br />
⎜ E0 ε ⎟⎜∑<br />
Re ⎡⎣ a ⎤⎦+ ∑ ⎡<br />
+<br />
+<br />
+<br />
⎤<br />
2<br />
nbn Re<br />
⎟<br />
⎝ = + = ( + )<br />
⎣bnbn 1<br />
a<strong>na</strong>n<br />
1<br />
k<br />
⎦<br />
⎠⎝ n 1 n( n 1) n 1 n 1<br />
⎠<br />
{<br />
F<br />
definindo a relação entre a força e a seção de choque como C = , a eficiência para<br />
2<br />
ε E<br />
a pressão de radiação causa<strong>da</strong> por uma on<strong>da</strong> pla<strong>na</strong> é:<br />
∞<br />
C 2<br />
Q = = Re ( n+ ) a + b −<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
∑<br />
{ 2 1 [ ]}<br />
pr 2 2 2<br />
n n<br />
πa<br />
k a n=<br />
1<br />
4π ⎛<br />
nn ( + 2)<br />
⎞<br />
ε + + ⎟⇒<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠<br />
∞<br />
∞<br />
⎛<br />
2 ⎞<br />
* * *<br />
⎜ E<br />
2 0 ⎟⎜∑<br />
Re ⎡ ⎤ ⎡<br />
+ 1 + 1⎤<br />
= 1 1<br />
⎣anbn +<br />
⎦ ∑ Re<br />
( )<br />
= 1 ( + 1)<br />
⎣bnbn a<strong>na</strong>n<br />
k<br />
⎦<br />
n n n n n<br />
0<br />
∞<br />
2<br />
Q = Re ( n+ ) a + b −<br />
( 2n<br />
+ 1)<br />
∑<br />
{ 2 1 [ ]}<br />
pr 2<br />
n n<br />
x n=<br />
1<br />
4π ⎛<br />
nn ( + 2)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠<br />
∞<br />
∞<br />
⎛ 2 ⎞<br />
* * *<br />
⎜ E<br />
2 0<br />
ε ⎟⎜∑<br />
Re ⎡ ⎤+ ⎡<br />
+ 1+<br />
+ 1⎤<br />
= 1 1<br />
⎣anbn +<br />
⎦ ∑ Re<br />
( )<br />
= 1 ( + 1)<br />
⎣bnbn a<strong>na</strong>n<br />
k<br />
⎦<br />
n n n n n<br />
239
240
Apêndice 2<br />
241
(* definir os intervalos dos tamanhos <strong>da</strong> largura dos picos *)<br />
conjuntodeintervalos =<br />
{<br />
{723,727}<br />
,<br />
{727.5,730}<br />
,<br />
{735.5,738}<br />
,<br />
{740,742}<br />
,<br />
{748,750.5}<br />
,<br />
{760.5,764}<br />
,<br />
{774.5,778}<br />
,<br />
{779.5,782}<br />
};<br />
(* programa -> acha a posição dos picos experimentais e compara a posição dos picos<br />
teóricos para ca<strong>da</strong> r do conjunto desejado *)<br />
J[k_][z_] := BesselJ[k,z];<br />
H[k_][z_] := BesselJ[k,z] - I BesselY[k,z];<br />
j[k_][z_] := Sqrt[Pi/(2 z)] J[(k) + (1/2)][z];<br />
h[k_][z_] := Sqrt[Pi/(2 z)] H[(k) + (1/2)][z];<br />
n[l_]:= (a1 + b1/(l*10^-7)^2);<br />
a1 = 1.5683;<br />
b1 = 10.087*10^-11;<br />
w[l_]:= (a2 + b2/(l*10^-7)^2);<br />
a2 = 1.324;<br />
b2 = 3.046*10^-11;<br />
m[l_] := n[l]/w[l];<br />
x[r_][l_] := (2*Pi*r*10^3*w[l])/l;<br />
a[k_][x_,m_] = (j[k][x] D[m x j[k][m x],x]/m - m^2 j[k][m x] D[x j[k][x],x])/<br />
(h[k][x] D[m x j[k][m x],x]/m - m^2 j[k][m x] D[x h[k][x],x]);<br />
b[k_][x_,m_] = (j[k][x] D[m x j[k][m x],x]/m - j[k][m x] D[x j[k][x],x])/<br />
(h[k][x] D[m x j[k][m x],x]/m - j[k][m x] D[x h[k][x],x]);<br />
Clear[Q];<br />
Q[x_,m_]:=<br />
For[<br />
242
iii = 1 ; soma = 0 ;<br />
,<br />
True<br />
,<br />
iii ++ ;<br />
,<br />
incr<strong>em</strong>ento =<br />
(2/(x^2))(2 iii + 1) ( (Abs[a[iii][x,m]])^2 + (Abs[b[iii][x,m]])^2 ) ;<br />
soma += incr<strong>em</strong>ento ;<br />
If [ iii > 70 , Return[soma]; ];<br />
];<br />
Q[r_][l_] := Q[x[r][l],m[l]] ;<br />
Q[r_,lmin_,lmax_,l_] :=<br />
If[ lmin
If[<br />
lresultante===Null<br />
,<br />
conjuntoders = DeleteCases[conjuntoders,r] ;<br />
kkk--;<br />
];<br />
];<br />
];<br />
]<br />
SetDirectory["c:"];<br />
Save["conjuntoders",conjuntoders];<br />
(*raio encontrado*)<br />
conjuntoders<br />
(*encontrado o r pode se plotar o gráfico com a função deseja<strong>da</strong>*)<br />
244
H∗ programa para o feixe gaussiano <strong>em</strong> função do comprimento de on<strong>da</strong> ∗L<br />
d@λ_D := Ha1 + b1 êHλ∗10^ −4L^2L;<br />
a1 = 1.5683;<br />
b1 = 10.087 ∗ 10 ^ −11;<br />
w@λ_D := Ha2 + b2 êHλ∗10^ −4L^2L;<br />
a2 = 1.324;<br />
b2 = 3.046 ∗ 10 ^ −11;<br />
a = 4.66;<br />
xo = 4.66;<br />
λn@λ_D =λê w@λD;<br />
s@λ_D = λn@λD<br />
2 π wo ;<br />
mn@λ_D = d@λD<br />
w@λD ;<br />
xa@λ_D =<br />
2 π a<br />
λn@λD ;<br />
lo@λ_D = IntegerPartA i j 2 π xo<br />
k λn@λD − 1 2<br />
y<br />
zE;<br />
{<br />
la@λ_D = IntegerPartA1.5 i j 2 π a<br />
k λn@λD − 1 2<br />
y<br />
zE;<br />
{<br />
q@n_, λ_D =<br />
2 s@λD Jn + 1 2 N xo<br />
;<br />
wo<br />
i<br />
Z@n_, p_, ϕo_D =<br />
j<br />
k<br />
− Sign @pD ϕo<br />
n + 1 2<br />
n Hn + 1L<br />
+<br />
n + 1 KroneckerDelta@p, 0D;<br />
2<br />
yAbs @pD−1<br />
H1 − KroneckerDelta@p, 0DL<br />
z<br />
{<br />
245
J@k_D@z_D := BesselJ@k, zD;<br />
H@k_D@z_D := BesselJ@k, zD − I BesselY@k, zD;<br />
j@k_D@z_D := Sqrt@PiêH2zLD J@HkL + H1 ê 2LD@zD;<br />
h@k_D@z_D := Sqrt@PiêH2zLD H@HkL + H1 ê 2LD@zD;<br />
an@n_, ml_, x_D = Hj@nD@xD D@ml x j@nD@ml xD, xDêml − ml ^ 2 j@nD@ml xD D@x j@nD@xD, xDL<br />
êHh@nD@xD D@ml x j@nD@ml xD, xDêml − ml ^ 2 j@nD@ml xD D@x h@nD@xD, xDL;<br />
an@n_, λ_D := Han@n, λD = an@n, mn@λD, xa@λDDL;<br />
Table@an@n, λD, 8n, 0, 100
T@n_, m_, p_D@ϕo_, λ_D := Hbn@n, λD + anst@m, λDL gTE@n, p, ϕo, λD gTMst@m, p + 1, ϕo, λD −<br />
Han@n, λD + bnst@m, λDL gTM@n, p, ϕo, λD gTEst@m, p + 1, ϕo, λD;<br />
c1@n_, m_, p_D@ϕo_, λ_D :=<br />
Jc1@n, m, pD@ϕo, λD =<br />
HS@m, n, p − 1D@ϕo, λD + S@n, m, −pD@ϕo, λD − 2 U@m, n, p − 1D@ϕo, λD − 2 U@n, m, −pD@ϕo, λDL<br />
KroneckerDelta@m, n + 1D KroneckerDelta@n, m + 1D<br />
J − NN;<br />
m2<br />
n2<br />
2 n + 1<br />
c2@n_, m_, p_D@ϕo_, λ_D :=<br />
KroneckerDelta@n, mD<br />
n2 Hn + 1L2<br />
HT@m, n, p − 1D@ϕo, λD − T@n, m, −pD@ϕo, λD − 2 V@m, n, p − 1D@ϕo, λD + 2 V@n, m, −pD@ϕo, λDL;<br />
nmin@p_, λ_D = Max@8p, lo@λD − 6
H∗programa gaussiano <strong>em</strong> função <strong>da</strong> posição foco−centro ∗L<br />
a = 4.5;<br />
λn = 1.064 ê 1.33;<br />
s =<br />
λn<br />
2 π wo ;<br />
mn = 1.6<br />
1.33 ;<br />
xa = 2 π a<br />
λn ;<br />
lo@xo_D = IntegerPartAJ 2 π xo<br />
λn<br />
− 1 2 NE;<br />
la = IntegerPartA1.5 J 2 π a<br />
λn<br />
− 1 2 NE;<br />
q@n_, xo_D =<br />
2 s Jn + 1 2 N xo<br />
;<br />
wo<br />
i<br />
Z@n_, p_, ϕo_D =<br />
j<br />
k<br />
− Sign @pD ϕo<br />
n + 1 2<br />
n Hn + 1L<br />
+<br />
n + 1 KroneckerDelta@p, 0D;<br />
2<br />
yAbs @pD−1<br />
H1 − KroneckerDelta@p, 0DL<br />
z<br />
{<br />
π x<br />
f1@n_, x_D = $%%%%%%%%%%<br />
2<br />
BesselJAn + 1 2 ,xE;<br />
f1x@n_, x_D =∂ x f1@n, xD;<br />
mn π x<br />
f2@n_, x_D = $%%%%%%%%%%%%%%%%%<br />
2<br />
BesselJAn + 1 2 ,mnxE;<br />
f2x@n_, x_D =∂ x f2@n, xD;<br />
π x<br />
g@n_, x_D = $%%%%%%%%%%<br />
2<br />
JBesselJAn + 1 2 ,xE +BesselYAn + 1 2 ,xEN;<br />
gx@n_, x_D =∂ x g@n, xD;<br />
248
an@n_D :=<br />
Han@nD = Hmn f2@n, xaD f1x@n, xaD − f1@n, xaD f2x@n, xaDL ê<br />
Hmn f2@n, xaD gx@n, xaD − g@n, xaD f2x@n, xaDLL;<br />
Table@an@nD, 8n, 0, 120
nmin@p_, xo_D := Max@8p, lo@xoD − 20
251
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