MAE 121 - Introduç˜ao `a Probabilidade e `a Estat´ıstica I Lista de ...

Prof. Adilson Simonis
10 de maio de 2013.
MAE 121 - Introdução à Probabilidade e à Estatística I
Lista de Exercícios # 3.
1- Das variáveis descritas abaixo, indique quais são binomiais, fornecendo sua distribuição
de probabilidade. Para os casos em que julgar que a variável não é binomial, aponte as
razões.
a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, retiram-se 5 bolas com reposição. X é
o número de bolas brancas nas cinco retiradas.
b) Refaça o item anterior, agora com as retiradas SEM reposição.
c) Temos cinco urnas com bolas brancas e pretas. Retiramos uma bola de cada urna. X
é o número de bolas brancas nas cinco retiradas.
d) Uma indústria tem 38 máquinas para produzir um determinado tipo de peça. Cada
peça é classificada com boa ou defeituosa. Escolhemos um instante de tempo ao acaso e
colhemos uma peça de cada máquina. X é o número de peças defeituosas obtidas.
2- Uma moeda honesta é lançada 2n vezes. Seja X 2n = número de caras nos 2n
lançamentos.
a) Calcule IP (X 2n = n).
b) Prove que IP (X 2n = n) ↓ 0 quando n −→ ∞.
3- Uma urna contém p bolas pretas e v bolas vermelhas. Uma bola é retirada ao acaso e
a seguir devolvida à urna, juntamente com c bolas da mesma cor e d bolas da cor oposta.
Uma nova bola é retirada da urna e o processo se repete. ( c, d inteiros arbitrários )
a) Para quais c, d temos o modelo de retiradas sem reposição E com reposição
b) Dado que a segunda bola é preta, qual é a probabilidade de que a primeira seja preta.
c) Considerando d = 0 e c > 0,, seja X n = número de bolas pretas em n retiradas. Calcule
a distribuição de X 5 .
d) Calcule a esperança de X 5 .
4- Dentro de uma embalagem de determinado produto existe de maneira equiprovável
um cupom marcado com algum valor dentre os números {1, 2, 3, 4, 5}. Você recebe um
prêmio do fabricante se conseguir 5 cupons com valores diferentes. Seja N = número de
embalagens que devemos comprar para obter o prêmio. Calcule IE(N).
5- Dois trens X e Y , chegam em uma estação ao acaso entre 8 horas e 8:20 horas. O
trem X pára por 4 minutos e o trem Y por 5 minutos. Assumindo que os trens chegam
independentemente um do outro, calcule a probabilidade que:
a) O trem X chegue antes do trem Y .
b) Os trens se encontram na estação.
c) Dado que os trens se encontram, o trem X chegar antes do trem Y .
6- Considere o seguinte experimento. Escolho um inteiro positivo com IP [I = n] =
1
2 n , n = 1, 2, . . . e lanço uma moeda com probabilidade de sair cara igual a e −n . Seja
X = 1 se o resultado do experimento é cara e zero em caso contrario. Achar IP (X = 1).

7- Suponha que um ponto é escolhido ao acaso do interior de um círculo com equação
dada por x 2 +y 2 = 2, de tal maneira que a probabilidade que ele pertença a qualquer região
do círculo é proporcional a área desta região. Denotando por Z a variável aleatória que
representa a distância do ponto escolhido ao centro do círculo, ache a função de distribuição
de Z e esboce seu gráfico.
8- O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma
distribuição de Poisson com λ = 2. As atuais instalações, podem atender, no máximo, a
três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro
porto.
a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto
b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os
navios que chegarem pelo menos em 95 % dos dias
9- Prove que na Distribuição Geométrica de parâmetro p, temos para s e t inteiros positivos
que:
Comente o significado deste fato.
IP (X > s + t / X > s) = IP (X > t)
10- Em uma Distribuição de Poisson de parâmetro λ, em qual valor (ou em quais valores,
se houver mais de um), ocorre a maior probabilidade