Transformada Z
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Expansão em Fracções Simples<br />
Expansão em Fracções Simples<br />
.<br />
X(z) =<br />
∑ M<br />
k=0 b k z −k<br />
∑ N<br />
k=0 a kz −k = b 0<br />
a 0<br />
∏ M<br />
k=1(1 − c k z −1 )<br />
∏ N<br />
k=1 (1 − d kz −1 )<br />
Se M < N e se os pólos forem todos de primeira ordem:<br />
em que:<br />
X(z) =<br />
N∑<br />
k=1<br />
A k<br />
1 − d k z −1<br />
A k = (1 − d k z −1 )X(z)| z=dk<br />
.<br />
No caso M ≥ N e existir um pólo de ordem s em z = d i :<br />
X(z) =<br />
M−N ∑<br />
r=0<br />
B r z −r +<br />
N∑<br />
k=1<br />
A k<br />
s∑<br />
1 − d k z + C m<br />
−1 (1 − d i z −1 ) m<br />
em que B r pode ser obtido por divisão longa do numerador<br />
pelo denominador terminando-o quando o grau do resto<br />
for menor que o do denominador,<br />
{ }<br />
1 d<br />
s−m<br />
C m =<br />
(s − m)!(−d i ) s−m dw [(1 − d iw) s X(w −1 )]<br />
s−m w=di<br />
−1<br />
m=1<br />
Sinais e Sistemas – p.21/52<br />
Sinais e Sistemas – p.22/52<br />
Expansão em Série de Potências<br />
Exemplo<br />
X(z) =<br />
+∞∑<br />
n=−∞<br />
x(n)z −n<br />
= . . . + x(−2)z 2 + x(−1)z + x(0) + x(1)z −1 + x(2)z −2 + . . .<br />
Os valores da sequência são os coeficientes das<br />
potências de z −1 .<br />
Calcular a transformada Z inversa de:<br />
∀z ∈ , X(z) = 4z 2 + 2 + 3z −1 , 0 < |z| < ∞<br />
Solução:<br />
x(n) = 4δ(n + 2) + 2δ(n) + 3δ(n − 1)<br />
.<br />
.<br />
Sinais e Sistemas – p.23/52<br />
Sinais e Sistemas – p.24/52