Transformada Z

Transformadas Z Comuns
Transformada de Fourier
Sistema causal de primeira ordem: h(n) = a n u(n)
r n cos(ω 0 n)u(n)
r n sin(ω 0 n)u(n)
Z
−→
Z
−→
1 − [r cos(ω 0 )]z −1
, |z| > r
1 − 2r cos(ω 0 )z −1 + r 2 z−2 1 − [r sin(ω 0 )]z −1
, |z| > r
1 − 2r cos(ω 0 )z −1 + r 2 z−2 H(z) =
1
1 − az = z
−1 z − a
Fazendo z = e jω obtém-se a transformada de Fourier:
{ a n , 0 ≤ n ≤ N − 1
0, caso contrário
Z
−→
1 − aN z −N
1 − az −1 , |z| > 0
|H(e jω )| = |e jω |
|e jω − a| = |v z|
|v p |
∠H(e jω ) = ω − ∠(e jω − a) = ∠v z − ∠v p
.
.
em que v z é o vector do zero a z = e jω e v p é o vector do
pólo a z = e jω .
Sinais e Sistemas – p.37/52
Sinais e Sistemas – p.38/52
Sistema de Segunda Ordem
Causalidade
No caso de um sistema causal de segunda ordem:
H(z) =
1
1 − 2r cos(θ)z −1 + r 2 z −2 = z 2
z 2 − 2r cos(θ)z + r 2
Fazendo z = e jω obtém-se a transformada de Fourier:
|H(e jω )| = |v z1||v z2 |
|v p1 ||v p2 |
A reposta impulsiva de um SLIT causal é um sinal lateral
direito, então
Um SLIT discreto com função de transferência racional é
causal se e só se: a) a região de convergência for o exterior
da circunferência que inclui o pólo mais afastado, b) a
ordem do numerador não exceder a ordem do denominador.
.
∠H(e jω ) = ∠v z1 + ∠v z1 − ∠v p1 − ∠v p2
em que v z1 e v z2 são os vectores dos zeros a z = e jω e v p1 e
v p2 são os vectores dos pólos a z = e jω .
.
Sinais e Sistemas – p.39/52
Sinais e Sistemas – p.40/52