resolução da prova de matemática vestibular ufmg_ ano 2007 ...

UFMG 2007
RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA
VESTIBULAR UFMG_ ANO 2007
RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.
QUESTÃO 01
Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4 200,00, já
incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos.
Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria
um desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o
qual não haveria nenhum desconto.
Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista.
Então, é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem
A) R$ 3 672,00. B) R$ 3 780,00. C) R$ 3 792,00. D) R$ 3 900,00.
RESOLUÇÃO:
Do valor do pacote de viagem excluído o valor das taxas de embarque obtemos
(4 200 – 120) = 4 080 reais .
Sobre este valor Francisco obteve, com o pagamento à vista, um desconto de
10%.
Logo a sua despesa foi então de 4 080(1 – 0,10)+120 = 4 080 . 0,90+120 = 3 792.
RESPOSTA: Alternativa C.
QUESTÃO 02
Lançada em 1977, a sonda espacial Voyager 1 está, atualmente, a 1,5 .10 10 km da
Terra.
Suponha que, dessa distância, a Voyager 1 envie, para a Terra, um sinal de rádio
que se propaga à velocidade da luz, que é de 300.000 km/s.
Despreze o movimento da Terra, do instante em que o sinal foi enviado até o
momento de sua chegada a ela.
Então, é CORRETO afirmar que, para chegar à Terra, o sinal enviado por essa
sonda gastará
A) menos de 8 horas.
B) entre 8 horas e 10 horas.
C) entre 10 horas e 12 horas.
D) mais de 12 horas.
1

RESOLUÇÃO:
O total de segundos, desprezando-se o movimento da Terra, do instante em que o
sinal foi enviado até o momento de sua chegada a ela, será determinado pelo
10
1,5.10 km
5
quociente = 0,5.10 s = 50 000s
5
3.10 km/s
500 125 8
Cada hora é formada de 3 600s. Logo, 50 000s correspondem a = = 13
36 9 9
horas.
RESPOSTA: Alternativa D.
QUESTÃO 03
Quando estava viajando pelo Chile, Jorge, por não ter uma calculadora disponível,
tinha dificuldade em fazer a conversão dos preços, dados em pesos chilenos, para
o valor correspondente em reais.
À época, a cotação era de 196,50 pesos para cada real.
Assinale, entre as seguintes alternativas, aquela que apresenta a regra que Jorge
deveria utilizar para efetuar essa conversão com o MENOR erro.
A) Dividir o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas
decimais para a esquerda.
B) Dividir o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas
decimais para a esquerda.
C) Multiplicar o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas
casas decimais para a esquerda.
D) Multiplicar o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas
casas decimais para a esquerda.
RESOLUÇÃO:
Consideremos como p o valor em moedas chilenas que Jorge deveria, na época
da viagem, converter em reais.
Pesos Chilenos Reais
196,50 1
p r
Ao analisarmos as duas grandezas vemos que elas são proporcionais. Então
p
r = .
196,50
Analisando agora as alternativas dadas como opções de respostas
A) Dividir o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas
⎛ p ⎞ p
decimais para a esquerda é o mesmo que ⎜ ⎟:
100 = .
⎝ 2 ⎠ 200
2

B) Dividir o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas
⎛ p ⎞ p
decimais para a esquerda, é o mesmo que ⎜ ⎟:
100 = .
⎝ 5 ⎠ 500
C) Multiplicar o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas
2p p
casas decimais para a esquerda, é o mesmo que 2p : 100 = = .
100 50
D) Multiplicar o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas
5p p
casas decimais para a esquerda, é o mesmo que 5p : 100 = = .
100 20
p
Sendo r = , então das quatro conclusões, verificamos que a regra que Jorge
196,50
deveria utilizar para efetuar essa conversão com o MENOR erro, é a apresentada
⎛ p ⎞ p
na alternativa A, ou seja r = ⎜ ⎟:
100 = .
⎝ 2 ⎠ 200
RESPOSTA: Alternativa A
QUESTÃO 04
Neste gráfico, estão representadas informações referentes aos períodos de chuva
(outubro a abril) de 2002-2003 a 2005-2006, em Belo Horizonte:
FONTE: Estado de Minas, 5 abr. 2006 (Adaptado)
Obs.: Os dados sobre ações preventivas no período 2002-2003 não foram
disponibilizados.
Considere estas afirmativas referentes aos dados contidos nesse gráfico:
I – O número de famílias removidas de áreas de risco foi proporcional à
precipitação pluviométrica verificada nos períodos pesquisados.
II – A precipitação pluviométrica foi superior a 1 700 mm no período 2002-2003.
III – O número de ações preventivas no período 2005-2006 foi, pelo menos, 30%
maior que no período 2003-2004.
3

1250 : 900 = 1,3888
IV – O número de famílias removidas de áreas de risco no período 2002-2003 foi,
pelo menos, 10 vezes maior que no período 2005-2006.
Com base nessas informações, conclui-se, CORRETAMENTE, que
A) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
B) apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras.
C) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
D) apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
RESOLUÇÃO: Pela analise do gráfico vemos que a afirmativa I é verdadeira.
O gráfico nos informa que o número de ações preventivas no período 2005-2006
está próximo de 1250 e o do período de 2003-2004 fica em torno de 900. Temos
que o quociente1250 : 900 = 1,3888. O que nos leva a concluir que a afirmação
III: “O número de ações preventivas no período 2005-2006 foi, pelo menos, 30%
maior que no período 2003-2004” é verdadeira.
RESPOSTA: Alternativa C
QUESTÃO 05
Seja P = (a,b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1.
As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado
de vértices (0,0), (2,0), (0,2) e (2,2) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado
nesta figura:
2 2
Considere o ponto Q ( a + b , ab)
= .
Então, é CORRETO afirmar que o ponto Q está na região
4

A) I. B) II. C) III. D) IV.
RESOLUÇÃO:
Multiplicando os membros da desigualdade 0 < a < 1 por b >0, temos 0 < ab < b.
E multiplicando os membros da mesma desigualdade por a > 0, temos 0 < ab < a.
Comparando os dois resultados concluímos que ab é um número positivo ao
mesmo tempo menor que a e que b. .
RESPOSTA:alternativa B.
QUESTÃO 06
Como ab é um número positivo ao mesmo
tempo menor que a e que b, pela análise
da .figura ao lado chegamos à conclusão
de que a abscissa a + b do ponto Q
está sobre a reta r e que a sua ordenada
ab está no interior da região destacada .
Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e 11 km com um litro
do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição
adotada, atualmente, no Brasil.
Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma possível redução, nessa
mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%.
Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro
dessa mistura varia linearmente de acordo com a proporção de álcool utilizada.
Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta
pelo Governo, esse carro percorrerá um total de
A) 11,20 km . B) 11,35 km . C) 11,50 km . D) 11,60 km .
RESOLUÇÃO:
Se o carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool, com 0,25l de álcool
percorre 2 km.
Se percorreu 11 km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e
de 25% de álcool, então 2 dos 11km foram vencidos pelo álcool e 9km pela
gasolina.
2
2
5

Se para percorrer 9km o consumo de gasolina é de 0,75l, com 1l percorrerá
(9:0,75) km = 12km.
Então com um litro de combustível composto de 80% de gasolina e 20% de álcool
percorrerá 0,8.12km + 0,2.8km = 9,6km + 1,6km = 11,2km.
RESPOSTA: Alternativa A
QUESTÃO 07
Seja S o conjunto dos números naturais maiores que 1 que são divisores de 360 e
não possuem fatores primos em comum com 147.
Então, é CORRETO afirmar que S contém
A) 6 elementos. B) 7 elementos. C) 8 elementos. D) 9 elementos.
RESOLUÇÃO:147 = 3.7 2 . Os fatores primos de 147 são 3 e 7.
7 não é divisor de 360.
Para encontrar os divisores de 360, maiores que 1, não múltiplos de 3, dividamos
360 por 9 e determinemos os divisores maiores que 1 do resultado 40.
D(40) = ( 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}.
.
RESPOSTA: Alternativa B.
QUESTÃO 08
Na Figura I, está representado um retângulo, cuja base mede 25 cm e cuja altura
mede 9 cm. Esse retângulo está dividido nas regiões α, β e γ.
Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões podem ser
reagrupadas, formando um quadrado, como mostrado na Figura II.
Então, é CORRETO afirmar que a área da região α mede
A) 24 cm 2 . B) 28 cm 2 . C) 30 cm 2 . D) 32 cm 2 .
6

RESOLUÇÃO:
Ao interpretar a situação-problema pudemos construir a figura acima .
Chegamos a duas conclusões:
1 a ) O retângulo e o quadrado são equivalentes, têm a mesma área
(9.25)cm 2 = 225cm 2 .
2 a ) O lado do quadrado mede 15cm, pois (15cm) 2 = 225cm 2 .
3 a ) 9 + x = 15 e 25 – y = 15 ⇒ x = 6 e y = 10
4 a ) A região α sendo um triângulo retângulo de catetos 6cm e 10cm, a sua área
6cm
. 10cm
mede = 30cm
2
2
RESPOSTA: Alternativa C.
QUESTÃO 09
Sejam p(x) = ax (a 15)x 1
2
1
+ − + e q(x) = 2x 3x
b
2
− + polinômios com coeficientes
reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes.
Então, é CORRETO afirmar que o valor de a + b é
A) 3. B) 6. C) 9. D) 12.
RESOLUÇÃO:
Como os polinômios possuem as mesmas raízes, podemos escrever;
⎧ − (a −15)
3
⎪
x'+
x" = =
a 2
⎪
⎧3a
= 30 − 2a ⎧a
= 6
⎨ 1 ⇒ ⎨
⇒ ⎨
⎪
⎩a
= 2b ⎩b
= 3
1
⎪x'.x"
= =
b
⎩ a 2
RESPOSTA: Alternativa C
7

QUESTÃO 10
Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST:
Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos
centrais das faces do cubo.
Então, é CORRETO afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede
A) 8 2 cm 2 . B) 8 3 cm 2 . C) 16 2 cm 2 . D) 16 3 cm 2 .
RESOLUÇÃO:
RESPOSTA:Alternativa D.
Na figura ao lado, a congruência dos
triângulos retângulos nos mostram que
todas as arestas do octaedro são iguais
a a= 4 + 4 = 2 2 .
Logo sua área total, em cm 2 é
2
8
4
3
( ) S = 8.
= 16 3
8

QUESTÃO 11
Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par
são iguais e cartas de pares distintos são diferentes.
Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso.
Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem
iguais é
1 1 1 1
A) B) C) D)
100
99 50 49
RESOLUÇÃO:
Como existem 50 pares de cartas iguais, a probabilidade pedida é de 1/50
RESPOSTA: Alternativa C.
QUESTÃO 12
Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos.
Alguns resultados dessa pesquisa foram:
• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate;
• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e
• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem
dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo
menos, de
A) 25%. B) 30%. C) 35%. D) 40%.
RESOLUÇÃO:
9

No diagrama acima está representada a situação problema colocada na questão.
Sabemos que o n(C) representa 82% do total de entrevistados e que o n(P)
representa 78% deste mesmo total.
⎧a
+ x + y + z = 82% ⎧(a
+ b + x + y + z + w) + (x + z) = 160%
⎨
⇒ ⎨
⇒ x + z = 60%
⎩b
+ x + z + w = 78% ⎩100%
+ (x + z) = 160%
Sabemos que o n(BF) representa 75% do total de entrevistados.
⎧c
+ x + y + w = 75% ⎧(c
+ x + y + w + z) + (x) = 135%
⎨
⇒ ⎨
⇒ x = 35%
⎩x
+ z = 60% ⎩100%
+ (x) = 135%
RESPOSTA: Alternativa C.
QUESTÃO 13
Os irmãos Armando, Bernardo e Caio decidiram ajudar na reforma do piso da casa
de seus pais, dividindo igualmente, entre eles, o custo de 100 m 2 de cerâmica.
Armando e Bernardo compraram, respectivamente, 60 m 2 e 40 m 2 da mesma
cerâmica, pagando o mesmo preço pelo metro quadrado. Para acertar sua parte
nessa compra, Caio pagou a seus dois irmãos um total de R$ 1 500,00.
Sejam x a parte dessa quantia que coube a Armando e y a parte que coube a
Bernardo.
Então, é CORRETO afirmar que o valor de x - y é
A) R$ 200,00. B) R$ 300,00. C) R$ 500,00. D) R$ 900,00.
RESOLUÇÃO:
Considerando como p o valor do metro quadrado da cerâmica e que a parte que
coube a cada irmão foi de R$ 1 500,00, temos 100p = 4 500 ⇒ p = 45.
Na compra Armando investiu 60p = 2.700 reais e Bernardo, 40p = 1.800 reais.
Então, é CORRETO afirmar que o valor de x - y = 2 700 – 1 800 = 900
RESPOSTA: Alternativa D.
QUESTÃO 14
Em uma danceteria, há um aparelho com várias caixas de som iguais. Quando
uma dessas caixas é ligada no volume máximo, o nível R de ruído contínuo é de
95 dB.
Sabe-se que
• R = 120 + 10.log10 Is , em que Is é a intensidade sonora, dada em watt/m 2 ; e
• a intensidade sonora Is é proporcional ao número de caixas ligadas.
Seja N o maior número dessas caixas de som que podem ser ligadas,
10

simultaneamente, sem que se atinja o nível de 115 dB, que é o máximo suportável
pelo ouvido humano.
Então, é CORRETO afirmar que N é
A) menor ou igual a 25.
B) maior que 25 e menor ou igual a 50.
C) maior que 50 e menor ou igual a 75.
D) maior que 75 e menor ou igual a 100.
RESOLUÇÃO:
Como a intensidade sonora Is é proporcional ao número de caixas ligadas,
representando por N o número de caixas ligadas podemos considerar Is = kN
com k ∈ Q+.
Logo a igualdade R = 120 + 10.log10 Is pode ser substituída por
R = 120 + 10.log10 (kN).
Para N = 1 temos R = 95dB ⇒ 95 = 120 + 10.log10 k ⇒ 10.log10 k = – 25 ⇒
log10 k = – 2,5 ⇒ k = 10 –2,5 . Na expressão R = 120 + 10.log10 (kN), substituindo k
pelo valor 10 –2,5 , temos:
R = 120 + 10.log10 (10 –2,5. N) ⇒ R = 120 + 10.log10 10 –2,5 + 10.log10 N ⇒
R = 120 – 25 + 10.log10 N ⇒ R = 95 + 10.log10 N.
Sendo N o maior número dessas caixas de som que podem ser ligadas,
simultaneamente, sem que se atinja o nível de 115 dB, temos:
95 + 10.log10 N < 115 ⇒ 10.log10 N < 20 ⇒ log10 N < 2 ⇒ N < 100.
RESPOSTA: Alternativa D.
QUESTÃO 15
Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em
uma festa.
Sabe-se que
• essas pessoas formam quatro casais; e
• Carolina não é esposa de Paulo.
Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com
o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão
sentados, conversando.
Então, é CORRETO afirmar que a esposa de Antônio é
A) Carolina. B) Júlia. C) Raquel. D) Rita.
RESOLUÇÃO:
Prováveis
esposas
FERNANDO (nd) PAULO (nd) GUSTAVO
(dança)
Carolina (nd) Raquel Carolina (nd)
Júlia (dança)
Rita (nd)
Raquel (dança)
ANTÔNIO (nd)
Carolina (nd)
Raquel
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A mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel. Como Júlia não
está sentada, é ela quem dança com o marido de Raquel, que só pode ser
Gustavo, único homem que não está sentado. Então ela é a mulher de Fernando.
Como Carolina não é mulher de Paulo ela só pode ser mulher de Antônio.
FERNANDO PAULO GUSTAVO ANTÔNIO
Esposas Júlia Rita Raquel Carolina
RESPOSTA: Alternativa A.
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