Lista de exercícios 1 - Geometria Diferencial 1. Prove que |r,1 ×r,2 ...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
MEC 098 - PLACAS E CASCAS
Lista de exercícios 1 - Geometria Diferencial
1. Prove que |r, 1 ×r, 2 | = A 1 A 2 .
2. Produza ilustrações mostrando a orientação dos vetores n, t e b e suas derivadas
para uma hélice cilíndrica.
3. Repita o exercício acima para uma hélice cônica (onde o raio do cone é dado por
r = r (x 3 )).
4. Exercício 1.1 Kraus (pp.22). Isto é, prove que √ G 11 G 22 − G 12 > 0.
5. Exercício 1.2 Kraus; pp.22. (determinar N · n para as linhas paramétricas de uma
superfície de revolução).
6. Exercício 1.6a-d Kraus; pp.22-3.
7. Demonstre as seguintes relações:
t 1,1 = − A 1
R 1
n − A 1,2
A 2
t 2
t 2,2 = − A 2
R 2
n − A 2,1
A 1
t 1
t 1,2 = A 2,1
A 1
t 2
t 2,1 = A 1,2
A 2
t 1
8. Seja a fita de Möbius ilustrada na figura abaixo, uma parametrização possível é
r (θ, v) =
cos θ + v sin θ
2 cos θ e 1 +
sin θ + v sin θ
2 sin θ e 2 + v cos θ
e 3
2
onde −π < θ < π e − 1 2 < θ < 1 2 . 1

x 3
θ
v
x 1
x 2
(a) Mostre que esta "superfície" tem apenas um lado e apenas uma aresta.
(b) Verifique se ess superfície satisfaz as equações de Gauss-Codazzi.
(c) Repita o item b para outra parametrização (procure na internet).
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