Formato pdf - Departamento de Matemática
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Mecânica Quântica para<br />
Matemáticos em Formação<br />
Aula 7: Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
28 Colóquio Brasileiro <strong>de</strong> Matemática<br />
IMPA - 27/07/11<br />
Wednesday, July 27, 2011
Wednesday, July 27, 2011<br />
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
O que a Mecânica Quântica tem que o mundo<br />
clássico não tem?<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
O que a Mecânica Quântica tem que o mundo<br />
clássico não tem?<br />
Estratégia<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
O que a Mecânica Quântica tem que o mundo<br />
clássico não tem?<br />
Estratégia<br />
Traduzir “mundo clássico” em hipóteses<br />
razoáveis;<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
O que a Mecânica Quântica tem que o mundo<br />
clássico não tem?<br />
Estratégia<br />
Traduzir “mundo clássico” em hipóteses<br />
razoáveis;<br />
Deduzir <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s;<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
O que a Mecânica Quântica tem que o mundo<br />
clássico não tem?<br />
Estratégia<br />
Traduzir “mundo clássico” em hipóteses<br />
razoáveis;<br />
Deduzir <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s;<br />
Obter violações<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
Consequências Interessantes<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
Consequências Interessantes<br />
• Uma nova fonte <strong>de</strong> aleatorieda<strong>de</strong><br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
Consequências Interessantes<br />
• Uma nova fonte <strong>de</strong> aleatorieda<strong>de</strong><br />
• Uma nova maneira <strong>de</strong> compartilhar<br />
aleatorieda<strong>de</strong> (distribuição <strong>de</strong> chaves<br />
criptográficas)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
Consequências Interessantes<br />
• Uma nova fonte <strong>de</strong> aleatorieda<strong>de</strong><br />
• Uma nova maneira <strong>de</strong> compartilhar<br />
aleatorieda<strong>de</strong> (distribuição <strong>de</strong> chaves<br />
criptográficas)<br />
Com bases científicas,<br />
não conjecturais ou tecnológicas!<br />
Wednesday, July 27, 2011
Abordagem do Curso<br />
Comece sempre pelo caso mais simples!<br />
Wednesday, July 27, 2011
Abordagem do Curso<br />
Comece sempre pelo caso mais simples!<br />
Generalizações são possíveis,<br />
interessantes e ainda objeto <strong>de</strong> pesquisa.<br />
Wednesday, July 27, 2011
Wednesday, July 27, 2011<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Ana<br />
Bernardo<br />
Cenário <strong>de</strong> Bell<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
p (a, b|x, y)<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Duas Entradas possíveis<br />
Duas Saídas possíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Hipóteses<br />
Realismo: O processo <strong>de</strong> medição apenas<br />
revela resultados pré-<strong>de</strong>finidos<br />
Wednesday, July 27, 2011
Hipóteses<br />
Realismo: O processo <strong>de</strong> medição apenas<br />
revela resultados pré-<strong>de</strong>finidos<br />
Localida<strong>de</strong>: As escolhas feitas por Ana não <strong>de</strong>vem<br />
influir nos resultados <strong>de</strong> Bernardo (e vice-versa)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Hipóteses<br />
Realismo: O processo <strong>de</strong> medição apenas<br />
revela resultados pré-<strong>de</strong>finidos<br />
Localida<strong>de</strong>: As escolhas feitas por Ana não <strong>de</strong>vem<br />
influir nos resultados <strong>de</strong> Bernardo (e vice-versa)<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Hipóteses<br />
Realismo: O processo <strong>de</strong> medição apenas<br />
revela resultados pré-<strong>de</strong>finidos<br />
Localida<strong>de</strong>: As escolhas feitas por Ana não <strong>de</strong>vem<br />
influir nos resultados <strong>de</strong> Bernardo (e vice-versa)<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Liberda<strong>de</strong> <strong>de</strong> Escolha: Ana e Bernardo po<strong>de</strong>m<br />
escolher à vonta<strong>de</strong> os experimentos que farão<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1<br />
Obs: Variáveis aleatórias formam uma álgebra<br />
Definição: CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1<br />
Obs: Variáveis aleatórias formam uma álgebra<br />
Definição: CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1<br />
Constatação: Se cada variável está <strong>de</strong>finida...<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1<br />
Obs: Variáveis aleatórias formam uma álgebra<br />
Definição: CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1<br />
Constatação: Se cada variável está <strong>de</strong>finida...<br />
CHSH = A 0 (B 0 + B 1 )+A 1 (B 0 − B 1 )=±2<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1<br />
Obs: Variáveis aleatórias formam uma álgebra<br />
Definição: CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1<br />
Constatação: Se cada variável está <strong>de</strong>finida...<br />
CHSH = A 0 (B 0 + B 1 )+A 1 (B 0 − B 1 )=±2<br />
Valores esperados:<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Desigualda<strong>de</strong> CHSH<br />
Clauser, Horne, Shimony e Holt<br />
Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1<br />
Obs: Variáveis aleatórias formam uma álgebra<br />
Definição: CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1<br />
Constatação: Se cada variável está <strong>de</strong>finida...<br />
CHSH = A 0 (B 0 + B 1 )+A 1 (B 0 − B 1 )=±2<br />
Valores esperados:<br />
x ∈{0, 1}<br />
y ∈{0, 1}<br />
|CHSH| ≤ 2<br />
a ∈ {−1, 1}<br />
b ∈ {−1, 1}<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Wednesday, July 27, 2011<br />
E a Mecânica Quântica?
E a Mecânica Quântica?<br />
Os Observáveis também formam uma Álgebra<br />
Wednesday, July 27, 2011
E a Mecânica Quântica?<br />
Os Observáveis também formam uma Álgebra C ∗<br />
Wednesday, July 27, 2011
E a Mecânica Quântica?<br />
Os Observáveis também formam uma Álgebra<br />
Wednesday, July 27, 2011
E a Mecânica Quântica?<br />
Os Observáveis também formam uma Álgebra<br />
CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1<br />
Wednesday, July 27, 2011
E a Mecânica Quântica?<br />
Os Observáveis também formam uma Álgebra<br />
CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1<br />
Mas em geral: [A 0 ,A 1 ] = 0, [B 0 ,B 1 ] = 0<br />
Wednesday, July 27, 2011
E a Mecânica Quântica?<br />
Os Observáveis também formam uma Álgebra<br />
CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1<br />
Mas em geral: [A 0 ,A 1 ] = 0, [B 0 ,B 1 ] = 0<br />
não sendo compatíveis CHSH, A x , B y .<br />
Wednesday, July 27, 2011
E a Mecânica Quântica?<br />
Os Observáveis também formam uma Álgebra<br />
CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1<br />
Mas em geral: [A 0 ,A 1 ] = 0, [B 0 ,B 1 ] = 0<br />
não sendo compatíveis CHSH, A x , B y .<br />
Queremos obter uma violação...<br />
Wednesday, July 27, 2011
Rumo à violação<br />
Exercício 13.1:<br />
Ψ − |a · σ ⊗ b · σ |Ψ − = −a ·b<br />
|Ψ − = 1 √<br />
2<br />
(|01−|10)<br />
Wednesday, July 27, 2011
Rumo à violação<br />
Exercício 13.1:<br />
Ψ − |a · σ ⊗ b · σ |Ψ − = −a ·b<br />
|Ψ − = 1 √<br />
2<br />
(|01−|10)<br />
Como <strong>de</strong>vemos escolher as direções se queremos<br />
obter uma violação <strong>de</strong> CHSH com o Singleto?<br />
Wednesday, July 27, 2011
Rumo à violação<br />
Exercício 13.1:<br />
Ψ − |a · σ ⊗ b · σ |Ψ − = −a ·b<br />
|Ψ − = 1 √<br />
2<br />
(|01−|10)<br />
Como <strong>de</strong>vemos escolher as direções se queremos<br />
obter uma violação <strong>de</strong> CHSH com o Singleto?<br />
E qual a máxima violação possível?<br />
Wednesday, July 27, 2011
Uma Escolha Simples<br />
A 0 = B 0 = Z<br />
A 1 = B 1 = X<br />
Wednesday, July 27, 2011
Uma Escolha Simples<br />
A 0 = B 0 = Z<br />
A 1 = B 1 = X<br />
A 0 B 0 = −1, A 0 B 1 = A 1 B 0 =0, A 1 B 1 = −1<br />
Wednesday, July 27, 2011
Uma Escolha Simples<br />
A 0 = B 0 = Z<br />
A 1 = B 1 = X<br />
A 0 B 0 = −1, A 0 B 1 = A 1 B 0 =0, A 1 B 1 = −1<br />
=⇒ CHSH =0<br />
Wednesday, July 27, 2011
Uma Escolha Boa<br />
A 0 = X<br />
A 1 = Z<br />
B 0 = X + Z √<br />
2<br />
B 1 = X − Z √<br />
2<br />
Wednesday, July 27, 2011
Uma Escolha Boa<br />
A 0 = X<br />
A 1 = Z<br />
B 0 = X + Z √<br />
2<br />
B 1 = X − Z √<br />
2<br />
Wednesday, July 27, 2011
Uma Escolha Boa<br />
A 0 = X<br />
A 1 = Z<br />
B 0 = X + Z √<br />
2<br />
B 1 = X − Z √<br />
2<br />
A 0 B 0 = A 0 B 1 = A 1 B 0 = −1 √<br />
2<br />
Wednesday, July 27, 2011
Uma Escolha Boa<br />
A 0 = X<br />
A 1 = Z<br />
B 0 = X + Z √<br />
2<br />
B 1 = X − Z √<br />
2<br />
A 0 B 0 = A 0 B 1 = A 1 B 0 = −1 √<br />
2<br />
A 1 B 1 = 1 √<br />
2<br />
Wednesday, July 27, 2011
Uma Escolha Boa<br />
A 0 = X<br />
A 1 = Z<br />
B 0 = X + Z √<br />
2<br />
B 1 = X − Z √<br />
2<br />
A 0 B 0 = A 0 B 1 = A 1 B 0 = −1 √<br />
2<br />
A 1 B 1 = 1 √<br />
2<br />
CHSH = −2 √ 2<br />
Wednesday, July 27, 2011
Uma Escolha Boa<br />
A 0 = X<br />
A 1 = Z<br />
B 0 = X + Z √<br />
2<br />
B 1 = X − Z √<br />
2<br />
A 0 B 0 = A 0 B 1 = A 1 B 0 = −1 √<br />
2<br />
A 1 B 1 = 1 √<br />
2<br />
CHSH = −2 √ 2<br />
Vale comparar com algo já discutido...<br />
Wednesday, July 27, 2011
Wednesday, July 27, 2011<br />
Historinhas...
Wednesday, July 27, 2011<br />
Historinhas...
Historinhas...<br />
3 X<br />
Wednesday, July 27, 2011
A Escolha Ótima<br />
Tsirelson:<br />
Com Mecânica Quântica,<br />
|CHSH| ≤ 2 √ 2.<br />
Wednesday, July 27, 2011
A Escolha Ótima<br />
Tsirelson:<br />
Com Mecânica Quântica,<br />
|CHSH| ≤ 2 √ 2.<br />
Dem.:<br />
Wednesday, July 27, 2011
A Escolha Ótima<br />
Tsirelson:<br />
Com Mecânica Quântica,<br />
|CHSH| ≤ 2 √ 2.<br />
Dem.:<br />
A 2 x = By 2 = I =⇒ CHSH 2 =4I − [A 0 ,A 1 ] ⊗ [B 0 ,B 1 ]<br />
Wednesday, July 27, 2011
A Escolha Ótima<br />
Tsirelson:<br />
Com Mecânica Quântica,<br />
|CHSH| ≤ 2 √ 2.<br />
Dem.:<br />
A 2 x = By 2 = I =⇒ CHSH 2 =4I − [A 0 ,A 1 ] ⊗ [B 0 ,B 1 ]<br />
<br />
CHSH 2 ≤ 8<br />
Wednesday, July 27, 2011
Pergunta Curiosa<br />
Por que a Mecânica Quântica não é<br />
mais “não-local” ainda?<br />
Wednesday, July 27, 2011
Pergunta Curiosa<br />
Por que a Mecânica Quântica não é<br />
mais “não-local” ainda?<br />
|CHSH| ≤<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
2<br />
2 √ 2<br />
4<br />
Clássico<br />
Quântico<br />
Algébrico<br />
Wednesday, July 27, 2011
Pergunta Curiosa<br />
Por que a Mecânica Quântica não é<br />
mais “não-local” ainda?<br />
|CHSH| ≤<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
2<br />
2 √ 2<br />
4<br />
Clássico<br />
Quântico<br />
Algébrico<br />
Teria alguma relação com não-sinalização?<br />
Wednesday, July 27, 2011
Pergunta Curiosa<br />
Por que a Mecânica Quântica não é<br />
mais “não-local” ainda?<br />
|CHSH| ≤<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
2<br />
2 √ 2<br />
4<br />
Clássico<br />
Quântico<br />
Algébrico<br />
Teria alguma relação com não-sinalização?<br />
Não!!!<br />
Wednesday, July 27, 2011
Pergunta Curiosa<br />
Por que a Mecânica Quântica não é<br />
mais “não-local” ainda?<br />
|CHSH| ≤<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
2<br />
2 √ 2<br />
4<br />
Clássico<br />
Quântico<br />
Algébrico<br />
Teria alguma relação com não-sinalização?<br />
Não!!!<br />
Popescu-Rohrlich<br />
Wednesday, July 27, 2011
Wednesday, July 27, 2011<br />
Um pouco <strong>de</strong> história
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Von Neumann, 1932: Impossibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
Variáveis Ocultas compatíveis<br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Von Neumann, 1932: Impossibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
Variáveis Ocultas compatíveis<br />
David Bohm, 1952: Faz uma teoria com<br />
“Variáveis Ocultas”<br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Von Neumann, 1932: Impossibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
Variáveis Ocultas compatíveis<br />
David Bohm, 1952: Faz uma teoria com<br />
“Variáveis Ocultas”<br />
John Bell, 1964 a 66: “Vi o impossível feito!”<br />
Descobriu o erro <strong>de</strong> Von Neumann e passou a<br />
usar <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s!<br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
2725<br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Experimentos... (Aspect 1980’s) “loopholes”...<br />
2725<br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Experimentos... (Aspect 1980’s) “loopholes”...<br />
Ekert (1991): Como usar <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
Bell para estabelecer uma chave<br />
criptográfica<br />
2725<br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Experimentos... (Aspect 1980’s) “loopholes”...<br />
Ekert (1991): Como usar <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
Bell para estabelecer uma chave<br />
criptográfica<br />
2725<br />
Pironio et al (2010): Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
para certificar aleatorieda<strong>de</strong><br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Experimentos... (Aspect 1980’s) “loopholes”...<br />
Ekert (1991): Como usar <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
Bell para estabelecer uma chave<br />
criptográfica<br />
2725<br />
Pironio et al (2010): Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
para certificar aleatorieda<strong>de</strong><br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Experimentos... (Aspect 1980’s) “loopholes”...<br />
Ekert (1991): Como usar <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
Bell para estabelecer uma chave<br />
criptográfica<br />
2725<br />
Pironio et al (2010): Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
para certificar aleatorieda<strong>de</strong><br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Experimentos... (Aspect 1980’s) “loopholes”...<br />
Ekert (1991): Como usar <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
Bell para estabelecer uma chave<br />
criptográfica<br />
2725<br />
Pironio et al (2010): Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
para certificar aleatorieda<strong>de</strong><br />
ESCOLA DE ALTOS ESTUDOS DA CAPES<br />
Quantum Cryptography: Is There a Perfect Cipher?<br />
Prof. Artur Ekert<br />
Wednesday, July 27, 2011
Um pouco <strong>de</strong> história<br />
Experimentos... (Aspect 1980’s) “loopholes”...<br />
Ekert (1991): Como usar <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
Bell para estabelecer uma chave<br />
criptográfica<br />
2725<br />
Pironio et al (2010): Desigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell<br />
para certificar aleatorieda<strong>de</strong><br />
ESCOLA DE ALTOS ESTUDOS DA CAPES<br />
Quantum Cryptography: Is There a Perfect Cipher?<br />
Prof. Artur Ekert<br />
16 a 29 <strong>de</strong> novembro <strong>de</strong> 2011 (data exata - a confirmar)<br />
<strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Física, ICEx - UFMG<br />
Belo Horizonte<br />
http://www.fisica.ufmg.br/~enlight/altosestudos.html<br />
Wednesday, July 27, 2011
Visão Mo<strong>de</strong>rna<br />
Um cenário <strong>de</strong> Bell é <strong>de</strong>scrito por<br />
um politopo <strong>de</strong> correlações<br />
Wednesday, July 27, 2011
Visão Mo<strong>de</strong>rna<br />
Um cenário <strong>de</strong> Bell é <strong>de</strong>scrito por<br />
um politopo <strong>de</strong> correlações<br />
Wednesday, July 27, 2011
Visão Mo<strong>de</strong>rna<br />
Um cenário <strong>de</strong> Bell é <strong>de</strong>scrito por<br />
um politopo <strong>de</strong> correlações<br />
p (a, b|x, y)<br />
Politopo <strong>de</strong> Correlações<br />
Wednesday, July 27, 2011
Visão Mo<strong>de</strong>rna<br />
Um cenário <strong>de</strong> Bell é <strong>de</strong>scrito por<br />
um politopo <strong>de</strong> correlações<br />
p (a, b|x, y)<br />
Politopo <strong>de</strong> Correlações<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Politopo <strong>de</strong> Bell<br />
Wednesday, July 27, 2011
Visão Mo<strong>de</strong>rna<br />
Um cenário <strong>de</strong> Bell é <strong>de</strong>scrito por<br />
um politopo <strong>de</strong> correlações<br />
p (a, b|x, y)<br />
Politopo <strong>de</strong> Correlações<br />
p (a, b|x, y) =Tr(Π x ⊗ Π y ρ)<br />
Convexo Quântico<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Politopo <strong>de</strong> Bell<br />
Wednesday, July 27, 2011
Visão Mo<strong>de</strong>rna<br />
Um cenário <strong>de</strong> Bell é <strong>de</strong>scrito por<br />
um politopo <strong>de</strong> correlações<br />
p (a, b|x, y)<br />
Politopo <strong>de</strong> Correlações<br />
p (a|x, y) =p (a|x, y, b)<br />
p (a, b|x, y) =Tr(Π x ⊗ Π y ρ)<br />
Convexo Quântico<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Politopo <strong>de</strong> Bell<br />
Wednesday, July 27, 2011
Visão Mo<strong>de</strong>rna<br />
Um cenário <strong>de</strong> Bell é <strong>de</strong>scrito por<br />
um politopo <strong>de</strong> correlações<br />
p (a, b|x, y)<br />
Politopo <strong>de</strong> Correlações<br />
p (a|x, y) =p (a|x, y, b)<br />
Politopo <strong>de</strong> Não-sinalização<br />
p (a, b|x, y) =Tr(Π x ⊗ Π y ρ)<br />
Convexo Quântico<br />
p (a, b|x, y) =<br />
<br />
Λ<br />
p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ)<br />
Politopo <strong>de</strong> Bell<br />
Wednesday, July 27, 2011
E o Emaranhamento?<br />
Já sabemos que<br />
Por convexida<strong>de</strong><br />
Wednesday, July 27, 2011
E o Emaranhamento?<br />
Já sabemos que<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ Tr (Π x ⊗ Π y ρ A ⊗ ρ B )=Tr(Π x ρ A )Tr(Π y ρ B )<br />
Por convexida<strong>de</strong><br />
Wednesday, July 27, 2011
E o Emaranhamento?<br />
Já sabemos que<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ Tr (Π x ⊗ Π y ρ A ⊗ ρ B )=Tr(Π x ρ A )Tr(Π y ρ B )<br />
Ou seja<br />
Por convexida<strong>de</strong><br />
Wednesday, July 27, 2011
E o Emaranhamento?<br />
Já sabemos que<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ Tr (Π x ⊗ Π y ρ A ⊗ ρ B )=Tr(Π x ρ A )Tr(Π y ρ B )<br />
Ou seja<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ p (a, b|x, y) =p (a|x) p (b|y)<br />
Por convexida<strong>de</strong><br />
Wednesday, July 27, 2011
E o Emaranhamento?<br />
Já sabemos que<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ Tr (Π x ⊗ Π y ρ A ⊗ ρ B )=Tr(Π x ρ A )Tr(Π y ρ B )<br />
Ou seja<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ p (a, b|x, y) =p (a|x) p (b|y)<br />
Por convexida<strong>de</strong><br />
<br />
i<br />
p i ρ A,i ⊗ ρ B,i =⇒ p (a, b|x, y) = i<br />
p i p (a|x, i) p (b|y, i)<br />
Wednesday, July 27, 2011
E o Emaranhamento?<br />
Já sabemos que<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ Tr (Π x ⊗ Π y ρ A ⊗ ρ B )=Tr(Π x ρ A )Tr(Π y ρ B )<br />
Ou seja<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ p (a, b|x, y) =p (a|x) p (b|y)<br />
Por convexida<strong>de</strong><br />
<br />
i<br />
p i ρ A,i ⊗ ρ B,i =⇒ p (a, b|x, y) = i<br />
p i p (a|x, i) p (b|y, i)<br />
Estados separáveis não po<strong>de</strong>m violar Bell!<br />
Wednesday, July 27, 2011
E o Emaranhamento?<br />
Já sabemos que<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ Tr (Π x ⊗ Π y ρ A ⊗ ρ B )=Tr(Π x ρ A )Tr(Π y ρ B )<br />
Ou seja<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ p (a, b|x, y) =p (a|x) p (b|y)<br />
Por convexida<strong>de</strong><br />
<br />
i<br />
p i ρ A,i ⊗ ρ B,i =⇒ p (a, b|x, y) = i<br />
p i p (a|x, i) p (b|y, i)<br />
Estados separáveis não po<strong>de</strong>m violar Bell!<br />
Werner, 1989<br />
Wednesday, July 27, 2011
E o Emaranhamento?<br />
Já sabemos que<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ Tr (Π x ⊗ Π y ρ A ⊗ ρ B )=Tr(Π x ρ A )Tr(Π y ρ B )<br />
Ou seja<br />
ρ A ⊗ ρ B =⇒ p (a, b|x, y) =p (a|x) p (b|y)<br />
Por convexida<strong>de</strong><br />
<br />
i<br />
p i ρ A,i ⊗ ρ B,i =⇒ p (a, b|x, y) = i<br />
p i p (a|x, i) p (b|y, i)<br />
Estados separáveis não po<strong>de</strong>m violar Bell!<br />
E a recíproca?<br />
Werner, 1989<br />
Wednesday, July 27, 2011
Teorema <strong>de</strong> Gisin<br />
Para todo estado puro que não é produto<br />
existe uma <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong> <strong>de</strong> Bell violada.<br />
Wednesday, July 27, 2011
Teorema <strong>de</strong> Gisin<br />
Para todo estado puro que não é produto<br />
existe uma <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong> <strong>de</strong> Bell violada.<br />
E para operador <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>?<br />
Wednesday, July 27, 2011
Teorema <strong>de</strong> Gisin<br />
Para todo estado puro que não é produto<br />
existe uma <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong> <strong>de</strong> Bell violada.<br />
E para operador <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>?<br />
Eu não sei!<br />
Wednesday, July 27, 2011
Teorema <strong>de</strong> Gisin<br />
Para todo estado puro que não é produto<br />
existe uma <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong> <strong>de</strong> Bell violada.<br />
E para operador <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>?<br />
Eu não sei!<br />
Até on<strong>de</strong> sei, ninguém sabe...<br />
Wednesday, July 27, 2011
Generalizações<br />
Existem <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Bell para vários cenários.<br />
Algumas conhecidas, outras ainda por serem<br />
exploradas.<br />
Wednesday, July 27, 2011