Formato pdf - Departamento de MatemÃ¡tica

Mecânica Quântica para 

Matemáticos em Formação 

Aula 7: Desigualdades de Bell 

28 Colóquio Brasileiro de Matemática 

IMPA - 27/07/11 

Wednesday, July 27, 2011

Wednesday, July 27, 2011 

Desigualdades de Bell

Desigualdades de Bell 

O que a Mecânica Quântica tem que o mundo 

clássico não tem? 





Estratégia 





Estratégia 

Traduzir “mundo clássico” em hipóteses 

razoáveis; 





Estratégia 


razoáveis; 

Deduzir desigualdades; 





Estratégia 


razoáveis; 

Deduzir desigualdades; 

Obter violações 



Consequências Interessantes 




• Uma nova fonte de aleatoriedade 





• Uma nova maneira de compartilhar 

aleatoriedade (distribuição de chaves 

criptográficas) 





• Uma nova maneira de compartilhar 

aleatoriedade (distribuição de chaves 

criptográficas) 

Com bases científicas, 

não conjecturais ou tecnológicas! 


Abordagem do Curso 

Comece sempre pelo caso mais simples! 


Abordagem do Curso 

Comece sempre pelo caso mais simples! 

Generalizações são possíveis, 

interessantes e ainda objeto de pesquisa. 



Cenário de Bell

Ana 

Bernardo 

Cenário de Bell 


Ana 

Bernardo 



Ana 

Bernardo 



Ana 

Bernardo 



Ana 

Bernardo 



Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 


Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

Duas Entradas possíveis 


Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 



Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 


Duas Saídas possíveis 


Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 




Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 





Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 





Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 






Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 






Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 






Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 






Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 






Ana 

Bernardo 


x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

p (a, b|x, y) 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 






Hipóteses 

Realismo: O processo de medição apenas 

revela resultados pré-definidos 


Hipóteses 



Localidade: As escolhas feitas por Ana não devem 

influir nos resultados de Bernardo (e vice-versa) 


Hipóteses 





p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 


Hipóteses 





p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 

Liberdade de Escolha: Ana e Bernardo podem 

escolher à vontade os experimentos que farão 


Desigualdade CHSH 

Clauser, Horne, Shimony e Holt 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 




p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 




x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 




x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 




Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1 

x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 




Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1 

Obs: Variáveis aleatórias formam uma álgebra 

Definição: CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1 

x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 




Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1 



Constatação: Se cada variável está definida... 

x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 




Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1 




CHSH = A 0 (B 0 + B 1 )+A 1 (B 0 − B 1 )=±2 

x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 




Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1 




CHSH = A 0 (B 0 + B 1 )+A 1 (B 0 − B 1 )=±2 

Valores esperados: 

x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 




Notação: A 0 ,A 1 ,B 0 ,B 1 




CHSH = A 0 (B 0 + B 1 )+A 1 (B 0 − B 1 )=±2 

Valores esperados: 

x ∈{0, 1} 

y ∈{0, 1} 

|CHSH| ≤ 2 

a ∈ {−1, 1} 

b ∈ {−1, 1} 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 



E a Mecânica Quântica?

E a Mecânica Quântica? 

Os Observáveis também formam uma Álgebra 



Os Observáveis também formam uma Álgebra C ∗ 







CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1 




CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1 

Mas em geral: [A 0 ,A 1 ] = 0, [B 0 ,B 1 ] = 0 




CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1 


não sendo compatíveis CHSH, A x , B y . 




CHSH = A 0 B 0 + A 0 B 1 + A 1 B 0 − A 1 B 1 


não sendo compatíveis CHSH, A x , B y . 

Queremos obter uma violação... 


Rumo à violação 

Exercício 13.1: 

Ψ − |a · σ ⊗ b · σ |Ψ − = −a ·b 

|Ψ − = 1 √ 

2 

(|01−|10) 




Ψ − |a · σ ⊗ b · σ |Ψ − = −a ·b 

|Ψ − = 1 √ 

2 

(|01−|10) 

Como devemos escolher as direções se queremos 

obter uma violação de CHSH com o Singleto? 




Ψ − |a · σ ⊗ b · σ |Ψ − = −a ·b 

|Ψ − = 1 √ 

2 

(|01−|10) 

Como devemos escolher as direções se queremos 

obter uma violação de CHSH com o Singleto? 

E qual a máxima violação possível? 


Uma Escolha Simples 

A 0 = B 0 = Z 

A 1 = B 1 = X 



A 0 = B 0 = Z 

A 1 = B 1 = X 

A 0 B 0 = −1, A 0 B 1 = A 1 B 0 =0, A 1 B 1 = −1 



A 0 = B 0 = Z 

A 1 = B 1 = X 

A 0 B 0 = −1, A 0 B 1 = A 1 B 0 =0, A 1 B 1 = −1 

=⇒ CHSH =0 


Uma Escolha Boa 

A 0 = X 

A 1 = Z 

B 0 = X + Z √ 

2 

B 1 = X − Z √ 

2 



A 0 = X 

A 1 = Z 

B 0 = X + Z √ 

2 

B 1 = X − Z √ 

2 



A 0 = X 

A 1 = Z 

B 0 = X + Z √ 

2 

B 1 = X − Z √ 

2 

A 0 B 0 = A 0 B 1 = A 1 B 0 = −1 √ 

2 



A 0 = X 

A 1 = Z 

B 0 = X + Z √ 

2 

B 1 = X − Z √ 

2 

A 0 B 0 = A 0 B 1 = A 1 B 0 = −1 √ 

2 

A 1 B 1 = 1 √ 

2 



A 0 = X 

A 1 = Z 

B 0 = X + Z √ 

2 

B 1 = X − Z √ 

2 

A 0 B 0 = A 0 B 1 = A 1 B 0 = −1 √ 

2 

A 1 B 1 = 1 √ 

2 

CHSH = −2 √ 2 



A 0 = X 

A 1 = Z 

B 0 = X + Z √ 

2 

B 1 = X − Z √ 

2 

A 0 B 0 = A 0 B 1 = A 1 B 0 = −1 √ 

2 

A 1 B 1 = 1 √ 

2 

CHSH = −2 √ 2 

Vale comparar com algo já discutido... 



Historinhas...


Historinhas...

Historinhas... 

3 X 


A Escolha Ótima 

Tsirelson: 

Com Mecânica Quântica, 

|CHSH| ≤ 2 √ 2. 



Tsirelson: 


|CHSH| ≤ 2 √ 2. 

Dem.: 



Tsirelson: 


|CHSH| ≤ 2 √ 2. 

Dem.: 

A 2 x = By 2 = I =⇒ CHSH 2 =4I − [A 0 ,A 1 ] ⊗ [B 0 ,B 1 ] 



Tsirelson: 


|CHSH| ≤ 2 √ 2. 

Dem.: 

A 2 x = By 2 = I =⇒ CHSH 2 =4I − [A 0 ,A 1 ] ⊗ [B 0 ,B 1 ] 

 

CHSH 2 ≤ 8 


Pergunta Curiosa 

Por que a Mecânica Quântica não é 

mais “não-local” ainda? 





|CHSH| ≤ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

2 

2 √ 2 

4 

Clássico 

Quântico 

Algébrico 





|CHSH| ≤ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

2 

2 √ 2 

4 

Clássico 

Quântico 

Algébrico 

Teria alguma relação com não-sinalização? 





|CHSH| ≤ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

2 

2 √ 2 

4 

Clássico 

Quântico 

Algébrico 


Não!!! 





|CHSH| ≤ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

2 

2 √ 2 

4 

Clássico 

Quântico 

Algébrico 


Não!!! 

Popescu-Rohrlich 



Um pouco de história

Um pouco de história 

Von Neumann, 1932: Impossibilidade de 

Variáveis Ocultas compatíveis 





David Bohm, 1952: Faz uma teoria com 

“Variáveis Ocultas” 





David Bohm, 1952: Faz uma teoria com 

“Variáveis Ocultas” 

John Bell, 1964 a 66: “Vi o impossível feito!” 

Descobriu o erro de Von Neumann e passou a 

usar desigualdades! 



2725 



Experimentos... (Aspect 1980’s) “loopholes”... 

2725 




Ekert (1991): Como usar desigualdades de 

Bell para estabelecer uma chave 

criptográfica 

2725 







2725 

Pironio et al (2010): Desigualdades de Bell 

para certificar aleatoriedade 







2725 









2725 









2725 



ESCOLA DE ALTOS ESTUDOS DA CAPES 

Quantum Cryptography: Is There a Perfect Cipher? 

Prof. Artur Ekert 







2725 



ESCOLA DE ALTOS ESTUDOS DA CAPES 

Quantum Cryptography: Is There a Perfect Cipher? 

Prof. Artur Ekert 

16 a 29 de novembro de 2011 (data exata - a confirmar) 

Departamento de Física, ICEx - UFMG 

Belo Horizonte 

http://www.fisica.ufmg.br/~enlight/altosestudos.html 


Visão Moderna 

Um cenário de Bell é descrito por 

um politopo de correlações 









p (a, b|x, y) 

Politopo de Correlações 





p (a, b|x, y) 


p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 

Politopo de Bell 





p (a, b|x, y) 


p (a, b|x, y) =Tr(Π x ⊗ Π y ρ) 

Convexo Quântico 

p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 






p (a, b|x, y) 


p (a|x, y) =p (a|x, y, b) 

p (a, b|x, y) =Tr(Π x ⊗ Π y ρ) 


p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 






p (a, b|x, y) 


p (a|x, y) =p (a|x, y, b) 

Politopo de Não-sinalização 

p (a, b|x, y) =Tr(Π x ⊗ Π y ρ) 


p (a, b|x, y) = 

 

Λ 

p (a|x, λ) p (b, |y, λ) dµ (λ) 



E o Emaranhamento? 

Já sabemos que 

Por convexidade 




ρ A ⊗ ρ B =⇒ Tr (Π x ⊗ Π y ρ A ⊗ ρ B )=Tr(Π x ρ A )Tr(Π y ρ B ) 






Ou seja 






Ou seja 

ρ A ⊗ ρ B =⇒ p (a, b|x, y) =p (a|x) p (b|y) 






Ou seja 



 

i 

p i ρ A,i ⊗ ρ B,i =⇒ p (a, b|x, y) = i 

p i p (a|x, i) p (b|y, i) 





Ou seja 



 

i 


p i p (a|x, i) p (b|y, i) 

Estados separáveis não podem violar Bell! 





Ou seja 



 

i 


p i p (a|x, i) p (b|y, i) 


Werner, 1989 





Ou seja 



 

i 


p i p (a|x, i) p (b|y, i) 


E a recíproca? 

Werner, 1989 


Teorema de Gisin 

Para todo estado puro que não é produto 

existe uma desigualdade de Bell violada. 





E para operador densidade? 






Eu não sei! 






Eu não sei! 

Até onde sei, ninguém sabe... 


Generalizações 

Existem desigualdades de Bell para vários cenários. 

Algumas conhecidas, outras ainda por serem 

exploradas.

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