Tarefa 8
Tarefa 8 Tarefa 8
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema III – Sucessões Reais Tarefa Intermédia nº 8 1. Consideremos a seguinte sequência de figuras A esta sequência de figuras associou-se a seguinte sucessão numérica: 1.1. O que representa esta sucessão? ( u n ) : 1 7 13 19 ... 1.2. Indique o quinto termo de ( u n ) e interprete o seu valor. 1.3. Qual é o termo geral da sucessão ( u n ) ? 1.4. Justifique que se trata de uma progressão aritmética e indique a razão. 2. Considere a sucessão de termo geral an 4n + 5 = n + 1 2.1. Indique o primeiro e o vigésimo termos da sucessão. 2.2. Averigúe se 15 4 é termo da sucessão 2.3. Mostre que ( a n ) é monótona. 2.4. ( an ) é limitada? Justifique devidamente. 3. A Teresa resolveu fazer economias. Na primeira semana guardou 25 euros no mealheiro, na segunda semana colocou no mealheiro mais 5 euros do que na primeira semana, na semana seguinte guardou mais 5 euros do que na semana anterior, e assim sucessivamente. No dia seguinte àquele em que, pela centésima vez, guardou dinheiro, a Teresa decidiu depositá-lo no banco. Quanto dinheiro depositou a Teresa? FIM QUESTÃO 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3 TOTAL COTAÇÃO 10 10 10 10 10 10 10 10 20 100 Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 2010/2011
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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis<br />
11º Ano de Matemática – A<br />
Tema III – Sucessões Reais<br />
<strong>Tarefa</strong> Intermédia nº 8<br />
1. Consideremos a seguinte sequência de figuras<br />
A esta sequência de figuras associou-se a seguinte sucessão numérica:<br />
1.1. O que representa esta sucessão?<br />
( u<br />
n ) : 1 7 13 19 ...<br />
1.2. Indique o quinto termo de ( u<br />
n ) e interprete o seu valor.<br />
1.3. Qual é o termo geral da sucessão ( u<br />
n ) ?<br />
1.4. Justifique que se trata de uma progressão aritmética e indique a razão.<br />
2. Considere a sucessão de termo geral an<br />
4n + 5<br />
=<br />
n + 1<br />
2.1. Indique o primeiro e o vigésimo termos da sucessão.<br />
2.2. Averigúe se 15 4<br />
é termo da sucessão<br />
2.3. Mostre que ( a<br />
n ) é monótona.<br />
2.4. ( an<br />
) é limitada? Justifique devidamente.<br />
3. A Teresa resolveu fazer economias. Na primeira semana guardou 25 euros no mealheiro, na<br />
segunda semana colocou no mealheiro mais 5 euros do que na primeira semana, na semana<br />
seguinte guardou mais 5 euros do que na semana anterior, e assim sucessivamente. No dia<br />
seguinte àquele em que, pela centésima vez, guardou dinheiro, a Teresa decidiu depositá-lo<br />
no banco. Quanto dinheiro depositou a Teresa?<br />
FIM<br />
QUESTÃO 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3 TOTAL<br />
COTAÇÃO 10 10 10 10 10 10 10 10 20 100<br />
Professora: Rosa Canelas 1<br />
Ano Lectivo 2010/2011
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis<br />
11º Ano de Matemática – A<br />
Tema III – Sucessões Reais<br />
<strong>Tarefa</strong> Intermédia nº 8 – Proposta de resolução<br />
1. Consideremos a seguinte sequência de figuras<br />
A esta sequência de figuras associou-se a seguinte sucessão numérica:<br />
( u<br />
n ) : 1 7 13 19 ...<br />
1.1. Esta sucessão representa o número de hexágonos necessários à construção de cada<br />
figura da sequência<br />
1.2. O quinto termo de ( u<br />
n ) é u5<br />
= 19 + 6 = 25 e este valor representa o número de hexágonos<br />
necessários para construir a quinta figura da sequência.<br />
1.3. O termo geral da sucessão ( u<br />
n ) é un<br />
= 6n − 5<br />
1.4. Trata de uma progressão aritmética porque é constante a diferença entra cada termo e o<br />
u − u = 6 n + 1 − 1− 6n − 1 = 6n + 6 − 1− 6n + 1= 6 e por isso a razão é 6.<br />
anterior: ( ) ( )<br />
n+ 1<br />
n<br />
4n + 5<br />
2. Consideremos a sucessão de termo geral an<br />
=<br />
n + 1<br />
4 × 1+<br />
5 9<br />
4 × 20 + 5 85<br />
2.1. O primeiro termo é a1<br />
= = e o vigésimo termo é a20<br />
= = .<br />
1+<br />
1 2<br />
20 + 1 21<br />
2.2. Averiguemos se 15 4 é termo da sucessão: 15 4n +<br />
= 5 ⇔ 15n + 15 = 14n + 20 ⇔ n = −5<br />
.<br />
4 n + 1<br />
15<br />
4<br />
não é termo da sucessão porque − 5 ∉ IN<br />
2.3. Mostremos que ( a<br />
n ) é monótona:<br />
a<br />
n+<br />
1<br />
2 2<br />
4n + 4n + 9n + 9 − 4n − 8n − 5n − 10 −1<br />
( )<br />
( )<br />
( n + 1)( n + 2) ( n + 1)( n + 2)<br />
Concluímos que an 1<br />
an<br />
0<br />
+ − < e ( )<br />
=<br />
4 n + 1 + 5 4n + 5 4n + 9 4n + 5<br />
− an<br />
= − = − =<br />
n + 1 + 1 n + 1 n + 2 n + 1<br />
a é monótona decrescente<br />
n<br />
Professora: Rosa Canelas 2<br />
Ano Lectivo 2010/2011
2.4. ( ) n<br />
9<br />
a é limitada porque, sendo decrescente tem a1<br />
= como majorante e porque<br />
2<br />
4n + 5 n+1<br />
−4n − 4 4<br />
1<br />
minorante pois todos os termos são maiores que 4 :<br />
4n + 5 1<br />
an<br />
= = 4 + e podemos concluir que 4 é<br />
n + 1 n + 1<br />
1 1<br />
≥ 0 ⇔ 4 + ≥ 4<br />
n + 1 n + 1<br />
3. A Teresa resolveu fazer economias. Na primeira semana guardou 25 euros no mealheiro, na<br />
segunda semana colocou no mealheiro mais 5 euros do que na primeira semana, na semana<br />
seguinte guardou mais 5 euros do que na semana anterior, e assim sucessivamente. No dia<br />
seguinte àquele em que, pela centésima vez, guardou dinheiro, a Teresa decidiu depositá-lo<br />
no banco. Quanto dinheiro depositou a Teresa?<br />
O modo como a Teresa guardou as suas economias no mealheiro seguiu uma progressão<br />
aritmética de razão 5 e com primeiro termo 25 e o que pretendemos calcular é soma dos 100<br />
primeiros termos dessa progressão.<br />
• Calculemos o termo geral ( )<br />
• Calculemos u 100<br />
= 5 × 100 + 20 = 520<br />
u = 25 + 5 n − 1 ⇔ u = 5n + 20<br />
25 + 520<br />
• Calculemos a soma: S100 = × 100 ⇔ S100<br />
= 27250<br />
2<br />
Concluímos assim que a Teresa depositou 27 250 euros.<br />
n<br />
n<br />
Professora: Rosa Canelas 3<br />
Ano Lectivo 2010/2011
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis<br />
11º Ano de Matemática – A<br />
Tema III – Sucessões Reais<br />
<strong>Tarefa</strong> intermédia nº 8 – Critérios de classificação<br />
1. 40<br />
1.1. 10<br />
1.2. 10<br />
• Calcular u<br />
5<br />
5<br />
• Justificar 5<br />
1.3. 10<br />
1.4. 10<br />
• Justificar que é progressão aritmética 5<br />
• Indicar a razão 5<br />
2. 40<br />
2.1. 10<br />
9<br />
• Calcular a1<br />
= 5<br />
2<br />
• Calcular a20<br />
85<br />
= 5<br />
21<br />
2.2. 10<br />
• Resolver a equação 15 4n +<br />
= 5 ⇔ n = −5<br />
4 n + 1<br />
5<br />
• Dar a resposta 5<br />
2.3. 10<br />
• Calcular<br />
a<br />
n+<br />
1<br />
− a =<br />
n<br />
−1<br />
( n + 2)( n + 1)<br />
5<br />
• Dar a resposta 5<br />
2.4. 10<br />
• Reconhecer que a sucessão tem minorante 3<br />
Professora: Rosa Canelas 4<br />
Ano Lectivo 2010/2011
• Reconhecer que a sucessão tem majorante 5<br />
• Dar a resposta 2<br />
3. 20<br />
• Reconhecer a progressão aritmética 5<br />
• Calcular a soma de 100 termos 10<br />
• Dar a resposta 5<br />
Total 100<br />
Professora: Rosa Canelas 5<br />
Ano Lectivo 2010/2011