Filtragem no Domínio da Frequência

Filtragem no Domínio da Frequência
Disciplina: Tópicos em Computação
(Processamento Digital de Imagens)
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Algumas considerações
A frequência é diretamente relacionada a taxas espaciais de
variação;
Não é difícil associar intuitivamente frequências na transformada
com padrões de variações de intensidade em uma imagem;
O componente de variação mais lenta (µ = ν = 0) é proporcional
à intensidade média de uma imagem;
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Algumas considerações
À medida que nos distanciamos da origem da transformada, as
baixas frequências correspondem aos componentes de
intensidade de variação lenta em uma imagem;
◮ mudanças suaves de intensidade na parede e no piso da imagem
de uma sala
À medida que nos distanciamos da origem da transformada, as
frequências mais altas começam a corresponder a variações de
intensidade cada vez mais ráapidas;
◮ bordas de objetos e outros elementos, mudanças abruptas de
intensidade
Kelson Aires (kelson@ufpi.edu.br) Tóp. em Computação - Filtragem Frequência 3 / 48

Algumas considerações
As técnicas de filtragem no domínio da frequência se baseiam na
modificação da transformada de Fourier para atingir um objetivo
específico e calcular a DFT inversa para retornar ao domínio da
imagem;
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Visualização da Transformada em 2D
A transformada de Fourier Discreta bidimensional é
frequentemente visualizada como uma função de intensidade;
Para facilitar a visualização, ao invés de se apresentar |F(µ, ν)|, o
que se apresenta é a função: D(µ, ν) = clog[1+|F(µ, ν)|], onde
c é uma constante arbitrária.
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Filtragem no Domínio da Frequência
Consiste em modificar a Transformada de Fourier (DFT) de uma
imagem e depois calcular a transformada inversa (IDFT) para
obter o resultado processado;
Dada uma imagem digital, f(x, y), de tamanho M × N, a equação
básica de filtragem tem a forma:
g(x, y) = I −1 [H(µ, ν)F(µ, ν)]
onde I −1 é a IDFT, F(µ, ν) é a DFT da imagem de entrada e
H(µ, ν) é uma função filtro \ (função de transferência\ ).
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Filtragem no Domínio da Frequência
Graficamente:
H(u,v)
f(x,y) DFT X IDFT g(x,y)
H(u,v)
G(u,v)
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Filtro Básico: Notch
Um dos filtros mais simples é um filtro H(µ, ν) que é 0 no centro
da transformada e 1 em todos os outros termos de F(µ, ν);
Tem a propriedade de zerar o termo dc \ (responsável pela
intensidade média da imagem):
◮ uma média zero implica a existência de intensidades negativas
H(µ, ν) =
{
0 se (µ, ν) = (0, 0)
1 c.c.
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Filtros Básicos
Filtro Passa-Baixas (FPB)
◮ Baixas frequências estão relacionadas a intensidades de variação
lenta
◮ FPB tem a propriedade de borra uma imagem
Filtro Passa-Altas (FPA)
◮ Altas frequências estão relacionadas a mudanças abruptas de
intensidade
◮ Realçam detalhes abruptos de uma imagem
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Filtros Básicos: exemplos de FPB e FPA
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O Erro de wraparound
A convolução:
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O Erro de wraparound
A convolução considerando a periodicidade implícita da DFT:
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O Erro de wraparound
Para contornar o problema, acrescentam-se zeros (zero padding):
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O Erro de wraparound
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O Erro de wraparound
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Zero Padding em Filtros
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FIltragem no Domínio Espacial e da Frequência:
relação
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FIltragem no Domínio Espacial e da Frequência:
relação
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FIltragem no Domínio Espacial e da Frequência:
relação
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Filtro Passa-Baixa Ideal (ILPF)
Um filtro passa-baixa 2D que deixa passar, sem atenuação, todas
as frequências em um círculo de raio D 0 a partir da origem e
"recorta"todas as frequências fora desse círculo;
Determinado pela função:
H(µ, ν) =
{
1 se D(µ, ν) ≤ D0
0 se D(µ, ν) > D 0
sendo que D 0 é uma constante positiva, e D(µ, ν) é a distância
entre um ponto (µ, ν) no domínio da frequência e o centro do
retângulo de frequência.
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Filtro Passa-Baixa Ideal (ILPF)
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Filtro Passa-Baixa Ideal (ILPF)
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Filtro Passa-Baixa Ideal (ILPF)
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Filtro Passa-Baixa Butterworth
A função de transferência do filtro passa-baixa Butterworth
(BLFP) de ordem n, e com frequência de corte a uma distância
D 0 da origem é definida como
H(µ, ν) =
1
1+[D(µ, ν)/D 0 ] 2n
onde D(µ, ν) é a distância entre um ponto (µ, ν) no domínio da
frequência e o centro da função de frequência;
Diferente do filtro ideal, a função de transferência BLFP não tem
uma descontinuidade abrupta que resulta em um corte bem
definido;
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Filtro Passa-Baixa Butterworth
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Filtro Passa-Baixa Butterworth
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Filtro Passa-Baixa Butterworth
Comparando com os resultados
do ILFP:
Transição suave do
borramento em função do
aumento da frequência de
corte;
Nenhum ringing é visível
em qualquer uma das
imagens processadas;
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Filtro Passa-Baixa Gaussiano
Os filtros passa-baixa gaussianos (GLPF) de duas dimensões
têm a forma:
H(µ, ν) = e −D2 (µ,ν)/2D 2 0
sendo D(µ, ν) a distância a partir do centro do triângulo de
frequência e D 0 a frequência de corte.
◮ quando D(µ, ν) = D 0 , o GLPF é reduzido para 0, 607 de seu valor
máximo
A transformada inversa do GLPF também é uma gaussiana;
Não apresenta efeito de ringing.
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Filtro Passa-Baixa Gaussiano
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Filtro Passa-Baixa Gaussiano
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Filtros Passa-Baixa: resumo
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Filtragem Passa-Baixa: exemplos adicionais
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Filtragem Passa-Baixa: exemplos adicionais
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Filtragem Passa-Baixa: exemplos adicionais
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Filtros Passa-Alta
Aguçamento de imagens: realça componentes de alta frequência
da imagem;
Os filtros passa-alta são obtidos a partir dos filtros passa-baixa:
◮ Filtro passa-alta ideal:
◮ Filtro passa-alta Butterworth:
H IHPF = 1 − H ILPF
◮ Filtro passa-alta gaussiano:
H BHPF = 1 − H BLPF
H GHPF = 1 − H GLPF
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Filtros Passa-Alta
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Filtros Passa-Alta
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Filtro Passa-Alta Ideal
Um filtro passa-alta ideal 2D é definido como:
{
0 se D(µ, ν) ≤ D0
H(µ, ν) =
1 se D(µ, ν) > D 0
onde D 0 é a frequência de corte.
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Filtro Passa-Alta Butterworth
Um filtro passa-alta Butterworth 2D de ordem n é definido como:
onde D 0 é a frequência de corte.
1
H(µ, ν) =
1+[D 0 /D(µ, ν)] 2n
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Filtro Passa-Alta Gaussiano
Um filtro passa-alta gaussiano 2D é definido como:
onde D 0 é a frequência de corte.
H(µ, ν) = 1 − e −D2 (µ,ν)/2D 2 0
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Filtros Passa-Alta: resumo
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Filtros Rejeita-Faixa
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Filtro Passa-Faixa Gaussiano
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Filtro Passa-Faixa Butterworth
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A Transformada Rápida de Fourier - FFT
Implementar as equações da DFT não constitui tarefa simples;
FFT proporciona uma redução nos cálculos envolvidos;
Ex.: Transformada de Fourier de uma imagem 1024 × 1024
◮ DFT-2D: + 1 trilhão de operações
◮ FFT: aprox. 20 milhões
Matlab: fft
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A Transformada Rápida de Fourier
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Filtragem no Domíinio da Frequência: implementação
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Filtragem no Domíinio da Frequência: implementação
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