´Algebra â Primeira Lista de Exerc´ıcios - staticfly.net
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25. Dado um número positivo n uma forma (ineficiente) <strong>de</strong> verificar se n<br />
é primo é procurando por fatores <strong>de</strong> n. Mostre que basta procurar<br />
fatores menores que √ n.<br />
26. Determine se existem inteiros positivos x, y e z que satisfaçam a equação<br />
2 · 3 4 · 26 y = 39 z .<br />
27. Seja k > 1 um inteiro. Mostre que os número k!+2, k!+3, . . . , k!+k são<br />
todos compostos. Conclua que por maior que seja m sempre existem<br />
m números compostos consecutivos.<br />
28. Seja p um número primo positivo. Consi<strong>de</strong>re o conjunto Z[ √ p] =<br />
{a + b √ p | a, b ∈ Z} . Se x = a + b √ p e y = a ′ + b ′√ p são dois<br />
elementos <strong>de</strong> Ϝ[ √ p] <strong>de</strong>fina as seguintes operações:<br />
• soma x + y = (a + a ′ ) + (b + b ′ ) √ p;<br />
• produto x · y = (aa ′ + bb ′ p) + (ab ′ + ba ′ ) √ p.<br />
Mostre que, com estas operações, Z[ √ p] é um domínio <strong>de</strong> integrida<strong>de</strong>.<br />
29. Mostre ainda que se trocarmos, na questão anterior, o conjunto Z por<br />
Q, então, com as mesmas <strong>de</strong>finições, obteremos um corpo.<br />
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