´Algebra – Primeira Lista de Exerc´ıcios - staticfly.net

25. Dado um número positivo n uma forma (ineficiente) de verificar se n
é primo é procurando por fatores de n. Mostre que basta procurar
fatores menores que √ n.
26. Determine se existem inteiros positivos x, y e z que satisfaçam a equação
2 · 3 4 · 26 y = 39 z .
27. Seja k > 1 um inteiro. Mostre que os número k!+2, k!+3, . . . , k!+k são
todos compostos. Conclua que por maior que seja m sempre existem
m números compostos consecutivos.
28. Seja p um número primo positivo. Considere o conjunto Z[ √ p] =
{a + b √ p | a, b ∈ Z} . Se x = a + b √ p e y = a ′ + b ′√ p são dois
elementos de Ϝ[ √ p] defina as seguintes operações:
• soma x + y = (a + a ′ ) + (b + b ′ ) √ p;
• produto x · y = (aa ′ + bb ′ p) + (ab ′ + ba ′ ) √ p.
Mostre que, com estas operações, Z[ √ p] é um domínio de integridade.
29. Mostre ainda que se trocarmos, na questão anterior, o conjunto Z por
Q, então, com as mesmas definições, obteremos um corpo.
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