´Algebra – Primeira Lista de Exerc´ıcios - staticfly.net

(b) D = -25, d= 7;
(c) D = 25, d= -7;
(d) D = -25, d= -7;
6. Se o quociente e o resto da divisão de a por b são respectivamente
q e r, estabeleça fórmulas, em função desses valores, que permitam
determinar o quociente e o resto da divisão de a por −b e de −a por
b. Verfique sua resposta com casos particulares.
7. Seja a um número inteiro. Mostre que
(a) se a 2 é par, então a é par;
(b) se a 2 é divisível por 3, então a é divisível por 3.
8. Questões de provões passados:
(a) (2000) Mostre que, se um inteiro é, ao mesmo tempo, um cubo
e um quadrado então ele é da forma 5n, 5n + 1 ou 5n + 4.
(b) (2000) Usando o item (b) da questão anterior, prove que, se a e b
são inteiros tais que 3 divide a 2 + b 2 , então a e b são divisíveis
por 3.
(c) (20001) Seja n um número natural. Prove que a divisão de n 2
por 6 nunca deixa resto 2.
(d) 2002) O resto da divisão de um inteiro n por 20 é 8. Qual é o
resto da divisão de n por 5?
9. Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3
e por 4.
10. Mostre que:
(a) todo quadrado perfeito é da forma 5k ou 5k ± 1;
(b) se três inteiros positivos verificam a 2 = b 2 + c 2 , então um deles é
multiplo de 2 e um múltiplo de 5.
(c) a soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um
quadrado perfeito.
11. Para cada par de números a e b abaixo determine os inteiros r e s tais
que mdc(a, b) = r · a + s · b:
(a) 637 e 3887;
4