´Algebra – Primeira Lista de Exerc´ıcios - staticfly.net

4. Use o princípio de indução finita para demonstrar os seguintes resultados:
n∑
(a) 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = (2k − 1) = n 2
(b) 1 + 2 + · · · + n =
n∑
k =
k=1
(c) 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 =
(d) 1 3 + 2 3 + · · · + n 3 =
(e)
k=1
n(n + 1)
2
n∑
k 2 n(n + 1)(2n + 1)
=
6
n∑
[ ] n(n + 1) 2
k 3 =
2
k=1
k=1
1
1 · 2 + 1
2 · 3 + · · · + 1
n · (n + 1) =
n∑
k=1
1
k(k + 1) =
n
n + 1
(f) Uma progressão aritmética (P. A.) de primeiro termo a e razão
r é uma sequência (a n ) n≥1 = a 1 , a 2 , a 3 , . . . tal que a 1 = a e a n =
a n−1 + r, ∀n > 1. Mostre que
i. O termo geral a n tem a forma
a n = a 1 + (n − 1)r
ii. Usando o item anterior, moste que a soma dos n primeiros
termos de uma P.A., usualmente denotada por
é dada por
S n =
n∑
a k = a 1 + a 2 + · · · + a n ,
k=1
S n = (a 1 + a n )n
2
(g) Uma progressão geométrica (P. G.) de primeiro termo a e razão
q é uma sequência (a n ) n≥1 = a 1 , a 2 , a 3 , . . . tal que a 1 = a e a n =
a n−1 · q, ∀n > 1. Mostre que
i. O termo geral a n tem a forma
a n = a 1 · q n−1
2