´Algebra â Primeira Lista de Exerc´ıcios - staticfly.net
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4. Use o princípio <strong>de</strong> indução finita para <strong>de</strong>monstrar os seguintes resultados:<br />
n∑<br />
(a) 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = (2k − 1) = n 2<br />
(b) 1 + 2 + · · · + n =<br />
n∑<br />
k =<br />
k=1<br />
(c) 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 =<br />
(d) 1 3 + 2 3 + · · · + n 3 =<br />
(e)<br />
k=1<br />
n(n + 1)<br />
2<br />
n∑<br />
k 2 n(n + 1)(2n + 1)<br />
=<br />
6<br />
n∑<br />
[ ] n(n + 1) 2<br />
k 3 =<br />
2<br />
k=1<br />
k=1<br />
1<br />
1 · 2 + 1<br />
2 · 3 + · · · + 1<br />
n · (n + 1) =<br />
n∑<br />
k=1<br />
1<br />
k(k + 1) =<br />
n<br />
n + 1<br />
(f) Uma progressão aritmética (P. A.) <strong>de</strong> primeiro termo a e razão<br />
r é uma sequência (a n ) n≥1 = a 1 , a 2 , a 3 , . . . tal que a 1 = a e a n =<br />
a n−1 + r, ∀n > 1. Mostre que<br />
i. O termo geral a n tem a forma<br />
a n = a 1 + (n − 1)r<br />
ii. Usando o item anterior, moste que a soma dos n primeiros<br />
termos <strong>de</strong> uma P.A., usualmente <strong>de</strong>notada por<br />
é dada por<br />
S n =<br />
n∑<br />
a k = a 1 + a 2 + · · · + a n ,<br />
k=1<br />
S n = (a 1 + a n )n<br />
2<br />
(g) Uma progressão geométrica (P. G.) <strong>de</strong> primeiro termo a e razão<br />
q é uma sequência (a n ) n≥1 = a 1 , a 2 , a 3 , . . . tal que a 1 = a e a n =<br />
a n−1 · q, ∀n > 1. Mostre que<br />
i. O termo geral a n tem a forma<br />
a n = a 1 · q n−1<br />
2