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Álgebra – Primeira Lista de Exercícios
prof. Esdras Jafet A da Silva
2011.2
Obs.: Esta é uma lista parcial e estará em constante atualização durante
o curso. Visite regularmente o site do curso:
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1. A propriedades básicas das operações que atribuem a Z a estrutura
de domínio bem ordenado são suficientes para demonstrar, rigorosamente,
alguns resultados aritméticos elementares. Tente escrever uma
justificativa para a regra dos sinais na operação de multiplicação, isto
é (−1)(−1) = 1. Siga os seguintes passos:
(a) Mostre que a · 0 = 0, ∀a ∈ Z.
(b) Mostre que −1 · a = −a.
(c) Mostre que (−1)(−1) = 1.
2. Seja A um domínio bem ordenado e a, b, r ∈ A. Mostre que:
(a) |a| ≥ 0, ∀a ∈ A;
(b) |a| ≤ r ⇔ −r ≤ a ≤ r;
(c) |a + b| ≤ |a| + |b|;
(d) ||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|.
3. Sejam a e b dois inteiros. Vamos mostrar que a · b = 1, se e somente
se a = b = ±1.
(a) Mostre que o conjunto S = {x | 0 < x < 1} é vazio.
(b) Use o item anterior para mostrar que |a| = |b| = 1.
(c) Conclua que a = b = ±1.
1

4. Use o princípio de indução finita para demonstrar os seguintes resultados:
n∑
(a) 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = (2k − 1) = n 2
(b) 1 + 2 + · · · + n =
n∑
k =
k=1
(c) 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 =
(d) 1 3 + 2 3 + · · · + n 3 =
(e)
k=1
n(n + 1)
2
n∑
k 2 n(n + 1)(2n + 1)
=
6
n∑
[ ] n(n + 1) 2
k 3 =
2
k=1
k=1
1
1 · 2 + 1
2 · 3 + · · · + 1
n · (n + 1) =
n∑
k=1
1
k(k + 1) =
n
n + 1
(f) Uma progressão aritmética (P. A.) de primeiro termo a e razão
r é uma sequência (a n ) n≥1 = a 1 , a 2 , a 3 , . . . tal que a 1 = a e a n =
a n−1 + r, ∀n > 1. Mostre que
i. O termo geral a n tem a forma
a n = a 1 + (n − 1)r
ii. Usando o item anterior, moste que a soma dos n primeiros
termos de uma P.A., usualmente denotada por
é dada por
S n =
n∑
a k = a 1 + a 2 + · · · + a n ,
k=1
S n = (a 1 + a n )n
2
(g) Uma progressão geométrica (P. G.) de primeiro termo a e razão
q é uma sequência (a n ) n≥1 = a 1 , a 2 , a 3 , . . . tal que a 1 = a e a n =
a n−1 · q, ∀n > 1. Mostre que
i. O termo geral a n tem a forma
a n = a 1 · q n−1
2

ii. Usando o item anterior, moste que a soma dos n primeiros
termos de uma P.A., usualmente denotada por
é dada por
S n =
n∑
a k = a 1 + a 2 + · · · + a n ,
k=1
S n = a 1
q n − 1
q − 1
(h) (Binômio de Newton) Dado um natural n define-se
⎧
⎪⎨ 1 se n = 0
n! =
n∏
⎪⎩
k = 1 · 2 · 3 . . . n se n ≥ 1
k=1
Para cada natural n e 0 ≤ i ≤ n define-se o número binomial
( ) n n!
=
i i!(n − i)!
Usando estas definições prove:
i. (relação de Stifel) Para todo natural n se 0 ≤ i ≤ n, então
( ) ( ) ( )
n n n + 1
+ =
i i − 1 i
ii. Usando o item anterior, mostre que para cada n e 0 ≤ i ≤ n
naturais, o número binomial
( n
i
)
é sempre um número inteiro.
iii. Conclua mostrando a fórmula para o binômio de Newton,
isto é, dados a e b dois números reais, tem-se
(a + b) n =
n∑
k=0
5. Ache q e r na divisão euclideana quando:
(a) D = 25, d= 7;
( n
k)
a k b n−k
3

(b) D = -25, d= 7;
(c) D = 25, d= -7;
(d) D = -25, d= -7;
6. Se o quociente e o resto da divisão de a por b são respectivamente
q e r, estabeleça fórmulas, em função desses valores, que permitam
determinar o quociente e o resto da divisão de a por −b e de −a por
b. Verfique sua resposta com casos particulares.
7. Seja a um número inteiro. Mostre que
(a) se a 2 é par, então a é par;
(b) se a 2 é divisível por 3, então a é divisível por 3.
8. Questões de provões passados:
(a) (2000) Mostre que, se um inteiro é, ao mesmo tempo, um cubo
e um quadrado então ele é da forma 5n, 5n + 1 ou 5n + 4.
(b) (2000) Usando o item (b) da questão anterior, prove que, se a e b
são inteiros tais que 3 divide a 2 + b 2 , então a e b são divisíveis
por 3.
(c) (20001) Seja n um número natural. Prove que a divisão de n 2
por 6 nunca deixa resto 2.
(d) 2002) O resto da divisão de um inteiro n por 20 é 8. Qual é o
resto da divisão de n por 5?
9. Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3
e por 4.
10. Mostre que:
(a) todo quadrado perfeito é da forma 5k ou 5k ± 1;
(b) se três inteiros positivos verificam a 2 = b 2 + c 2 , então um deles é
multiplo de 2 e um múltiplo de 5.
(c) a soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um
quadrado perfeito.
11. Para cada par de números a e b abaixo determine os inteiros r e s tais
que mdc(a, b) = r · a + s · b:
(a) 637 e 3887;
4

(b) 7325 e 8485;
(c) 987654321 e 123456789.
12. Dois números a e b são ditos primos entre si ou co-primos se mdc(a, b) =
1. Mostre que se d = mdc(a, b), então a d e b d
são primos entre si.
13. Mostre que se n é ímpar, então n(n 2 − 1) é divisível por 24.
14. Defina o mínimo múltiplo comum entre dois inteiros a e b e estabeleça
a relação entre ele e o máximo divisor comum.
15. Mostre que se um número natural n possui uma quantidade ímpar de
divisores postivos então n é uma quadrado perfeito.
16. Ache os possíveis valores de n, m ∈ N, de modo que o número 9 m 10 n
tenha:
(a) 27 divisores;
(b) 243 divisores.
17. Caracterize os inteiros positivos que admitem:
(a) Um só divisor além de 1 e ele próprio;
(b) um número primo de divisores.
18. Mostre que o único número primo n tal que 3n + 1 é um quadrado é
5.
19. Mostre que se p, p + 2 e p + 4 são primos, então p = 3.
20. (provão - 2002) Qual é o menor valor do número natural n que torna
n! divisível por 1000?
21. (vestibular - 1993) Qual o maior valor de n tal que 3 n divide 20!?
22. Mostre que a soma de todos os número naturais menores ou iguais a
n divide o seu produto se e somente se, n + 1 é composto.
23. Seja a e b inteiros não ambos nulos. Se d = mdc(a, b), então a d e b d
são co-primos.
24. Mostre que se m e n são inteiros positivos, então n√ m ou é inteiro ou
é irracional.
5

25. Dado um número positivo n uma forma (ineficiente) de verificar se n
é primo é procurando por fatores de n. Mostre que basta procurar
fatores menores que √ n.
26. Determine se existem inteiros positivos x, y e z que satisfaçam a equação
2 · 3 4 · 26 y = 39 z .
27. Seja k > 1 um inteiro. Mostre que os número k!+2, k!+3, . . . , k!+k são
todos compostos. Conclua que por maior que seja m sempre existem
m números compostos consecutivos.
28. Seja p um número primo positivo. Considere o conjunto Z[ √ p] =
{a + b √ p | a, b ∈ Z} . Se x = a + b √ p e y = a ′ + b ′√ p são dois
elementos de Ϝ[ √ p] defina as seguintes operações:
• soma x + y = (a + a ′ ) + (b + b ′ ) √ p;
• produto x · y = (aa ′ + bb ′ p) + (ab ′ + ba ′ ) √ p.
Mostre que, com estas operações, Z[ √ p] é um domínio de integridade.
29. Mostre ainda que se trocarmos, na questão anterior, o conjunto Z por
Q, então, com as mesmas definições, obteremos um corpo.
6