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k=1<br />
exercícios <strong>de</strong> revisão<br />
A i<strong>de</strong>ia é muito simples. Começamos por escrever p(k) como combinação linear <strong>de</strong><br />
polinómios da forma k, k(k − 1), k(k − 1)(k − 2) etc..<br />
Suponhamos que p(k) = A 1 k + A 2 k(k − 1) + · · · . Deste modo<br />
n∑<br />
n∑<br />
p(k) x k = [A 1 k + A 2 k(k − 1) + · · · ] x k<br />
=<br />
k=1<br />
n∑<br />
A 1 k x k +<br />
k=1<br />
= A 1 x<br />
= A 1 x<br />
n∑<br />
A 2 k(k − 1) x k + · · ·<br />
k=1<br />
n∑<br />
k x k−1 + A 2 x 2<br />
k=1<br />
n∑<br />
k x k−1 + A 2 x 2<br />
n∑<br />
k(k − 1) x k−2 + · · ·<br />
k=1<br />
k=1<br />
k=2<br />
n∑<br />
k(k − 1) x k−2 + · · ·<br />
Resta-nos então saber calcular expressões “fechadas” para as somas<br />
n∑<br />
n∑<br />
n∑<br />
k x k ,<br />
k(k − 1) x k−1 ,<br />
k(k − 1)(k − 2) x k−2 , · · ·<br />
k=1<br />
k=2<br />
k=3<br />
ou seja, para as somas (com a notação usual para as <strong>de</strong>rivadas)<br />
( n∑<br />
) ′<br />
x k ,<br />
k=0<br />
x k ) ′′<br />
,<br />
x k ) ′′′<br />
, · · ·<br />
( n∑<br />
k=0<br />
( n∑<br />
k=0<br />
Uma vez que, se x ≠ 1,<br />
n∑<br />
k=2<br />
n∑<br />
k=1<br />
n∑<br />
k=0<br />
x k = xn+1 − 1<br />
, po<strong>de</strong>mos concluir que, para x ≠ 1,<br />
x − 1<br />
kx k−1 = nxn+1 − (n + 1)x n + 1<br />
(x − 1) 2<br />
k(k − 1)x k−2 = (n − n2 )x n+1 + 2(n 2 − 1)x n − (n 2 + n)x n−1 + 2<br />
(x − 1) 3<br />
.<br />
Note-se ainda que se x = 1 po<strong>de</strong>mos aplicar limites.<br />
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