0. Exercícios de Revisão
0. Exercícios de Revisão 0. Exercícios de Revisão
exercícios de revisão A conjectura de Collatz afirma que, se k ∈ Z então a sucessão (T n (k)) n∈N , obtida por aplicação sucessiva de T a k atinge o número 1, se k > 0, um dos números −1, −5 ou −17, se k < 0, entrando depois em ciclo. a) Encontre a sucessão obtida a partir de n = 29. b) Mostre que a sucessão obtida para n = (2 k − 1)/3, onde k é um inteiro positivo par, atinge o inteiro 1. 2. Uma expansão de Cantor de um inteiro positivo n é n = a m m! + a m−1 (m − 1)! + · · · + a 2 2! + a 1 1! onde a j é um inteiro com 0 ≤ a j ≤ j. a) Determine uma expansão de Cantor de 14, 56 e 384. b) Mostre que, dado n ∈ N existe uma e uma só expansão de Cantor para n. 3. Seja S ⊆ {1, 2, . . . , 2n} tal que ∀a, b ∈ S [ a|b ⇒ a = b ]. a) Faça n = 6 e encontre os subconjuntos de {1, 2, . . . , 12} que satisfazem a condição acima. b) Para n ∈ N, qual o maior número possível de elementos que S pode ter? 4. Seja n ∈ N e considere n inteiros (não necessariamente distintos). Mostre que existe uma escolha de alguns deles cuja soma é múltipla de n. De seguida vamos aplicar alguns (poucos) conhecimentos de análise diferencial para o cálculo de algumas somas finitas. Estamos a pensar em somas do tipo n∑ p(k) x k em que p(k) é um polinómio. k=1 8
k=1 exercícios de revisão A ideia é muito simples. Começamos por escrever p(k) como combinação linear de polinómios da forma k, k(k − 1), k(k − 1)(k − 2) etc.. Suponhamos que p(k) = A 1 k + A 2 k(k − 1) + · · · . Deste modo n∑ n∑ p(k) x k = [A 1 k + A 2 k(k − 1) + · · · ] x k = k=1 n∑ A 1 k x k + k=1 = A 1 x = A 1 x n∑ A 2 k(k − 1) x k + · · · k=1 n∑ k x k−1 + A 2 x 2 k=1 n∑ k x k−1 + A 2 x 2 n∑ k(k − 1) x k−2 + · · · k=1 k=1 k=2 n∑ k(k − 1) x k−2 + · · · Resta-nos então saber calcular expressões “fechadas” para as somas n∑ n∑ n∑ k x k , k(k − 1) x k−1 , k(k − 1)(k − 2) x k−2 , · · · k=1 k=2 k=3 ou seja, para as somas (com a notação usual para as derivadas) ( n∑ ) ′ x k , k=0 x k ) ′′ , x k ) ′′′ , · · · ( n∑ k=0 ( n∑ k=0 Uma vez que, se x ≠ 1, n∑ k=2 n∑ k=1 n∑ k=0 x k = xn+1 − 1 , podemos concluir que, para x ≠ 1, x − 1 kx k−1 = nxn+1 − (n + 1)x n + 1 (x − 1) 2 k(k − 1)x k−2 = (n − n2 )x n+1 + 2(n 2 − 1)x n − (n 2 + n)x n−1 + 2 (x − 1) 3 . Note-se ainda que se x = 1 podemos aplicar limites. 9
- Page 1 and 2: 0. Exercícios de Revisão Neste ca
- Page 3 and 4: exercícios de revisão conhecidos
- Page 5 and 6: exercícios de revisão 3. Mostre q
- Page 7: exercícios de revisão Os próximo
exercícios <strong>de</strong> revisão<br />
A conjectura <strong>de</strong> Collatz afirma que, se k ∈ Z então a sucessão (T n (k)) n∈N , obtida<br />
por aplicação sucessiva <strong>de</strong> T a k atinge o número 1, se k > 0, um dos números<br />
−1, −5 ou −17, se k < 0, entrando <strong>de</strong>pois em ciclo.<br />
a) Encontre a sucessão obtida a partir <strong>de</strong> n = 29.<br />
b) Mostre que a sucessão obtida para n = (2 k − 1)/3, on<strong>de</strong> k é um inteiro<br />
positivo par, atinge o inteiro 1.<br />
2. Uma expansão <strong>de</strong> Cantor <strong>de</strong> um inteiro positivo n é<br />
n = a m m! + a m−1 (m − 1)! + · · · + a 2 2! + a 1 1!<br />
on<strong>de</strong> a j é um inteiro com 0 ≤ a j ≤ j.<br />
a) Determine uma expansão <strong>de</strong> Cantor <strong>de</strong> 14, 56 e 384.<br />
b) Mostre que, dado n ∈ N existe uma e uma só expansão <strong>de</strong> Cantor para n.<br />
3. Seja S ⊆ {1, 2, . . . , 2n} tal que<br />
∀a, b ∈ S [ a|b ⇒ a = b ].<br />
a) Faça n = 6 e encontre os subconjuntos <strong>de</strong> {1, 2, . . . , 12} que satisfazem a<br />
condição acima.<br />
b) Para n ∈ N, qual o maior número possível <strong>de</strong> elementos que S po<strong>de</strong> ter?<br />
4. Seja n ∈ N e consi<strong>de</strong>re n inteiros (não necessariamente distintos). Mostre que<br />
existe uma escolha <strong>de</strong> alguns <strong>de</strong>les cuja soma é múltipla <strong>de</strong> n.<br />
De seguida vamos aplicar alguns (poucos) conhecimentos <strong>de</strong> análise diferencial para<br />
o cálculo <strong>de</strong> algumas somas finitas. Estamos a pensar em somas do tipo<br />
n∑<br />
p(k) x k<br />
em que p(k) é um polinómio.<br />
k=1<br />
8
Change language