0. Exercícios de Revisão

exercícios de revisão
Os próximos exercícios podem ser resolvidos procurando uma fórmula de recorrência.
1. Considere n rectas no plano tais que: duas quaisquer delas são concorrentes; não
existem três delas que se intersectem num mesmo ponto.
Em quantas regiões “fica o plano dividido”?
2. Seja D a região aberta delimitada por duas rectas paralelas. Considere m pontos,
A 1 , . . . , A m , numa das rectas e n pontos, B 1 , . . . , B n na outra. Para i ∈
{1, 2, . . . , m} e j ∈ {1, 2, . . . , n} considere a recta r i,j , definida pelos pontos A i e
B j . Suponha ainda que destas (nm) rectas, não existem três que se intersectem
num mesmo ponto de D.
Quantos são os pontos de intersecção das rectas acima definidas que pertencem a
D?
Vejamos exemplos que podem ter algum cariz computacional. O primeiro desses
exemplos é relativa à chamada conjectura de Collatz.
Há muita literatura sobre esta conjectura e generalizações. Dois exemplos:
• na página http://www.numbertheory.org/php/collatz.html pode fazer algumas
experiências.
• na página http://math.scranton.edu/monks/software/Collatz/Collatz.html pode
encontrar rotinas para o Maple para o estudo desta conjectura.
1. Considere a função T definida por T : Z −→ Z.
{ n
2
se n é par
n ↦→
3n+1
2
se n é ímpar
Para cada k ∈ Z, podemos criar a sucessão (T n (k)) n∈N0 em que T 0 (k) = k e
T m (k) = T (T m−1 (k)) se m ∈ N.
Por exemplo, para k = 7, definimos a sucessão:
7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1, 2, 1, 2, ...
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