0. Exercícios de Revisão

exercícios de revisão
16. Sejam m, n inteiros primos entre si e maiores que 1. Mostre que
Sugestão: Calcule [ mk
n
n−1
∑
k=1
17. Para que valores de n ∈ N,
[ ] mk
=
n
(m − 1)(n − 1)
.
2
] [ ]
+
m(n−k)
n
, para k ∈ {1, . . . , n − 1}.
n∑
j
j=1
divide
n∏
j.
j=1
Os dois próximos exercícios são relativos à chamada série harmónica. O primeiro
mostra que a sucessão (S n ) n∈N das somas parciais da série só é um número inteiro se
n = 1. E o segundo refere-se às chamadas fracções egípcias, que são as somas de elementos
diferentes da série harmónica. O exercício 2 fornece um algoritmo para escrever
um número racional como fracção egípcia.
1. Sejam n ∈ N e k a maior potência de 2 menor ou igual a n.
a) Mostre que não existe a ∈ N tal que a < n, a ≠ 2 k e 2 k |a.
b) Conclua que 1 + 1 2 + · · · + 1 n
não é um inteiro.
2. a) Mostre que, se n ∈ N então 1 n = 1
n+1 + 1
n(n+1) .
b) Mostre que todo o número racional positivo é soma de um número finito de
termos (não necessariamente seguidos) da série harmónica.
Nota: Usando o algoritmo referido acima
2
3
= 1 3 + 1 3 = 1 3 + 1 4 + 1 12 .
Mas existe uma decomposição “mais simples”: 2 3 = 1 2 + 1 6 .
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