0. Exercícios de Revisão

exercícios de revisão
conhecidos são primos de Mersenne, tendo o maior deles, 2 25964951 −1, 7816230 dígitos.
Não se sabe também se existe uma infinidade primos de Mersenne. A pagina
http://www.mersenne.org/ tem informação actualizada sobre estes números.
De seguida vejamos alguns resultados simples sobre a distribuição dos números primos.
Os dois primeiros resultados podem entrar como primeiros passos na pesquisa de
divisores de um dado número. Vamos denotar por P o conjunto dos números primos.
1. Mostre que, se o menor factor primo do inteiro positivo n é maior que √ n, então
n é primo ou 1.
2. Mostre que, se o menor factor primo p do inteiro positivo n é maior que 3√ n,
então n/p é primo ou 1.
3. Mostre que, se p ∈ N e p, p + 2 e p + 4 são primos, então p = 3.
Nota: Não se sabe se existe uma infinidade de pares (p, p + 2) tais que p e p + 2
são números primos. Estes pares de primos dizem-se primos gémeos. Como
exemplos temos: (3, 5), (5, 7), (5, 7), (11, 13) e (17, 19). Sabe-se que, tirando o
par (3, 5) todos os outros pares de primos gémeos são da forma (6n − 1, 6n + 1).
Apesar de não se saber se existe uma infinidade de pares de primos gémeos sabe-se
que
∑
(p,p+2)∈P 2 1
p
é convergente.
Compare este resultado com alínea c) do exercício 7,
4. Mostre que os termos de uma progressão aritmética de razão positiva não podem
ser todos primos.
Nota: O chamado teorema de Dirichlet diz que numa progressão aritmética se o
primeiro termo (ou outro qualquer) e a razão forem números inteiros primos entre
si então nessa progressão aritmética existe uma infinidade de números primos.
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