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Resumo<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong><br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong><br />
Luís Caldas de Oliveira<br />
lco@ist.utl.pt<br />
<strong>Sinais</strong> de tempo contínuo e discreto<br />
Transformações da variável independente<br />
<strong>Sinais</strong> básicos: impulso, escalão e exponencial.<br />
<strong>Sistemas</strong> contínuos e discretos<br />
Propriedades básicas dos sistemas<br />
Instituto Superior Técnico<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.1/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.2/50<br />
Sinal Acústico<br />
Sinal em Tempo Contínuo<br />
Se s for um sinal acústico:<br />
s : Tempo → Pressão<br />
Podemos representá-lo na forma de uma função:<br />
∀t ∈ , s(t) = . . .<br />
s : → <br />
Um sinal x(t) em tempo contínuo é uma função de uma<br />
variável contínua.<br />
∀t ∈ , x(t) = . . .<br />
x : → <br />
Passaremos a denominar estes sinais pela forma<br />
abreviada de sinais contínuos.<br />
Pressão<br />
.<br />
.<br />
Tempo<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.3/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.4/50
Valor de Fecho do PSI-20<br />
Sinal em Tempo Discreto<br />
O valor inicial (base) do PSI-20 é de 3000 pontos e é<br />
calculado por referência aos preços de fecho da<br />
sessão de bolsa de 31 de Dezembro de 1992.<br />
Exemplo:<br />
{. . . , 7309, 7321, 7315, 7327, 7325, . . .}<br />
Um sinal x(n) em tempo discreto é uma função de uma<br />
variável discreta:<br />
∀n ∈ , x(n) = . . .<br />
x : → <br />
Passaremos a denominar estes sinais pela forma<br />
abreviada de sinais discretos.<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.5/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.6/50<br />
Amostragem de <strong>Sinais</strong> Contínuos<br />
Problema<br />
Muitos dos sinais em tempo discreto resultam da<br />
amostragem de sinais em tempo contínuo (x c (t)):<br />
x(n) = x c (nT), ∀n ∈ <br />
Determinar taxa de compressão de uma faixa de música<br />
de um disco compacto ao ser codificada em mpeg-3 a 128<br />
Kb/s.<br />
em que x c (t) é uma função da variável t ∈ e T é o<br />
período de amostragem.<br />
... ...<br />
.<br />
T<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.7/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.8/50
Codificação da amplitude<br />
Energia<br />
Para além da amostragem temporal, a amplitude do sinal<br />
pode também ser codificada usando um número finito de<br />
bits. No caso de uma codificação linear de 16 bits em<br />
complemento para 2:<br />
s : → {−32768, . . . , 32767}<br />
No caso de uma imagem quadrada com 512x512 pixeis de<br />
com 8 bits por cada componente RGB (24 bits):<br />
i : {0, . . . , 511} 2 → {0, . . . , 255} 3<br />
Convencionou-se definir a energia de um sinal como<br />
sendo:<br />
E ∞ =<br />
∫ +∞<br />
−∞<br />
|x(t)| 2 dt.<br />
De forma análoga para o caso discreto:<br />
E ∞ =<br />
+∞∑<br />
n=−∞<br />
|x(n)| 2 .<br />
.<br />
.<br />
Podem existir sinais com energia infinita!<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.9/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.10/50<br />
Potência<br />
Deslocamento Temporal<br />
Com base na definição de energia, podemos também<br />
definir a potência média de um sinal:<br />
x(n)<br />
∫<br />
1 +T<br />
P ∞ = lim |x(t)| 2 dt.<br />
T→∞ 2T −T<br />
De forma análoga para o caso discreto:<br />
y(t) = x(t − t 0 )<br />
... ...<br />
0<br />
t<br />
y(n)<br />
1<br />
P ∞ = lim<br />
N→∞ 2N + 1<br />
+N∑<br />
n=−N<br />
|x(n)| 2 .<br />
...<br />
0<br />
t 0<br />
t<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.11/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.12/50
Problema<br />
Inversão Temporal<br />
x(n)<br />
x(n)<br />
... ...<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7 n<br />
y(n) = x(n − n 0 )<br />
... ...<br />
y(n)<br />
... ...<br />
Qual o valor de n 0 ?<br />
y(t) = x(−t)<br />
y(n)<br />
0 t<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7 n<br />
...<br />
0<br />
t<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.13/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.14/50<br />
Escalamento Temporal<br />
Problema<br />
y(t) = x(at), a ∈ <br />
x(n)<br />
... ...<br />
0 t<br />
y(n)<br />
x(n)<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
... ...<br />
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 n<br />
Determine a sequência<br />
definida por:<br />
y(n) = x(3 − n)<br />
...<br />
0<br />
t<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.15/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.16/50
Sinal Periódico Contínuo<br />
Sinal Periódico Discreto<br />
Um sinal contínuo diz-se periódico se se mantiver<br />
inalterado por um deslocamento temporal de valor T:<br />
x(t) = x(t + T), T ∈ <br />
Ao menor valor positivo de T dá-se o nome de período<br />
fundamental (T 0 ).<br />
Identicamente ao caso contínuo, um sinal discreto diz-se<br />
periódico se se mantiver inalterado por um deslocamento<br />
temporal de N amostras:<br />
x(n) = x(n + N), N ∈ <br />
Ao menor valor inteiro positivo de N dá-se o nome de<br />
período fundamental (N 0 ).<br />
A amostragem de um sinal periódico contínuo nem sempre<br />
resulta num sinal periódico discreto.<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.17/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.18/50<br />
<strong>Sinais</strong> Pares e Ímpares<br />
Componente Par e Ímpar<br />
Um sinal é par se for<br />
igual à sua inversão<br />
temporal<br />
...<br />
x(n)<br />
...<br />
0 t<br />
Qualquer sinal pode ser decomposto na soma de um sinal<br />
par com um sinal ímpar:<br />
x(t) = x e (t) + x o (t)<br />
x(t) = x(−t)<br />
Um sinal é ímpar se:<br />
x(t) = −x(−t)<br />
...<br />
y(n)<br />
...<br />
t<br />
x e (t) = 1 [x(t) + x(−t)]<br />
2<br />
x o (t) = 1 2 [x(t) − x(−t)] <strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.20/50<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.19/50
Exemplo<br />
Impulso Unitário Discreto<br />
.<br />
Determinar a componente par e ímpar do sinal:<br />
x(t)<br />
2<br />
...<br />
1<br />
...<br />
−2 −1 0 1 2<br />
t<br />
.<br />
δ(n) =<br />
{ 0, n 0.<br />
1, n = 0.<br />
δ(n)<br />
... ...<br />
−4 −3 −2 −1<br />
Qualquer sequência pode ser expressa em termos de uma<br />
soma de impulsos unitários escalados e deslocados no<br />
tempo:<br />
x(n) =<br />
+∞∑<br />
k=−∞<br />
x(k)δ(n − k)<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
n<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.21/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.22/50<br />
Escalão Unitário Discreto<br />
Impulso e Escalão Discretos<br />
u(n) =<br />
{ 0, n < 0.<br />
1, n ≥ 0.<br />
u(n) =<br />
+∞∑<br />
k=0<br />
u(n)<br />
... ...<br />
δ(n − k)<br />
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 n<br />
O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso<br />
unitário:<br />
n∑<br />
u(n) = δ(k)<br />
k=−∞<br />
Inversamente:<br />
δ(n) = u(n) − u(n − 1)<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.23/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.24/50
Impulso Unitário Contínuo<br />
Interpretação do Impulso<br />
O impulso unitário, também designado por função delta ou<br />
distribuição de Dirac, define-se por:<br />
δ ∆<br />
(n)<br />
∆<br />
∫ +ɛ<br />
δ(t) = 0, t 0<br />
...<br />
...<br />
−ɛ<br />
δ(τ)dτ = 1, ∀ɛ ∈ +<br />
−1/2∆ 0 1/2∆<br />
t<br />
δ(t) = lim<br />
∆→0<br />
δ ∆ (t)<br />
A função δ(t) não se encontra definida para t = 0<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.25/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.26/50<br />
Representação do Impulso<br />
Propriedade de Amostragem<br />
...<br />
δ(t)<br />
(1)<br />
...<br />
x(t)δ ∆ (t) ≈ x(0)δ ∆ (t)<br />
lim ∆(t)<br />
∆→0<br />
= lim x(0)δ ∆ (t)<br />
∆→0<br />
0 t<br />
A amplitude da seta indica a área do impulso e não o<br />
valor para t = 0.<br />
x(t)δ(t) = x(0)δ(t)<br />
.<br />
.<br />
O produto de uma função por um impulso produz um impulso<br />
com área igual ao valor da função no instante do impulso.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.27/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.28/50
Escalão Unitário Contínuo<br />
Impulso e Escalão Contínuos<br />
u(t) =<br />
{ 0, t < 0.<br />
1, t ≥ 0.<br />
u(t) =<br />
∫ +∞<br />
0<br />
...<br />
δ(t − τ)dτ.<br />
u(t)<br />
...<br />
0 t<br />
O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso<br />
unitário:<br />
u(t) =<br />
Inversamente:<br />
∫ t<br />
τ=−∞<br />
δ(t) = d dt u(t)<br />
δ(τ)dτ.<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.29/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.30/50<br />
Exponencial Contínua<br />
Exponencial Real Discreta<br />
.<br />
x(t) = Ce at<br />
em que C e a podem ser números complexos:<br />
C = Ae jφ , A, φ ∈ <br />
a = −α + jω 0 , α, ω 0 ∈ <br />
x(t) = Ae −αt e j(ω 0t+φ)<br />
decompondo em parte real e imaginária:<br />
R{x(t)} = Ae −αt cos(ω 0 t + φ)<br />
I{x(t)} = Ae −αt sin(ω 0 t + φ)<br />
.<br />
Sendo α e A números reais:<br />
x(n) = Aα n<br />
|α| > 1 a sequência |x(n)| é crescente;<br />
|α| < 1 a sequência |x(n)| é decrescente;<br />
α > 0 as amostras da sequência x(n) têm todas o mesmo<br />
sinal de A;<br />
α < 0 as amostras da sequência x(n) são alternadamente<br />
positivas e negativas.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.31/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.32/50
Exponencial Complexa Discreta<br />
Periodicidade Temporal<br />
Se α = e jω0 e A = |A|e jφ :<br />
x(n) = |A|e j(ω0n+φ)<br />
= |A|cos(ω 0 n + φ) + j|A|sen(ω 0 n + φ)<br />
Por analogia com a correpondente função contínua, a ω 0<br />
chama-se frequência da sinusoide complexa e φ é a sua<br />
fase.<br />
No caso discreto, a sequência exponencial complexa nem<br />
sempre é periódica.<br />
Só é periódica se:<br />
|A|e j(ω 0n+φ)<br />
x(n) = x(n + N)<br />
= |A|e j(ω 0(n+N)+φ)<br />
= |A|e j(ω 0n+φ) e jω 0N<br />
ω 0 N = 2πk ⇔ N = 2πk/ω 0<br />
.<br />
.<br />
Mas N tem de ser inteiro!<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.33/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.34/50<br />
Periodicidade em Frequência<br />
<strong>Sistemas</strong><br />
.<br />
No caso discreto, as exponenciais complexas com<br />
frequência (ω 0 + 2πr) são indistinguíveis entre si:<br />
|A|e j[(ω 0+2πr)n+φ]<br />
= |A|e j(ω 0n+φ) e j2πrn<br />
= |A|e j(ω 0n+φ)<br />
.<br />
Os sistemas são funções que transformam sinais.<br />
Algumas operações relizadas por sistemas:<br />
armazenamento de sinais;<br />
codificação e descodificação;<br />
encriptação e desencriptação;<br />
realçar parte da informação do sinal;<br />
detecção de informação;<br />
controle de processos físicos;<br />
conversão de formatos;<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.35/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.36/50
Espaço de Funções<br />
<strong>Sistemas</strong> como Funções<br />
.<br />
Sendo x um sinal cujo domínio é D e o contradomínio C:<br />
x : D → C<br />
Se o sistema S aceitar à sua entrada sinais do tipo x<br />
podemos dizer que o seu domínio é um espaço de<br />
funções ou espaço de sinais X a que x pertence.<br />
Representaremos o espaço de funções envolvendo em<br />
parenteses rectos o domínio e contradomínio dos sinais<br />
que ele representa:<br />
X = [D → C]<br />
.<br />
Um sistema faz o mapeamento de um espaço de sinais<br />
para outro espaço de sinais.<br />
Por exemplo, um microfone é um sistema que converte<br />
sinais acústicos em sinais eléctricos:<br />
S : [Tempo → Pressão] → [Tempo → Tensão]<br />
Pressão<br />
Tempo<br />
S<br />
Tensão<br />
Tempo<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.37/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.38/50<br />
<strong>Sistemas</strong> Contínuos e Discretos<br />
Associação em cascata<br />
Um sistema de tempo contínuo é um sistema que tem<br />
como domínio e contra-domínio sinais em tempo<br />
contínuo:<br />
C : [ → ] → [ → ]<br />
Entrada<br />
Sistema 1 Sistema 2<br />
Saída<br />
Um sistema de tempo discreto é um sistema que tem<br />
como domínio e contra-domínio sinais em tempo<br />
discreto:<br />
D : [ → ] → [ → ]<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.39/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.40/50
Associação em paralelo<br />
Retroacção<br />
Sistema 1<br />
Entrada<br />
Sistema 1<br />
Saída<br />
Entrada<br />
Saída<br />
Sistema 2<br />
Sistema 2<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.41/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.42/50<br />
<strong>Sistemas</strong> Com e Sem Memória<br />
Sistema Inverso<br />
Um sistema diz-se sem memória se a sua saída num dado<br />
instante só depender da entrada nesse instante.<br />
y(t) = x 2 (t) – sem memória<br />
y(n) = x(n) + x(n − 1) – com memória<br />
y(n) = x(n) − y(n − 1) – com memória<br />
y(t) = ∫ t<br />
x(τ)dτ – com memória<br />
−∞<br />
<strong>Sinais</strong><br />
Um sistema é invertível se entradas distintas<br />
produzirem saídas distintas.<br />
Se um sistema é invertível pode-se encontrar um<br />
sistema inverso que ligado em cascata com o<br />
primeiro produza na sua saída a entrada original<br />
x(n)<br />
Sistema<br />
w(n)<br />
Inverso<br />
x(n)<br />
.<br />
.<br />
e <strong>Sistemas</strong> – p.43/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.44/50
Causalidade<br />
Estabilidade<br />
Um sistema é causal se a saída num instante de tempo só<br />
depender de entradas presentes e passadas.<br />
y(t) = x(t − 1/2) – causal<br />
y(n) = x(n + 1) + x(n − 1) – não causal<br />
Um sistema é estável se todos os sinais de entrada<br />
limitados produzirem sinais de saída limitados:<br />
|x(n)| ≤ B x < ∞ ∀ n −−−−−−−→<br />
estabilidade<br />
|y(n)| ≤ B y < ∞ ∀ n<br />
Todos os sistemas sem memória são causais.<br />
.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.45/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.46/50<br />
Sistema Acumulador<br />
Invariância Temporal<br />
.<br />
n∑<br />
y(n) = x(k)<br />
k=−∞<br />
Se a entrada for o escalão unitário (x(n) = u(n) a saída<br />
será:<br />
n∑<br />
y(n) = x(k) = (n + 1)u(n)<br />
k=−∞<br />
O sistema acumulador é instável: para uma entrada limitada<br />
produz uma saída que cresce indefinidamente.<br />
.<br />
T{x(n)} = y(n) −−−−−−−−−−−−→<br />
invariante no tempo T{x(n − n 0)} = y(n − n 0 )<br />
Exemplos:<br />
1. y(t) = x(t − 2) – invariante<br />
2. y(t) = x(2t) – variante<br />
3. y(n) = sen(x(n)) – invariante<br />
4. y(n) = nx(n) – variante<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.47/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.48/50
Linearidade<br />
Problema<br />
Propriedade da aditividade<br />
{ T{x1 (n)} = y 1 (n)<br />
T{x 2 (n)} = y 2 (n)<br />
−−−−−−−→<br />
aditividade<br />
Propriedade da homogeneidade<br />
T{x(n)} = y(n) −−−−−−−−−→<br />
homogeneidade<br />
T{x 1 (n) + x 2 (n)} = y 1 (n) + y 2 (n)<br />
T{ax(n)} = ay(n)<br />
Quais dos seguintes sistemas são lineares?<br />
1. y(t) = tx(t)<br />
2. y(t) = x 2 (t)<br />
3. y(n) = R{x(n)}<br />
4. y(n) = 2x(n) + 3<br />
.<br />
em que a é uma constante arbitrária.<br />
Um sistema linear tem de verificar as propriedades da<br />
aditividade e da homogeneidade.<br />
.<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.49/50<br />
<strong>Sinais</strong> e <strong>Sistemas</strong> – p.50/50