Um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas é o ...

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
AULA 04: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
1. SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM DUAS
INCÓGNITAS
1.1 Definição: Um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas
é o um conjunto formado por duas equações do primeiro grau com duas
incógnitas da forma:
onde x e y são suas incógnitas, a 1 e a 2 são os coeficientes de x , b 1 e b 2 são os
coeficientes de y e c 1 e c 2 são os termos independentes. A solução do sistema
será única se só se .
Resolver um sistema de equações do primeiro grau significa encontrar os
valores das incógnitas x e y que satisfaz, simultaneamente, as duas equações.
É fácil verificar, por substituição, que x = -1 e y = 2 é solução do sistema.
1ª equação : 2x + 3y = 2(-1) + 3(2) = -2 + 6 = 4
2ª equação: x + 4y = (-1) + 4(2) = -1 + 8 = 7
1.2 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA
Os três principais métodos da álgebra elementar para resolução de um
sistema de equações do 1º grau são os métodos de substituição, adição e
comparação. Cada um destes métodos tem por objetivo eliminar uma das
incógnitas do sistema, de modo a transformar o mesmo numa única equação
do 1º grau com uma variável. Uma vez encontrado o valor de uma das
incógnitas, o valor da outra incógnita pode ser obtido através da substituição
do valor conhecido em uma das equação do sistema.
DESCRIÇÃO
Método de substituição: O método consiste em eliminar uma das
incógnitas de uma das equações. Tira-se em uma das equações o valor
da incógnita a ser eliminada e, em seguida, substitui-se o valor da
incógnita eliminada na outra equação, obtendo assim uma equação do
1º grau.
Dado o sistema: 2x – y = 3
3x + 2y = 1
Eliminando a incógnita y e tirando seu valor, na primeira equação, em
termos de x:
- y = 3 – 2x y = -3 + 2x y = 2x - 3
Substituindo esse valor na segunda equação, temos:
3x + 2(2x - 3) = 1 3x + 4x – 6 = 1 7x = 7 x = 1

Substituindo x = 1 na expressão y = 2x -3, Obtém-se y = 2(1) – 3 = 2 -3
= -1
Assim: x = 1 e y = -1 é a solução do sistema.
Obs.: Caso o sistema seja constituído de três equações e três
incógnitas o modo operante é quase idêntico. Substitui-se o valor da
incógnita a ser eliminada nas duas outras equações, obtendo assim um
sistema de duas equações com duas incógnitas.
Exemplo: 2x + 3y + z = 1
x + 2y – z = -3
x + y + z = 2
Eliminar z na primeira equação: z = 1 – 2x – 3y
Substituir o valor de z nas duas outras equações:
x + 2y – (1 – 2x – 3y) = -3
x + y + (1 – 2x – 3y) = 2
Agrupando os termos semelhantes, obtém-se um sistema com duas
equações e duas incógnitas:
3x + 5y = -2
-x – 2y = 1
Aplicando o método da substituição, conclui-se que x = 1 e y = - 1.
Substituindo os valores de x e y na expressão de z, temos: z = 1 – 2(1) –
3(-1) = 1 – 2 + 3 = 2. Logo, a solução do sistema é o terno (1, -1, 2).
Método de Adição: O método consiste em multiplicar as duas
equações por um número real conveniente escolhido de modo que os
coeficientes da incógnita a ser eliminada fiquem reduzidos a números
simétricos. Em seguida, somam-se membro a membro das equações,
obtendo uma equação do 1º grau com uma incógnita.
Exemplo:
2x – y = 3 4x – 2y = 6 (multiplicando ambos os membros por 2)
3x + 2y = 1 3x + 2y = 1(multiplicando ambos os membros por 1 )
7x = 7
x = 1
Substituindo o valor de x na primeira equação: 2(1) – y = 3 2 – y =
3 y = 2 – 3 = -1.
Solução do sistema é x = 1 e y = -1
Método de Comparação: O método consiste em isolar uma mesma
variável nas duas equações e comparar os resultados, obtendo assim,
uma equação do 1º grau com uma incógnita que é a outra variável.
Considerando o sistema formado por duas equações do primeiro grau
com duas incógnitas:

Substituindo o valor de y em uma das equações iniciais, obtém se o
valor de x correspondente.
1.3 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS
Os sistemas podem ser classificados como:
quando admite uma única solução.
Exemplo:
O sistema tem uma única solução (1 , 1).
quando recai numa equação impossível.
Exemplo:
O sistema não admite solução.
quando recai numa identidade.
Exemplo:
O sistema tem infinitas soluções.
EXERCITANDO 1
Resolva o sistema de equação:
Classifique os sistemas, caso seja determinado, indeterminado e
impossível.
Responsável: Kiara Lima Costa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual