Teoria dos Jogos - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio
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Equivalência de Receita: Leilão 1º Lance Para calcular a receita do leiloeiro, procede-se de forma similar a anterior. Temos duas distribuições (p/ v 1 e v 2 ): Primeiro se condiciona em relação a uma delas e depois se considera a outra. Antes iniciamos com valor esperado do bid, condicional a conhecer o valor v 1 (ficava uma função de v 1 ) e depois integrava em relação aos possíveis valores de v 1 . Pode-se fazer da mesma forma ou invertendo a ordem. Vamos inverter essa ordem e iniciar por v 2 e depois integrar em relação a v 2 : 1000⎛ v2 ⎞ 1 ∫0 ⎜Prob[v1 ≤ v 2] + Prob[v1 > v 2] E[b 1 | v1 > v 2] dv 2 2 ⎟ ⎝ ⎠1000 1000⎛ v2 v2 ⎛ v2 ⎞⎛ v2 + 1000 ⎞⎞ 1 1000 = ∫ ⎜ + 1 dv 0 2 = 1000 2 ⎜ − 1000 ⎟⎜ ⎟ 2× 2 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠1000 3 A explicação é similar ao caso anterior (leilão de 2º lance), mas usando o fato de que já foi mostrado que o ENB é jogar a metade da sua valoração (por isso apareceu v 2 /2 quando o jog. 2 ganha). Note que se v 1 > v 2 , então v 1 é um número equiprovável entre v 2 e 1000, cuja média é (v 2 +1000)/2. Como o EBN é v 1 /2, então fica (v 2 +1000)/4. Leilão Selado de Primeiro Lance No leilão selado de primeiro lance, o maior bid b 1 éo vencedor do leilão, recebe o bem e paga seu bid b 1 . Para o jogador i, com valor privado x, seu payoff π i é: π i = x − b i se b i > max j ≠ i b j ; ou π i = 0 se b i < max j ≠ i b j As estratégias dos jogadores são os valores de bid que são funções dos tipos, b i (θ). Considere apenas estratégias simétricas de equilíbrio, i. é, todos os jogadores jogam a mesma função de seu tipo, b i (θ) = b j (θ) = b(θ). Proposição: O único equilíbrio em estratégias simétricas (EBN) num leilão de primeiro lance é (p/ todos jogad.): b(v) = E[v 2 | v 2 < v] = E[segundo maior tipo | maior tipo = v] Onde v 2 é o maior valor dos outros N − 1 valores independentes. Ex.: Valores v com distribuição uniforme [0, 1] tem a solução para o bid do EBN: b(v) = [(N − 1)/N] v. Demonstração a seguir. 84
Leilão Selado de 1º Lance: Exemplo Para ver o último resultado, seguirei McMillan (1992). Seja o valor privado do jogador 1, v 1 . Então: b 1 = k v 1 e b j = k v j para j = 2, 3, ... N. O jogador 1 ganha o leilão se v j ≤ b 1 /k, para todo j = 2, 3, ... N. Como as valorações são independentes, a probab. de vitória é: Pr[v 2 ≤ b 1 /k, v 3 ≤ b 1 /k, ..., v N ≤ b 1 /k] = Pr[v 2 ≤ b 1 /k] x Pr[v 3 ≤ b 1 /k] ... x Pr[v N ≤ b 1 /k]. Como as distribuições são uniformes [0, 1], Pr[v j ≤ b 1 /k] = b 1 /k. Assim, a expressão anterior fica: Pr[v 2 ≤ b 1 /k, v 3 ≤ b 1 /k, ..., v N ≤ b 1 /k] = (b 1 /k) N – 1 . O payoff esperado do jogador 1 é: (v 1 –b 1 )(b 1 /k) N – 1 . O jogador 1 quer maximizar o payoff esperado escolhendo b 1 . Logo, usaremos a CPO (deriva o payoff esperado e iguala a 0): 0 = [v 1 (N – 1) (b 1 ) N – 2 /k N – 1 ] – [N (b 1 /k) N – 1 ] ⇒ b 1 = v 1 (N – 1)/N □ Ou seja, o k ótimo para o equilíbrio simétrico é (N – 1)/N. Note que se N → ∞ ⇒ b 1 (v) → v. Maior competição, maior receita. 85
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Leilão Selado <strong>de</strong> 1º Lance: Exemplo<br />
Para ver o último resultado, seguirei McMillan (1992).<br />
Seja o valor privado do jogador 1, v 1 . Então:<br />
b 1 = k v 1 e b j = k v j para j = 2, 3, ... N.<br />
O jogador 1 ganha o leilão se v j ≤ b 1 /k, para todo j = 2, 3, ... N.<br />
Como as valorações são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, a probab. <strong>de</strong> vitória é:<br />
Pr[v 2 ≤ b 1 /k, v 3 ≤ b 1 /k, ..., v N ≤ b 1 /k] = Pr[v 2 ≤ b 1 /k] x Pr[v 3 ≤<br />
b 1 /k] ... x Pr[v N ≤ b 1 /k].<br />
Como as distribuições são uniformes [0, 1], Pr[v j ≤ b 1 /k] = b 1 /k.<br />
Assim, a expressão anterior fica:<br />
Pr[v 2 ≤ b 1 /k, v 3 ≤ b 1 /k, ..., v N ≤ b 1 /k] = (b 1 /k) N – 1 . O payoff<br />
esperado do jogador 1 é: (v 1 –b 1 )(b 1 /k) N – 1 .<br />
O jogador 1 quer maximizar o payoff esperado escolhendo b 1 .<br />
Logo, usaremos a CPO (<strong>de</strong>riva o payoff esperado e iguala a 0):<br />
0 = [v 1 (N – 1) (b 1 ) N – 2 /k N – 1 ] – [N (b 1 /k) N – 1 ] ⇒ b 1 = v 1 (N – 1)/N □<br />
Ou seja, o k ótimo para o equilíbrio simétrico é (N – 1)/N.<br />
Note que se N → ∞ ⇒ b 1 (v) → v. Maior competição, maior receita.<br />
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