Teoria dos Jogos - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio
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Leilão Ótimo para o Leiloeiro<br />
Com um número reduzido <strong>de</strong> preten<strong>de</strong>ntes ao bem em leilão, o<br />
leiloeiro po<strong>de</strong>ria obter um valor muito abaixo <strong>de</strong> V θ .<br />
Elepo<strong>de</strong>atéterum preço <strong>de</strong> reserva abaixo do qual ele não<br />
ven<strong>de</strong> o bem, pois teria utili<strong>da</strong><strong>de</strong> negativa.<br />
Qual o leilão ótimo, o <strong>de</strong> segundo lance ou o <strong>de</strong> primeiro lance?<br />
Surpresa: em geral ambos dão a mesma receita espera<strong>da</strong> ao leiloeiro!<br />
Isso é referido como sendo a equivalência <strong>de</strong> receita entre os dois leilões.<br />
Demonstração usa o princípio <strong>da</strong> revelação para restringir a busca.<br />
Ex.: Dutta (1999, cap.23) caso extremo com dois compradores.<br />
No leilão <strong>de</strong> primeiro lance ele obtém o seguinte ENB:<br />
O tipo <strong>de</strong> menor valoração µ oferta o seu próprio valor e o tipo <strong>de</strong><br />
maior valor θ joga uma estratégia mista atribuindo uma distribuição <strong>de</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong>s a to<strong>dos</strong> os lances entre µ e (θ + µ)/2 (equilíbrio único).<br />
No caso analisado, ca<strong>da</strong> jogador tem 50% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> ser <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> tipo,<br />
e logo po<strong>de</strong> ocorrer que ambos os dois jogadores sejam do tipo θ (ou µ).<br />
Ele chega a conclusão que ambos os leilões dão a mesma receita espera<strong>da</strong><br />
Definição: Estratégias simétricas <strong>de</strong> equilíbrio são quando to<strong>dos</strong><br />
os jogadores jogam a mesma função, b i (θ) = b j (θ) = b(θ), embora<br />
ca<strong>da</strong> um possa ter um tipo diferente (e <strong>da</strong>r lances diferentes).<br />
Receita e Número <strong>de</strong> Competidores: Exemplo<br />
O resultado clássico <strong>de</strong> que a receita espera<strong>da</strong> do leiloeiro<br />
aumenta com o n o <strong>de</strong> compradores nos 4 formatos vistos é<br />
ilustrado com o seguinte exemplo p/ leilão <strong>de</strong> 2º lance:<br />
Seja um leilão <strong>de</strong> 2º lance com só dois competidores, sendo que<br />
ca<strong>da</strong> um tem uma valoração priva<strong>da</strong> <strong>de</strong> que o bem vale $ 10 ou<br />
$ 20 com 50% <strong>de</strong> chances ca<strong>da</strong> um. Qual a receita espera<strong>da</strong>?<br />
Note que existem 4 possibili<strong>da</strong><strong>de</strong>s, ca<strong>da</strong> uma com 25% <strong>de</strong><br />
chances: [10; 10]; [10; 20]; [20; 10]; [20; 20].<br />
Como é ótimo para ca<strong>da</strong> um <strong>da</strong>r um lance igual a seu valor, a<br />
receita do leiloeiro é: R n = 2 = ¾ . 10 + ¼ . 20 = $ 12,5.<br />
Consi<strong>de</strong>re agora o caso <strong>de</strong> três competidores. Teremos 2 3 = 8<br />
possibili<strong>da</strong><strong>de</strong>s com probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 1/8 ca<strong>da</strong> uma: [10; 10; 10];<br />
[10; 10; 20]; [10; 20; 10]; [10; 20; 20]; [20; 10; 10]; [20; 10; 20];<br />
[20; 20; 10]; [20; 20; 20]. A receita do leiloeiro será nesse caso:<br />
R n = 3 = ½ . 10 + ½ . 20 = $ 15. Como R n = 3 > R n = 2 ⇒ a receita<br />
aumentou com o número <strong>de</strong> competidores. Note que o 3º<br />
competidor não tinha valoração maior que os dois anteriores.<br />
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