Teoria dos Jogos - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio

Existência de Equilíbrio de Nash
Existência de EN: todo jogo tem pelo menos um EN se:
1) Puder jogar estratégias mistas e se há um número finito de
estratégias puras no conjunto de estratégias de cada jogador
Senão, o jogo do par ou ímpar e outros tais como o leilão que
todos pagam (“all-pay auction” a ser visto) não teriam equilíbrio.
2) Caso o jogo só permita estratégias puras, a existência de
EN só é garantida em certas condições.
Por ex., com conjuntos S i , ∀i, tendo um contínuo de estratégias
(infinitas estratégias, ex.: quantidades no modelo de Cournot).
Mais precisamente, EN em estratégias puras existe se para
todos os jogadores i, o conjunto de estratégias S i é nãovazio,
convexo e compacto e a função payoff v i (s 1 , … s I ) é
contínua em (s 1 , … s I ) e quase-concava em s i .
São condições suficientes (garante EN), mas não necessárias.
Ver apêndices matemáticos do livro MWG: M.C.3 (p. 933, função
quase-concava); M.F (p.943, conjunto compacto = conjunto
limitado e fechado); M.G (p.946, conjunto convexo).
Existência de Equilíbrio de Nash
Para provar isso veremos uma definição alternativa de EN
usando o conceito de ponto fixo de uma correspondência.
Correspondência: conceito generalizado de função. Associa a cada
ponto x um conjunto de pontos e não um único ponto y. MWG: p. 949
Ponto fixo: Dada uma função ou correspondência f: A → A
(conjunto A nele mesmo), o vetor x ∈ A é ponto fixo de f(.) se:
x = f(x) em caso de função e x ∈ f(x) em caso de correspondência.
Ver apêndice matemático M.I, do livro MGW, p. 952.
Teorema do ponto fixo de Brouwer:
Seja f: S → S uma função contínua de
um conjunto não-vazio, compacto e
convexo S ⊂ R n nele mesmo. Então
existe um x* ∈ S tal que x* = f(x*), i.
é, existe um ponto fixo x* da função f.
Figura: S é o intervalo [0, 1], por ex.,
probabilidades de estratégias mistas.
Tem 3 pontos fixos (corta reta f(x) = x)
Figura: Wikipedia
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