Teoria dos Jogos - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio

Cournot + Bertrand = Cournot
Provaremos que a escolha ótima de preços no 2º estágio
é p 1 = p 2 = p Cournot = $ 4 [pois p Cournot = 10 – (3 + 3)].
Se a firma 1 atende os 1 os três consumidores, então a curva de
demanda residual p/ a firma 2 (após a produção da firma 1) é:
p = 10 – (q 1 + q 2 ) ⇒ p = 10 – (3 + q 2 ) ⇒ p = 7 – q 2 . Ou q 2 = 7 – p.
Só será ótimo a firma 2 desviar na escolha de preço se isso
aumentar o lucro dela. Sua função lucro Π 2 (p 2 ) é dada por:
Π 2 (p 2 ) = p 2 q 2 –c 2 q 2 ⇒Π 2 (p 2 ) = p 2 (7 – p 2 ) –1.(7 –p 2 ) ⇒
⇒Π 2 (p 2 ) = 7 p 2 –p 22 – 7 + p 2 ⇒Π 2 (p 2 ) = 8 p 2 –p 22 –7
Usa-se a CPO p/ maximizar o lucro escolhendo p, ∂Π 2 / ∂p 2 = 0:
∂Π 2 / ∂p 2 = 0 ⇒ 8 – 2 p 2 = 0 ⇒ p 2 = 4, que é exatamente o preço
obtido quando se joga a quantidade de Cournot!
Por simetria, o mesmo vale para a firma 1 (não é ótimo desviar).
Intuição: preços menores não aumenta as vendas, só obtém
menos receita p/ o mesmo q. Preços maiores diminui a demanda e
mesmo com maior margem, o lucro por vender menos é menor.
Notas sobre Cournot + Bertrand = Cournot
A idéia do exemplo ilustrativo foi mostrar que p(k 1 + k 2 )
para os jogadores é EN por não valer a pena desviar.
Foi colocada a curva de demanda residual para a firma 2
apenas para analisar se tinha vantagem a firma 2 desviar de
forma unilateral, i. é, mantendo fixa a estratégia da firma 1.
Por definição, demanda residual da firma 2 é quando fazemos a
demanda da firma 1 fixa. Por isso pode-se ver desvio unilateral.
A curva de demanda residual não assume que a firma 1 jogou
primeiro (atendendo k 1 ) e depois a firma 2 jogou atendendo a
demanda restante. O jogo é simultâneo (não é sequencial).
A análise do EN é: as firmas estão jogando um preço tal
que está sendo demandado k 1 + k 2 . Esse preço é p(k 1 +
k 2 ). Vale a pena de forma unilateral cobrar outro preço?
Preço menor só reduz a receita da firma 2 por estar no limite
da capacidade (não consegue vender mais).
Preço maior da firma 2 vende menos que k 2 e usando demanda
residual vimos que ela maximiza o lucro com p preço p(k 1 +k 2 ).
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